2025年新高考数学一轮复习：计数原理（三大题型）（练习）（学生版+解析）

第01讲计数原理

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：分类加法计数原理的应用.................................................2

题型二：分步乘法计数原理的应用.................................................2

题型三：两个计数原理的综合应用.................................................3

02重难创新练..................................................................3

03真题实战练..................................................................5

题型一：分类加法计数原理的应用

1.书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.

从书架上任取1本书，不同的取法种数为（）

A.3B.8C.12D.18

2.从A地到E地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2

次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（）

A.3B.9C.24D.以上都不对

3.某校有5名学生参加数学竞赛，要求必须有人参加比赛，其中2名学生必须同时参加或同时不参加，其

他学生可以独立决定是否参加，求不同的参赛组合数（）.

A.10种B.15种

C.20种D.25种

题型二：分步乘法计数原理的应用

4.学校为丰富高中生的课外生活，开设了兴趣小组，有3名学生想要报名书法、绘画、篮球、羽毛球兴趣

小组，每人限报1项、则不同的报名方式种数有（）

A.3，B.36C.24D.43

5.如图，只闭合两个开关将一条电路从A处到B处接通，可构成线路的条数为（）

A.8B.4C.5D.3

6.2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价

分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰有三人在同一区域的不同座位方式

共有（）

A.30种B.60种C.120种D.24种

7.（2024•重庆沙坪坝•模拟预测）用。代表红球，匕代表蓝球，。代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1

个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+“）—（1+6）的展开式1+a+b+ab表示出来，如:

“1”表示一个球都不取、“。”表示取出一个红球，而“ab”表示把红球和蓝球都取出来，以此类推,

下列各式中，其展开式可用来表示从3个无区别的红球、3个无区别的蓝球、2个有区别的黑球中取

出若干个球，且所有蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）

A.（1+a+a2+a3）0+b3）（l+c）~

B.++

C.（l+a）3（l+Z?+Z?2+Z>3）（l+c2）

D.（l+a）（l+Z?y（1+c+c?）

8.从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有多少种选法？（）

A.11B.12C.30D.36

9.5名同学分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为（）

A.9B.20C.54D.45

题型三：两个计数原理的综合应用

10.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、

马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同

学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则

选法有种.

11.（2024•浙江杭州•模拟预测）袋子中有数字“7”的卡片3张和数字“2”，“3”，“5”的卡片各1张，从中任

意取出4张卡片，最多能组成个不同的四位数（用数字回答）.

12.如果一个四位数各个位数上的数字之和为8,则称这个四位数为“幸运数”，那么总共有个“幸运

数”.

13.用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，其中能被3整除的偶数有个.（用数字作答）.

1.（2024・海南•模拟预测）将“1,2,2,3,4,5”这6个数字填入如图所示的表格区域中，每个区域填一个

数字，1不在A区域且三列中只有中间一列区域的数字之和为7,若中间一列填2和5,则不同的填法有（）

2.（2024・广东深圳.模拟预测）某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四

语言，其中第三语言可从A类语言：日语，韩语，越南语，柬埔寨语中任选一个，第四语言可从E类语言：

法语，德语，俄语，西班牙语，意大利语，则学生可选取的语言组合数为（）

A.20B.25C.30D.35

3.（2024.河南周口•模拟预测）2024年春节档贺岁片《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》异

常火爆，甲、乙等5人去观看这三部电影，每人只观看其中一部，甲、乙不观看同一部电影，则选择观看

的方法有（）

A.243种B.162种C.72种D.36种

4.（2024•全国•模拟预测）如下图所示，边长为。的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面

的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构.若要将这一个立方体上的14个点染上红黄蓝三种

颜色，使得被一条线段连接的两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称后

5.（2024.天津和平•二模）为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组

织同学从推荐的课外读物中进行选读.活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两

人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

6.（2024•江苏南通•模拟预测）某志愿者小组有5人，从中选3人到A、8两个社区开展活动，其中1人到

A社区，则不同的选法有（）

A.12种B.24种C.30种D.60种

7.（2024•陕西铜川•模拟预测）小张同学喜欢吃4种不同品种的奶糖，她有5个不同颜色的塑料袋，每个

袋子中至少装1种奶糖.小张同学希望5个袋子中所装奶糖种类各不相同，且每一种奶糖在袋子中出现的

总次数均为2,那么不同的方案数为（）

炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为.

