2025年新高考数学一轮复习：空间向量及其应用（十六大题型）（练习）（学生版+解析）

第05讲空间向量及其应用

目录

01模拟基础练...................................................................2

题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算..........................................2

题型二：空间共线向量定理的应用.................................................3

题型三：空间向量的数量积运算....................................................3

题型四：三点共线问题............................................................4

题型五：多点共面问题............................................................5

题型六：证明直线和直线平行......................................................6

题型七：证明直线和平面平行......................................................7

题型八：证明平面与平面平行......................................................8

题型九：证明直线与直线垂直......................................................9

题型十：证明直线与平面垂直.....................................................11

题型十一：证明平面和平面垂直...................................................12

题型十二：求两异面直线所成角...................................................13

题型十三：求直线与平面所成角...................................................14

题型十四：求平面与平面所成角...................................................15

题型十五：求点面距、线面距、面面距.............................................17

题型十六：点到直线距离、异面直线的距离.........................................18

02重难创新练..................................................................19

03真题实战练..................................................................24

题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算

1.如图，已知空间四边形048C,M,N分别是边CM,8C的中点，点G满足砺=2而,2，OB=b，

OC=c^则诟=（）

1一171-C1-171-1一11一1-11-

A.一＜2H—bH—cB.-d—bH—CC.—a+—b7+—cD.—a+—b7+—c

333633366666

2.如图，在四面体O-/5C中，。是V/8C的重心，G是。。上的一点，且OG=2GG「若

OG=xOA+yOB+zOC,贝!］（尤J,z）为（

222

B.（§,§,§）

,222、

D-（3,3可）

3.（2024・高三・山东临沂•期末）正方体ABCD-4四C"中，M是棱CQ的中点.记福=万，正b，A.D^=cf

4A/用。，b,己表示为（）

A.-a+-b+-cB.-a+-b+-c

444444

C.-a+-b+-cD.-a+-b+-c

444444

4.（2024・高三・浙江•开学考试）在平行六面体NBC。-4夕£2中，E为C12的中点，尸为8片的中点,

AE=a,AF=b,AD=c,则石［=(

43-

A.-a--b-cB.-a-b--c

3233

C.-a--b--cD.a--b--c

33323

题型二：空间共线向量定理的应用

5.如图，在三棱柱451cl中，尸为空间一点，且满足而=4瑟+〃函，4〃40,1],则下列说法

错误的是（）

A.当2=0时，点P在棱84上

B.当彳=〃时，点P在线段3。上

C.当"=1时，点P在棱4G上

D.当4+〃=1时，点尸在线段4c上

6.（2024・河北•模拟预测）在空间直角坐标系中，N（l,-2,a）,8（0,3,l）,C（4-1,2）,若4氏。三点共线，则

ab=.

7.（2024・高三•上海•期中）已知向量3=（-加,2,3）,=（4,«,1）,若1//彼，则加〃的值为.

8.已知.=（2,3,-1）,5=（4,加Xa//b>则m+（）

A.4B.5C.6D.7

题型三：空间向量的数量积运算

9.空间向量2=（1,0,1）在加=（0」,1）上的投影向量为（）

V2.V2nV2V2

22

10.如图，在正三棱柱48C-481G中,AB=AA1=1,P为瓦G的中点，则NG12=(

11.（多选题）已知空间向量值=（2,-1,3）,b=[-4,2,x）,下列说法正确的是（）

A.右行16,贝!JX=H

B.若3N+B=（2,-l,10）,则x=l

C.若方在3上的投影向量为则X=4

D.若方与B夹角为锐角，贝Uxe

12.已知向量1=（1,2,3）/=（一2,—4,一6）洞=旧，若但+坂）三=7,则伍通=.

题型四：三点共线问题

13.如图所示，在正方体中，点E在44上，且常=2函，点/在体对角线4c上，且

——►2—►

A}F=-FC.求证：E,F,8三点共线.

aG

AB

14.在长方体4BCD-481G2中，河为。2的中点，N在ZC上，且ZN:NC=2:1,E为8M的中点.求证:

4,E,N三点共线.

15.如图，在平行六面体中，QC=2EC,A^C=3FC.

⑴求证：A、/、E三点共线；

（2）若点G是平行四边形48CG的中心，求证：D、F、G三点共线.

