2025年新高考数学一轮复习：两条直线的位置关系（八大题型）（讲义）（学生版+解析）

第02讲两条直线的位置关系

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：直线平行与垂直的判定..................................................4

知识点2：三种距离..............................................................4

解题方法总结...................................................................5

题型一：两直线位置关系的判定...................................................6

题型二：两直线的交点与距离问题.................................................8

题型三：有关距离的最值问题.....................................................9

题型四：点关于点对称..........................................................10

题型五：点关于线对称..........................................................11

题型六：线关于点对称..........................................................12

题型七：线关于线对称..........................................................12

题型八：直线系方程............................................................13

04真题练习•命题洞见............................................................14

05课本典例高考素材............................................................14

06易错分析•答题模板............................................................16

易错点：两平行直线间的距离公式应用错误........................................16

答题模板：已知两直线平行或垂直求参数..........................................17

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

高考对两条直线的位置关系的考查比较稳

（1）两条直线的平行与

2022年上海卷第7题，5分定，考查内容'频率、题型难度均变化不大，备

垂直

2020年III卷第8题，5分考时应熟练掌握两条直线的位置关系、距离公

（2）两直线的交点与距

2020年上海卷第7题，5分式'对称问题等，特别要重视两条直线的位置关

离问题

系以及点到直线的距离公式这两个考点.

复习目标：

（1）能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

（2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.

（3）掌握平面上两点间的距离公式'点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

老占突硒・力理悭宙

--------------H-H-u

知识

知识点1:直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示.

两直线方程平行垂直

《：4%+男丁+6=04g_44=0且

A4+B[B2-0

l2\A1x+B2y-\-C2=051c2—32clw0

Z.:y=k.x+b,-—一,

''（斜率存在）

l2,.y=k2x+b2冗二k?,bi或左1•左2=-1或与%2中有一个为

"（斜率不存在）X=X],X=X2，%1W%20,另一个不存在.

l2-x=x2

【诊断自测】(多选题)已知两条直线乙，4的方程分别为3x+4y+12=0与冰+8y-ll=0,下列结论正确

的是()

7

A.若/i〃4，则a=6B若〃4,则两条平行直线之间的距禺为了

32

C.若乙_LI,则Q=—D.若aw6,则直线乙，。一定相交

知识点2：三种距离

1、两点间的距离

平面上两点《(为,%),心(%,%)的距离公式为I4吕1=J(X-%产+(%-%I-

特别地，原点。(0,0)与任一点P(x,y)+/.

2、点到直线的距离

点心（无0,%）到直线/:Ac+劣+C=0的距离d=If%+a

VA2+B2

特别地，若直线为/：x=m,则点《(%,%)到/的距离2=|根-%|;若直线为/：y=n,则点«(%,%)到

/的距离d=|〃一%|

3、两条平行线间的距离

已知44是两条平行线，求4间距离的方法：

u）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.

（2）设/j：Ax+3y+G=0,/2：Ar+BY+C2=0，贝U4与/，之间的距离d=隼二^

yjA2+B2

注：两平行直线方程中，x,y前面对应系数要相等.

4,双根式

双根式土屈/+3+生型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性

求解.

【诊断自测】（多选题）已知点闻。,4）到直线/：如+k1=0的距离为3,则实数加等于（）

A.0B.-C.3D.2

4

解题方法总结

1、点关于点对称

点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点尸（X[,y）关于点。（尤0,%）的对称点为P\x2，必），则根

石+Z

据中点坐标公式，有02

可得对称点P'（x2，%）的坐标为（2%-玉，2%-%）

2、点关于直线对称

点尸（百，%）关于直线/:Ac+3y+C=0对称的点为P（无2，%），连接PP，交/于M点，贝1J/垂直平分

kj-kpp.——1

pp,,所以pp_U，且〃为pp中点，又因为加在直线/上，故可得.尤]+尤2X+必，解出

.2+B2+~

出，%）即可，

3、直线关于点对称

法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求

出直线方程；

法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.

4、直线关于直线对称

求直线Z,：ox+6y+c=0，关于直线6：公+ey+/=O（两直线不平行）的对称直线4

第一步：联立人6算出交点P（x0,%）

第二步：在4上任找一点（非交点）Q®,%），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点

。'（々，%）

第三步：利用两点式写出4方程

5、常见的一些特殊的对称

点（x,y）关于x轴的对称点为（x,-y）,关于y轴的对称点为（-x,y）.

