2025年中考数学考前突破复习：压轴题汇编（含解析）

2025年中考数学考前突破复习：压轴题精选汇编

温馨提示：

1.本卷共48题，题目均选自2024年广东省各地市二模真题。

2.本卷解答题留有足够答题空间，试题部分可直接打印出来练习。

3,本卷难度较大，适合基础较好的同学。

第一部分代数函数

1.（2024.广东省中山市.二模）若y与久的函数y=（m-l）x2+（m+l）x-zn的图象与坐标轴只有两个交点,

则满足条件的根的值有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2024•广东省佛山市•二模）若实数6,c满足c-b+2=0,则关于x的方程/+匕刀+c=0根的情况是（）

A.有两个相等实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D,无法确定

3.（2024•广东省广州市番禺区•二模）如图，在平面直角坐标系中，点4、B在函数y=g（k〉0,尤>0）的图象

上，分别以AB为圆心，1为半径作圆，当。4与y轴相切、OB与x轴相切时，连接AB,AB=3^2,贝果的

值为（）

A.3B.3<2C.4D.6

4.（2024.广东省广州市.二模）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标

出相关数据（单位：机）,有下列结论：

①4B=24m；

②池底所在抛物线的解析式为y=-5；

③池塘最深处到水面CD的距离为1.8小；

④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的

4

其中结论正确的个数有（）

5.（2024.广东省深圳市.二模）如图，直线y=-x+a与反比例函数y=|（x>0）只有唯一的公共点4,与反比

例函数y=>0）交于点C,与久轴交于点B,如果AB=2BC,则k的值为.

6.（2024•广东省东莞市•二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形CMBC的顶点4在第一象限，顶点C在第

二象限，顶点8在抛物线丫=（1久2（£1>0）的图象上,若正方形。45（7的边长为2，1,0C与轴的正半轴的夹角为

15。，贝b的值为.

7.（2024•广东省惠州市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，AAOB的边0B在y轴上，边力B与无轴交于点C,

且BC=24C,反比例函数y=g（kK0）的图象经过点4,若SMBC=8,贝必=.

8.(2024.广东省中山市.二模汝口图，反比例函数y=:(久〉0)的图象与矩形力BCO的边4B交于点G,与边BC交

orr\

于点。，过点4,。作。交直线y=kx(k<0)于点E,F,若。E=OF,BG=却4则器的值为;

四边形2DEF的面积为.

9.(2024•广东省汕头市•二模)如图，在平面直角坐标系中，4(6,0),B(2,2),反比例函数y=(。>0)的

图象经过点B.

(1)求反比例函数的表达式.

(2)将AO/IB绕点B逆时针旋转得到AON'B,点。'恰好落在。4上，请求出图中阴影部分的面积.

10.(2024•广东省佛山市.二模)如图，抛物线y^x2+bx+c与直线y=kx+m相交于点4(0,-4),8(5,6),

直线AB与x轴相交于点C.

(1)求抛物线与直线的表达式；

(2)点。是抛物线在直线下方部分的一个动点，过点。作DE〃x轴交4B于点E,过点。作DF〃y轴交4B于

点F,求DF—DE的最大值.

11.(2024•广东省广州市•二模)已知抛物线y=x2-(m+l)x+m(m<0).

(1)当m=0时，求抛物线与x轴的交点坐标；

(2)若抛物线与x轴有两个不同的交点力、B(点2在点B的左侧)，与y轴交于点C,过点C作直线〃/久轴，点E是

直线I上的一动点，点尸是y轴上的一动点，且EF=2，W

①当点E落在抛物线上(不与点C重合)，且力E=E9时，求小的值；

②取EF的中点M,是否存在力M的最小值为苧？若存在，求出此时小的值，若不存在，请说明理由.

12.(2024•广东省广州市.二模)在平面直角坐标系中，设直线I的解析式为:y=kx+为常数且k丰0),

当直线/与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线/与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”.