题型五：多点共面问题

16.（2024・全国•模拟预测）如图，在正三棱柱43cl中，48=4,M=3,/是Ag的中点，AN=2NA,,

点尸在耳N上，且瓦A=2瓦元（0W4W1）.

是否存在实数X,使c,M,P，4四点共面？若存在，求力的值；若不存在，请说明理由;

17.已知1=(2,-1,3)3=(-1,4,-2)忑=(7,5"),若一标三向量共面,则「等于()

18.已知“=(2,-1,3),1=(-1,4,-2),"=(1,3"),若£,b，)三向量不能构成空间的一个基底，则实数2

的值为()

A.1B.2C.3D.4

19.已知1(2,-1,3),6=(-1,4,-2),1=(7,5㈤，若%,"三向量共面，则实数2等于()

62「63-64f65

A.—B.—C.—D.—

7777

20.已知4民C三点不共线，对平面N3C外的任一点。，下列条件中能确定点加,4民C共面的是()

A.OM=OA+OB+OCB.OM^2OA-OB-OC

C.OM=OA+-OB+-OCD.OM=-OA+-OB+-OC

23333

21.(2024・高三・四川成都・开学考试)在四棱柱/Be。-//。，中，屏=左即，麻=左方西，

3_____________

(1)当左=1时，试用48,4D,44］表示/尸；

(2)证明：£1,G,〃四点共面;

题型六：证明直线和直线平行

22.如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，A,A=4,且底

面/2CO,点。满足通=3反，点尸是棱。。上的一个点(包括端点).

4。

Bi

(1)求证：BQ、11BD；

题型七：证明直线和平面平行

23.如图，在四棱台NBCD-N/CA中，底面是边长为2的正方形，平面48CD,AB=2AtBt,

DDX=\,尸为48的中点.

求证：。尸//平面8CC4；

24.(2024•广西柳州•模拟预测)如图，在棱长为1的正方体/Be。-//。，中，£为44的中点，F为

AB的中点.

求证：。尸//平面/6£；

25.（2024•天津河北•二模）如图，四棱锥P-ABCD中，侧棱即，平面/8C。，点E是尸C的中点，底面ABCD

是直角梯形，AB//DC,ADLDC,AB=AD=PD=1,CD=2.

⑴求证：BE//平面RLD；

题型八：证明平面与平面平行

26.如图,在直四棱柱ABCD—ABGR中,底面ABCD为等腰梯形，AB//CD,AB=4,BC=CD=2,四=2,

厂是棱N8的中点.求证：平面平面厂CG.

27.在正方体中，M,N,尸分别是CG心G，G。的中点，试建立适当的空间直角坐标系,

求证：平面跖\下〃平面49.

28.如图，在直三棱柱48C-48cl中，ZABC=90°,BC=2,CQ=4,点£在线段陷上，且网=1,

o1,G分别为cq、c向、G4的中点.求证:

(1)平面4片。，平面/8。;

(2)平面EGFH平面ABD.

题型九：证明直线与直线垂直

29.已知三棱锥尸-48c中，P/_L平面/BC,AB1AC,AB=2P4=24C=4,N为居上一点且满足

3AN=NB>M,S分别为尸B,8c的中点.

p

C

B/

求证：CMLSN-,

30.如图，在三棱柱ABC-451G中，N4BC=90°,AB=BC=AAX=2,AAX1平面ABC,E,F分别是BB、,4G的

中点.求证：AF±CE.

31.如图，在四棱锥S-/8C。中，底面/8CA是矩形，平面/3CD1平面S3C,S8=SC,M是2C的中点,

(1)求证：AMLSD.

(2)若异面直线4攸与SC所成的角为IT:，求四棱锥S-/BCD的体积.

题型十：证明直线与平面垂直

32.如图所示，在四棱锥尸-4BCD中，底面/BCD是矩形，底面/BCD,P4=AB=2,AD=\,E是

uuor4UUDr

尸8的中点，作EV_LPC交尸。于点尸，S.PF=-PC.求证：尸C_L平面4ER；

33.如图，在棱长为2的正方体中，/为8c的中点，N为48的中点，尸为中点.求

证：M),_1_平面跖\尸.