点（尤，y）关于直线y=x的对称点为（y,无），关于直线y=-x的对称点为（-y,-龙）.

点（x,y）关于直线x=。的对称点为（2a-x,y）,关于直线y=。的对称点为（x,2b—y）•

点（尤，y）关于点（a,力）的对称点为（2a-x,2b—y）■

点（x,y）关于直线尤+y=上的对称点为（左-y,左-x）,关于直线尤-y=4的对称点为（左+y,x-k）-

6、过定点直线系

过已知点尸（X。，%）的直线系方程y-%=—x-x。）（4为参数）.

7、斜率为定值直线系

斜率为左的直线系方程y=Ax+Z?（6是参数）.

8、平行直线系

与己知直线Ax+By+C=O平行的直线系方程Ax+By+A=O（九为参数）.

9、垂直直线系

与已知直线Ac+8y+C=0垂直的直线系方程&-Ay+4=0（%为参数）.

10、过两直线交点的直线系

过直线4：4x+Ay+G=0与4：&x+B2y+C2=0的交点的直线系方程：

=

4了+4y+G+X（4x+B^y+C2）0（2为参数.

（题[甲J]

题型一：两直线位置关系的判定

【典例14】（湖北省“宜荆荆恩”2024届高三9月起点考试数学试题）已知两条直线

Zj:ax+4y—1=0,/,-x+ay+2=0,贝。"a=2”是“（〃夕’的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

21

【典例1-2］已知。＞0,b＞。,直线（a—l）%+y—1=0和x+2"+1=0垂直，则一+不的最小值为（）

ab

A.16B.8C.4D.2

【方法技巧】

【解题方法总结】

判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设

4：Ax+gy+G=0（A，耳不全为0），Z2：A,X+B2J+C2=0（4，与不全为0）,贝I」：

当4员-43尸0时，直线44相交；

当44=4用时，44直线平行或重合，代回检验；

当时，4,直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆.

【变式1-1】直线3x-C+2）y+左+5=0与直线近+（2左-3）y+2=0相交，则实数上的值为（）

A.上片1或左中9B.左片1或左片一9

C.左wl且左看9D.k^lS.k^-9

【变式1-2】点“外,％）,。伍,%）为直线依-y+2=o上不同的两点，则直线4：尤田-％〉=1与直线

：%x-y2y=1的位置关系是（）

A.相交B.平行C.重合D.不确定

【变式1-3］（2024•高三•广东•开学考试）已知直线4：一苏x+y-l=0,直线6：（2m—3）x+y-3=0,

贝U租=—3是乙〃4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【变式1-4］（2024•高三•上海宝山•开学考试）已知集合4={（苍＞）|尤+Q+2a=0},

2={（尤,曰麻+@-1=0},则下列结论正确的是（）

A.存在aeR,使得4=0

£_3

当〃=一时，Ar>B=

B.12，-2

C.当A5=0时，a=l

D.对任意的awR,都有

题型二：两直线的交点与距离问题

【典例2-1］(2024•高三•江苏苏州•开学考试)已知直线/|：x+y+C=0与直线4：—+为+。=。交于

CU),则原点到直线4距离的最大值为()

A.2B.JlC.也D.1

2

【典例2-2】若直线y=x+2左+1与直线y=一：》+2的交点在第一象限，则实数上的取值范围是(

)

5_J_2£

A.B.C.D.

2，-2552

【方法技巧】

两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构.

【变式2-1】已知点4(2,1),8(3,4),C(-2,-l),则ABC的面积为一.

【变式2-2】已知平面上点以3,3)和直线/:2y+3=。，点尸到直线/的距离为d,贝储=_.

【变式2-3］已知直线/：(m+1)尤-y-3m-2=0,则点到直线I的距离的最大值为.

【变式2-4］已知点A(-1,2),3(1,4),若直线/过点”(-2,-3),且A、8到直线/的距离相等，则直线/的

方程为-.

【变式2-514：x-y+3=O,与直线，2：2x+nzy-2=0平行，则直线4与4的距离为.

【变式2-6］若恰有两组的实数对(48)满足关系式片当犁=巨胃丝生=乙则符合题意的f的值

VA2+B2VA2+B-

为.

【变式2-7］(2024•全国•模拟预测)已知直线4：y=2x和仆＞=履+1与x轴围成的三角形是等腰三角形,

则人的取值不可能为()

A.-2B.--C.D.

