2025年新高考数学一轮复习：立体几何中的常考压轴小题（七大题型）（学生版+解析）

拔高点突破03立体几何中的常考压轴小题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：球与截面面积问题.......................................................2

题型二：体积、面积、周长'角度'距离定值问题...................................3

题型三：体积'面积'周长'距离最值与范围问题...................................4

题型四：立体几何中的交线问题...................................................6

题型五：空间线段以及线段之和最值问题...........................................7

题型六：空间角问题.............................................................8

题型七：立体几何装液体问题....................................................10

03过关测试....................................................................12

方法技巧与总结

立体几何中的常考压轴小题往往聚焦于空间几何体的性质、体积计算、空间角的求解及与球相关的综

合问题。解题时，需熟练掌握多面体（如棱柱、棱锥）和旋转体（如圆柱、圆锥）的结构特征，灵活运用

空间向量、三垂线定理等工具解决空间角问题。此外，与球相关的题型常要求通过几何关系求出球的半径,

进而解决表面积、体积等问题。解题时还需注意几何体的翻折、展开等变化过程中的不变性与不变量，以

及平行、垂直等位置关系的论证。总之，立体几何压轴小题考验的是空间想象能力和综合运用知识解决问

题的能力。

题型一：球与截面面积问题

【典例1-1]（2024•陕西西安•模拟预测）已知三棱锥A-BC2AB=BC=26,E为BC中点，

A-BC-O为直二面角，且上W为二面角的平面角，三棱锥A-BCD的外接球。表面积为

言，则平面38被球。截得的截面面积及直线与平面28所成角的正切值分别为（）

.4兀2^/5r4■兀3^/5„16K2#16TT3A/5

55555555

【典例1-2]（多选题）（2024•江苏泰州•模拟预测）在正三棱柱48<3-486中出=/^=2,

△A3。的重心为G,以G为球心的球与平面相切.若点尸在该球面上，则下列说法正确的有（

A.存在点P和实数使得丽=4丽+〃肥

B.三棱锥2一ABC体积的最大值为纪2叵

9

C.若直线3P与平面A3C所成的角为6,贝!|sin，的最大值为止叵

8

D.若则所有满足条件的点P形成的轨迹的长度为晅

3

【变式1-1]（2024•全国•模拟预测）已知某圆柱的高与底面圆的直径均为4,则该圆柱的外接球的

体积为—；AB是圆柱下底面圆的直径，C是圆柱上底面圆周上一点.记该圆柱的内切球为球。，则平面

ABC截球。所得截面面积的取值范围为一.

【变式1-2］（2024•高三•山东•期末）已知三棱锥尸-MC的四个顶点都在球。的表面上，PA±

平面A3C,PA=6,AB=26AC=2,BC=4,贝"：（1）球。的表面积为；（2）若。是3c的中

点，过点。作球。的截面，则截面面积的最小值是.

题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题

【典例2-1】已知正方体的棱长为1，P是空间中任意一点.给出下列四个结论：

①若点P在线段4G上运动，则总有CPLBD；

②若点尸在线段A2上运动，则三棱锥B-OPG体积为定值；

③若点尸在线段\B上运动，则直线CP与平面AC。所成角为定值；

④若点尸满足苏=6+4工'（Owawi）,则过点儿，P,C三点的正方体截面面积的取值范围为［4,应］.

其中所有正确结论的序号为

【典例2-2】如图，正方体ABCD-4262的棱长为1，线段耳。上有两个动点E,尸，且所=:，给

出下列三个结论：

C,______________Bx

®AC±BE

②AAEF的面积与ABEF的面积相等

③三棱锥A-BEF的体积为定值

其中，所有正确结论是.