34.如图，在长方体/8C。-4与a，中，=2,/。=3〃4=4,点瓦尸分别为棱/瓦。2的中点，求证:

G尸1平面BCF；

题型十一：证明平面和平面垂直

35.如图，四棱锥尸一/BCD中，底面N8C。为直角梯形，ADHBC,ABLAD,PAABCD,/。=10,

BC=2AB=8,M为尸C的中点.

求证：平面尸/CJ_平面尸CD；

36.(204•广东深圳•统考模拟预测)在正方体/BCD-/£GA中，如图£、尸分别是84，C。的中点.

(1)求证：平面/A尸，平面4DE；

37.已知在直三棱柱/BC-451G中，其中441=2/C=4,/B=8C,厂为的中点，点E是CG上靠近G的

四等分点，与底面所成角的余弦值为它.

2

（1）求证：平面/尸C_L平面4防；

题型十二：求两异面直线所成角

38.已知正方体"CD-4804的棱长为1，点E在线段3上，若直线BE与所成角的余弦值为立，

2

则线段5E的长为（）

A.逑B."C.-D.V2

422

39.（2024・辽宁•一模）如图，四边形48CD是正方形，尸/_L平面/8CA,且24=48=2,/是线段P8的

中点，则异面直线DM与P4所成角的正切值为.

40.（2024・高三・江苏扬州•期中）如图，直三棱柱/BC-43/C7中，BA=BC=BBi=l.BALBC

⑴记平面/耳Gn平面&BC=/,证明：/〃平面&BG；

⑵点。是直线期上的点、，若直线℃与M所成角的余弦值为g'求线段阳长.

题型十三：求直线与平面所成角

41.(2024•辽宁沈阳•模拟预测)如图，直线垂直于梯形4BCD所在的平面，ZADC=ZBAD=90°,F

为线段P4的中点，PD=4i，AB=AD=^CD=1,四边形尸DCE为矩形.

⑴求证：/C//平面DE1尸；

(2)求直线蜴与平面BCP所成角的正弦值.

42.（2024•高三•广东汕头•开学考试）在四棱锥P-/8CA中，BC//AD,4D=CD=2BC=4,ABCD=60°,

点G为功的中点.

A

(1)证明：CD〃平面PBG；

(2)若平面尸3D，平面A8CD,且PB=PD=2,求直线尸/与平面尸8所成角的正弦值.

43.(2024・陕西西安•模拟预测)如图，在直三棱柱Z3C-45cl中，E是2/上的点，且平面/片。.

Bi

⑴求证：3CL平面4＜片2；

⑵若说=4,AC=2也，AB=2BC,尸是棱/C上的点，且直线片尸与平面典G所成角的正弦值为印,

试确定尸点的位置.

题型十四：求平面与平面所成角

44.(2024・四川乐山・三模)如图，平行六面体中，底面N8C。是边长为2的菱形，且

ABAD=60°,例=«,441AB="AD,必与平面ABCD所成的角为45°,4c与BD交于O.

⑴证明：4。，平面/8C。；

(2)求二面角B-CC.-D的正弦值.

45.(2024・四川•模拟预测)如图，多面体48CDE尸中，已知面/BCD是边长为4的正方形，&FBC是等也

三角形，EFUAB,EF=-AB,平面F8C_L平面/BCD.

2

(1)求证：EF工BF；

(2)求二面角E-/D-B的大小.

46.(2024・河南周口•模拟预测)如图，平行六面体中，底面N2CO与平面48CQI都是边

长为2的菱形，ZBCD=ZBCB=120。,侧面BCC内的面积为小.

(1)求平行六面体ABCD-AB'CR的体积；

(2)求平面BCCR与平面CDDG的夹角的余弦值.

47.(2024・福建龙岩•三模)如图，在四棱台N5CD-4且GR中，底面四边形/BCD为菱形,

ZABC=60°,AB=2AAi=2/内,皿_L平面ABCD.

(1)证明：BD1CQ；

⑵若〃是棱3C上的点，且满足器=］，求二面角的余弦值.

BC3

题型十五：求点面距、线面距、面面距

48.如图1,在等腰直角三角形48c中，44=90。，BC=6,D,E分别是4C,48上的点，CD=BE=6,

。为的中点.将△/0£沿。E折起，得到如图2所示的四棱锥/-8CDE，其中百.

