2025年新高考数学一轮复习：基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（六大题型）（讲义）（学生版+解析）

第01讲基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：多面体的结构特征......................................................4

知识点2：简单旋转体............................................................5

知识点3:组合体................................................................5

知识点4：表面积与体积计算公式..................................................6

知识点5:空间几何体的直观图....................................................7

题型一：空间几何体的结构特征...................................................8

题型二：直观图.................................................................9

题型三：展开图................................................................10

题型四：最短路径问题..........................................................12

题型五：空间几何体的表面积....................................................14

题型六：空间几何体的体积......................................................15

04真题练习•命题洞见............................................................18

05课本典例•高考素材............................................................19

06易错分析•答题模板............................................................21

易错点：对斜二测画法的掌握不牢................................................21

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

2024年I卷第5题，5分

2024年甲卷（理）第14题，5分（1）掌握基本空间图形及其简单组合体的概

2024年天津卷第9题，5分念和基本特征，能够解决简单的实际问题；

（1）基本立体图形2023年乙卷（理）第8题，5分（2）多面体和球体的相关计算问题是近几年

（2）表面积与体积2023年甲卷（文）第10题，5分考查的重点；

2023年天津卷第8题，5分（3）运用图形的概念描述图形的基本关系和

2023年II卷第14题，5分基本结果，突出考查直观想象和逻辑推理.

2023年I卷第12题，5分

复习目标：

（1）认识柱、锥、台'球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

（2）知道球、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问

题.

（3）能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.

//二知识导图•思维引航\\

考点突确.题理辉宝

知识固本

知识点1:多面体的结构特征

1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由

这些面所围成的多面体叫做棱柱.

（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；

（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；

（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；

（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；

（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；

（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；

（7）正方体：棱长都相等的长方体.

2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做

棱锥.

（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；

（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥.

3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得

的棱台叫做正棱台.

【诊断自测】如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）

①②③④

A.①是棱台，②不是圆台B.②是圆台，③是棱锥

C.③是棱锥，④是棱台D.③是棱锥，④是棱柱

知识点2：简单旋转体

1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.

2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体

叫做圆锥.

3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.

4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球

面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）.

【诊断自测】下列选项中的三角形绕直线/旋转一周，能得到如图所示几何体的是（）

■/

知识点3：组合体

由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.

【诊断自测】如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（）

A.一个球、一个四棱柱、一个圆台构成

B.一个球、一个长方体、一个棱台构成

C.一个球、一个四棱台、一个圆台构成

D.一个球、一个五棱柱、一个棱台构成

知识点4：表面积与体积计算公式

表面积公式

S直棱柱=M+2s底

S斜棱柱=c7+2s底(c‘为直截面周长

柱体

)

S圆锥-271rl+271rl=2兀+/)Inr

s正棱锥底

锥体

表S圆锥=兀#+兀丫1=冗9+/)

面d

积

S正棱台=2n（°+力力+S卜+5下

台体

5圆耽台、=Mr'?+r2+r'l+rzl）4

球S=4%R2©

体积公式

柱体匕主=sa

体用

积

咻=和

锥体45

,

台体%=1(S++S)/z

©

43

球V=-7iR3

3

【诊断自测】正六棱台的上、下底面边长分别是2和6,侧棱长是5,则它的表面积与体积分别为（）

A.+60&266B.16万+60展526

C-24A/2T+60A/3;78^D.24^+60^8473

知识点5：空间几何体的直观图

1、斜二测画法

斜二测画法的主要步骤如下：

（1）建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox,Oy,建立直角坐标系.

（2）画出斜坐标系.在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形.在已知图形平行于无轴的线段，在

直观图中画成平行于O%,O'y',使/x'Oy=450（或135）,它们确定的平面表示水平平面.

（3）画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于才轴的线段，且长度保

持不变；在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度变为原来的一般.可简化为

“横不变，纵减半”.

（4）擦去辅助线.图画好后，要擦去x'轴、y'轴及为画图添加的辅助线（虚线）.被挡住的棱画虚线.

注：直观图和平面图形的面积比为近:4.

2、平行投影与中心投影

平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点.