(1)求直线Ay=—久+6与双曲线y=：的切点坐标；

(2)已知一次函数yi=2久，二次函数为=/+1，是否存在二次函数%=a/+6%+c,其图象经过点

4(一3,2),使得直线%=2x与%=，+1,%=a/+匕久+c都相切于同一点？若存在，求出的解析式;

若不存在，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，抛物线内的顶点坐标为B，点P为y轴上一点在平面内存在点M,使NAMB=2乙4PB,

且这样的点P有且只有一个，则点P的坐标为

13.(2024•广东省汕头市.二模)如图在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2(a丰0)与无轴交于点

4(-4,0)和点8(点4在点8的左侧)，与y轴交于点C,经过点4的直线与抛物线交于点。(-1,3),与y轴交于点

E.

(1)求抛物线的表达式和顶点P的坐标；

(2)点尸是久轴下方抛物线上的一个动点，使ATIDF的面积为:，求点F的坐标.

(3)点M是线段上一动点，点N是线段4E上一动点，且AM=EN,请直接写出EM+ON的最小值为.

备用图

14.(2024•广东省深圳市.二模)综合与应用

如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分.建立如图2所示的

平面直角坐标系久。y,运动员从点4(0,10)起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y(m)与水平距

离》(小)满足二次函数的关系.

(1)在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表：

水平距离双山)011.5

竖直高度y(m)10106.25

根据上述数据，求出y关于久的关系式；

(2)在(1)的这次训练中，求运动员甲从起点4到入水点的水平距离。。的长；

(3)信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为做小)，从到达到最高点B开始计时，则他到水面

的距离h(m)与时间t(s)之间满足h=-5t2+k.

信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270c动作.

问题解决：

①请通过计算说明，在(1)的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？

②运动员甲进行第二次跳水训练,此时他的竖直高度y(m)与水平距离光(爪)的关系为y=ax2-ax+10(a<

0),若选手在达到最高点后要顺利完成270c动作，则a的取值范围是.

图1图2

15.（2024.广东省惠州市.二模）根据以下素材，探索完成任务.

如何制作简易风筝？

素图1是简易“筝形”风筝的结构图，现以两条线段4C,8。作为骨架，4C1

k

材垂直平分BD且力C>BD,并按A。：OC=3：5的比例固定骨架，骨架

14c与BD共消耗竹条60cm,四边形4BCD的面积为400cW.

\

考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离.如

素图2,现BD以上部分的蒙面设计为抛物线形状，过距离4B,D三点、

材分别为5cm,2cm,2czn的E,F,G三点绘制抛物线（建立如图的直角(■»

2坐标系）.BD以下部分的蒙面设计为AFGH,点H在。C延长线上且FH/口R1

/BC.

E

V

素/.

从一张长方形纸片中裁剪无拼接的风筝蒙面（包括8。以上抛物线部分

材

及BD以下三角形部分），长方形各边均与骨架平行（或垂直）.

3

'H

R2

问题解决

任

务确定骨架长度求骨架AC和8。的长度.

1

任

务确定蒙面形状求抛物线的函数表达式.

2

任

至少选择面积为多少的长

务选择纸张大小

方形纸片？

3

16.(2024•广东省广州市.二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+<:与乂轴交于4(一1,0)、B(A在B

的左边)，与y轴交于C,且。B=404.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,直线y=x交抛物线于D、E两点，点F在抛物线上，且在直线。E下方，若以尸为圆心作OF,当OF

与直线DE相切时，求O尸最大半径r及此时F坐标；

(3)如图2,M是抛物线上一点，连接交y轴于G,作4M关于久轴对称的直线交抛物线于N,连接4V、MN,

点K是MN的中点，若G、K的纵坐标分别是t、九求t,n的数量关系.

图2

图1

17.(2024•广东省东莞市二模)如图，抛物线的：y=-x2-2x+3与％轴相交于4,B两点(点力在点B的左侧),

与y轴相交于点C,连接4c.

(1)直接写出直线AC的解析式；

(2)如图1,。在第二象限内抛物线G上，BD交AC于点E,连接BC.若寰|=2，求点。的坐标；

(3)如图2,将抛物线C向右平移2个单位长度，得到抛物线。2，过抛物线。2的顶点M作MN1%轴，垂足为点

N,过线段MN上的点H的直线与抛物线交于K，L两点，直线MK,ML分别交x轴交于P,Q两点，若NP-NQ=

16,求点”的坐标.