(1)求证：Z'O_L平面3cDE；

⑵求点B到平面ACD的距离.

49.如图所示的多面体是底面为48co的长方体被平面NEG厂所截而得的，其中48=4,BC=2,CC1=3,

(1)求点C到平面NEC/的距离；

(2)设过点3平行于平面NEG尸的平面为a,求平面NEC/与平面a之间的距离.

jr

50.(2024•安徽合肥•模拟预测)如图，直四棱柱/8CA-4与CQ|各棱长均为2,ABAD=,。是线段8。

的中点.

⑴求点。到平面4G。的距离;

(2)求直线AB与平面4G。所成角的正弦值.

51.(2024・福建福州•一模)如图，四边形是圆柱的轴截面，点/在底面圆。上，圆。的半径

为1,AF=出,点G是线段AF的中点.

(1)证明：EG〃平面

(2)若直线。下与圆柱底面所成角为45。，求点G到平面DEF的距离.

题型十六：点到直线距离、异面直线的距离

52.(2024・江苏无锡•模拟预测)如图，在棱长为4的正方体/8CD-48G2中，点£在棱N4上，且/E=l.

（1）求四棱锥〃-EABBX的表面积

⑵若点尸在棱2G上'且「到平面即阳的距离为手’求点尸到直线期的距离.

53.（2024・辽宁・一模）已知空间中的三个点/（LU），5（2,1,-1）,C（3,0,0）,则点A到直线3c的距离

为.

54.（2024・安徽合肥•一模）棱长为1的正方体A8C。-跖如图所示，分别为直线/尸,8G上的动

点，则线段长度的最小值为.

55.四棱锥S-NBCD中，"=S3=SC=SD=8a,",SC的中点分别为底面正方形的边长为4a,求

与3N间的距离.

1.（2024•江西新余•模拟预测）已知/（TT-1）,直线/过原点且平行于£=（0,1,2）,则A至卜的距离为（）.

A,史「V30D.叵

B.1L•------

555

2.（2024・山东济南・三模）如图所示,正方体的棱长为1,点、E,F,G分别为BC,CCi，BBi的

）

A.直线与直线/月垂直B.直线4G与平面4印平行

C.三棱锥尸-48E的体积为:

D.直线3c与平面4EF所成的角为45°

O

3.（2024・浙江•模拟预测）边长为1的正方体/8CA-中，E,尸分别是4。中点，M是DB

靠近8的四等分点，P在正方体内部或表面，DP-（EF+MF）=0,则。尸的最大值是（）

B.4

A.1C.V2D.百

4.（2024・陕西•模拟预测）在平行六面体/Be。-//。，中，已知=1,

AAXAB=ZAtAD=ZBAD=60°,则下列选项中错误的一项是（）

A.直线4c与BD所成的角为90°

B.线段4c的长度为Q

C.直线4c与8片所成的角为90。

直线4c与平面ABCD所成角的正弦值为如

D.

3

5.已知向量a=（o,o,i）,^=（i,-i,i）,向量a+B在向量a上的投影向量为（）.

