2025年新高考数学一轮复习：集合背景下的新定义压轴解答题（四大题型）（学生版+解析）

拔高点突破01集合背景下的新定义压轴解答题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：定义新概念............................................................................2

题型二：定义新运算.............................................................................3

题型三：定义新性质.............................................................................5

题型四：定义新背景.............................................................................6

03过关测试.....................................................................9

亡法牯自与.柒年

//\\

1、解答新定义型创新题的基本思路是：

（1）正确理解新定义；

（2）根据新定义建立关系式；

（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；

（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果.

2、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合

的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题.

3、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则.按照新的运算规则，结合

数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的.

4、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的.我们通过可以结合相

应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题.

题型一：定义新概念

【典例1-1】（2024•北京顺义・二模）已知点集〃“=｛（和另），（々，%），，（x””）｝（〃N3）满足0V%,%,

乙+y<2。=1,2,•，耳.对于任意点集若其非空子集A,8满足Ac3=0,AB=Mn,则称集合对

（4功为风,的一个优划分.对任意点集M“及其优划分（A3）,记A中所有点的横坐标之和为X（A）,B中

所有点的纵坐标之和为丫⑻.

⑴写出M3=｛（1,1）,（2,0）,（0,2）｝的一个优划分（A3）,使其满足X（A）+F（3）=3；

（2）对于任意点集M，求证：存在M的一个优划分（A,3）,满足X（A）+F（B）43；

（3）对于任意点集此，求证：存在此的一个优划分（A3）,满足X（A）V等且y（B）w等.

【典例1-2】（2024・浙江台州•二模）设A,8是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x,按照

某种确定的对应关系了,在集合8中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时8

中的每一个元素》都有一个A中的元素x与它对应，则称/：A-3为从集合A到集合8的一一对应，

并称集合A与2等势，记作了=7.若集合A与8之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作

A^B-

例如：对于集合4=?4*,•BupM-eN*},存在---对应关系y=2x（xwA,yeB）,因此］=

（1）已知集合C={（X,y）\x2+/=1）,O=",y）I［+?=1，，试判断"方是否成立?请说明理由；

（2）证明：①（0,1）=（-8,+8）；

②N*wN*}.

【变式1-1］（2024.江西九江.二模）定义两个"维向量q=（知,％,2,…,，勺=（%,专2,…,勺,“）的数量积

q.aj=%+专”+…+（i,JeN+）,at=a：，记\k为at的第左个分量（无三〃且左eN+）.如三

维向量q=（2,1,5）,其中％的第2分量62=1.若由〃维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含

有w个力维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取。或1；③集合中任意两个元素q,aJ,满足

a"=a：=T（T为常数）且q吗=1.则称A为T的完美〃维向量集.

⑴求2的完美3维向量集；

（2）判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；

⑶若存在A为T的完美w维向量集，求证：A的所有元素的第左分量和1=T.

题型二：定义新运算

【典例2-1］（2024•海南海口•一模）在计算机科学中，〃维数组X=（占，w，.,天）,玉e{0,l},ieN+，〃N2是

一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用.对于"维数组

A=(al,a2,L,an),B=(bvb2,L,b.),定义A与B的差为A-B=(|q-"他一么|，…，|凡一切)，人与5之间的距

离为或A,B)=t|a厂修.

1=1

⑴若〃维数组C=(O,O,,0),证明：J(AC)+J(B,C)>J(AB)；

(2)证明：对任意的数组A8,C,<rf(A-C,B-C)=J(A,B)；

⑶设集合,二^因二任,3，、%)，^^。/｝，*、,〃^｝,/^^,若集合P中有机(〃后2)个“维数组，记

尸中所有两元素间的距离的平均值为"(P),证明：/尸)一(加一1)-

【典例2-2】(2024.浙江绍兴.二模)己知左©N*,集合=｛小=2办+2"+…+2",0*0<,<%,其中

io工，…，heN｝.

⑴求X2中最小的元素；

⑵设a=2i+23eX],beX[,且a+beX]，求6的值；

氏+1b

⑶记匕二看门啰+,"""],"eN*,若集合匕中的元素个数为4,求X苛?.