【变式2-1］（多选题）（2024•高三•贵州贵阳•开学考试）如图，在长方体ABCO-ABCQ中,

A3=AD=2,AA=1,点河为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（）

A.当点M为片口中点时，G/，平面B8QO

B.当点”为4。中点时，直线DM与直线BC所角的余弦值为正

3

C.当点M在线段BQ上运动时，三棱锥G-BDM的体积是定值

D.点M到直线BG距离的最小值为理

3

【变式2-2］（多选题）（2024•高三•广东深圳•开学考试）如图，矩形ABCD中，M为BC的中点,

将AABM沿直线AM翻折成连接与。，N为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是

（）

A.不存在某个位置，使得CNLAB

B.翻折过程中，CN的长是定值

C.若AB=BM,则AM_Lg£>

D.若AB=9=1,当三棱锥旦-AM。的体积最大时，其外接球的表面积是4兀

题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题

【典例3-1］（多选题）已知边长为2的等边三角形ABC,点M,N均在平面ABC的上方,

ITIT

AM=3AN=3,且AM,4V与平面ABC所成角分别为，则下列说法中正确的是（）

63

A.四面体ABCM的体积为定值地

2

3

B-AM面积的取小值为1

C.四面体ABA/N体积的最大值为1

D.当四面体ABA7N的体积最大时，其外接球的表面积为14兀

【典例3-2】（多选题）（2024•广东惠州•三模）在四面体ABCD中，AB=CD=1,

AC^AD^BC^BD^l,E,F,G分别是棱BC,AC,AD上的动点，且满足AB,8均与面E/G平

行，则（）

A.直线A3与平面ACD所成的角的余弦值为巫

16

B.四面体ABCD被平面EPG所截得的截面周长为定值1

C.三角形EFG的面积的最大值为，

O

7兀

D.四面体ABCD的内切球的表面积为一

【变式3-1］（多选题）（2024•山西吕梁•三模）已知正方体ABC。-AAG2的棱长为2,。是空间中

的一动点，下列结论正确的是（）

A.若点。在正方形。CG2内部，异面直线A4与08所成角为。，则。的范围为

B.平面ABG〃平面ACA

c.若而=；通+彳而（0V/IV1）,则4。+。。的最小值为历

D.^AO=^AB+（1-A）A^（0<2<1）,则平面截正方体ABCD-所得截面面积的最大

值为4女

【变式3-2］（多选题）（2024•河北秦皇岛•三模）在长方形ABCD中，AB=6,A£>=1,点E在线

段上（不包含端点），沿。E将VADE折起，使二面角A-DE-C的大小为（9,。40,兀），贝U（）

A.存在某个位置，使得AELDC

B.存在某个位置，使得直线3CV/平面ADE

C.四棱锥A-3CDE体积的最大值为拽

3

D.当。=；时，线段AC长度的最小值为2近

【变式3-3］（2024•陕西商洛•模拟预测）如图，AC为圆锥SO的底面圆。的直径，点B是圆。上异

于A,C的动点，S0=[AC=2,则下列结论正确的是（）

2

A.圆锥SO的侧面积为8夜兀

B.三棱锥S-ABC的体积的最大值为1?2

C.的取值范围是

D.若AB=3C,E为线段A3上的动点，则SE+CE的最小值为2（百+1）

题型四：立体几何中的交线问题

【典例4-1】（2024•福建福州•三模）如图，在圆台O。/中，OO、=粗，点C是底面圆周上异于A、

8的一点，AC=2,点。是的中点，/为平面。|AC与平面的交线，则交线/与平面QBC所成角

【典例4-2】已知在正方体ABCO-AACQI中，AB=4,点尸，Q,7分别在棱BB-CQ和Afi上,

且男尸=3,C,Q=1,BT=3,记平面PQT与侧面ADR4，底面A3CD的交线分别为机，"，则（）

A.优的长度为朋B.机的长度为疲

33

C.〃的长度为士叵D.〃的长度为正

33

【变式4-1]（2024•安徽•一模）安徽徽州古城与四川阖中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为

中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体A2。-ASGR.已知该正方体

中，点瓦尸分别是棱M，CG的中点，过。,三点的平面与平面A3。的交线为Z,则直线/与直线A?

所成角为（）

【变式4-2]（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）在正方体ABCD-AgGR中，E为B©中点，过

AR,E的截面a与平面的交线为/,则异面直线/与所成角的余弦值为（）

A.叵B.立C典D.叵

10555

题型五：空间线段以及线段之和最值问题

【典例5-1]在正方体ABCD-AgGR中，AB=2,G为棱CO的中点，P,Q分别为BC”CG上的动点,

则PQ+QG的最小值为

【典例5-2】在棱长为4的正方体ABC。-ABCQ中，瓦尸分别为线段期,32上的动点，点。为侧

面BCG用的中心，则M）EF的周长的最小值为.