【诊断自测】如图，直角梯形O'AB'C'满足O'C,O'A'=A'B'=2,0'C'=3,它是水平放置的平面图形的

直观图，则该平面图形的周长是（）

B.5+2舟如

c.11+741D.10A/2

题型一：空间几何体的结构特征

【典例1-1】有下列命题：

①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；

②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；

③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱;

④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.

⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.

其中正确的命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【典例1-2】下列结论正确的是（）

A.直四棱柱是长方体，长方体是四棱柱B.一个棱柱至少有6个面

C.相等的角在直观图中仍然相等D.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥

【方法技巧】

空间几何体结构特征的判断技巧

（1）紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线

面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.

（2）说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.

【变式1-1］下列说法中，正确的是（）

A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥

B.一个多面体至少有4个面

C.有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

D.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台

【变式1-2］下列说法中，正确的是（）

A.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥

B.以正方体的顶点为顶点可以构成正四棱锥

C.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台

D.用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面

题型二：直观图

【典例2-1】如图，四边形A3CD的斜二测画法直观图为等腰梯形A'B'C'。'.已知AU=4,CD'=2,则

下列说法正确的是（）

C.四边形ABCD的周长为4+20+2若

D.四边形ABCD的面积为6直

【典例2-2】如图所示，梯形AB'C'D是平面图形用斜二测画法得到的直观图，A'D'=2,

A3'=B'C'=1,则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（）

c.75D.5

斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：S直=^S原

【变式2-1】由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30。，腰长为2,

如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是—.

【变式2-2］如图，矩形O'AB'C是水平放置的平面图形Q4BC的直观图，其中O'A=6,O'C'=3,则原图

形。4BC的面积为一.

【变式2-3］（2024・四川成都・模拟预测）如图，A。'A力是水平放置的△Q4B用斜二测画法画出的直观图

（图中虚线分别与V轴和歹轴平行），Ob=2OD=6,0c=8,则△OA3的面积为（）

C.24D.48

题型三：展开图

【典例3-1】如图，在四棱锥O-ASCD的平面展开图中，底面ABCD为等腰梯形，AD//BC,

AB=CD=1,BC=2AD=2,PA=1,PA_LAD,QA-LAB,贝ijcos/SDC=.

【典例3-2】如图，将三棱锥3-PAC展开为平面图形，已知AC=AE=2,A尸=24，APA.AC,AP±AE,

ZC4Z）=120o,贝l|cosNP?C=.

【方法技巧】

多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一

定先观察立体图形的每一个面的形状.

【变式3-1］（2024•安徽马鞍山•模拟预测）已知三棱锥P—A8C的底面ABC为等边三角形.如图，在三棱

cosNPCF=^^~,PC=713,则

锥尸一ABC的平面展开图中，P,F,E三点共线，B,C,E三点共线,

26

【变式3-2］（2024.重庆・三模）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对

角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的

正弦曲线.若该段正弦曲线是函数y=JWsinox（o>0）图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为手,

则。的值为（）

D.2

【变式3-3】将四棱锥尸-ABCD沿棱展开为平面图形，如图所示.若PA=AE=四,FG=2AD=2,

ZFAD=135°,则在展开图中，。，/两点之间的距离W=

题型四：最短路径问题

【典例4-1】在棱长为4的正方体ABCD-中，及P分别为线段瓦3台？上的动点，点。为侧面

BCC#的中心，贝必OEF的周长的最小值为.

【典例4-2］（2024•江西九江.一模）如图，在正三棱柱ABC-ABC中，AB=2A^=2,N为4G的中点,

M为线段&A上的点.则|"N|+||倒的最小值为

【方法技巧】

此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题.

【变式4-1］如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VB=VT=4,ZAVB=ZAVC=ZBVC=30°,过点A作截面

△AEF,则周长的最小值为

【变式4-2］正三棱柱ABC-44G的底边长侧棱长都是2,M为AB的中点，N为C5的中点，则在棱柱

表面上，从"到N的最短路程是.

【变式4-3】已知在直三棱柱ABC-中，底面为直角三角形，ZACB=90°,AC=6,

BC=cq=应,P是BC1上一动点，则CP+PA的最小值为—.

【变式4-4］如图，棱长为1的正方体ABCO-ABIGD中，P为线段A片的中点，M,N分别为线段AG

和棱CQ上的动点，则2PM+也MN的最小值为.