图1图2

18.(2024•广东省中山市•二模)如图，抛物线y=/+法+c与无轴分别交于4B两点(点力在点B的左侧)，与

y轴交于点C,且。B=OC=304.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)如图1,点。是该抛物线的顶点，点P(m,n)是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP,

当NPB4=24CB。时，求m的值；

(3)如图2,NB4C的角平分线交y轴于点M,过M点的直线/与射线力B,4C分别于E,F,已知当直线I绕点M旋

19.(2024•广东省揭阳市.二模)综合与探究：

如图1,抛物线y=a/与久轴相交于a©,0),B4,0)两点，与y轴交于点C,连接BC,抛物线顶点

4LL

为点M.

(1)求抛物线解析式及点M的坐标；

(2)平移直线BC得直线y=mx+n.

①如图2,若直线y久+n过点M,交x轴于点D,在无轴上取点0),连接EM,求ZDME的度数.

②把抛物线y=ax2+bx+:在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象(如图3中的“小”形曲线).当直线y=

mx+n与新图象有两个公共点时，请直接写出ri的取值范围.

第二部分几何函数

20.（2024•广东省中山市.二模）如图，在正方形2BCD中，2B=2，而，。是中点，点E是正方形内一动点,

OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90。得DF,连接2E,CF,则线段OF长的最小值为（）

A.8B.2710-2C,2710+2D./10+2

21.（2024•广东省广州市.二模）如图，点P是边长为6的等边△4BC内部■动点,连接8P,CP,HP,满足Nl=Z2,

。为4P的中点，过点P作PEL4C,垂足为E,连接DE,则DE长的最小值为（）

A.2B.|73C.3D./3

22.（2024•广东省深圳市•二模）如图，在四边形力CD8中，AB//CD,AC=AD,P是线段北上一点（不与点4、

。重合），ZC=/.PDB=60°,连接BP,交4。于点Q,则DQ：BP的最小值是（）

A.2AA3B.AA3C.苧D.苧

23.（2024•广东省深圳市•二模）如图，在菱形ABC。中，NABC=60。,E是对角线4C上一点，连接BE,作NBEF=

120°,交CD边于点尸,若喘=最则警的值为（）

D

竽45

B<130

A.3-4-

24.（2024•厂东省广州市•二模）如图，在△ABC中，AB=AC,^BAC=90°,直角NEPF的顶点P是BC的中点,

两边PE、P尸分另（］交AB、居于点E、F,当NEPF在△ABC内绕点P旋转时，下列结论错误的是（）

A.AE=CFB.^EPF为等腰直角三角形

C.EP=APD-2s四边形AEPF=S^ABC

25.（2024•广东省东莞市.二模）如图，在正方形ABCD中，点G是上一点，且襄=：,连接DG交对角线4C于

D（JZ

F点，过。点作DE1DG交C4的延长线于点E,若4E=3,则DF的长为（）

E

A,272B.竽D昔

26.（2024•广东省广州市.二模）如图，在正方形4BCD中，E是边8C上一点，F是CD延长线上一点，连接EF交

对角线BD于点G,连接4G,若BE=DF,4CEF=a,贝IJNAGB=()

C.a+15°D.135°-a

27.（2024•广东省广州市番禺区•二模）如图，在RtAZBC中,ZC=90°,BC<AC点D,E分别在边⑷?,BC上,

连接。E,将ABOE沿。E折叠，点B的对应点为点次，若点B'刚好落在边4C上，NCB'E=30。，CE=3,贝加。

的长为.

28.（2024•广东省广州市.二模）如图，正方形4BCD边长为3,点E在边4B上，以E为旋转中心，将EC逆时针旋

1

转90。得到EF,力。与FE交于P点，若tan/BCE=/贝的值为.

29.（2024•广东省汕头市•二模）如图，aABC是等边三角形，。是AC边的中点，延长BC至点E,使CE=CD.连

接DE.小夏在该图上的作法如下：①在DB和DE上分别截取DM,DN.使DM=DN；②分别以点M、N为圆心，

以大于的长为半径画弧，两弧在48DE内交于点P；③作射线DP.则NCDP的度数为.

30.（2024•广东省汕头市.二模）如图，在菱形ABCD中，过点4作4G1CD于点G,过点G作8c的平行线EF,连

接力E、DF,EF=AB,四边形4EFD的面积为48,若4G=6,贝UCG的长为.

31.（2024•广东省惠州市.二模）如图，正方形48CD的边长为4,点E在边BC上，且BE=1,尸为对角线BD上

一动点，连接CF,EF,贝UCF+EF的最小值为.