A.（0,0,2）B.（0,0,1）

C.（0,0,-1）D.（0,0-2）

6.（2024•山东荷泽•二模）如图，在正方体中，AXD^\ADX=E,CDX[\CXD=F,则下列结

论中正确的是（）

A.55］//平面NCRB.平面平面/C2

C.EF_L平面BDD4D.平面4844内存在与EF平行的直线

7.定义一个集合Q,集合中的元素是空间内的点集，任取用鸟存在不全为0的实数4，为人,使

得4而1+4丽+4西=0.已知（l,O,O）eQ,贝（1（0,0,1）任。的充分条件是（）

A.（0,0,0）eQB.（-l,0,0）eQ

C.（0,1,0）eQD.（0,0,-l）eQ

8.（2024・河南信阳•模拟预测）如图，在棱长为36的正方体NBC。-4与G2中，8Q与平面NCR交于点

E,与平面48G交于点尸，点M,N分别在线段4G，£厂上运动，则线段的取值范围为（）

A.［孚3局孚3司。.［竽'3司D.］孚,3百

9.（多选题）（2024•河南♦模拟预测）如图,在底面为等边三角形的直三棱柱ABC—AXBXCX中，/C=2,BBX=y/2,

D,£分别为棱BC,的中点，则（）

A.4田〃平面40G

B.ADLC.D

C.异面直线/c与DE所成角的余弦值为巫

5

D.平面4DG与平面/3C的夹角的正切值为近

10.（多选题）（2024•山东淄博•二模）如图，在平行六面体/BCD-中，以顶点/为端点的三条

棱长都是1,且它们彼此的夹角都是方，M为4G与BQ］的交点.若93AD=b，AA^c,则下列

说法正确的是（）

-----------(,-----------(,7T

B.CM,AC,=-

3

C.BD]=a+b+cD.ADBD^l

11.（多选题）（2024•河北•模拟预测）已知正方体Z5CD-4片G。,尸为叫中点，。为3c中点，贝IJ（）

A.直线尸〃与直线。区平行B.直线尸G与直线。2垂直

C.直线尸0与直线48相交D.直线尸0与直线。片异面

12.（2024•江苏苏州•模拟预测）空间内四点次0,0,0）,5（1,0,0）,c（L且,0）,。可以构成正四面体，则点。

22

的坐标是.

13.（2024•江苏苏州・模拟预测）在平面直角坐标系xQy中，设/卜0,0）,2（30,0）,若沿直线/：y=x把

平面直角坐标系折成大小为e的二面角后，以划=3及，则。的余弦值为.

14.（2024•高三•广东深圳•期中）在长方体N3CD-中，9=必=4,M=2,点p为侧面/班以内

一动点，且满足GP//平面，则G尸的最小值为,此时点P到直线4G的距离为.

15.（2024・天津蓟州•模拟预测）如图，在四棱锥尸-/5CD中，已知棱48,4D,/尸两两垂直，长度分别为

1,2,2,若灰=4万，且向量定与而夹角的余弦值为巫■.

15

p

/4

⑴求实数九值；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;

(3)求平面PBD与平面尸CD夹角的余弦值.

16.（2024・河北•模拟预测）如图，四棱锥/-3CEZ）中，平面ABCI平面BCED,AB=AC,AD=AE,BC//DE,

BD=CE,BC=2DE=473,ZDAE=-ABAC,AD=ABsinZDAE.设8c中点为a,过点H的平面a同时垂

2

直于平面BAD与平面CAE.

⑴求sin/DZE

(2)求平面a与平面BCED夹角的正弦值；

(3)求平面a截四棱锥/一BCED所得多边形的周长.

17.(2024•山东淄博•二模)已知直角梯形48。，ZADC=90°,AB//CD,AB=1CD=4b,AD=43,M

为对角线/C与BD的交点.现以NC为折痕把A4DC折起，使点。到达点尸的位置，点。为P8的中点，如

图所示：

⑴证明：/C，平面PBM；

(2)求三棱锥P-NCQ体积的最大值；

(3)当三棱锥尸-/C。的体积最大时，求直线AB与平面P3C所成角的正弦值.

18.(2024•黑龙江牡丹江•一模)如图，在四棱锥P-/2C。中，P/_L平面/BCO,AD1CD,AD//BC,

PF1

PA=AD=CD=2,BC=3.E为尸。的中点，点厂在PC上，且k=§♦

⑴求证：4E_L平面尸CD；

(2)求平面AEF与平面PAD夹角的余弦值.

PG

⑶设点G在M上，且*=；3判断直线/G是否在平面4£尸内，说明理由.

PB4

㈤3

1.(2024年北京高考数学真题)如图，在四棱锥尸-48CD中，BCI/AD,AB=BC=l,40=3,点E在4。

上，且尸ESAD,PE=DE=2.

p

(1)若尸为线段尸E中点，求证：BF〃平面PCD.

(2)若平面R4D,求平面P/8与平面尸8夹角的余弦值.

2.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)如图，在以/,B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形

48。与四边形尸均为等腰梯形，EFHAD,BC//AD,AD=4,4B=BC=EF=2,ED=5,FB=2也,

/为3的中点.

(1)证明：5河//平面。。£；

(2)求二面角尸-5M-E的正弦值.

3.(2024年天津高考数学真题)已知四棱柱/BCO-中，底面/8Q5为梯形，ABHCD,平

面/8C£>,AD1AB,其中48=/4=2,/D=OC=l.N是gG的中点，”是。Q的中点.

