2025年新高考数学一轮复习：空间点、直线、平面之间的位置关系（六大题型）（练习）（学生版+解析）

第02讲空间点、直线、平面之间的位置关系

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”.............................2

题型二：截面问题...............................................................4

题型三：异面直线的判定.........................................................5

题型四：异面直线所成的角.......................................................6

题型五：平面的基本性质.........................................................6

题型六：等角定理...............................................................7

02重难创新练..................................................................8

03真题实战练.................................................................54

题型一：证明"点共面"、"线共面"或"点共线"及“线共点”

1.如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形，BC//AD,BC^-AD,BE//AF,BE^-AF,G,H分

22

别为E4,FD的中点.

F

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(2)C,D,F,E四点是否共面？为什么？

2.如图，ABCD为空间四边形，点、E、F分别是A5、3c的中点，点G、H分别在8、AD上，且=gAD,

(1)E、F、G、H四点共面;

⑵EH、尸G必相交且交点在直线2D上.

3.若VABC所在的平面和4G所在平面相交，并且直线明、BBpCG相交于一点。，求证:

（1）45和4片、3c'和4G、AC和AG分别在同一平面内；

⑵如果AB和AB|、3c和BC、AC和AG分别相交，那么交点在同一直线上（如图）.

4.（2024•河南•模拟预测）在正四棱柱ABCD-AgGA中，。为CR的中点，且点E既在平面ABg内,

又在平面ACA内.

⑴证明：EeAO；

（2）若朋=4,AB=2,E为A0的中点，E在底面ABC。内的射影为X,指出X所在的位置（需要说明理

由），并求线段4"的长.

题型二：截面问题

5.（2024•高三•福建•期中）已知正方体A3CD-的体积为1，点M在线段3c上，点M异于点

B,C,点N在线段CQ上，且CN=；,若平面截正方体ABC。-AMG2所得的截面为四边形，则

线段8M长的取值范围为（）

6.已知圆锥的底面面积为3兀，其侧面展开图的圆心角为石兀，则过该圆锥顶点做截面，截面三角形面积最

大值为（）

A.2GB.6C.2D.72

7.（2024•四川•一模）设正方体ABCD-的棱长为1，与直线垂直的平面。截该正方体所得

的截面多边形为M.则下列结论正确的是（）.

A.M必为三角形B.M可以是四边形

C.M的周长没有最大值D.M的面积存在最大值

8.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面。所成的角都相等，则。截此正方体所得截面面积的最

大值为（）

A.B.C.D.在

4342

9.（2024•全国•模拟预测）如图，在正四棱柱A3CO-ABC2中，45=6,44,=8,衣=3再\过点A作

垂直于直线PC的截面。，则以P为顶点，截面a为底面的棱锥的体积为（）

A.42B.48C.56D.63

10.如图，在棱长为2的正方体ABC。-4AG2中，E,尸分别为棱AB和。，的中点，过点耳，E,尸的

题型三：异面直线的判定

11.（2024•江西南昌•二模）在三棱锥A-3CD中，AB_L平面38,AB=y/3,BC=BD=CD=2,E,

厂分别为AC,CD的中点，则下列结论正确的是（）

A.AF,3E是异面直线，AF±BEB.AF,BE是相交直线，AF±BE

C.AF,BE是异面直线，AF与BE不垂直D.AF,BE是相交直线，AF与AE■不垂直

12.（2024•上海•模拟预测）如下图，p是正方体ABCD-AqGR面对角线AG上的动点，下列直线中,

始终与直线3尸异面的是（）

A,直线。。B.直线8。C.直线A。D.直线4c

13.已知正方体ABC。-AMGA中，M,N,尸分别是棱AA，AG，A3的中点，。是线段"N上的动

点，则下列直线中，始终与直线PQ异面的是（）

A.破B.BCXC.CAtD.DDt

题型四：异面直线所成的角

14.如图，在直三棱柱43（7-436中，所有棱长都相等，D,E,尸分别是棱AB,BC,4G的中点，则

异面直线D厂与GE所成角的余弦值是（）

C,

15.在正方体ABCD-中，E,£G,H分别为AA|、AB、8及、8©的中点，则异面直线■与

所成的角等于（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

16.（2024•高三•陕西西安•期末）如图，在长方体A8CD-4耳G2中，AB=8,AD=6,异面直线

A.73B.20C.2A/3D.3亚

17.（2024•上海杨浦•二模）正方体A3C。-A0G2中，异面直线A5与。G所成角的大小为.