【变式5-1］正三棱柱ABC-的底面边长是4,侧棱长是6,M,N分别为CC「A3的中点,

若尸是侧面BCCB上一点，且PN〃平面A印W,则线段PN的最小值为

【变式5-2］如图，棱长为1的正方体A8C。-A瓦GQ中，P为线段A用的中点，M,N分别为线段

AC1和棱G2上的动点，则2PM+A/^0N的最小值为

【变式5-3］如图，已知正方体"CD-A与G，的棱长为4,点“在棱A4上，且卬1t=1,在侧面

BCC国内作边长为1的正方形EFGQ,P是侧面BCCA内的动点，且点p到平面CDD©的距离等于线段

P尸的长.当点尸运动时，1Hpi的最小值是.

题型六：空间角问题

【典例6-1】如图，斜三棱柱ABC-ABC1中，底面是正三角形，瓦£G分别是侧棱

441,8月,CG上的点，^AE>CG>BF,设直线CACB与平面加G所成的角分别为a,/?,平面所G与底

面A3C所成的锐二面角为，，贝I()

A.sin8<sina+sin0coscos。+cos4

B.sin82sina+sin0cos6vcosa+cos尸

C.sin6<sina+sin/7,cos8>cosa+cos£

D.sin^>sincr+sin/7,cos^>costz+cos/3

【典例6-2】设三棱锥A5c的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱侬上的点（不含端点），记

直线尸B与直线AC所成角为a,直线尸3与平面ABC所成角为夕，二面角P-AC-3的平面角为7,贝11

A./3<y,a<yB./3<a,（3<y

C.P<a,y<aD.a</3，Y</3

【变式6-1]如图，已知正三棱柱ABC-AB。”AC=44,,E,尸分别是棱BC,AG上的点.记EF与

所成的角为a,EF与平面ABC所成的角为尸，二面角b-3C-A的平面角为/,贝!!（）

A.a<p<yB.P<a<yC./3<y<aD.a<y</3

【变式6-2]（2024•浙江•二模）已知三棱柱ABC-A4cl的所有棱长均相等，侧棱平面ABC,

过4月作平面a与8G平行，设平面a与平面ACGA的交线为/,记直线/与直线A8,8C,C4所成锐角分别

为a，B，Y,则这三个角的大小关系为（）

B.a=(3>y

C.y>/3>aD.a>p=y

题型七：立体几何装液体问题

【典例7-1】（多选题）（2024•山东荷泽•一模）透明塑料制成的正方体密闭容器A8CZ）-A瓦G，的

体积为8,注入体积为x（0<x<8）的液体.如图，将容器下底面的顶点A置于地面上，再将容器倾斜.随着倾

斜度的不同，则下列说法正确的是（）

A

A.液面始终与地面平行

B.x=4时，液面始终是平行四边形

C.当xe（O,l）时，有液体的部分可呈正三棱锥

D.当液面与正方体的对角线AC垂直时，液面面积最大值为

【典例7-2］（多选题）向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为无（0<%<1）的液体，旋转容器,

下列说法正确的是（）

A.当尤=：时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同

B.不管注入多少液体，液面都可以成正三角形形状

C.液面可以是正六边形，其面积为更

4

D.当液面恰好经过正方体的某条体对角线时，液面边界周长的最小值为百

【变式7-1]（2024•湖北宜昌•一模）已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱qG容器,

如图1,44BC为正三角形，AB=2,M=3,里面装有体积为2石的液体，现将该棱柱绕3C旋转至图2.

在旋转过程中，以下命题中正确的个数是（）

图1

①液面刚好同时经过A,片，q三点;

②当平面A3C与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为g-1；

33

③当液面与水平桌面的距离为!■时，A3与液面所成角的正弦值为

A.0B.1C.2D.3

【变式7-2]（2024•广西南宁-模拟预测）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正

方体的棱长为1,如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为

J312

A.