32.（2024•广东省广州市.二模）学习新知：如图1、图2,P是矩形2BCD所在平面内任意一点，则有以下重要

结论：力P2+CP2=BP2+DP2.该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明.

应用新知：如图3,在A4BC中，CA=4,CB=6,。是A4BC内一点，且CD=2,AADB=90°,则4B的

最小值为.

33.（2024•广东省东莞市•二模）如图，矩形48CD中，48=6,AD=8,点P在对角线上，过点P作MN1BD,

交边4D,BC于点M,N,过点M作ME12。交BD于点E,连接EN,BM,DN.下列结论：

①EM=EN;

②四边形MBN。的面积不变；

③当AMMD=1：2时，SAMPE=1|；

@BM+MN+ND的最小值是20.

其中所有正确结论的序号是.

34.（2024•广东省揭阳市.二模）如图，正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在边8C,CD上，4E平分NH4C,

连接BF,分别交4E,AC于点G,H,且力E=BF.有下列四个结论：①4E垂直平分BH；②若点P是边上

的一个动点，贝UP”+PC的最小值为40；③GH2=AG-EG；④S-BH=6，！,其中正确的有.

35.（2024•广东省广州市二模）如图，。。是△力BC的外接圆，AB=AC,CD14B于点D,B。的延长线交CD

于点E.

(I)ZOCBNDBE(填“>,(或=”)；

(2)若BC=4^，BE=4,贝!JOE=

36.(2024•广东省深圳市.二模)如图，力B是O。的直径，弦CD12B于点E,点P在上，NPBC=".

(1)求证：CB”PD；

(2)若BC=12,BE=8,求。。的半径.

37.(2024•广东省中山市•二模)如图，在△力BC中，AB=BC,2B为。。的直径，2C与。。相交于点D,过点

。作DE1BC于点E,CB延长线交。。于点用

(1)求证：DE为。。的切线;

(2)若BE=LBF=2,求力。的长.

n

'E

A

O

38.(2024广东省梅州市.二模)综合与实践

不借助科学计算器，如何求tcm22.5。的值？小明进行了如下的实践操作：

如图，已知正方形纸片4BCD.

第一步：将正方形纸片4BCD沿4c折叠，展开后得到折痕力C.

第二步：将48折叠到2F,使点B的对应点尸恰好落在2C上，展开后得到折痕4E,点E在线段BC上，连接EF.

问题解决：

(1)求证：乙BAE=22.5°；

(2)请利用小明的实践操作过程，求tcm22.5。的值.

39.(2024•广东省广州市•二模)如图1,在RtA4CB中，乙ACB=90°,AB=10,BC=6,点。、F分别是边力C、

BC上的动点，过点。作力B的垂线，垂足为E,连接FD,FE.设C、。两点之间的距离为x,C、F两点之间的

距离为外

(2)如图2,以FD,FE为邻边作口FDGE,当％=3时，是否存在y,使得口FDGE的顶点G恰好落在△ABC的边

±?若存在，请求出y的值，若不存在，请说明理由.

40.(2024•广东省广州市.二模)如图1,已知正方形4BCD的边长为1,点P是4。边上的一个动点，点4关于直

线BP的对称点是点Q,连接PQ、DQ、CQ、BQ,设4P=久.

(1)8Q+DQ的最小值是；此时光的值是.

(2)如图2,若PQ的延长线交CD边于点E,并且NCQD=90。.

①求证：点E是CD的中点；②求x的值.

(3)如图2,若PQ的延长线交CD边于点E,求线段PE的最小值.

41.(2024•广东省中山市.二模)如图①，直线PQ同侧有两点M,N,点T在直线PQ上，若乙MTP=LNTQ,则

称点T为M,N在直线PQ上的投射点.

(1)如图②，在中，ZB=60°,。为斜边4B的中点，E为4c的中点.求证：点。为C,E在直线48上

的投射点；

(2)如图③，在正方形网格中，已知点4B,C三点均在格点上，请仅用没有刻度的直尺在AC上画出点P,

在BC上画出点Q,使4,P在BC上的投射点Q满足CQ=2BQ；

(3)如图④，在ABC中，ZC=90°,AC=BC,在28,BC边上是否分别存在点。，E,使点。为E,C在

48上的投射点，点E为4。在BC上的投射点？若存在，求出段的值；若不存在，请说明理由.