322

题型三：有关距离的最值问题

【典例3-1】我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问

题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当/（尤）=-2x+10+-10X+29取得最小值时,

实数x的值为（）

【典例3-2］设/(x,y)="d+J+"(9+2)2+1+"(2-x)2+(y+3)2++(y+4)2,其中

-2<x<2,-4<y<0.^f(x,y)的最小值为()

A.8B.9C.6+拒D.4+3小

【方法技巧】

数学结合，利用距离的几何意义进行转化.

【变式3-1】已知a,b,c,d为四个实数，且。一6=-2,c-d=O,a+b=c+d,贝。

J/+S-4）2+J02+（d-5）2的最小值为（）

A.1-后B.—C.D.5

22

【变式3-2】己知（办〃）为直线x+y-l=O上的一点，则交川+川++2》+*的最小值为（）

A.晒B.2A/3C.4D.372

【变式3-31J10X2—6X+1+J10X2+4X+4的最小值为（）

A.3B.20C.迈D.

55

【变式3-4］已知实数%,尤2,%，%，满足x；+＞：=4,xl+yl=9,xtx2+yty2=0,则上+%—9|+民+%-9|

的最小值是—.

【变式3-5】已知点P,。分别在直线4：x+y+2=O与直线4：x+y-l=0上，且点4（一3,-3）,

5（3,0）,则|初+|尸。|+|。用的最小值为一.

【变式3-6］（多选题）已知两点4（-5,-1）,3（0,4）点P是直线/：y=2元-1上的动点，则下列结论中正确

的是（）

A.存在尸（1,1）使附+阀最小B.存在尸&,。］使向『+附2最小

C.存在P（5,9）使|R4|-|PB|最小D.存在P（O,-1）使||R4Hp邳最小

【变式3-7］（多选题）已知直线/：x-2y+8=。和三点4（2,0）,3（-2,-4）,C（2,5）,过点C的直线乙与x轴、

y轴的正半轴交于M,N两点.下列结论正确的是（）

A.P在直线/上，贝。|即+|「邳的最小值为4夜

B.直线/上一点尸（12,10）使归同-网|最大

LILIL111UULI

C.当|CM|•|CN|最小时/|的方程是无+y-7=0

UUUWUUU

D.当|OM||ON|最小时卜的方程是5元+y-15=0

【变式3-8】已知点M■（石,yl）在直线/］：y=x+2，点N（x2，y2）在直线/2：y=x上，且

Jx；+（%-5）2+£的最小值为（）

A逑B.虚C.V41-V2D.5

22

【变式3-9］过定点A的动直线x+分=。和过定点B的动直线区-k2左+1=0交于点M,则|出+|Affi|的

最大值是（）

A.2A/2B.3C.V10D.715

【变式3-10］已知x,V为实数，代数式Jx2+12x+40+Jd+y2+Jy2_8y+20的最小值是.

题型四：点关于点对称

【典例4-1】直线/经过点P（-4,6）,与x轴、y轴分别交于A,8两点，当P为A8中点时，|A5|=

【典例4-2］已知A（a,6）,8（-2,6）,点P（2,3）是线段AB的中点，则°+匕=_.

【方法技巧】

求点P&,%)关于点M(x0,y0)中心对称的点尸区,为)，由中点坐标公式得「=2%。一%

［%=2%-%

【变式4-1】已知点A在x轴上，点B在＞轴上，线段AB的中点加的坐标为(2,-1),则线段A2的长度

为.

【变式4-2】设点A在无轴上，点B在y轴上，A8的中点是。(2,-1),则|AB|等于

【变式4-3】已知直线1与直线4：y=l及直线小x+y-7=。分别交于点P,Q.若PQ的中点为点”(L-1),

则直线1的斜率为

【变式4-4］已知直线/与直线4：2x-y+2=0和4：x+y-4=0的交点分别为A,B,若点P(2,0)是线段

的中点，则直线AB的方程为一.

题型五：点关于线对称

【典例5-1】将一张坐标纸对折，如果点(0,〃。与点(m-2,2)(〃/2)重合，则点(-4,1)与点_重合.