6?6

【变式7-3】一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2,如果任意转动

该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体的体积的取值范围为（）

417420

A.B.C.4D.35T

1.（2024•全国•模拟预测）已知三棱锥尸-ABC,底面A3C是边长为2的正三角形，且PC,平面

ABC,尸C=2,M为PB的中点，N为平面PAC内一动点，则MV+NB的最小值为（）

A.20B.2+V2C.3D.2

2.在棱长为1的正方体A3CD-AqGR中，E、尸分别为AB、3c的中点，则点尸为正方形人用。鼻内一

点，当。尸〃平面4£尸时，。尸的最小值为（）

A.72B.-C.述D.这

244

3.在长方体ABCD-ABIG，中，已知AB=6,CB=2,然=4,点p为底面ABC。内一点，若尸弓和底

面所成角与二面角尸-4由-2的大小相等，点P在底面4耳弓，的投影为点。，则三棱锥

尸-Q片2体积的最小值为（）

A.—B.2C.2V2D.

4.在棱长为2的正方体中，P,Q,R分别为线段3。，B.C,G。上的动点，贝。

废+3QR的最小值为（）

A.2"B.472C.3也D.5

5.（2024•四川成都•三模）六氟化硫，化学式为S丹，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定

气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个

面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八

面体E-ABC。-歹的棱长为。，下列说法中正确的个数有（）

①异面直线AE与即所成的角为45°；

②此八面体的外接球与内切球的体积之比为36；

③若点P为棱上的动点，则AP+CP的最小值为2瓜；

④若点。为四边形AB8的中心，点。为此八面体表面上动点，且=则动点Q的轨迹长度为

8A/3

---cm•

3

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.（2024•浙江杭州•模拟预测）以半径为1的球的球心。为原点建立空间直角坐标系，与球。相切的平

面a分别与x,y,z轴交于A,B,C三点，\OC\=^/2,贝11。4「+4|。用②的最小值为（）

A.16夜B.12A/3C.18D.876

7.如图，若P是棱长为2的正方体A与GR的表面上一个动点，则下列结论正确的是（）

A.当P在平面8CG片内运动时，四棱锥尸-M2。的体积变化

TTTT

B.当尸在线段AC上运动时，RP与AG所成角的取值范围是

O2_

C.使直线AP与平面ABC。所成的角为45。的点P的轨迹长度为2无+40

D.若F是棱4耳的中点，当P在底面A3CD内运动，且满足尸尸//平面耳C，时，P/长度的最小值

是通

8.（2024•江苏苏州•模拟预测）已知正四棱锥S-ABCD的8条棱长均相等，。为顶点S在底面的射影,

贝I（）

A.侧棱SA与底面ABCD所成角的大小为]

___7T

B.设N为正方形ABC。边上的两点，则二面角S-MN-O的值大于:

4

__TT

C.侧面必R与底面ABC。所成角的大小为了

4

D.设尸为正方形ABCD上的点，则直线SP与底面所成角的最大值为:

9.（2024•山西吕梁•三模）在四面体A3CZ）中，AD与2C互相垂直，AD=2BC=4,且

AB+BD^AC+CD=2-J]A，则四面体体积的最大值为（）

A.4B.6C.8D.4.5

10.（2024•山东•模拟预测）已知圆台上、下底面的半径分别为3和5,母线长为4,A3为上底面圆的

一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则VABC面积的最大值为（）

A.3庖B.673C.屈D.36

11.（2024•浙江•模拟预测）正四面体ABC。，E为棱AO的中点，过点A作平面BCE的平行平面，该

平面与平面ABC、平面AC。的交线分别为乙，，贝必，所成角的正弦值为（）

A."B.旦C.-D.@

3332

12.（2024•全国•一模）已知三棱锥ABC为正三棱锥，且AB=6,&4=2岳，点〃、N是线段AC、

S6的中点，平面a与平面S3C没有公共点，且Ac平面口,若/是平面a与平面ABC的交线，则直线,与

直线所成角的正切值为（）

AMRV6rV15n后

4453

13.（2024•湖南湘潭•三模）在棱长为1的正方体A3CO-ABC2中，E为4R的中点，过点A.C.E

的截面与平面3D，阳的交线为切，则异面直线，"与CG所成角的正切值为（）

A.V2B.述C.交D.史

424

14.（多选题）（2024•河南•模拟预测）己知四面体ABCD的顶点A,B,C,。均在球。的球面上,

△ACD是边长为2的等边三角形，NCBD=90°,棱BC,BD,AD的中点分别为Af,N,H,过A1,N,

打三点的平面截四面体所得截面四边形的对角线互相垂直，则（）

A.AB=2

B.AC与3D所成角不可能为90°

C.直线AB与平面BCD所成的角为30°

D.球。的表面积为一

15.（多选题）（2024•高三•黑龙江哈尔滨•期中）在棱长为2的正方体ABC。-4qGR中，M为

3c边的中点，下列结论正确的有（）

A.40与。田所成角的余弦值为叵

10

B.过三点4、M、R的截面面积为2

c.四面体AG8O的内切球的表面积为g

D.E是eq边的中点，尸是A3边的中点，过E、M、歹三点的截面是六边形.

16.（多选题）（2024•全国•模拟预测）已知平面1〃平面夕，且均与球。相交，得截面圆。1与截面

圆为。为线段op的中点，且aa=2。，线段A3与co分别为圆。］与圆。2的直径，则（）

A.若VA3C为等边三角形，则球的体积为18兀

B.若P为圆。1上的中点，AB±AC,且筋=AC,则OP与AC所成角的余弦值为当

C.若AB_LCD,且A8=2«,则

D.若ABLCD,且AC与BD所成的角为60。，则球。的表面积为20兀或84兀

17.（多选题）（2024•江苏泰州•模拟预测）在正方体45。-中，P为线段及C上的动点,

则（）

A.AP〃平面AG。B.耳。，平面力CD]

JTJT

C.直线AP与AQ所成角的取值范围是D.三棱锥C1-尸。A的体积为定值

O2_

18.（多选题）（2024•贵州贵阳•模拟预测）在正三棱柱ABC-4旦6中，A8=惧=1,点P满足

丽=4配+〃瓯，其中贝I」（）

A.当2=1时，AP+PB]最小值为&

B.当〃=1时，三棱锥P-A8C的体积为定值

C.当2=1,〃=：时，平面力BiPl平面4AB

D.若AP=1,则P的轨迹长度为T

19.（多选题）（2024•湖北黄冈•二模）如图，在棱长为2的正方体44G2中，P为棱BB、

的中点，点Q满足东=几以瓦+“^,则下列说法中正确的是（）

B.若口。〃平面4尸。，则动点。的轨迹是一条线段

c.若x+〃=g,则四面体。尸。4的体积为定值

D.若M为正方形AOAA的中心，则三棱锥外接球的体积为电1兀

3

20.（多选题）（2024•全国•模拟预测）已知正方体ABCD-A由G2的棱长为LE，”分别为棱

的中点，动点R在线段AG上，则下列结论中正确的是（）

A.直线BQ与平面B8Q。所成角为45。

B.直线板与直线AB所成角的余弦值为e

6

C.三棱锥B-CE火的体积为定值

D.点尸在正方体内部或正方体的表面上，且EF〃平面ABG，则动点厂的轨迹所形成的区域面积为

373

21.（多选题）（2024•江苏南京•二模）在棱长为1的正方体A8C。-4瓦弓2中，E、尸分别为A3、

3C的中点，点产满足卒=2福+〃而（0V/lVl,0V〃Vl）,则下列说法正确的是（）

,9万

A.若4=1,4=0,则三棱锥P—班C外接球的表面积为下

4

B.若%=〃=；,则异面直线CP与用产所成角的余弦值为噜

3

C.若2+〃=1,贝I」！PE尸面积的最小值为3

O

D.若存在实数使得而=x聒+y而，则2P的最小值为逑

4

22.（多选题）（2024•湖北武汉•模拟预测）如图，在棱长为1的正方体ABCD-ASCn中，〃为平

面ABC。内一动点，则（）

A.若M在线段上，则RM+MC的最小值为“7运

B.平面ACR被正方体内切球所截，则截面面积为97T

0

TT

C.若与A2所成的角为则点M的轨迹为椭圆

D.对于给定的点M,过/有且仅有3条直线与直线0A,QC所成角为60°

23.（2024•山东青岛•三模）已知长方体ABC。-中，AB=2.,BC=3,AAl=4,点尸为矩形

ABJGA内一动点，记二面角尸-B的平面角为。，直线PC与平面ABCD所成的角为夕，若夕=夕,

则三棱锥尸-84口体积的最小值为.