14.（2024・全国•模拟预测）二阶魔方是一个2x2x2的正方体，由8个角块组成，没有中心块和棱块，结构

相对简单.若空间中方向不同但状态相同（即通过整体旋转后相同）的情况只算一种，则任意二阶魔方共有一

种不同的状态.（提示：任选其中1个角块作为参考，则其余7块能自由排列，在这7块中，任意确定6块，

最后1块也就唯一确定了）

15.（2024.河南濮阳•模拟预测）第一届全国学生（青年）运动会开幕式于2023年11月5日在广西举行,

举办本届学青会是推动新时代青少年和学校体育改革发展，增强青少年和学生体质、促进竞技体育后备人

才培养的重要措施.为了加强宣传力度，某体育协会从甲、乙等6人中选派4人到A,B,C,。四个不同

的区域参加宣传活动，每人去一个区域，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去A区域的选派方法共有种

（用数字作答）.

16.（2024・高二・吉林长春・期末）有4人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所

学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为.（用数字作答）

17.（2024.福建泉州.模拟预测）围棋在中国古时称“弈“，是一种策略性二人棋类游戏.围棋棋盘由纵横各

19条等距离、垂直交叉的平行线构成.则围棋棋盘上的矩形数量为.（用数字作答）

㈤3

//真题实战练\\

1.（2001年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间

的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结

点A向结点8传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）

2.（1993年普通高等学校招生考试数学（理）试题（旧高考））同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然

后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（）

A.6种B.9种C.11种D.23种

3.（2005年普通高等学校春季招生考试数学（文）试题（北京卷））从0,1,2,3这四个数中选三个不

同的数作为函数/（x）="/+bx+c的系数，可组成不同的一次函数共有个，不同的二次函数共有.

个.（用数字作答）

4.（2005年普通高等学校春季招生考试数学（理）试题（北京卷））从-1，0,1,2这四个数中选三个不

同的数作为函数〃好="2+法+。的系数，可组成不同的二次函数共有个，其中不同的偶函数共

有个.（用数字作答）

5.（2001年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））圆周上有2〃个等分点以其中三个

点为顶点的直角三角形的个数为.

6.（2003年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成

两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰

赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第三、四名，则该大师赛共有场比赛.

第01讲计数原理

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：分类加法计数原理的应用.................................................2

题型二：分步乘法计数原理的应用.................................................2

题型三：两个计数原理的综合应用.................................................3

02重难创新练..................................................................3

03真题实战练..................................................................5

题型一：分类加法计数原理的应用

1.书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.

从书架上任取1本书，不同的取法种数为（）

A.3B.8C.12D.18

【答案】A

【解析】书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，

第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为3+3+2=8.

故选：B.

2.从A地到E地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2

次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（）

A.3B.9C.24D.以上都不对

【答案】A

【解析】由题意可知，可以乘汽车、火车、轮船三种交通工具，汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，

则由分类加法计数原理可得共有3+4+2=9种不同走法.

故选：B.

3.某校有5名学生参加数学竞赛，要求必须有人参加比赛，其中2名学生必须同时参加或同时不参加，其

他学生可以独立决定是否参加，求不同的参赛组合数（）.