【典例5-2】点(3,0)关于直线尤-y+3=0对称的点的坐标为()

A.(3,6)B.(6,-3)C.(-6,3)D.(-3,6)

【方法技巧】

求点PC%%)关于直线10对称的点P\x2,y2)

方法一：(一中一垂)，即线段尸产的中点M在对称轴上，若直线PP的斜率存在，则直线尸产的斜

率与对称轴10的斜率之积为一1,两个条件建立方程组解得点P(%,%)

方法二：先求经过点P&,%)且垂直于对称轴的直线(法线)10,然后由Q得线段PP的中

点从而得。一百

〔%=2%-%

【变式5-1］若直线乙h-2=(左-1卜和直线4关于直线＞=X+1对称，则直线4恒过定点()

A.(2,0)B.(1,-1)C.(1,1)D.(-2,0)

【变式5-2】一条光线从点尸(-1,5)射出，经直线x-3y+l=0反射后经过点(2,3),则反射光线所在直线的

方程为（）

A.2x—y—1=0B.%—2=0

C.3x-y-3=0D.4%-y-5=0

【变式5-3】在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4,点尸是边AB上异于A,5的一点，光从点尸出发

经ACBC反射后又回到点P,反射点为Q,R,若光线QR经过VABC的重心，贝ljAP=—.

题型六：线关于点对称

【典例6-1】直线/：2》+3〉+2=0关于点A（2,0）对称的直线方程为一.

【典例6-2】直线y=3x-4关于点尸（1,1）对称的直线方程为.

【方法技巧】

求直线/关于点中心对称的直线八

求解方法是：在已知直线/上取一点尸（士,%）关于点M（Xo，%）中心对称得P,（X2，%），再利用////,,由

点斜式方程求得直线，的方程（或者由//”,且点到直线I及I,的距离相等来求解）.

【变式6-1】直线/：2尸3k1=0关于点4（_1,-2）对称的直线厂的方程为—.

【变式6-2】直线。尤+〉+3。-1=0恒过定点M,贝IJ直线2x+3y-6=0关于用■点对称的直线方程为.

【变式6-3］在平面直角坐标系xOy中，将直线/沿无轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个

单位长度，得到直线//.再将直线。沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又

与直线/重合.若直线/与直线//关于点（2,3）对称，则直线/的方程是.

题型七：线关于线对称

【典例7-1】若直线/与直线x+y-l=0关于直线y=2对称，则直线/的一般式方程为.

【典例7-2】直线/与直线y=6x关于直线y=x+l对称，则直线/的倾斜角是.

【方法技巧】

求直线/关于直线/。对称的直线

若直线//4，则///，，且对称轴与直线/及r之间的距离相等.

22

止匕时分另IJ为Ax+By+C^O,Ax+By+CQ=O,Ax+By+C'=0(A+B^0),由

|C-C||C'-C|

00求得Cl从而得

若直线/与/。不平行，贝Ul0=Q.在直线/上取异于。的一点尸（石,弘）,然后求得尸（罚,%）关于直线

对称的点尸'（Z，%），再由Q,P'两点确定直线/'（其中/iZ0,l'=Q）.

【变式7-1】已知直线乙：尤7+3=0,直线/:x-y-l=0,若直线乙关于直线/的对称直线为4，则直线4

的方程为.

【变式7-2］若直线/与直线依+%+c=0（必＞0）的夹角平分线为＞=X，则直线/的方程为

【变式7-3】直线32x-y+l=。关于直线和x+y+2=0的对称直线方程为

【变式7-4】直线2x+y-5=0关于直线y=x+3的对称直线的方程为.

题型八：直线系方程

【典例8-1】过两直线2023%-2022》-1=0和2022*+2023，+1=0的交点且过原点的直线方程为一.

【典例8-2］经过点尸（L0）和两直线4"+2y-2=0；4：3x-2y+2=0交点的直线方程为.

【方法技巧】

利用直线系方程求解.

【变式8-1】已知两直线qx+6jT=0和。2工+姐-1=。的交点为P（L2）,则过Qi®，2）,也）两点的

直线方程为.

【变式8-2】设直线/经过2x-3y+2=0和3x-4y-2=0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直

线/的方程为.

【变式8-3］已知直线加的方程为（。+1）尤+皎-3。-1=0（。eR）,求坐标原点。到加的距离的最大值—.

3

1.（2021年全国新高考n卷数学试题）抛物线y2=2px（p>0）的焦点到直线y=x+l的距离为0,则P=

（）

A.1B.2C.20D.4

22

2.（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点（3,0）到双曲线亮-方=1的一条渐近线的距离为（）

3.（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标III））点（0,-1）到直线丁=笈（*+1）距离的最大值为

（）

A.1B.0C.73D.2

课本典例・高考素材W

1.己知点加（2,2）和N（5,-2）,点P在x轴上，且4WPN为直角，求点P的坐标.

2.已知四边形ABCO的四个顶点是A（2,2+2®）,B（-2,2）,C（O,2-20）,0（4,2）,求证：四边形

ABCD为矩形.