题型五：平面的基本性质

18.下列说法不正确的是（）

A.若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线

B.若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线

C.若aCl夕=/,aua,bu0,a^\b=A,则A©/

D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

19.如图，在正方体A3C。-AgG2中，P,。分别是棱AA，CQ的中点，平面QPQn平面钻8=/,

B./不一定过点8

C.R尸的延长线与D4的延长线的交点在/上

D.2Q的延长线与OC的延长线的交点在/上

20.若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数〃的最大值为（）

A.6B.5C.4D.3

题型六：等角定理

21.设3A和23的两边分别平行，若NA=45。，则-3的大小为.

22.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是.

23.已知空间中两个角a,13,且角。与角尸的两边分别平行，若&=105。，则分=.

24.如图，正方体中，E,F,G分别是棱CQ,8耳及。Q的中点，ZGBC=10°,则

/EDF=.

25.已知空间两个角/ABC和ZA'3'C',若AB/困B；BCI/B'C',ZABC=40°,则NA'B'C'=

㈤2

1.（2024•山东淄博•二模）已知a,小y为三个不同的平面，a,b,/为三条不同的直线.

若en尸=/,en刀口/="〃

则下列说法正确的是（）

A.。与/相交B.6与/相交C.a//bD.“与“相交

2.（2024•吉林•模拟预测）如图，位于江城广场某大厦楼顶的四面钟与摇橹人雕像相映成趣，一直以来

是吉林市的重要地标之一.该时钟整体呈正方体造型，在相邻两个时钟正常运行的过程中，两时针所在直线

所成的角的最大值为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

3.（2024•内蒙古呼和浩特•二模）如图，已知正四棱锥尸-ABCD的所有棱长均相等，E为棱P4的中点,

则异面直线座与尸C所成角的余弦值为（）

A&RA/6「石n小

3333

4.（2024•天津和平•三模）已知正方体ABC。-的棱长为6,点石，尸分别在棱24，AG上,

D,ED,F1

且满足==点O为底面的中心，过点石，尸，。作平面石尸。，则平面石尸。截正方体

LJy/LLJ,（_zi3

A3。-4B©A所得的截面面积为（）

A.8>/22B.6722C.4722D.2722

5.（2024•四川宜宾•模拟预测）已知瓦尸分别是棱长为2的正四面体ABC。的对棱A£>,3C的中点.过万产

的平面a与正四面体ABC。相截，得到一个截面多边形7,则正确的选项是（）

①截面多边形「可能是三角形或四边形.

②截面多边形7周长的取值范围是[4,2^+36].

③截面多边形「面积的取值范围是[1,3].

④当截面多边形7是一个面积为好的四边形时，四边形的对角线互相垂直.

2

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

6.（2024•上海•三模）如图，点N为正方形ABCD的中心，AECD为正三角形，平面ECOL平面ABCD,

M是线段£8的中点，则（）

A.DM丰EN,且直线。M、EN是异面直线

B.DM=EN,且直线。M、EN是异面直线

C.DM牛EN,且直线。M、EN是相交直线

D.DM=EN,且直线。M、EN是相交直线

7.（2024•四川绵阳•模拟预测）如图所示，在正方体A3。-A4G2中，M是棱例上一点，平面也口

与棱CG交于点N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（）

①四边形MBNR是平行四边形；②四边形MBNA可能是正方形；③存在平面与直线8月垂直；④任

意平面MBNDI都与平面ACBt垂直.