【变式2-1](2024•浙江嘉兴•二模)已知集合A=[g2"“0W4</<<am,a;eN|,定义：当根=r时，把

集合A中所有的数从小到大排列成数列例6｝,数列作⑺“｝的前n项和为S(6.例如：公2时，

23

6(2)]=2°+2]=3,b(2)2=2°+2?=5,6(2%=2'+2=6,&(2)4=2°+2=9,,

S(2)4=b(2\+/28+伙2%+伙2)4=23.

⑴写出伙2)5,仇2%,并求义2)1°；

(2)判断88是否为数歹隆6(3)“｝中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；

⑶若2024是数列｛6⑺“｝中的某一项。(片)传，求务,％及S%)取的值.

题型三：定义新性质

【典例3-1］（2024.云南昆明.一模）若非空集合A与8,存在对应关系力使A中的每一个元素a,8中总

有唯一的元素6与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作力A—B.

设集合4={-5,-3,-1,1,3,5},3=也也，,2}"eN*，n<6）,且设有序四元数集合

「=国门=（4程£，匕），尤"4且'=1，2,3,4},0={中=（%,%,%，”）}.对于给定的集合8,定义映射力

PTQ,记为y=/（x）,按映射/,若（i=1,2,3,4）,则M=%+1；若x陛B（f=1,2,3,4）,则

4

%=%.记SB（y）=»，.

1=1

⑴若3={_5,1},X=（1,-3,-3,5）,写出匕并求%（丫）；

（2）若3={4也也}，X=（1,-3-3,5）,求所有SB（V）的总和；

4

⑶对于给定的X=（百,%2，玉,工4）,记工为="7,求所有邑（丫）的总和（用含机的式子表示）.

1=1

【典例3-2】（2024・广东江门.一模）将2024表示成5个正整数占，巧，x3,x4,天之和，得到方程

国+9+三+匕+%=2024①，称五元有序数组（%,9,七,4三）为方程①的解，对于上述的五元有序数组

（西,々，8及广5），当时，若11^（%-勺）=W€2,则称（石,彳2，玉，及，三）是/一密集的一组解.

⑴方程①是否存在一组解（冷电，£，4%），使得1-X,1=1,2,3,4）等于同一常数?若存在，请求出该常数;

若不存在，请说明理由；

⑵方程①的解中共有多少组是1-密集的？

5

（3）记5=£尤"问$是否存在最小值?若存在，请求出s的最小值；若不存在，请说明理由.

Z=1

【变式3-1］（2024.广东.模拟预测）已知集合A中含有三个元素为y，z,同时满足①x<y<z；②x+y>z；

③x+y+z为偶数，那么称集合A具有性质尸.已知集合S.={1,2,3,；2n}（»eN*,«>4）,对于集合S“的非

空子集8,若S“中存在三个互不相同的元素a,。,c,使得a+瓦》+c,c+a均属于8,则称集合B是集合S”的

“期待子集”.

（1）试判断集合A=｛1,2,3,5,7,9｝是否具有性质P,并说明理由；

⑵若集合3=｛3,4,a｝具有性质产，证明：集合B是集合及的“期待子集”；

（3）证明：集合M具有性质P的充要条件是集合M是集合Sn的“期待子集”.

题型四：定义新背景

【典例4-1】（2024•全国•模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以

抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑.已知平面£2=｛（X，y）|Vx,yeR｝,定义对

4（冲y）,4（和%），其度量（距离）1（4,4）=一.y+（%.并称（比力为一度量平

面.设尤0€（炉，d）,“R+,称平面区域3（尤0，£）=｛尤€（或%）＜£｝为以毛为心，£为半径的

球形邻域.

（1）试用集合语言描述两个球形邻域的交集；

（2）证明：（£2,力中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；

（3）一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集.证明：（序，d）的一个子集是开集当且仅当其可

被表示为若干个球形邻域的并集.