A.10种B.15种

C.20种D.25种

【答案】A

【解析】某校有5名学生参加数学竞赛，其中2名学生必须同时参加或同时不参加，

所以设这两名同学为甲乙，

当甲乙同时参加时，剩下的三名同学可能有：

没有同学参加有1种情况，恰有一名同学参加有C；种情况，

恰有两名同学参加有C：种情况，三名同学都参加有1种情况，

所以共有1+C；+C；+1=8种组合；

当甲乙同时不参加时，剩下的三名同学可能有：

恰有一名同学参加有C。种情况，恰有两名同学参加有C；种情况,

三名同学都参加有1种情况，所以共有C；++1=7种组合；

所以不同的参赛组合数为：8+7=15种，

故选:B

题型二：分步乘法计数原理的应用

4.学校为丰富高中生的课外生活，开设了兴趣小组，有3名学生想要报名书法、绘画、篮球、羽毛球兴趣

小组，每人限报1项、则不同的报名方式种数有（）

A.3，B.36C.24D.43

【答案】B

【解析】根据题意，每名学生都可以在书法、绘画、篮球和羽毛球兴趣小组中任选1个，

都有4种选法，由分步计数原理得，共有4义4义4=43种不同的选法.

故选：D.

5.如图，只闭合两个开关将一条电路从A处到8处接通，可构成线路的条数为（）

A.8B.4C.5D.3

【答案】A

【解析】根据题意

根据分步计数原理，一条电路从A处到8处接通，A处并联电路开关闭合一个，有2种方法，

E处并联电路开关闭合一个，只能闭合下面两个中的一个，有2种方法，共有2x2=4种方法.

故选：B

6.2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价

分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰有三人在同一区域的不同座位方式

共有（）

A.30种B.60种C.120种D.24种

【答案】B

【解析】要使四人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成：

第一步，先从四人中任选三人，有C；种方法；

第二步再选这三人所在的区域，有种方法；

第三步，将另外一人从余下的两个区域里任选，有C；种方法.

由分步乘法计数原理，共有C；.C；.C；=24种方法.

故选：D.

7.(2024•重庆沙坪坝•模拟预测)用。代表红球，卜代表蓝球，。代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1

个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+«)-(1+&)的展开式l+a+b+ab表示出来，如:

“1”表示一个球都不取、“。”表示取出一个红球，而“ab”表示把红球和蓝球都取出来，以此类推，

下列各式中，其展开式可用来表示从3个无区别的红球、3个无区别的蓝球、2个有区别的黑球中取

出若干个球，且所有蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()

A.(l+a+/+/)(l+》3)(]+cy

B.(l+^il+b+b1+Z?3)(l+c)2

C.(l+渡(1+6+r+63)(1+02)

D.(l+a3)(l+&)3(1+c+c2)

【答案】C

【解析】第一步，从3个无区别的红球中取出若干球，

则有1+a+/+cP；

第二步，从3个无区别的蓝球中都取出或都不取出，要满足题意，

只有1+户;

第三步，从2个有区别的黑球中取出若干个，

则有=+

根据分步计数原理，则要满足题意的取法有：

(l+a+a?+a3)(i+/)(]+c)2.

8.从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有多少种选法？()

A.11B.12C.30D.36

【答案】C

【解析】由题意，共有6x(6-1)=30种选法.

故选：C.

9.5名同学分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为()

A.9B.20C.54D.45

【答案】B

【解析】因为每名同学都有4种选择，

所以由分步乘法计数原理可知不同选法的种数为：4x4x4x4x4=45.

故选：D.

题型三：两个计数原理的综合应用

10.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、

马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同

学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则

选法有种.

【答案】50

【解析】第一种情况是甲选龙，乙只能选马，丙有10种方法，

第二种情况是甲选牛或马，甲有2种方法，乙也有2种方法，那么丙有10种方法，则共有2x2x10=40种

方法，

所以共有10+40=50种方法.

故答案为：50

11.（2024•浙江杭州•模拟预测）袋子中有数字“7”的卡片3张和数字“2”，“3”，“5”的卡片各1张，从中任

意取出4张卡片，最多能组成个不同的四位数（用数字回答）.