24.（2024•安徽•三模）已知四棱锥S-ASCD的底面ABCD为矩形，其中AD=2AB=2AS=4,点SAL

平面ABCD，点M,N分别在线段AB,SD±（不含端点位置），其中怨=怨，则四面体CBMN的体

ABDS

积最大值为.

拔高点突破03立体几何中的常考压轴小题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：球与截面面积问题.......................................................2

题型二：体积、面积'周长、角度'距离定值问题...................................3

题型三：体积、面积'周长'距离最值与范围问题...................................4

题型四：立体几何中的交线问题...................................................6

题型五：空间线段以及线段之和最值问题...........................................7

题型六：空间角问题.............................................................8

题型七：立体几何装液体问题....................................................10

03过关测试....................................................................12

亡法牯自与.柒年

//\\

立体几何中的常考压轴小题往往聚焦于空间几何体的性质、体积计算、空间角的求解及与球相关的综

合问题。解题时，需熟练掌握多面体（如棱柱、棱锥）和旋转体（如圆柱、圆锥）的结构特征，灵活运用

空间向量、三垂线定理等工具解决空间角问题。此外，与球相关的题型常要求通过几何关系求出球的半径,

进而解决表面积、体积等问题。解题时还需注意几何体的翻折、展开等变化过程中的不变性与不变量，以

及平行、垂直等位置关系的论证。总之，立体几何压轴小题考验的是空间想象能力和综合运用知识解决问

题的能力。

题型一：球与截面面积问题

【典例1-1]（2024•陕西西安•模拟预测）已知三棱锥A-B8,AB=BC=26,E为BC中点，

A-BC-O为直二面角，且—AED为二面角A-BC-D的平面角，三棱锥A-BCD的外接球。表面积为

空，则平面3C。被球。截得的截面面积及直线AO与平面38所成角的正切值分别为（）

.4it2A/5„4K3#>„16K2小16兀3#）

A.--,----D.--,----C.---,----L）.---,----

55555555

【答案】D

【解析】依题知AE_L平面38，又BCu面BCD,所以AE_LBC,又E为BC中点，

所以A3=AC=BC=2若，

取AC中点为G,连接3G交AE于耳，则修是VABC外心，又4£=2总皿2=3,

所以HE=1,AH=2,连接ED,在上取下为ABCD外心,

过尸作平面38的垂线，过H作平面ABC的垂线，

两垂线的交点即为三棱锥A-BCD外接球球心。，

则四边形OH砂是矩形，OF=HE=\,

连接设ABCD外接圆半径=B尸=厂，

设球。半径为03=7?,因为球。的表面积为学，所以4%玄=拳，得到心=11,

所以在RtAOB尸中，/=。尸2=R2一0尸2=^一1=£,

所以平面88截球0的截面面积nr2=—,

在Rt^AOH中，O8=JR2_4=乎,

所以ED=EF+FD=OH+r="+逑=小,

55

又/ADE为直线AD与平面3CD所成角，所以tanZADE=—=4==—，

EDy[55

故选：D.

【典例1-2]（多选题）（2024•江苏泰州•模拟预测）在正三棱柱ABC-Age中A4,=8C=2,

△AB。的重心为G,以G为球心的球与平面BCG与相切.若点P在该球面上，则下列说法正确的有（

A.存在点P和实数4〃，使得丽=2丽+〃而

B.三棱锥p—ABC体积的最大值为2±2叵

9

C.若直线3尸与平面ABC所成的角为夕，贝°sin。的最大值为亚叵

8

D.若则所有满足条件的点P形成的轨迹的长度为运

3

【答案】BC

【解析】方法一:

对于A,

取3C中点/，B|C中点E,连接AF,，人/，以？，

正三棱柱ABC-44G中，平面ABC,平面BCC百，平面A3CC平面BCJ片=BC,

"■<=平面48(7,，/皿_1平面2。6片，AF=也,而G为△ABC的重心，

:.AG=2GE,;.G到平面BCC4的距离为更，而G到平面ABC的距离为18耳=2>1,

•••球G与平面ABC相离，则不存在这样的尸和实数%〃，使丽=2丽+〃而，A错.