【典例4-2】（2024.安徽芜湖.二模）对称变换在对称数学中具有重要的研究意义.若一个平面图形K在相

（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记相为K的一个对称变

换.例如，正三角形R在叫（绕中心。作120。的旋转）的作用下仍然与我重合（如图1图2所示），所以

网是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记肛=1]2；又如，氏在自

（关于对称轴片所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以《也是R的一个对称变

fl23、

换，类似地，记4=132.记正三角形R的所有对称变换构成集合S・一个非空集合G对于给定的代

数运算.来说作成一个群，假如同时满足:

I.VQ,Z?£G,ab^G；

II.Ya,b,ceG,Z;)c=4(Z?c)；

III.eG,X/aGG,ae=e〃=〃；

IV.\/aGG,3a~xGG»aax=axa=e-

对于一个群G,称HI中的e为群G的单位元，称W中的/为〃在群G中的逆元.一个群G的一个非空子

集”叫做G的一个子群，假如“对于G的代数运算来说作成一个群.

1

⑴直接写出集合S(用符号语言表示s中的元素);

(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如

23、H「21233H/323121、H/32213}对于集合S中的元素，定义

父*仅1b2=%生］

一种新运算*,规则如下:

^3J、G。2C3J\C1C1C3J

、伪b2

{4，%,%}={4也也}={<:“2，。3}={1,2,3}.

①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；

②已知”是群G的一个子群，e,e'分别是G,X的单位元，aeH,a',"分别是。在群G,群反中的

逆元.猜想e,e'之间的关系以及“一，"之间的关系，并给出证明;

③写出群S的所有子群.

【变式4-1](2021.北京西城•二模)设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意xeA,都有x-leA

或x+leA,则称A为自邻集.记集合4={1,2,〃}(">2,〃eN)的所有子集中的自邻集的个数为与.

⑴直接写出4的所有自邻集；

(2)若〃为偶数且〃>6,求证：4的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；

⑶若n>4,求证：an<2an_x.

0

过关测试\\

1.（2024•北京丰台•一模）已知集合此={xeN*,V2〃}（"eN,«>4）,若存在数阵

4%a、，廿□

T=,,,糊足：

他％2」

①a“}U他也,也}=M.；

②@K-4=k（k=1,2,…,n）.

则称集合”“为“好集合”，并称数阵T为知“的一个“好数阵”.

xyz6

（1）已知数阵/=,•,c是加4的一个“好数阵”，试写出X,九z,W的值；

7w12

（2）若集合为“好集合”，证明：集合A/,,的“好数阵”必有偶数个；

（3）判断％=5,6）是否为“好集合”.若是，求出满足条件”找4,%，,凡}的所有“好数阵”；若不是，说

明理由.

2.（2024・湖南益阳•模拟预测）我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组&,4）表示；三维空

间向盘可用三元有序数组（4，%,/）表示.一般地，〃维空间向量用，元有序数组3,%，，凡）表示，其中

%（左=1,2,称为空间向量的第％个分量，上为这个分量的下标.对于“（九23）维空间向量（qg,

定义集合A（租）={用以=九左=1,2,,〃}.记A®）的元素的个数为|A（叫（约定空集的元素个数为0）.

（1）若空间向量（弓,02M3，4，。5M,求A（5）及|A（5）|；

⑵对于空间向量a，%,，%）•若点+岛+1

+而『=求证：皿六{12，叭若，则

qw%；

（3）若空间向量（％,%,%M〃）的坐标满足A（以_2+以-1）={k}Mi=%=1，当心3时，求证:

a；+a；++a；>1an_xan.

3.(2024•北京•模拟预测)对给定的正整数"，令。"={。=(%,生，…9)lqe{0,l},z.=l,2,…㈤，对任意的

+x

x=(xl,x2,—,xn),尸也,%,…,%)©。“，定义二与y的距离d(x,y)=|再一切+区一为|+\n~y.\■设A

是。“的含有至少两个元素的子集，集合。={d(x,y)|xNeA)中的最小值称为A的特征，记作力⑷

(1)当〃=3时，直接写出下述集合的特征：

A={(O,O,O),(l,l,l)},B={(O,O,O),(O,l,l),(l,O,l),(l,l,O)},C={(O,O,O),(O,O,l),(O,l,l),(l,l,l)}；

(2)当〃=2020时，设4^^202。且力(4)=2,求A中元素个数的最大值；

o2020

⑶当”=2020时，设4a。2期且力(4)=3,求证：A中的元素个数小于^—.