【答案】72

【解析】如果取一张数字7的卡片，则数字2、3、5的卡片都要取出，则组成A：=24个不同的四位数；

如果取两张数字7的卡片，则数字2、3、5的卡片要取出两张，则组成=36个不同的四位数；

如果取三张数字7的卡片，则数字2、3、5的卡片要取出一张，则组成C；A：=12个不同的四位数；

所以最多能组成24+36+12=72个不同的四位数.

故答案为：72.

12.如果一个四位数各个位数上的数字之和为8,则称这个四位数为“幸运数”，那么总共有个“幸运

数

【答案】120

【解析】①若有3个0,则为8000,共1个；

②若有2个0，则另外两个数为。，7）,（2,6）,（3,5）,（4,4）,则有A；A；x3+A；=21个；

③若有1个0,则另外三个数为（1,1,6）,（1,2,5）,（1,3,4）,（2,2,4）,（2,3,3）,

则有A；A；x2+（3+A；）x3=63个；

④若没有0,则为（1,1,1,5）,（1,1,2,4）,（1,1,3,3）,（1,2,2,3）,（2,2,2,2）,

贝第弋+1+与x2+送=35个；

综上一共有1+21+63+35=120个.

故答案为：120

13.用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，其中能被3整除的偶数有个.（用数字作答）.

【答案】46

【解析】依题意，若这四位数为偶数，则个位一定是024这三个之一；

若这四位数能被3整除，则这四位数之和为3的倍数.

当个位数为。时，剩下的三位数为1,2,3或2,3,4或3,4,5,此时共有：3A;18个;

当个位数为2时，剩下的三位数为0,1,3或0,3,4或1,4,5,

当剩下的三位数含有。时，。不能在千位数，此时有2x2A；A；+A；=14j；

当个位数为4时，剩下的三位数为0,2,3或0,3,5或1,2,5,

当剩下的三位数含有。时，。不能在千位数，此时有2x2A；A；+A；=14j；

总共有：18+14+14=46个.

故答案为：46.

㈤2

重难创新练

1.（2024・海南•模拟预测）将“1,2,2,3,4,5”这6个数字填入如图所示的表格区域中，每个区域填一个

数字，1不在A区域且三列中只有中间一列区域的数字之和为7,若中间一列填2和5,则不同的填法有（）

A.20种B.24种C.36种D.48种

【答案】A

【解析】求不同填法需要4步，填中间一列有2种方法，再填1有3种方法，

与1同列的只能是3或4,有2种方法，最后两个区域，填两个数字有2种方法,

所以不同填法种数是2x3x2x2=24.

故选:B

2.（2024・广东深圳•模拟预测）某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四

语言，其中第三语言可从A类语言：日语，韩语，越南语，柬埔寨语中任选一个，第四语言可从E类语言:

法语，德语，俄语，西班牙语，意大利语，则学生可选取的语言组合数为（）

A.20B.25C.30D.35

【答案】C

【解析】第三语言可从A类语言4个中任选一个，有4种方法,

第四语言可从K类语言5个中任选一个，有5种方法,

所以共有4x5=20种.

3.（2024.河南周口.模拟预测）2024年春节档贺岁片《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》异

常火爆，甲、乙等5人去观看这三部电影，每人只观看其中一部，甲、乙不观看同一部电影，则选择观看

的方法有（）

A.243种B.162种C.72种D.36种

【答案】A

【解析】先安排甲、乙两人，有A；种方法，再安排其余3人，每人有3种安排方法，故共有A；x3x3x3=162

（种）方法.

故选：B.