【变式4-5］（2024•上海虹口•二模）如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且

ZBAD=6ff.^AB=AAl=2,点M为棱CQ的中点，点P在48上，则线段丛,尸”的长度和的最小值

为.

题型五：空间几何体的表面积

【典例5-1】（2024.陕西安康•模拟预测）已知正三棱台ABC-ABC1的上底面积为下底面积为4g,

高为2,则该三棱台的表面积为（）

A.5石+3屈B.3则C.573+18D.18

【典例5-2】（2024•福建南平・模拟预测）已知圆台。。2的母线长为4,下底面圆的半径是上底面圆的半径

的3倍，轴截面周长为16,则该圆台的表面积为

【方法技巧】

（1）多面体的表面积是各个面的面积之和.

（2）旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和.

（3）组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理.

【变式5-1］（2024•辽宁大连•一模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时

代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径AB=12cm,圆柱体部分的高8C=6cm,

圆锥体部分的高CD=4cm,则这个陀螺的表面积（单位：cm，）是（）

A.(72+12屈,B.(84+24旧)兀C.(108+12岳)无D.(108+24后)无

【变式5-2］（2024•河南濮阳•模拟预测）正四棱台ABC。-A瓦GR中，上底面边长为2,下底面边长为4,

若侧面与底面所成的二面角为60。，则该正四棱台的侧面积为（）

A.8B.12C.24D.48

【变式5・3】（2024.广东江门.一模）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相

同的四面体得到的（如图），则该几何体共有个面；若被截正方体的棱长是60cm,那么该几何体的表

面积是cm2.

题型六：空间几何体的体积

【典例6-1】（2024•福建龙岩•三模）已知球的体积为三兀，且该球的表面积与底面半径为2的圆锥的侧面

积相等，则该圆锥的体积为（）

A.生45兀B.殳叵兀C.4屏ID.85/1571

33

【典例6-2】（2024・山东•模拟预测）陶瓷茶壶是中国人很喜爱的一种茶具，不少陶瓷茶壶兼具实用性与艺

术性，如图所示的陶瓷茶壶的主体可近似看作一个圆台型容器，忽略茶壶的壁厚，该圆台型容器的轴截面

下底为10cm,上底为6cm,面积为80cm则该茶壶的容积约为L（结果精确到0.1,参考数据：兀处3；

1L=1000cm3）.

【方法技巧】

求空间几何体的体积的常用方法

-公式法规则几何体的体积，直接利用公式

割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则

的几何体

等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积

【变式6-1】如图“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转、连接而成，且上底面正方形的四

个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点.若下底面正方形边长为4,“四角反棱台”高为3,则

该几何体体积为.

【变式6-2］（2024•新疆•二模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几

何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体.如图所示，四边形ABC。，ABFE,

CDE/均为等腰梯形，ABHCDHEF,AB=6,CD=3,EF=10,所到平面A3CD的距离为5,CD与

A8间的距离为10,则这个羡除的体积V=.

【变式6-3］（2024.河北•模拟预测）己知正四棱台的上、下底面棱长分别为1和2,侧棱长为1,则该正四

棱台的体积为

【变式6-4］（2024•山东荷泽.二模）已知在棱长为2的正方体ABCD-4qCR中，挖去一个以上下底面各

边中点为顶点的四棱柱，再挖去一个以左右两侧面各边中点为顶点的四棱柱，则原正方体剩下部分的体积

为.

【变式6-5］（2024•山东临沂.一模）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直

于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于

截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几

何体.如图1,一个球面的半径为R,球冠的高是九，球冠的表面积公式是S=2"九与之对应的球缺的体积

公式是丫=；兀如图2,已知是以A3为直径的圆上的两点，

jr

ZAOC-ZBOD--,S^COD=6K,则扇形COD绕直线A3旋转一周形成的几何体的表面积为,体积

【变式6-6】已知正三棱柱ABC-4BG的棱长均为2,分别是棱4内,AC的中点，则几何体

斯-CB瓦G的体积为.