2021

4.(2024.北京延庆一模)已知数列{%},记集合7={5(，,/)|5亿/)=卬+4+|+...+%,14，＜刀,/€1\[*}.

(1)若数列{%}为1,2,3,写出集合人

⑵若%=2〃，是否存在/"eN*,使得S(i")=512?若存在，求出一组符合条件的V；若不存在，说明

理由；

(3)若％=〃，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为4也,…，⑥，…，若勾42024,求机的最大

值.

5.(2024•湖南邵阳•二模)给定整数席3,由"元实数集合户定义其随影数集。={卜-训羽、€尸,无片".若

min(2)=l,则称集合尸为一个"元理想数集，并定义尸的理数r为其中所有元素的绝对值之和.

⑴分别判断集合S={-2,-1,2,3},T={43,-1.2,2.1,2.5}是不是理想数集；(结论不要求说明理由)

⑵任取一个5元理想数集尸，求证：|min(P)|+|max(P)|“；

⑶当尸={%%,、々3}取遍所有2024元理想数集时，求理数r的最小值.

注：由〃个实数组成的集合叫做〃元实数集合，max(P),min(P)分别表示数集尸中的最大数与最小数.

6.(23-24高三上•北京昌平•期末)已知。：生,&，S为有穷正整数数列，且qW4W.-W4,集合

X={-1,0,1}.若存在%wX,i=l,2,,k,使得占4+9%++xkak=t,则称t为左-可表数，称集合

T=t=xlal+x2a2++xkak,xteX,z=l,2,,，无}为左-可表集.

⑴若左=10此=2"七=1,2,,k,判定31,1024是否为人-可表数，并说明理由;

中—1

⑵若{1,2,,“}17,证明：〃4七」；

(3)设％=3-、=1,2,,k,若{1,2,,2024}=T,求左的最小值.

7.设机为给定的正奇数，定义无穷数列4：q=l,%=，2""㈤为偶数)，其中〃eN*.若应是数列"中

。"+机(4,为奇数)

的项，则记作出e4.

(1)若数列4的前6项各不相同，写出机的最小值及此时数列的前6项；

(2)求证：集合3=keN*|6e4，%>2时是空集；

⑶记集合S,"={x|xeA〃}，S={TV正奇数〃?,xeS,“},求集合S.(若加为任意的正奇数，求所有数列4的

相同元素构成的集合S.)

8.已知集合4={4，%,«3……%}=N*,其中“eN且〃23吗<a3V……若对任意的

x,yeA(x^y),都有,一了上詈，则称集合A具有性质加仆

(1)集合4={1,2,可具有性质心，求。的最小值；

11n-1

(2)已知A具有性质Ms，求证：------

(3)已知A具有性质Me求集合A中元素个数的最大值，并说明理由.

9.(2023•河南•模拟预测)已知数列{%}是首项为1的等差数列，数歹曜2-1}是公比为2的等比数列，且

%=瓦,%"3=20.

⑴求数列{%},{〃}的通项公式；

⑵设国表示不超过x的最大整数($□：[3.5]=3,[-1.5]=-2),求集合

{fceN*|a,„<[log2bk]<a2m,l<m<I。}中元素的个数.

10.(2023•北京西城•模拟预测)已知A为有限个实数构成的非空集合，设A+A={a,+%|a,,%eA},

4-4={勾-%卜,,为€可，记集合A+A和A-A其元素个数分别为M+H，设

77(A)=|A+A|—|A—4例如当A={1,2}时,A+A={2,3,4},A—A=1—1,0,11,|A+A|=|A—A|,所以

M(A)=O.

⑴若A={1,3,5},求w(A)的值；

⑵设A是由3个正实数组成的集合且(A+A)A=0,A'=A30}；,证明：为定值；

(3)若{4}是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意“eN*,设从76,孙…，％}，2=〃(4).已

知4=1,a2=l,且对任意“eN*,bn>Q,求数列{叫的通项公式.