4.（2024・全国•模拟预测）如下图所示，边长为。的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面

的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构.若要将这一个立方体上的14个点染上红黄蓝三种

颜色，使得被一条线段连接的两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称后

重合的视为同一种）（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【解析】不妨设正方体的边长为1,记红黄蓝三种颜色为a,b,c,

我们首先假设正方体的一对对顶点是在（o，。，。）和（LL1）,若将（0,0,0）染成。色，

那么（0,05,0.5）,（0.5,0.5,0）,（050,0.5）三个点必然都是｝色，

而（0,0,1）,（0,1,0）,（1,0,0）必然都是C色.如此递推可以恰好染完整个正方体.

而当方色固定的时候通过旋转就可以得到ac互换的正方体.

从而只有三种不同的方案，也就是将面的中间分别染上红黄蓝三种颜色.

故选：A

5.（2024•天津和平・二模）为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组

织同学从推荐的课外读物中进行选读.活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两

人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

【答案】A

【解析】根据题意，分2步进行分析：

首先选取1种相同课外读物的选法有仁=5种，

再选取另外两种课外读物需不同，则共有CC；=12种，

所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有5x12=60种.

故选：B.

6.（2024•江苏南通•模拟预测）某志愿者小组有5人，从中选3人到A、8两个社区开展活动，其中1人到

A社区，则不同的选法有（）

A.12种B.24种C.30种D.60种

【答案】C

【解析】求不同选法种数需2步，先从5人中选1人去A社区，再从余下4人中选2人去B社区，

所以不同的选法有CK：=3。（种）.

故选：C

7.（2024•陕西铜川•模拟预测）小张同学喜欢吃4种不同品种的奶糖，她有5个不同颜色的塑料袋，每个

袋子中至少装1种奶糖.小张同学希望5个袋子中所装奶糖种类各不相同，且每一种奶糖在袋子中出现的

总次数均为2,那么不同的方案数为（）

A.3000B.3360C.1440D.1560

【答案】C

【解析】依次记四种奶糖为RY,X,Z,则每个字母出现2次，先分堆.

若是“8=4+1+1+1+1”，则其中的“4”必须是mxz,故有1种可能；

若是“8=3+2+1+1+1”，则考虑（鹏）（2※）监）件）恪），故有C：C；=12种可能；

若是“8=1+1+2+2+2”，则考虑（z）（x）（衣）（x※乂※※），故有c尔=12种可能,

所以不同的方案数为（l+12+12）.A：=3000种.

故选:A.

8.（2024•陕西西安•三模）方程孙=2160的非负整数解的组数为（）

A.40B.28C.22D.12

【答案】C

【解析】因为2160=24x33*5,所以2160的因数有5x4x2=40个，

故方程孙=2160的非负整数解的组数为40.

故选：A

9.（多选题）（2024•全国•模拟预测）将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列，记第z•项为“（=1,2,,7）,

则下列说法正确的是（）

A.右%=7,ax+a2+a3<a5+a6+an,则这样的数列共有360个

B.若该数列恰好先增后减，则这样的数列共有64个

C.若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有144个

D.右4>%>。3，V“4V。5，%>“6>%，则样的数列共有71个

【答案】CCD

【解析】对于A：由于1+2+3+4+5+6=21为奇数，根据对称性可知这样的数列有?=360个，

故A正确；

对于B：从2,3,4,5,6,7中选出1个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，

得到先减后增的数列有C：个；

从2,3,4,5,6,7中选出2个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，

得到先减后增的数列有C：个；

从2,3,4,5,6,7中选出3个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，

得到先减后增的数列有Ct个；

从2,3,4,5,6,7中选出4个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，

得到先减后增的数列有C：个；

从2,3,4,5,6,7中选出5个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，

得到先减后增的数列有C1个；

故满足条件的总个数为：爆+C；+C+C+C=62个，故B错误.