对于B,G到平面ABC的距离为2,球G半径尺=且，则尸到平面ABC的最大距离为2+1，

3333

”1c“I石/2省)3+2山―

--VP-ABC=^S^ABC'h-^X-Tx4'1+丁=-Q~，B正确.

对于C,设N为球的的上顶点，NG,平面ABC于点a,8M与球G相切且与平面BNH共面,

BH=—,BG=~,MG=—,

333

kGBH=a,NMBG=/3,则有cosa=立,sinQ=走，得sina=±cosQ='，

2424

(sin6>)=sin(a+〃)=Lx巫+"=,C正确.

\'maxv724248

对于D,过BG且与瓦C垂直的平面为平面BCQ,

G到平面BC^D的距离等于二倍的A到平面BC^D的距离，即d=1,

33

而球G半径R=#,则平面BQD截球G的截面圆半径r==|,

127t

所以截面圆周长即p的轨迹长度为2兀《=胃，D错.

故选：BC.

方法二：

对于A,如图：

左图中M为AC中点，以为G在平面A3C上的投影.

右图为俯视图下看的球，由于G为重心，在俯视图看来就是正三角形的中心，

所以球实际上与三个侧面均相切，则易得半径R=#.

12

而GH=gBBi=g>R,因此球与底面A5C不相交，因此A是错的；

对于B,有（％/"6四+尺）=：乎2《+£|=土芋，正确;

对于C,作出平面&V/的截面如下图：

当e最大时P的位置如上图所示，不难计算出BH=^-,ZGBH=30。,8G=±,

33

所以sin/PBG=—=—.cosZPBG=—,

BG44

那么此时$出6=5山（30。+/尸26）=2・巫+1.，1=2±巫，所以C正确;

1724248

对于D,轨迹即过8且垂直于用C的平面与球的交线圆，而更身>

3

此式右边是球面上的大圆的周长，所以是不可能的，所以D错.

故选：BC.

【变式1-1］（2024•全国•模拟预测）已知某圆柱的高与底面圆的直径均为4,则该圆柱的外接球的

体积为—；AB是圆柱下底面圆的直径，C是圆柱上底面圆周上一点.记该圆柱的内切球为球。，则平面

ABC截球。所得截面面积的取值范围为一.

【答案】他兀［粤垢］

【解析】由题可知，圆柱的外接球的直径为4鱼，

则圆柱的外接球的体积为4"Q0）=64后兀.

33

如图，四边形CDE尸是圆柱的一个轴截面，

圆柱上、下底面的圆心分别为。”。2,则。为线段。的中点.

连接CO?，则CO2U平面ABC.过。作。GLC。之于G,

则。6=！乂与=述.设。到平面ABC的距离为d,

22755

平面A3C截球。的截面圆的半径为外，

416

球。的半径为r,则dWOG,/=/一屋=4-缜24=1，

平面A3C截球0的截面面积最小值为等

易知当直径AB与E尸重合时，平面A3C截球。的截面面积最大，且最大值为兀x2?=4私

平面ABC截球。所得截面面积的取值范围为—,4TT

故答案为：¥加；［—,4兀

【变式1-2］（2024•高三•山东•期末）已知三棱锥P-AfiC的四个顶点都在球。的表面上，PA1.

平面ABC,PA=6,AB=26,AC=2,BC=4,贝心（1）球。的表面积为；（2）若。是BC的中

点，过点。作球。的截面，则截面面积的最小值是.

【答案】52万4万

【解析】（1）根据垂直关系，可将三棱锥尸-ABC可放入以AP,AC,A3为长方体的长，宽,高的长方体中，则体

对角线为外接球直径，进而求解即可；

（2）易得。为底面ABC的外接圆圆心，当。O_L截面时，截面面积最小,即截面为平面ABC”求解即可.（1）

由题，根据勾股定理可得AC±AB，则可将三棱锥P-ABC可放入以AP,AC,A3为长方体的长，宽，高的长方体

中，则体对角线为外接球直径，即2r=