3.如图，已知直线4：x-2y+l=。与直线4：x-2y+4=0,在人上任取一点A,在4上任取一点8,连接

AB,取AB的靠近点A的三等分点C,过点C作4的平行线4,求乙与4间的距离.

4.三条直线办+2y+8=0,4x+3y=10与2x-y=10相交于一点，求a的值.

5.已知AO是VABC边BC的中线，用坐标法证明|AB「+|AC「=2（恒。「+依1》

6.已知Ovxvl,O<y<1.

(1)求证：yjx2+y2+^x2+(l-y)2+y](l-x)2+y2+yl(l-x)2+(l-y)2>272,并求使等式成立的条件.

(2)说明上述不等式的几何意义.

7.已知;I为任意实数，当力变化时，方程3%+4y-2+〃2%+y+2)=0表示什么图形？图形有何特点？

㈤6

〃居错分析±答题模板\\

易错点：两平行直线间的距离公式应用错误

易错分析：应用两平行直线间的距离公式一定要注意两平行直线的方程对应x,y的系数相等时，才

可利用两平行线间的距离公式求解.

【易错题1】ll：x-y+3=O,与直线4：2x+畋-2=0平行，则直线4与4的距离为.

【易错题2】两平行直线2x-y-l=0与4x-2y+3=。之间的距离为

答题模板：已知两直线平行或垂直求参数

1、模板解决思路

当需要通过两直线的平行或垂直关系来求解参数的值时，一般的做法是首先考察这两条直线的斜率。

如果两条直线平行，那么它们的斜率相等；如果两条直线垂直，那么它们的斜率之积为-1。

这里需要特别注意，当直线垂直于X轴时，斜率不存在，此时应单独考虑。

2、模板解决步骤

第一步：将两条直线的方程均化成斜截式.

第二步：根据两直线平行或垂直，列出方程（组）.

第三步：解方程（组），求出参数的值，由两直线平行求参数后要检验两直线是否重合.

【典型例题1】已知直线4:以—y—1=0,：6—2）y—1=0,若贝!.

71

【典型例题2】已知直线4：（，一4）x—3y+l=0和小3%—9+l）y+5=0垂直且〃>0乃>0,贝的最小

a2b

值为_.

第02讲两条直线的位置关系

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：直线平行与垂直的判定..................................................4

知识点2：三种距离..............................................................4

解题方法总结...................................................................5

题型一：两直线位置关系的判定...................................................6

题型二：两直线的交点与距离问题.................................................8

题型三：有关距离的最值问题.....................................................9

题型四：点关于点对称..........................................................10

题型五：点关于线对称..........................................................11

题型六：线关于点对称..........................................................12

题型七：线关于线对称..........................................................12

题型八：直线系方程............................................................13

04真题练习•命题洞见............................................................14

05课本典例高考素材............................................................14

06易错分析•答题模板............................................................16

易错点：两平行直线间的距离公式应用错误........................................16

答题模板：已知两直线平行或垂直求参数..........................................17

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考点要求考题统计考情分析

高考对两条直线的位置关系的考查比较稳

（1）两条直线的平行与

2022年上海卷第7题，5分定，考查内容'频率、题型难度均变化不大，备

垂直

2020年III卷第8题，5分考时应熟练掌握两条直线的位置关系、距离公

（2）两直线的交点与距

2020年上海卷第7题，5分式'对称问题等，特别要重视两条直线的位置关

离问题

系以及点到直线的距离公式这两个考点.

复习目标：

（1）能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

（2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.

（3）掌握平面上两点间的距离公式'点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

考点突破■题型探究

知识固本

知识点1:直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示.

两直线方程平行垂直

4:4%+4)+G=o—44=。且

44+BXB2=o

l2-.\x+B2y+C2=04G-。。

4：尸勺+伪（斜率存在）

4：y=k2x+b2k[=6,4w伪或发出=-1或匕与心中有一个为

L:x=x,X=X,X=X,XW%2另一个不存在.