C.①④D.①②④

8.（2024•重庆•模拟预测）如图，已知四边形A3C。是平行四边形，M,N分别是尸22。的中点，点尸

在平面ABCD内的射影为N,PA与平面ABCD所成角的正切值为2,则直线PA与MC所成角的余弦值为（）

p

9.（多选题）（2024•吉林长春•模拟预测）下列基本事实叙述正确的是（）

A.经过两条相交直线，有且只有一个平面

B.经过两条平行直线，有且只有一个平面

C.经过三点，有且只有一个平面

D.经过一条直线和一个点，有且只有一个平面

10.（多选题）（2024•安徽芜湖•模拟预测）如图，长方体AG，过点A作平面的垂线，垂足为点

H.则以下命题中，正确的是（）

A.点7/是△A3。的垂心B.AH垂直平面CBR

C.4"的延长线经过点C]D.直线和。出是异面直线

11.（多选题）（2024•重庆•三模）如图，已知正方体ABC。-AqG.中，P、Q、R、S分别为棱村与独、

GA、A3的中点，则下列说法正确的是（）

B.RS与BC［异面

C.PQ1B}DD.RS与所成角为45°

12.（多选题）（2024•浙江温州•三模）已知空间两条异面直线。步所成的角等于60。，过点P与。〃所

成的角均为。的直线有且只有一条，则。的值可以等于（）

A.30°B.45°C.75°D.90°

13.（2024•全国•二模）已知长方体的底面A?。为边长是2的正方形，DDQCD,

E,尸分别为棱AB,CG的中点，则过A，E,F的平面截长方体A8CD-A耳GQ的表面所得截面的面积

为.

14.（2024辽宁大连•二模）如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD,点A1,N分别在上、下底面圆上，NB=2AN>

BC=3,则异面直线AM与CN所成角的余弦值为.

15.（2024•山东济南•三模）在正四棱柱ABC。-A£G2中，AB=4,A4]=6,M,N分别是AB,AD

的中点，则平面MNCi截该四棱柱所得截面的周长为

16.（2024•贵州毕节•三模）在正方体A5CD-AqG2中，点尸是线段BQ上的一个动点，记异面直线

0P与A片所成角为夕，则sin。的最小值为

17.（2024•四川凉山•三模）如图，在正四棱柱A3C。一中，AB=2,9=4,点E,F,G,

“分别在棱AA，BB「CCX,DR上，AE=1,BF=DH=2,CG=3.

（1）证明：点H在平面跖G中;

（2）求多面体4-EFG”的体积.

18.（2024•山东•二模）如图所示，直三棱柱A8C-A由G，各棱长均相等.o,E,尸分别为棱AB,BC,

AG的中点.

（1）证明：平面AC。，平面4A8耳；

（2）求直线EF与4耳所成角的正弦值.

19.（2024•贵州贵阳•二模）如图.直四棱柱ABCD-AB©。］的底面为菱形，且ND4B=60°,E,O分别是

上，下底面的中心，尸是AB的中点，AB=kAAt.

（1）当k=2时，求直线4尸与直线EC所成角的余弦值；

（2）是否存在实数公使得。在平面EBC内的射影。।恰好为AEBC的重心.若存在，求出点。1的坐标;若不存

在，请说明理由.

点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）

A,-B.叵C.-D.且

6633

7.（2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学卷（湖南））如图1,在正四棱柱ABCO-AAGB中,

E,R分别是人用，BQ的中点，则以下结论中不成立的是（）

A.E户与Bq垂直B.EF与垂直

C.EF与CD异面D.E尸与AG异面

8.（2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷H））已知正四棱柱ABC。-4反62中,

AAl=2AB,E为AA中点，则异面直线BE与CR所成角的余弦值为（）

A.®B.1C.逊D.。

105105

9.（2011年浙江省普通高等学校招生统一考试文科数学）若直线/不平行于平面。，且/oa,则

A.。内的所有直线与/异面B.4内不存在与/平行的直线

C.〃内存在唯一的直线与/平行D.。内的直线与/都相交

10.（2010年绥滨一中高一下学期期末考试数学卷）经过同一条直线上的3个点的平面

A.有且只有一个B.有且只有3个

C.有无数多个D.不存在

11.（2002年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））如图是表示一个正方体表面的一种平面展

开图，图中的四条线段A3、CD、£产和GH在原正方体中相互异面的有对

12.（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标III））如图，在长方体ABCD-AgGA中，点E,

厂分别在棱网上，且2DE=Ep,BF=2FBl.证明:

(1)当AB=3C时，EF1AC；

(2)点C］在平面AEF内.

第02讲空间点、直线、平面之间的位置关系

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”.............................2

题型二：截面问题...............................................................4

题型三：异面直线的判定.........................................................5

题型四：异面直线所成的角.......................................................6

题型五：平面的基本性质.........................................................6

题型六：等角定理...............................................................7

02重难创新练..................................................................8

03真题实战练.................................................................54

题型一：证明"点共面"、"线共面"或"点共线"及“线共点”

1.如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形，BC//AD,BC^-AD,BE//AF,BE^-AF,G,H分

22

别为E4,FD的中点.