CU

\TZ0ADB

（图①）（图②）

_________

/

_B__C

BC

（图③）(图

42.(2024•广东省广州市二模)如图，为。。的直径，。4=3,点M在直线4B的下方且将Q平分，动点P在

。。上且位于直线4B上方，连接。P,作点4关于直线。P的对称点4,连接OA.

备用图备用图

(1)当4与点B重合时，则N40P=

(2)当P414B时，求44'的长度;

(3)aaBM能否等腰三角形？如果能，求出此时44'的长度；如果不能，请说明理由.

43.（2024•广东省佛山市.二模）综合探究

已知点E是边长为2的正方形力BCD内部一个动点,始终保持NAED=90°.

【深入探究】（2）如图，连接CE并延长交边4D于点M.当点M是4。的中点时，求器的值;

【延伸探究】（3）如图，连接BE并延长交边CD于点G.当DG取得最大值时，求器的值.

44.(2024•广东省揭阳市.二模)如图，在口力BCD中，连接BD,以DF为直径的半圆0,从。尸与共线开始绕

点。逆时针旋转，直线DF与DC第一次重合时，停止运动，点K是半圆。的中点，连接DK,当DF,DK与线

段48有交点时，设交点分别为点P和点Q,已知4B=DF=8,/BAD=45。，AD=BD.

(1)求NFDK的度数；

(2)当点Q在2B上时，设4Q=比，BP=y,请求出y与x的关系式;

(3)当。尸与。B重合时，求半圆。与DC所围成的弓形的面积.

45.(2024•广东省汕头市潮南区.二模)如图1,。。的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=8,DE=2.

图1图2图3

(1)求2B的长.

(2)探究拓展：如图2,连接4C,点G是前上一动点，连接4G,延长CG交2B的延长线于点F.

①当点G是废的中点时，求证：^GAF=ZF；

②如图3,连接DF,BG,当△COF为等腰三角形时，请计算BG的长.

46.(2024.广东省广州市.二模)【问题提出】

(1)如图1,在边长为6的等边A/IBC中，点。在边BC上，CD=2,连接AD,则的面积为；

【问题探究】

(2)如图2,已知在边长为6的正方形4BCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且NE4F=45。，若EF=5,

求AAEF的面积；

【问题解决】

(3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在AB=4米，4D=4门米的矩形ABCD区域内开

挖一个△力EF的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上(不与点B、C、。重合)，且NE4F=60。，为了减少

对该路段的交通拥堵影响，要求AAEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的AAEF?若存在，请求出△

4EF面积的最小值；若不存在，请说明理由.

47.(2024•广东省惠州市.二模)综合探究

【问题情境】几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径.解决几何综合探究问题，往往需

要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法.

【初步探究】

(1)如图1,将△ABC绕点4逆时针旋转90。得到AADE,连接CE,DB,根据条件填空：

①乙4CE的度数为;

②若CE=2,贝UC4的长为；

【类比探究】

(2)如图2,在正方形4BCD中，点E在边BC上，点尸在边CD上，且满足NE4F=45。，BE=1,DF=2,求

正方形4BCD的边长；

【拓展延伸】

(3)如图3,在四边形4BCD中，CD=CB,4BAD+乙BCD=9。°,AC,8。为对角线，且满足4C=|c。，

若4。=3,AB=4,请求出的长.

图1图2图3

48.(2024•广东省东莞市.二模)【教材呈现】

人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1,4BCD是一个正方形花园，E,F是它的两个门，且

DE=CF,要修建两条路BE和4F，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？(此问题不需要作答)

九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题

又进行了拓展探索，内容如下：

【类比分析】

⑴如图2,在矩形4BCD中，点E是4。上一点，连接BE,过点2作BE的垂线交CD于点凡垂足为点G,若4AB=

3AD,BE=6,求力F的长.