对于C：若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，

则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有A：.A；=144个，故C正确；

对于D：若%=1，则先从其余6个数中任选2个数作为4,%且4>%,有C；种方法，

剩余4个数中最大的为%,剩下的3个数任取2个作为。6,%且。6>%,有种方法，

则这样的数列有C^C；=45个，

若。3=2,则先从除去1之外的5个数中任选2个数作为4,%且4>出，有C；种方法，

剩余4个数中最大的为4，%=1，剩下的2个数任取1个作为4或%即可，有C；种方法，则这样的数

列有C；C；=20个，

若。3=3,则先从除去1、2之外的4个数中任选2个数作为％,%且卬>电，有C：种方法，

剩余4个数位置固定的一种排法，其中&=2,%=1,则这样的数列有C；=6个，

所以满足条件的这样的数列共有45+20+6=71个，故D正确；

故选：ACD.

10.（多选题）（2024•高二・山东德州•阶段练习）带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（）

A.全部投入4个不同的盒子里，共有4,种放法

B.放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有4种放法

C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有20种放法

D.全部投入3个不同的盒子里，没有空盒，共有140种不同的放法

【答案】CC

【解析】对于A：由分步计数原理，

五个球全部投入4个不同的盒子里共有45种放法，故A正确；

对于B：由排列数公式，

五个不同的球放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有C；A：=240种放法，故B错误；

对于C：将其中的4个球投入一个盒子里（另一个球不投入）共有C；C；=20种放法，故C正确；

对于D：全部投入3个不同的盒子里，没有空盒，

共有C；A；+安A；=150种不同的放法，故D错误.

故选：AC

11.（多选题）（2024.重庆•模拟预测）如图，16枚钉子钉成4x4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下

列说法正确的有（不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同）（）

A.可以围成20个不同的正方形

B.可以围成24个不同的长方形（邻边不相等）

C.可以围成516个不同的三角形

D.可以围成16个不同的等边三角形

【答案】CBC

【解析】不妨设两个钉子间的距离为1,

对于选项A,由图知，边长为1的正方形有3x3=9个，边长为2的正方形有2x2=4个，

边长为3的正方形有1个，边长为血的正方形有2x2=4个，边长为6的有2个，共有20个，所以选项

A正确，

对于选项B,由图知，宽为1的长方形有3x3=9个，宽为2的长方形有4x2=8个，

宽为3的长方形有5个，宽为血的有2个，共有24个，所以选项B正确，

对于选项C,由图知，可以围成C：6-10C：-4C；=516个不同的三角形，所以选项C正确，

对于选项D,由图可知，不存在等边三角形，所以选项D错误，

故选：ABC.

12.（多选题）（2024・高二.山东滨州.期末）某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A,B,C三家企业开

展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（）

A.所有不同分派方案共4?种

B.若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种

C.若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种

D.若C企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种

【答案】ACD

【解析】选项A：所有不同分派方案共¥种.判断错误；

选项B：若每家企业至少分派1名医生，

先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配.

则所有不同分派方案共里4尻

=36（种）.判断正确;

选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到A企业,

则A企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生,

则所有不同分派方案共C：C；C：A；+C：A；=12（种）.判断正确;

选项D：若C企业最多派1名医生，则C企业可以有1名医生和没有医生两种情况,

则不同分派方案共C；X2'+24=48（种）.判断正确.

故选：BCD

13.（2024.河南新乡.模拟预测）2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中

某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火

炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为.

【答案】10

【解析】最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是从乙、丙中选1人，从除甲、乙、丙之外的2

人中选1人组成，所以最后一棒的安排方案有：1+C1C；=5种；

安排最后一棒后，剩余两人安排在中间两棒，方案有：A；=2种,

由分步计数乘法原理，不同的传递方案种数为：5x2=10种.

故答案为：10

14.（2024•全国•模拟预测）二阶魔方是一个2x2x2的正方体，由8个角块组成，没有中心块和棱块，结构

相对简单.若空间中方向不同但状态相同（即通过整体旋转后相同）的情况只算一种，则任意二阶魔方共有一

种不同的状态.（提示：任选其中1个角块作为参考，则其余7块能自由排列，在这7块中，任意确定6块，

最后