3

1.（2024年天津高考数学真题）一个五面体小F.已知AD〃台E〃CF,且两两之间距离为1.并

已知AD=1,BE=2,CF=3.则该五面体的体积为（）

口3白,1「百八3指1

D.-------------1---。.---LJ.-------

42242

2.（2024年新课标全国I卷数学真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为

73,则圆锥的体积为（）

A.2下!兀B.3扃C.6石兀D.9#：兀

3.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）在三棱锥尸-ABC中，VABC是边长为2的等边三角形，

PA=PB=2,PC=底,则该棱锥的体积为（）

A.1B.6C.2D.3

4.（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知四棱锥尸-ABC。的底面是边长为4的正方形，

PC=PD=3,ZPCA=45°,则△尸3c的面积为（）

A.272B.3A/2C.4版D.60

5.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知圆锥尸。的底面半径为G，O为底面圆心，PA,P8为圆

锥的母线，NAC®=120。，若Ans的面积等于％后,则该圆锥的体积为（）

4

A.冗B.娓兀C.3万D.3a兀

1.下列命题是否正确？若正确，请说明理由；若错误，请举出反例.

(1)有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱；

(2)有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台.

2.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A,B,C,。在同一个平面内，如果四边形

ABC。是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？

3.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AAi=8,若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC,

BC,AiCi,BiCi的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？

4.如图，圆锥P。的底面直径和高均是。，过P。的中点O'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一

个圆柱,

(1)求圆柱的表面积;

(2)求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积.

5.如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积(可用计算工具，尺寸如图,

单位：cm,兀取3.14,结果取整数)

俯视图

〃易错分析-答题模板\\

易错点：对斜二测画法的掌握不牢

易错分析：在用斜二测画法画直观图时，角度、距离发生改变，故解此类问题要先画出图形，再根据

图形求解.

【易错题1】如图，矩形O'AB'C是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中O'H=3,

OC'=1,则原图形周长是

【易错题2】若水平放置的四边形A03C按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形O'AC'B'为等腰

梯形，AC//O'B\AC=4,O'B'=S,则原四边形AOJ3C的面积为一.

第01讲基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

________________________目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：多面体的结构特征......................................................4

知识点2：简单旋转体............................................................5

知识点3：组合体................................................................5

知识点4：表面积与体积计算公式..................................................6

知识点5：空间几何体的直观图....................................................7

题型一：空间几何体的结构特征...................................................8

题型二：直观图.................................................................9

题型三：展开图................................................................10

题型四：最短路径问题..........................................................12

题型五：空间几何体的表面积....................................................14

题型六：空间几何体的体积......................................................15

04真题练习•命题洞见............................................................18

05课本典例高考素材............................................................19

06易错分析•答题模板............................................................21

易错点：对斜二测画法的掌握不牢................................................21

春情目标导航

考点要求考题统计考情分析

2024年I卷第5题，5分

2024年甲卷（理）第14题，5分（1）掌握基本空间图形及其简单组合体的概

2024年天津卷第9题，5分念和基本特征，能够解决简单的实际问题；

（1）基本立体图形2023年乙卷（理）第8题，5分（2）多面体和球体的相关计算问题是近几年

（2）表面积与体积2023年甲卷（文）第10题，5分考查的重点；

2023年天津卷第8题，5分（3）运用图形的概念描述图形的基本关系和

2023年II卷第14题，5分基本结果，突出考查直观想象和逻辑推理.

2023年I卷第12题，5分

复习目标：

（1）认识柱、锥、台'球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

（2）知道球、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问

题.

（3）能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.

//二知识导图•思维引航\\

考点突破■题型探究

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知识JJ

知识点1:多面体的结构特征

1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由

这些面所围成的多面体叫做棱柱.

(1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；

(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；

(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；

(4)平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；

(5)直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；

(6)长方体：底面是矩形的直平行六面体；

(7)正方体：棱长都相等的长方体.

2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做

棱锥.

(1)正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；

(2)正四面体：所有棱长都相等的三棱锥.

3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得

的棱台叫做正棱台.

【诊断自测】如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是()

①②③④

A.①是棱台，②不是圆台B.②是圆台，③是棱锥

C.③是棱锥，④是棱台D.③是棱锥，④是棱柱

【答案】D

【解析】对于A：①不是棱台，因为侧面不都是平行四边形，故A错误;

对于B：②不是圆台，因为上下底面不平行，故B错误；

对于C：④是棱柱，故C错误；

对于D：③是棱锥，④是棱柱，故D正确.