【迁移探究】

(2)如图3,在RtAABC中，ABAC=90°,ABAC,点。是4C上一点，连接BD,作2E1交BC于点E,

「、丁ABBE

求证：诟=出

【拓展应用】

(3)如图4,在RtAABC中，ZSXC=90°,AB=2,AC=4,作点4关于BC的对称点D,点E为上一点,

连接CE,过点D作CE的垂线，交力C于F,垂足为G,若E为中点，则DF=

图1图2图3图4

参考答案

1.【答案】B

【解析】解：当m-l=O,即??i=l.时，函数为y=2%-1,与坐标轴只有两个交点，

当时，当图象经过原点时，图象与坐标轴只有两个交点，此时爪=0,

故符合题意的小的值有2个.

故选:B.

直接利用函数与x轴交点个数的性质进而分析得出答案.

此题主要考查了二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，正确把握相关性质是解题关键.

2.【答案】B

【解析】解：•••实数b,c满足c—b+2=0,

■■■c=b—2,

A=b2—4c—b2—4(6—2)

=(b—2)2+4>0,

•••方程有两个不相等的实数根，

故选:B.

根据条件得到c=b-2,根据判别式求根的情况即可判断.

本题考查了根的判别式，掌握当/>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当/=0时，方程有两个相等

的实数根；当/<0时，方程无实数根是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解:由题意,得4(l,k),1).

•••AB=3AA2,

.•.有两点距离公式可得：2(k—1)2=18.

(k-=9.

k=-2或4.

又k>0,

•••k=4.

故选：C.

依据题意，可得2(1,k),再由力B=从而2(卜一1)2=18,进而得解.

本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，解题时需要熟练掌握并理解.

4.【答案】B

【解析】解：①观察图形可知，AB=30m,

故①错误；

②设池底所在抛物线的解析式为y=a/一5,

将(15,0)代入，可得a=2，

故抛物线的解析式为y=白/_5；

故②正确；

③5,

.,.当％=12时，y=—1.8,

故池塘最深处到水面CD的距离为5-1.8=3.2(m),

故③错误；

④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为12zn时，

将x=6代入y=^x2-5,得y=-4.2,

可知此时最深处到水面的距离为5-4.2=0.8(m),

即为原来的

故④正确.

故选：B.

根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为y=a/-5,再把(15,0)代入解析式求出a即可判断

②；把久=12代入解析式求出y=-1.8,再用5-1.8即可判断③；把x=6代入解析式即可判断④.

本题考查抛物线的实际应用，体现了数学建模、数学抽象、数学运算素养.

5.【答案】-5

(y=—X+a

【解析】解：联立方程组得4,整理得/-以+4=0,

,•,只有一个交点，

ZJ=a2-16=0,

a=±4,舍去负值，

a—4.

此时交点2(2,2),

一次函数解析式为y=—％+4,当y=0时，x-4,

.•・线段8。的中点。坐标为(3,1)，

BD=BC,

4=苧，々=5,

0=yc=-1，

C(5,-l),

C(5,-1)在反比例函数y=(图象上，

k——5.

故答案为：-5.

联立方程组根据只有一个交点求出a值得到交点坐标4(2,2),根据直线解析式求出B点坐标，依据中点坐标

公式分别求出点。和点C坐标，即可得到k值.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出点C坐标是关键.

6.【答案】?

【解析】解：如图，连接08,作BDly轴于。，贝此C0B=45°,

由题意知，（COD=15°,0A=AB=2<2,

・••乙BOD=30°,

由正方形的性质、勾股定理可得。8=OA2+AB2=4,

•・•乙ODB=90°,

1__________

•••BD=aOB=2,OD=yjOB2-BD2=2<3>

5(2,2AA3),

将B(2,2C)代入y=a/得，2c=ax4,

解得，a=苧，

故答案为：苧.

如图，连接OB,作BD1)/轴于£»,贝亚。。3=45°,由题意知，NCOD=15°,OA=AB=可得NBOD=30°,

由正方形的性质、勾股定理可得。8=4,由NODB=90°,可得BD=1oB=2,。。=OB2-BD2=20，

即B(2,2，W),将8(2,2，耳)代入y=a/得，2C=ax4,计算求解即可.

本题考查了正方形的性质，勾股定理，含30。的直角三角形，二次函数解析式等知识.熟练掌握正方形的性

质，勾股定理，含30。的直角三角形，二次函数解析式是解题的关键.