:L（斜率不存在）1210,

l2:x-x2

【诊断自测】（多选题）已知两条直线4，的方程分别为3x+4y+12=0与双+8y-ll=0,下列结论正确

的是（）

7

A.若W〃2,则。=6B.若则两条平行直线之间的距离为了

4

32

C.若/i，4，贝！D.若则直线4，4一定相交

【答案】AD

【解析】两条直线4,4的方程分别为聂+分+12=0与仪+8y-11=0,它们不重合，

若/"〃2，则4a=3x8,得〃=6,检验符合，故A选项正确；

若由A选项可知，4：6x+8y—11=0,直线乙的方程可化为6x+8y+24=0,

故两条平行直线之间的距离为上当翼=：,故B选项不正确；

V36+642

32

若4_L4,则3a+4x8=O,得。=-7，故C选项不正确；

由A选项知，当。=6时，IJH2,所以若4*6,则直线4，&一定相交，故D选项正确.

故选：AD.

知识点2：三种距离

1、两点间的距离

平面上两点勺（玉,％）,£0：2，%）的距离公式为I片61=-％）2+（y-%产.

特别地，原点。（0,0）与任一点P（无，y）的距离|OP|=JO+y2.

2、点到直线的距离

点用Q。,%）到直线/:Ax+5y+C=0的距离dJ4"。；也十0!

VA2+B2

特别地，若直线为/：x=m,则点弓（%,为）到/的距离”=|相-/|；若直线为/：y=",则点/（%,%）到

/的距离d=|w-%|

3、两条平行线间的距离

己知人/2是两条平行线，求4工间距离的方法：

（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.

(2)设4:Ax+By+Q=0,/2:Ax+By+C2=0,则乙与I,之间的距离d=尸YI

A/A2+B2

注：两平行直线方程中，x,y前面对应系数要相等.

4、双根式

双根式f（x）Zeg+q±*4+3+4型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性

求解.

【诊断自测】（多选题）已知点M（l,4）到直线Gm+y-1=0的距离为3,则实数优等于（）

A.0B.一C.3D.2

4

【答案】AB

|;72+4-1|、3

【解析】依题意=3,即4加2-3加=0,解得加=0或根=；.

ylrn2+1

故选：AB.

解题方法总结

1＞点关于点对称

点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点尸（为，乂）关于点Q（x0,%）的对称点为P5，/），则根

据中点坐标公式，有。

可得对称点P,(x2,%)的坐标为(2x0-x1,2%-%)

2、点关于直线对称

点尸(占，%)关于直线/:Ac+By+C=O对称的点为尸，(三，/)，连接pp,交/于/点，则/垂直平分

k(♦kpp,=—1

pp'，所以尸pj_/,且w为尸p中点，又因为拉在直线/上，故可得，x+xv+v,解出

I22

(电，%)即可•

3、直线关于点对称

法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求

出直线方程；

法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.

4、直线关于直线对称

求直线4：++C=0,关于直线/,：公+0+/=0(两直线不平行)的对称直线《

第一步：联立4,乙算出交点P(x。，为)

第二步：在4上任找一点(非交点)Q(x/x)，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点

Q'(z，%)

第三步：利用两点式写出A方程

5、常见的一些特殊的对称

点(X,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于V轴的对称点为(-x,j).

点(x,y)关于直线、=工的对称点为(y,x),关于直线、=-戈的对称点为(_y,-x).

点(x,y)关于直线x=。的对称点为(2a-x,y),关于直线y=6的对称点为(x,2b-y)-

点(x,y)关于点(a,6)的对称点为(2a—x,2b—y)•

点(x,y)关于直线x+y=上的对称点为(左-y,k-x),关于直线x-y=上的对称点为(左+y,x-左).

6、过定点直线系

过已知点尸(%,%)的直线系方程y-%=A(x-/)(左为参数).

7、斜率为定值直线系

斜率为K的直线系方程y=丘+匕(Z?是参数).

8、平行直线系

与已知直线Av+gv+C=0平行的直线系方程Ar+3y+/l=0(2为参数).

9、垂直直线系

与已知直线Ar+3y+C=0垂直的直线系方程&-Ay+2=0(2为参数).

10、过两直线交点的直线系

过直线4：4x+4y+G=0与4：4》+32、+。2=。的交点的直线系方程：

^x+Bty+Cr+A,{A2X+B2y+C2)=0(2为参数).

题型洞察

题型一：两直线位置关系的判定

【典例1-1】(湖北省“宜荆荆恩”2024届高三9月起点考试数学试题)已知两条直线

/j:ax+4y-1=0,12:x+ay+2=0f贝!J"a=2”是“〃儿”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当"4时，?a=4-1则。=±2,

1a2

所以“a=2”是“/他”的充分不必要条件.

故选：A

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【典例1-2】已知a>0,b>0,直线(a-l)x+y-l=0和x+2by+l=0垂直，则一+7的最小值为()