11.(2023•北京•模拟预测)正整数集合4=®/,生，吗},且<an,n>3,B中所有元素和

为T网,集合C={T(B)|B=A}.

(1)若4={1,2,5},请直接写出集合C；

(2)若集合8中有且只有两个元素，求证“阳出吗，，4,为等差数列”的充分必要条件是‘集合C中有2〃-3个

元素

⑶若C={1,2,3,,2023},求九的最小值，以及当〃取最小值时，。“最小值.

12.(2023.北京通州.模拟预测)设集合A为含有w个元素的有限集.若集合A的％个子集A，4,

4满足：

①A，4均非空；

②A，4,…，4中任意两个集合交集为空集；

③4口4口-口4=A.

则称4，4,为集合A的一个机阶分拆.

⑴若A={1,2,3},写出集合A的所有2阶分拆(其中A，4与a，A为集合A的同一个2阶分拆)；

(2)若4={1,2,3,1,〃},A，4为A的2阶分拆，集合4所有元素的平均值为P,集合4所有元素的平均值

为Q，求归-。|的最大值；

⑶设4，4，A为正整数集合A={4%，“}(“eN*,心3)的3阶分拆.若A，4,A满足任取集

合A中的一个元素•构成A={4},其中云{1,2,3,,〃},且人与《中元素的和相等.求证：”为奇数.

13.(2023•北京延庆•一模)已知"为正整数，集合〃={㈤。=(4氏,L,巧“)，x,e{_l,l},1=1,2,L,2〃}具有性

质P:“对于集合A中的任意元素。=(4,三,L,三“)，方+三+L+三“=0,且为+三+L+苍HO,其中

i=l,2,集合A中的元素个数记为I产(A)|.

(1)当”=2时，求I尸(A)|；

(2)当”=9时，求玉+为+L+%的所有可能的取值；

(3)给定正整数〃,求I尸(A)|.

14.(2023・北京顺义•一模)已知实数集4={%,出，,an}(n>3),定义程(A)={q勺，吗eH/}.

(1)若4={-2,0,1,2},求夕(A)；

⑵若0(A)={0,-6-8,-12,12,18,24},求集合A；

(3)若A中的元素个数为9,求e(A)的元素个数的最小值.

拔高点突破01集合背景下的新定义压轴解答题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：定科概念............................................................................2

题型二：定Of运算............................................................................3

题型三：定义新性质.............................................................................5

题型四：定义新背景.............................................................................6

03过关测试.....................................................................9

亡法牯自与.柒年

//\\

1、解答新定义型创新题的基本思路是：

（1）正确理解新定义；

（2）根据新定义建立关系式；

（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；

（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果.

2、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合

的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题.

3、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则.按照新的运算规则，结合

数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的.

4、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的.我们通过可以结合相

应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题.

题型一：定义新概念

【典例1-1】（2024•北京顺义・二模）已知点集％=｛（%,%）,（%,%）,％）｝（此3）满足0W%,y”

%+»<2。=1,2,对于任意点集M“，若其非空子集A,2满足AcB=0,AB=Mn,则称集合对

（A,8）为上的一个优划分.对任意点集州及其优划分（A3）,记A中所有点的横坐标之和为X（A）,B中

所有点的纵坐标之和为Y（3）.

⑴写出1）,（2,0）,（0,2）｝的一个优划分（AB）,使其满足X（A）+F（3）=3；

（2）对于任意点集区，求证：存在M的一个优划分（A3）,满足X（A）+“B）43；

（3）对于任意点集此，求证：存在M的一个优划分（A3）,满足X（A）V当一且卜（8）43一.

【解析】（1）由题因为“3=｛。,1）,（2,0）,（0,2）｝,

所以若使X（A）+y（3）=3,则可以4=｛。,1）｝,3=｛（2,0）,（0,2）｝,

此时x（A）=i,y（B）=2,x（A）+y（B）=3,满足题意.