7.【答案】-12

【解析】解：如图，作4D1久轴于点D,

•・,4D〃y轴,

ADC^ABOC,

.S>ADC__1

■SkBOC-（前）-1，

••・S^OBC=8，

S^ADC=2,

•••BC=2AC,

1

^LAOC~2^LB0C~4，

•*,S^ADO=4+2=6

\k\=2s△ADC~12，

・・・反比例函数图象上在第二象限，

k=-12.

故答案为：—12.

作4。1x轴于点。，可得三角形相似得到^^=(%2=1求出S-DC=2,利用BC=24C可求出SAAOC=

DAOC/LOL4

3sABOC=4,继而求出S-QO=4+2=6根据k值几何意义得到k值即可.

本题考查了反比例函数k值几何意义，熟练掌握反比例函数k值几何意义是关键.

8.【答案】|15

【解析】解：延长。E交支轴于K,作DH1。2于H,

设G(a,§,则。4=a,AG

3

•・•BG=9，

9

・・.BG=

a

・•.DH=AB=AG+BG=—,

a

15nr6a

%,=£时，和=1r

CO=MBD=BC-CD=a-^=驾

151515

.CD_6a_2

•,丽一布=1

•・•DE//AF.

:.乙EKO=/.FAO,

在aOEK^W^。凡4中，

ZEKO=4FAO

(EOK=Z.FOA,

OE=OF

OEK^A。凡4(44S),

•••OK=OA=a,

・•.AK=2a,

1115

,e*S四边形ADEF=S四边形4OEO+S^KEO=Sl^ADK=DH=-x2ax-=15.

故答案为：I，15.

延长DE交式轴于K,作DH104于H,证得AOEK也△。凡4,即可证得S四边形加酊=S四边形幺加。+S^KEO

S-DK，设G(a,9，用。表示CD和DB可得比值，根据三角形面积公式即可求得・

本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，矩形的性质，三角形面积公式，证得S四边形AOEF=

S四边形ZOEO+S^KEO=S—OK是解题的关键.

9.【答案】解：(1)•・•反比例函数y=9%>0)的图象经过点8(2,2),

2=5，解得々=4,

4

(2)过点B作BC1x轴交久轴于点C,

•.・将△。48绕点B逆时针旋转得到小O'4'B,点。'恰好落在。4上,

NOB。'=^ABA'=90°,

OB=O'B=V22+22=2<2,

A00'=VOB2+O'B2=4,

•••4(6,0),

OA=4,

・•.O'A=OA-00'=2,

•••S—BO,=-BC=-x2x2=2,

•・•4(6,0),8(2,2),

・•.AB=J(6—2产+(0—2尸=275,

.e_90。兀X(2g2_

“》扇形4B4一旃—3兀，

;阴影部分的面积=SAAB。，+S扇形4B4=2+5兀.

【解析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)过点B作8C1X轴交x轴于点C,首先得到C。=BC=2,然后利用旋转的性质得到/。80'=^ABA'=90°,

利用勾股定理求出。B=O'B=,22+22=00'=y/OB2+O'B2=4,然后根据阴影部分的面积=

SAAB。，+S扇形人归儿代数求解即可•

本题考查反比例函数的图象、待定系数法求反比例函数解析式、旋转的性质，勾股定理，求扇形面积等知

识，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和数形结合的思想解答.

10.【答案】解：(1)由题意，将力(0,-4),B(5,6)代入y=久2+bx+C得，

(c=-4

(25+5b+c=6'

{b=~l

lc=-4

・•・抛物线的表达式为y=/一3%-4.

又将4(0,-4),8(5,6)代入丫=依+小得，

Cm=-4

l5fc+m=6'

.Cm=—4

?，Ifc=2，

・•・直线的表达式为y=2x—4.

(2)由题意，设O为(7n,zn2—3m—4)(0<m<5),

令y=2%—4=m2—3m—4,贝！Jx=-(m2—3m),

22

•••E(|m—|m;m—3m—4).

令久=m,则y=2m—4,

•••F(m,2m—4).

•••DF—DE=2m—4—(m2—3m—4)—[m—(-m2--m)]

=--1m2+-5m

1z5、2,25

=_](『)+"•

・•・当加=衬，DF-DE取最大值为期.