(1)证明：四边形3cHG是平行四边形；

(2)C,D,F,E四点是否共面？为什么？

【解析】(1)由G,H分别为E4,FD的中点，

可得GH//AD,GH=-AD,

2

X.BC//AD,BC=-AD,

2

所以GH//BC,GH=BC,

四边形BCHG为平行四边形.

(2)C,D,F,E四点共面，

理由如下：由题意易知3E〃尸GBEnFG,

二四边形8EFG为平行四边形，.•.EFV/3G.

由(1)知CHUBG,CH=BG,

:.EFI/CH,:.EF与CH共面.

又DwFH,

-C,D,F,E四点共面.

2.如图，ABCD为空间四边形，点E、尸分别是AB、3c的中点，点G、H分别在C£＞、AD上，且08=gAD,

DG=|CD.求证:

(2)EH、FG必相交且交点在直线BDh.

【解析】(1)

连接AC、EF,HG,

由E,尸分别为AB,中点，则所〃AC,

又DH=；AD,DG=；CD,则7/G//AC,

EFHHG,

:.E、F、G、H四点共面.

(2)

易知"G=gAC,

又E,尸分别为AB,3c中点，即Eb=：AC,

:.HG声EF,

结合(1)的结论可知，四边形EFG8是梯形，因此直线£77、FG不平行,

设它们交点为P,Pe平面ABD,同理尸€平面38,

又平面ASDc平面3co=3。，因此尸e3D,

即EH、FG必相交且交点在直线BD上.

3.若VABC所在的平面和与G所在平面相交，并且直线4VBB「CQ相交于一点0,求证:

(1)人3和4耳、BC和4G、AC和AG分别在同一平面内；

⑵如果A3和AB1、BC和4G、AC和AG分别相交，那么交点在同一直线上(如图).

【解析】(1)YA41cB8]=。，

A4,、84确定平面ABO,

；A、4、B、B]都在平面AB。内，

，ABu平面ABO；u平面ABO,

ICq=0,

：.CC]确定平面ACO,

A、4、C、G都在平面ACO内，

ACu平面ACOAGu平面ACO,

CQIBB}=0,

CCP确定平面CBO,

*/c.G、B、耳都在平面CB。内，

CBu平面CB。；C]B|U平面CBO；

(2)V\AB=P,：.P&\B},PwAB,

因为ABu平面43C,44u平面A4G，

所以点尸在平面ABC与平面44月G的交线上，

VIAC-R,；.ReAG，ReAC,

因为ACu平面ABC,416匚平面4耳6，

所以点R在平面ABC与平面44G的交线上，

B\GcBC-Q,QGBjC,,QGBC,

因为BCu平面ABC,gGu平面A4G，

所以点Q在平面ABC与平面4月G的交线上，

所以尸、火、Q三点共线.

4.(2024•河南•模拟预测)在正四棱柱ABC。-AgG，中，。为CR的中点，且点E既在平面ABg内,

又在平面ACR内.

I，、、1/

BC

(1)证明：EeAO；

(2)若照=4,AB=2,E为A。的中点，E在底面ABC。内的射影为X,指出X所在的位置(需要说明理

由)，并求线段4"的长.

【解析】(1)证明：连接G。.

在正四棱柱ABCD-ASGA中，ADIIBG，则A,B-G，。四点共面，所以Ee平面A4G。.

因为侧面CGQD为矩形，且。为CD的中点，

所以GonCR=。，所以。为平面AB^D与平面ACA的一个公共点，

所以平面AgG£>n平面AC〃=A。，即平面AgGn平面ACR=A。，故EeAO.

(2)取CD的中点忆连接OF,AF,则〃为AF的中点.

理由如下：因为凡。分别为CD,G。的中点，所以0PlicC.

在正四棱柱ABC。-4MG2中，C|C1底面ABC。，所以。P，底面ABCD,^EH\\OF,所以可，底面

ABCD,即E在底面ABCD内的射影为H.

因为4Al底面ABC。，所以4ALA”.

因为AH=1AP=乌，所以A6==券.