(1)求证2N〃平面CAM；

(2)求平面CBXM与平面BBQG的夹角余弦值;

⑶求点B到平面Cg"的距离.

4.(2024年新课标全国II卷数学真题)如图，平面四边形4BCD中，48=8,CD=3,4D=5。，ZADC=90°,

___2__,___1___

NBAD=30°,点、E,尸满足羽=《75,AF=-AB,将沿环翻折至！PEE,使得尸C=4/L

(1)证明：EFLPD-,

(2)求平面PCD与平面PAF所成的二面角的正弦值.

5.(2023年北京高考数学真题)如图，在三棱锥P-/3C中，平面NBC,PA=AB=BC=1,PC=6

(1)求证：BC_L平面以8；

(2)求二面角/-PC-B的大小.

6.（2023年新课标全国I卷数学真题）如图，在正四棱柱ABCD-4台£2中，48=2,/4=4.点4,劣,C2,3

分别在棱,BB、,CC,,DD,±,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

⑴证明：B2C2//A2D2；

(2)点尸在棱上，当二面角尸-4C2-Q为150。时，求82P.

7.(2023年新课标全国II卷数学真题)如图，三棱锥中，DA=DB=DC,BDLCD,

AADB=ZADC=60°,E为5c的中点.

AF

(1)证明：BCLDA；

(2)点尸满足丽=而，求二面角。-48-尸的正弦值.

8.(2022年新高考天津数学高考真题)如图，在直三棱柱451G中，4CLAB,点、D、E、尸分别

为4月,，4，。。的中点，AB=AC=A4=2.

⑴求证：E尸〃平面4BC；

(2)求直线BE与平面CC.D所成角的正弦值;

(3)求平面4CD与平面CCQ夹角的余弦值.

9.(2022年新高考浙江数学高考真题)如图，已知48CD和CZ)跖都是直角梯形，AB//DC,DCIIEF,

AB=5,DC=3,EF=l,N&4D=/CUE=60。，二面角尸-。C-B的平面角为60。.设M,N分别为

的中点.

EF

AB

(1)证明：FNLAD.

(2)求直线8M与平面4DE所成角的正弦值.

10.(2022年新高考全国n卷数学真题)如图，尸。是三棱锥尸-4BC的高，PA=PB,AB，AC,E是PB

的中点.

⑴证明：OE//平面P/C；

(2)若NA8。==30。，PO=3,PA=5,求二面角C-/E-8的正弦值.

11.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)在四棱锥尸-/8C。中，底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6.

P

(1)证明：BDLPA-,

(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.

12.（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，四面体/BCO中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,

E为/C的中点.

⑴证明：平面平面/CD；

（2）设48=助=2,44cs=60。，点F在BD上,当A//C的面积最小时，求CF与平面43。所成的角的正弦

值.

13.（2022年新高考全国I卷数学真题）如图，直三棱柱4G的体积为4,A43C的面积为2收.

（1）求/到平面48c的距离;

（2）设。为4c的中点，AAt=AB,平面4BCL平面N544,求二面角/一8。一。的正弦值.

14.（2021年全国新高考H卷数学试题）在四棱锥。-/BCD中，底面是正方形，若

AD=2,QD=QA=45,QC=3.

Q

（1）证明：平面。4D_L平面48cZ）；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

15.（2021年北京市高考数学试题）如图：在正方体/8CA-43C2中，E为4A中点,4G与平面CDE

交于点尸.

（1）求证：E为瓦G的中点；

（2）点/是棱4片上一点，且二面角M-FC-E的余弦值为置，求*的值.

3”内

16.（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥P-/8CO的底面是矩形，如，底面N3CD,PD=

DC=1,〃■为8c的中点，且PB_LAM.

(1)求BC；

(2)求二面角/-尸的正弦值.