Zo

【解析】(1)依据题意，将/(0,-4),8(5,6)代入y=%2+fox+c得方程组后，进而计算可得抛物线的表达式；

又将4(0,-4),8(5,6)代入丫=/0：+血得，求出匕机可得直线的表达式；

1

(2)依据题意，设。为(m,Hi?_3m—4)(0<m<5),令y=2x—4=m2—3m—4,则久=-(m2—3m—4),

故E(^m2—^m,m2—3m—4),令％=m,则y=2m—4,故F(m,2m—4),从而DF—DE=2m—4—(m2—

3m-4)-[m-(|m2-|m)]=-|)2+y，再由二次函数的性质，进而可以判断得解.

本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键.

11.【答案】解：(1)当m=0时，则y=/一工，

当y=0时，即％2_x—Q,

解得％1=0,第2=1；

・•・抛物线与％轴的交点坐标为(0,0),(1,0);

(2)①•・・抛物线y=%2一(租+1)%+血与％轴有两个不同的交点/、8(点/在点8的左侧)，与y轴交于点C,

.・.0=x2—(m+l)x+m,

角牛—TITf%2=1，

・・,7n<0,点/在点B的左侧，

/.A(m,0),8(1,0),点C(0,m),点E(?n+l,zn),

过点B作于点”，由点8(1,0),得点”(1,租).

在Rt△中，EH=1—(m+1)=—m,HB=0—m=-m,

・•.BE=VEH2+HB2=-/2m，

vAE=EF=2，L

•••—\Z_2m=2V-2,

解得7n=-2；

②存在，

理由：由M是EF的中点，连接CM,CA,得CM=2EF=/2,

根据题意，点M在以点C为圆心、口为半径的圆上,

由点A(TH,0),点C(0,m),得4。=-zn,CO=-m,

.•.在Rt△AC。中，AC=M仕。2+-。2=-72m.

当即mW—1时，满足条件的点M在线段ac上.

4M的最小值为ac-MC=-y/l,m一丫工=，，解得m

当AC即一1＜机＜0时，满足条件的点M落在线段C4的延长线上，的最小值为MC—4C=-

(-V-2m)=争

解得m

二当m的值为—越—决寸，MN的最小值是苧.

【解析】(1)解方程即可得到结论；

(2)①根据题意得到0=比2一(7n+1)K+小，解得％1=租，x2=1，求得a(m,0),8(1,0),点C(0,m),点

F(m+l,m),过点B作BH1/于点“，由点B(l,0),得点在Rt△EBH中，E//=1-(m+1)=-m,

HB=0-m=一m,根据勾股定理得到BE=＜EH2+HB2=-72m,解方程得到m=-2；

②由M是EF的中点，连接CM,CA,得CM=2EF=，之根据题意得到点M在以点C为圆心、方为半径的

圆上，根据勾股定理得到4C=VXO2+CO2=—Jim.当4c＞/2,即巾＜—1时，满足条件的点M在线段4C

上.4M的最小值为4(?一闻。=一，芯一调=苧，解得爪=一|；当AC＜0,即一1＜小＜0时，满足条

件的点M落在线段C4的延长线上，AM的最小值为MC-AC=^2-(-72m)=苧，解得爪=一肝是得到

结论.

本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理

等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

12.【答案】(0,2)

【解析】解：(1)联立两个函数表达式得-X+6=3

解得：x=3,

则切点坐标为：(3,3)；

(2)存在,理由:

yi=2x与丫2=x2+1相切，

贝吃%=/+1,

解得：x-1,

则切点为：(1,2),

将(1,2)、(—3,2)代入抛物线表达式得：2'

解得：

U=-3a+2

2

则抛物线的表达式为：y3=CLX4-2ax-3a+2,

由题意得，丫3和yi相切，

则a/+2ax—3a+2=2x,

则/=(2a-2)2-4a(-3a+2)=0,

解得：a=

则抛物线的表达式为：y=#+x+5

(3)由(2)知，抛物线的表达式为：y=|x2+x+|,

则点

•••在平面内存在点M,使乙4MB=2乙4PB,且这样的点P有且只有一个,

则点圆M和y轴相切于点P,如下图：

由点力、B的坐标得，直线4B的表达式为：y--X-1,

则力B的中点为：(-2,1),

则的中垂线得表达式为：y=。+2)+1=x+3,

则点M在4B的中垂线上，故设点M(m,m+3),

则MB=MP,而MP=—(m+3),

即(m+l)2+(m+3)2=(—m-3)2,

解得：m