故选：D

知识点2：简单旋转体

1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.

2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体

叫做圆锥.

3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.

4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球

面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）.

【诊断自测】下列选项中的三角形绕直线/旋转一周，能得到如图所示几何体的是（）

【答案】B

【解析】由题意知，该几何体是组合体，上、下各一个圆锥,

根据旋转体的定义，可得B项，符合题意.

故选：B.

知识点3：组合体

由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.

【诊断自测】如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（）

A.一个球、一个四棱柱、一个圆台构成

B.一个球、一个长方体、一个棱台构成

C.一个球、一个四棱台、一个圆台构成

D.一个球、一个五棱柱、一个棱台构成

【答案】B

【解析】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成.

故选：B.

知识点4：表面积与体积计算公式

表面积公式

S巨棱柱=ch+2s底

*枝槎=c'l+2又(d为直截面周长

柱体

)

S圆锥=Zir1+2兀丫1=271r(r+/)12"

表s正棱锥=：⑶"+s底

面锥体

积s圆锥=++"=»-"+/)

a

S正棱台=—九(a+a')h+S上+S卜.

台体

S圆台=成产+/+//+r/)4E9

球S=4TTR2

体积公式

柱体V=Sh

ti加

锥体!=\sh

锥3

体

积Q<s\

台体K=^(s+4ss'+s')h

4.

球V=—7TR3

3©

【诊断自测】正六棱台的上、下底面边长分别是2和6,侧棱长是5,则它的表面积与体积分别为（）

A.16万+60/26A5B.16万+60百;52g

C.24721+60A/3;78A/3D.24721+60^;84^/3

【答案】C

如图在正六棱台ABCDEF-44GR与与中，

因为A4=2,AB=6,A4]=5,

所以侧面的梯形484A的高即正六棱台斜高为：52-19二=01，

所以梯形AB4A的面积为：s=；x（2+6）xV2T=4V2T，

所以该正六棱台的上底面积为：§=6x1x2x2xsin60°=6若，

12

同理下底面积为：S2=6x；x6x6xsin60°=54百，

所以正六棱台的表面积为：6S+Sl+S2=24721+6073>

正六棱台的高为QOX="2—（6_2『=3，

所以正六棱台的体积为：V=g（S]+S2+yfs^）h=gx[百+5473+，6百x546）x3=78百，

故选：C

知识点5：空间几何体的直观图

1、斜二测画法

斜二测画法的主要步骤如下：

（1）建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的。X,Oy,建立直角坐标系.

（2）画出斜坐标系.在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段，在

直观图中画成平行于O",O'y',使Nx”y=45（或135）,它们确定的平面表示水平平面.

（3）画出对应图形.在已知图形平行于'轴的线段，在直观图中画成平行于X，轴的线段，且长度保持

不变；在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于了轴，且长度变为原来的一般.可简化为“横

不变，纵减半”.

（4）擦去辅助线.图画好后，要擦去V轴、y'轴及为画图添加的辅助线（虚线）.被挡住的棱画虚线.

注：直观图和平面图形的面积比为也:4.

2、平行投影与中心投影

平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点.

【诊断自测】如图，直角梯形O'A'B'C'满足O'A'A.O'C',O'A'=A'B'=2,0'C=3，它是水平放置的平面图形的

直观图，则该平面图形的周长是（）

B.5+2A/3+717

C.11+历D.1072

【答案】C

【解析】由题意O'C'=OC=3,4B'=AB=2,由A'E//OC，可得AB〃OC,

由O'A'10'C,ZB'O'C=45。,A'B'//O'C,

可得ZB'O'A1=ZA'3'0'=45°,所以ZO'AB'=90°.

而O'A'=A'B'=2,

所以。3=2C7'=2xj22+22=4应,

结合斜二测画法的规则，将直观图即直角梯形O'AB'C还原成平面图形,

+32=\/41，

所以满足题意的平面图形的周长是2+6+3+历=11+«.

故选:C.

题型洞察

题型一：空间几何体的结构特征

【典例1-1】有下列命题：

①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；

②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱;

③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；

④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.

⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.