第05讲空间向量及其应用

目录

01模拟基础练...................................................................2

题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算..........................................2

题型二：空间共线向量定理的应用..................................................3

题型三：空间向量的数量积运算....................................................3

题型四：三点共线问题............................................................4

题型五：多点共面问题............................................................5

题型六：证明直线和直线平行......................................................6

题型七：证明直线和平面平行......................................................7

题型八：证明平面与平面平行......................................................8

题型九：证明直线与直线垂直......................................................9

题型十：证明直线与平面垂直.....................................................11

题型十一：证明平面和平面垂直...................................................12

题型十二：求两异面直线所成角...................................................13

题型十三：求直线与平面所成角...................................................14

题型十四：求平面与平面所成角...................................................15

题型十五：求点面距'线面距、面面距.............................................17

题型十六：点到直线距离、异面直线的距离.........................................18

02重难创新练..................................................................19

03真题实战练..................................................................24

题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算

1.如图，已知空间四边形。48C,M,N分别是边CM,8c的中点，点G满足砺=2而，设d=之，OB^b>

OC^c>则诟=（）

A.-a+-b+-c

333

【答案】B

+方+丽）

-OA+OB-OA+-BC

22

-OA+OB-OA+-

22

=-OA+-OB+-OC,

633

1一1一1一

=—a+—b+—c.

633

故选：B.

2.如图，在四面体O-。中，5是V/BC的重心，G是。5上的一点，且OG=2GG],若

OG=xOA+yOB+zOC,贝lj(x4,z)为()

o

【答案】D

—>1—►—»

【解析】因为石是8。中点，所以OE=5（OB+OC），

2

。是V/5C的重心，则

——►2—►2—►―►

所以4Gl=-AE=-{OE-OA）,

因为OG=2GG]

所以

OG=-OG,=-（OA+AG.）=-OA+-（OE-OA）=-OA+-OE=-OA+-（OB+OC）=-OA+-OB+-OC,

3131399999999

__,__kk,2

^OG=xOA+yOB+zOC,则x=〉=z='.

故选：D.

3.（2024•高三・山东临沂•期末）正方体-中，〃是棱CG的中点.记AB、=a,AC=b，4D1=c,

4A/用。，B,5表示为（）

A—3匚1-「3一11-

A.—ClH—bH—cB•一ClH—brH—c

444444

八1-113-「1-313-

C.—ciH—bH—cD.—a+—b+—c

444444

【答案】A

【解析】AC^AB+AD，函

=AB+AAX,ADX=AD+AAX,

三个式子相加得就+福+诟\=2[AB+AD+AA^=2AClf

AM=^（ACl+AC）=^AC-—函+g西+回

1—►3—►1——►1'1-

=-AB+-AC+-AD.=-a+--b+—c.

4y444“14

D\G

4.（2024・高三・浙江•开学考试）在平行六面体/BCQ-4鸟。12中，£为62的中点，尸为B片的中点,

AE=a,AF=b,AD=c,则石尸（）

43-4-4

A.-a一一b-cB.-a-b——c

3233

八4一214一「一314一

C.—a——b——cD.a——b——c

33323

【答案】C

【解析】设44=m,AB=n则AE=a=m+^fi+c,AF=b=n+^m.

-11、42-4

所以万=6——m,a=m+—\b——m\+c,所以而二-G——b——c.

22[2）333

题型二：空间共线向量定理的应用

5.如图，在三棱柱48C-44G中，尸为空间一点，且满足丽=2瑟+〃函，2,Ae[0,l],则下列说法

错误的是（）

A\G

A.当2=0时，点P在棱8月上

B.当2=〃时，点P在线段4c上

C.当〃=1时，点尸在棱4G上

D.当彳+〃=1时，点尸在线段4c上

【答案】B

【解析】对于A,当2=0时，丽=〃瓯，

所以丽//丽，则点P在棱上，故A正确；

对于B,当彳=〃时，BP=A（BC+BB^,2e[0,l],

即加二2晅，即丽//西

所以点P在线段8G上，故B错误；

对于C,当〃=1时，BP=ABC+'BBl,Ae[0,l],

所以2反=而-函,所以率=2反=九瓦1,即瓦R//瓦以，

所以点尸在棱4。上，故c正确；

对于D,当彳+〃=1时，

所以丽=20+（1-/I）函，2e[0,l],

所以刀_熊=4灰_疝瓦,

即印=7麻，即率//瓦心，

所以点尸在线段用C上，故D正确.

故选：B.

6.（2024・河北•模拟预测）在空间直角坐标系中，A（l,-2,a）,B（0,3,l）,C（b,-l,2）,若4民C三点共线，则

ab=.

【答案、】|Q

【解析】由题得益=（-1,5,1-°）,而=3.-4,1）,