（2）根据题意对于任意点集机=｛（西,％）,（々，％），（演，%）｝，不妨设玉Vx2Vx3,

且OVx”%,人+》<2（i=l,2,3）,

若毛=1,则04%41,

则X（A）=%+%=2,y（3）=为（l，此时恒有X（A）+F（3）<3；

若百43VI，尤3>1，则>3<1，可令4=｛（%，％），（马，%）｝，区=｛（工3，%）｝，

此时乂（4）=%+々42,丫（3）=为<1,则X（A）+y（3）<3,满足题意；

若占41,1<尤24迅，则令人=｛（&%）｝，3=｛（$，%），（/，%）｝，

此时x（a）=%vi,y（3）=%+%<2,则x（A）+y（8）<3,满足题意;

若1<%4%2«%3，贝!1%，内，必<1，贝!J必42—％W2—再，%«2—％242—％1，

令4=｛（%，乂）｝，8=｛（七，％卜（々，%）｝，

止匕时X（A）=X|,y（3）=%+%V4—2X],则X（A）+y（3）W4—玉<3,满足题意；

所以对于任意点集M，都存在“3的一个优划分（A3）,满足X（A）+y（B）43.

（3）不妨设°<占V尤2…V2,

w+1

若%+%++x„<^-,则3取其中一点即可满足；

n+1

右石+%++Xn>，

72+1

+X

则必存在正整数上使得玉+%2+k———<X1+X2++/+/+1，

九+]z"+]

则有<玉+/++/+/+1工（%+1）及+1，于是2（1+1）</+1'

又因为%+1+%+2++%（（2—%+1）+（2-/+2）++（2-天）

（〃+]'

<（2_%+1）+（2_4+2）++（2_天）《（〃_左）（2_/+1）<（〃_k）2—2（,+]）

=[〃+1-（左+1）][-段,g（〃+l）[2优+1）+制，

<|（«+1）-2（«+1）=^,当且仅当人=—■时取等号；

于是取4=｛（冷M）,…,（々,％）｝,3=｛（々+1，%+1）,…,（4,%）｝,

即可满足X（A）V*—且y（B）v*-,命题得证.

【典例1-2】（2024・浙江台州・二模）设A,B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素X,按照

某种确定的对应关系/，在集合8中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时8

中的每一个元素y,都有一个A中的元素尤与它对应，则称A-3为从集合A到集合B的一一对应，

并称集合A与3等势，记作］=］.若集合A与8之间不存在一一对应关系，则称A与8不等势，记作

A^B-

例如：对于集合4=1\［*,2={2葭,eN*},存在---对应关系y=2MxeAye3),因此］=

(1)已知集合C={(x,y)\x2+/=1),D=，(x,试判断1行是否成立?请说明理由；

(2)证明：①(0,1)=(-8,+8)；

②N*W{小三N*}.

%—2x

【解析】(1)设P(%,%)eC,Q=(x,y)e。，令:

U=J3%,

则C与。存在一一对应，所以集合3=5.

(2)①取函数>=12!1兀［尤-3，其中xe(O,l),两个集合之间存在---对应，故

(0,1)=(-00,+00).

备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为(0,1),值域为R即可，

—2,0<%<一,In2x,0<xW—,

,X2T2AyrAyrr

如：y=<等等均可,

x-122

②设A=N*,2={小=川'},

假设］=］，即存在对应关系九Af8为一一对应，

对于集合8中的元素{1},{2},{1,2},至少存在一个xeA且彳22)与这三个集合中的某一个对

应，所以集合A中必存在无任，(尤).

记£>={xe4上任/(》)},则£)聂4,故

从而存在aeA,使得

若ae£>,则ae/(a)=。，矛盾；

若a拓Z),贝!|ae/(a)=Z),矛盾.

因此，不存在A到2的---对应，所以

【变式1-1］(2024.江西九江.二模)定义两个“维向量6=(税,％,2,…,X,"),叼=(%,号2,…，马.)的数量积

a」％=%+%济2+•■•+\„xjn(z,jeN+),%.%=a：，记%*为ai的第上个分量(左4”且％€、).如三

维向量4=(2,1,5),其中4的第2分量&2=1.若由,维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含

有〃个〃维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取。或1；③集合中任意两个元素q,aj,满足

a：=a：=T"为常数)且qq=l.则称A为T的完美"维向量集.