其中正确的命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,

①②错误，③正确，其中①②的反例如图所示；

棱锥：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，⑤错误;

棱台：棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，④错误；

正确命题有1个.

故选：B.

【典例1-2】下列结论正确的是（）

A.直四棱柱是长方体，长方体是四棱柱B.一个棱柱至少有6个面

C.相等的角在直观图中仍然相等D.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥

【答案】D

【解析】对A,直四棱柱底面不一定是矩形，所以直四棱柱不一定是长方体，故A错误；

对B,三棱柱只有五个面，故B错误；

对C,相等的角在直观图中不一定相等，因为直观图是按照一定的规则绘制的，可能会产生变形，

例如等腰直角三角形的直观图不一定是等腰直角三角形（原图形中两底角相等，直观图中不一定相等），

故C错误；

对D,棱柱上下底面互相平行且全等，且各侧棱互相平行，所以棱柱的侧面均为平行四边形，故D正确.

故选：D

【方法技巧】

空间几何体结构特征的判断技巧

（1）紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线

面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.

（2）说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.

【变式1-1］下列说法中，正确的是（）

A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥

B.一个多面体至少有4个面

C.有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

D.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台

【答案】B

【解析】正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误；

多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，；

有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平

行，C错误；

用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误.

故选：B.

【变式1-2】下列说法中，正确的是（）

A.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥

B.以正方体的顶点为顶点可以构成正四棱锥

C.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台

D.用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面

【答案】D

【解析】选项A：以直角三角形的一个直角边所在直线为轴旋转一周所得的

几何体是圆锥.判断错误；

选项B：由正四棱锥定义可得以正方体的顶点为顶点不可以构成正四棱锥.判断错误；

选项C：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台.判断错误；

选项D：用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.判断正确.

故选:D

题型二：直观图

【典例2-1】如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形49C7T.已知A9=4,CD'=2,则下

列说法正确的是（）

')B'x'

A.AB=2

B.ADi=2y/2

C.四边形ABC。的周长为4+20+26

D.四边形ABCD的面积为6&

【答案】D

【解析】如图可知AB=4,①,AD=20，

四边形ABCD的周长为6+20+2石，四边形ABCD的面积为:x（4+2）x2点=60.

故选:D.

【典例2-2】如图所示，梯形A'"。，。是平面图形ABCZ）用斜二测画法得到的直观图，AD'=2,

A'B'=B'C'=1,则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（）

A.72B.6C.75D.5

【答案】C

【解析】由梯形A'B'C'。'的直观图，结合斜二测画法，得到原几何图形是直角梯形

如图所示，其中钙=2AB'=2,BC=B'C'=1,

所以47=,•2+届2=而1=6.

【方法技巧】

斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：S直=3原.

【变式2-1】由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30。，腰长为2,

如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是—.

【答案】20

【解析】过点8'作EC"/，'轴，交7轴于点。，如图,

ZB'C'O'=135°,O'B'=2,

B'CO'B'

由正弦定理得

sin30°sin135°

2x-

于是得B，C=二言=&,

由斜二测画法规则知,

在原平面图形中，顶点2到x轴的距离是2&.

故答案为：2版.

【变式2-2］如图，矩形是水平放置的平面图形的直观图，其中O'A=6,O'C'=3,则原图

形Q4BC的面积为一.

【答案】360

【解析】由题意可得为4®c=3x6=18,又怖4=2&,所以S6MBe=2及xl8=36&.

故答案为：36VL

【变式2-3］（2024・四川成都•模拟预测）如图，AOAZ'是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图

（图中虚线分别与才轴和y'轴平行），O'B'=2O'D'=6,O'C'=8,则△OAB的面积为（）

A.80B.1272C.24D.48

【答案】D

【解析】由直观图可得如下平面图形：

其中03=00=6,OD=O'D'=3,OC=2O'C'=16,AD〃y轴，且AD=OC=16,

所以SAOW=万x6x16=48.

故选：D

题型三：展开图

【典例3-1］如图，在四棱锥O-ABCD的平面展开图中，底面ABCD为等腰梯形，AD//BC,

AB=CD=1,BC=2AD=2,PA=1,PALAD,QAA.AB,贝|cosNSr）C=.

S(O)

【解析】因为在平面展开图中以，AD,QA1AB,

所以在四棱锥O