⑴求2的完美3维向量集；

(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；

(3)若存在A为T的完美"维向量集，求证：A的所有元素的第左分量和1=7.

【解析】(1)由题意知，集合A中含有3个元素%(，=1,2,3),且每个元素中含有三个分量，

因为62=%=%=2,所以每个元素中的三个分量中有两个取1，一个取0.

所以q=(LL。)，％=(1,1,0),q=(0,LD，

y.al-a2=a1-a3=a2-a3=l,

所以2的完美3维向量集为A={。,1,0),(1,0,1),(0,1』)}.

(2)依题意，完美4维向量集B含有4个元素〃(，=1,2,3,4),且每个元素中含有四个分量，

Te{0,1,2,3,4},

(i)当7=0时，b,e{(0,0,0,0)),与集合中元素的互异性矛盾，舍去；

(ii)当T=1时，bte{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)},不满足条件③，舍去；

(iii)当7=2时，.e{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)},

因为(1,1,0,0).(0,0,1,1)=0,故(1,1,0,0)与(0,0,1,1)至多有一个在2中，

同理：(1,0,1,0)与(0/,0,1)至多有一个在2中，(L0,0』)与(0,LL0)至多有一个在2中，

故集合8中的元素个数小于4,不满足条件①，舍去；

(iv)当T=3时，bte{(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)},不满足条件③，舍去；

(v)当7=4时，6{(1,1,1,1)},与集合中元素的互异性矛盾，舍去；

综上所述，不存在完美4维向量集.

(3)依题意，T的完美〃维向量集C含有〃个元素q(i=L2,,〃)，且每个元素中含有〃个分量，

因为cj=T,所以每个元素中有T个分量为1,其余分量为0,

所以5]+邑+•+Sn==nT(*),

由(2)知，7片0」,〃，故2VT<”，

假设存在左，使得T+1WSE，不妨设T+l<44〃.

(i)当S|=〃时，如下图，

此时S1+S2++S„<ZZ+(M-1)=2/J-I<2n<nT,与(*)矛盾，不合题意.

XX

不妨设%=%T+\,l=1,X“J=0,Xn2=X.,3=„,T+!—1,

下面研究c：,c；,&,L,的前T+l个分量中所有含1的个数.

一方面，考虑G，c；,C；,L,4M中任意两个向量的数量积为1,

故X],八x2j,L,xT+1j(j=2,3,••■,T+1)中至多有1个1,

故q,c；,C3，L,%二的前T+1个分量中，

所有含1的个数至多有(T+1)+T=(2T+D个1(**).

另一方面，考虑c「c,=l(Z=l,2,-,T+1),

故q,Q,C3,L,的前T+l个分量中，含有(T+l)+(T+l)=(2T+2)个1,与(**)矛盾，不合题意.

故对任意上〈〃且keN+，Sk<T,由(*)可得&=T.

题型二：定义新运算

【典例2-1】（2024•海南海口•一模）在计算机科学中，〃维数组X=（%，w，…,当）,%e{O,l},ieN+，〃22是

一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用.对于“维数组

A=（a1,«2,L,«n）,B=（&I,Z?2,L,bn）,定义A与B的差为A-8=（|q-闻他一汕，|凡一切）,人与B之间的距

离为d（A,B）=f㈤-用.

1=1

⑴若〃维数组C=（O,O,,0）,证明：d?（AC）+J（B,C）＞J（AB）；

（2）证明：对任意的数组A,B,C,^d（A-C,B-C）=d（A,B）.

⑶设集合S“={x|x=（x”w，,%）,无”{0,l}"eN+，〃22},尸aS“，若集合P中有机（心2）个〃维数组，记

P中所有两元素间的距离的平均值为d（P）,证明：“（尸”2（〃一）,

【解析】（1）设A与B中对应项中同时为0的有x（04x4〃）个，同时为1的有y（04y4〃-％）个，

则对应项不同的为,―x—y个，所以d（A3）=〃-x-y.

所以d（A0）+d（5,C）=2y+_y=d（A,5）；

（2）设AH4%…，4）,3=（乙也，..，2）,C=（C1，C2//）£?；,

因为A-c=（|%-q|M-c2|,，|%-qj），

B-C=（|Z?I-CI|,|Z?2-C2|,

所以d（A_C,B_C）=£k-GH々一qII，

Z=1

因为Ge{0,l},7=1,2,,n.

所以当G=0时，料一4-也-c』=|4一同，

当c,=1时，忖-4-向-4=|（1-4）-（1-4）|=L-可，

所以d（A-C,B-C）=£|何-c卜性-cj=f-4=d（A,B）；

z=li=l

（3）记集合P中所有两个元素间距离的总和为fd仍,q）,

i,六1

一1_吗

则7（p）=k•£d（E，弓）.

i,j=T

设集合P中所有元素的第Kk=1,2,,n）个位置的数字共有tk个1,〃一4个o,

m〃

则£“片，弓）=ZX（，”G，

i,J=lk=\

因为小机-人>0,

所以小

所以f"仍，号)=tX("zTj〈丁，

i,j=lk=l4

ll-T/f1Sjc八\,2nm2mn

所以d(尸)二-•Zd(月，q)<-———•—=———•

c；,■>>!'7m(m-l)420-1)

【典例2-2】(2024•浙江绍兴・二模)已知此N*,集合{小=2%+2%+…+2"0*<%<.<二,其中

席,…4eN}.

(1)求X2中最小的元素；

⑵设a=>+23eX1,beXIt且。+beX-求匕的值；

*1h

⑶记4=X&C(2ZI,2"+"],"eN*,若集合匕中的元素个数为a，求Z声.

加=12

【解析】(1)X2中的最小元素为2。+?+22=7.

(2)由题得4=21+23=10,设6=2)+2‘，0<z<j(z,jeN).

①当/<3时，6=23+2?=12或6=23+7=10或6=23+2°=9或6=2?+2=6或6=22+2°=5或

6=2+2°=3.

42

经检验，当〃=10时，a+Z?=20=2+2,符合题意，

所以分=10.

②当/=4时，6=24+23=24或6=24+2?=20或6=24+21=18或6=24+2°=17.

经检验，当6=24时，0+6=34=25+2、符合题意，

所以6=24.

③当,25时，不符合题意.

因此，3=24或10.

(3)设xe%,则x=2'。+2,+…+2%,其中，[=左+"-1,

0<i0<i1<---<ik_l<k+n-l,所以=C：+,_],

攵+1〃111

设&=二声，则&=c+^C3+^cL2+-+^ct.

因为c^=c3+c窗,

所以1+i=C：：+gc：：；+:c/+…+，c黑]+C

=4+1(cLi+c：：；)+*©+2+c£；)+…+9(c]+c工)+/(c/+i+cXi)

=[c；+；C：+]+Jc：+2+…++击c%

f~>k+\,f~^k+\।f~>k+\

+।11..11

-^k+l+^k+2+,•,+2Hl

=&+)k+l,10k

2k+2+5rL2k+1

田"1a一（2左+1）!1（2—2）!（2Z+1）!一（2k+l）!

因为2ui22-一■（1］）!2『+1）!化+1）!-X!优+1）!一'

所以Sx=1+gSz，所以&包=21,

又因为H=l+gc；=2,所以'=21

mI

【变式2-1］（2024.浙江嘉兴.二模）己知集合4=^2°'|0<«[<a2<<a,„,a;GNL定义：当=r时，把

集合A中所有的数从小到大排列成数列{伏)},数列他⑺“}的前〃项和为S().例如：/=2时,

2123

6(2)1=20+%=3,b(2)2=20+2=5,/?(2)3=2+2=6,/?(2)4=2°+2=9,,

S(2)4=b(2)[+仇2)z+b(2)3+/2'=23.

⑴写出b(2b涉(2%,并求S⑵i。；

(2)判断88是否为数列抄(3)“}中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；

⑶若2024是数列抄⑺“}中的某一项6(片)由，求2％及S亿)阳的值.