5.（2024•高三•福建•期中）已知正方体A3CD-4片G2的体积为1，点M在线段BC上，点M异于点

B,C,点N在线段CQ上，且CN=g,若平面AMV截正方体A3CO-4BG2所得的截面为四边形，则

线段8M长的取值范围为（）

【答案】D

【解析】要想平面AMN截正方体ABCD-A£GA所得的截面为四边形,

则要平面AMN分别与正方形BCCA,ADD{\分别交于MN,AR,

显然与正方形A3B4无交线，只需保证与正方形ASGA无交线即可，

因为平面BCC^BJ1平面ADD^,面AMNR与两个平面分别交于MN,AR,

由面面平行的性质可得MTV//AR,

因为点N在线段CQ上，且CN=g,

由几何关系知，随着的增大，AR增大,

故当R与2重合时，最大，

因为正方体ABCD-AqGA的体积为1，所以正方体棱长为1，

连接A4,延长脑V,4G相交于点R,连接。m，D、N,

如图所示，由于MN〃A£>],故

6.已知圆锥的底面面积为3兀，其侧面展开图的圆心角为也兀，则过该圆锥顶点做截面，截面三角形面积最

大值为（）

A.273B.73C.2D.72

【答案】C

【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为/,高为〃，

由题意兀/=3兀，r=^3,2,"=也R,1—2,

；,h=yll2-r2=b可得轴截面顶角大于90。，

过该圆锥顶点做截面，当截面三角形顶角为90。，

即截面三角形为等腰直角三角形时面积最大，

所以截面最大面积为S=；/z=2,

故选：C.

7.（2024•四川•一模）设正方体ABCD-ABIGA的棱长为1,与直线4C垂直的平面。截该正方体所得

的截面多边形为则下列结论正确的是（）.

A.M必为三角形B.M可以是四边形

c.M的周长没有最大值D.M的面积存在最大值

【答案】D

【解析】对于选项A、B,易知平面。为平面A4A或与其平行的平面，故多边形M只能为三角形或六边形,

选项A和B均错误；

对于选项C,

当M为正三角形时，显然截面多边形M为AABR时周长取得最大值为3a；

当截面多边形M为六边形时，

设Q=x,贝=KL=V2(l-x),KM=旧，

易得:KM=ON=LP--Jlx>MN=OP=KL=x),

此时截面多边形M的周长为定值：3[0(l-x)+0x]=3后，

综合两种情况，M的周长的最大值为3a,选项C错误；

对于选项D,

当M为正三角形时，

仅当截面多边形加为叫A时的面积为!(后¥=冬

当截面多边形M为六边形时，设瓦D=尤，

该六边形可由两个等腰梯形KONM和KOPL构成，

其中MNMKO/ILP,

K0=&,KM=ON=LP=y/2x，MN=OP=KL=A/2(1-X),

两个等腰梯形KOPL和KONM的高分别为2(1一x)和手x,

贝I$M-SKOPL+SKONM

当且仅当时，六边形面积最大值为主8,即截面多边形是正六边形时截面面积最大.

24

综上，当工=工时，截面多边形为正六边形时面积取得最大值地.

24

选项D正确.

故选：D.

8.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面口所成的角都相等，则。截此正方体所得截面面积的最

大值为（）

A.B.-C.D.近

4342

【答案】A

【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，

所以在正方体ABCD-/IjBjCjDj中，

平面ABR与线A4,,4综4。所成的角是相等的，

所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，

同理平面QBD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，

要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面ABR与QBD中间的，

且过棱的中点的正六边形，且边长为亚，

2

所以其面积为5=6><4・（4）2=空，故选A.

9.（2024•全国•模拟预测）如图，在正四棱柱A3CO-中，AB=6,A4,=8,Q=3用■，过点A作

垂直于直线尸C的截面口,则以P为顶点，截面。为底面的棱锥的体积为（）

【答案】C

【解析】分别在棱8区,。R，GR,BC上取点使用M=RN=AQ=gR=2,

连接AM,MR,RQ,QN,AN,

则QR=J42+42=4及,QN=2近，AM=AN7&+G=6万

连接MN,则MN=>]AB2+AD2=60>

所以AAMN为等边三角形，

易证AMJ_PC,4V_LPC,

因为A〃nAN=A,所以PCI平面AAW,

所以五边形AMRQN即为截面夕,

设直线QR与直线间的距离为h,

因为AAAW的面积S[=^-AM-AN-sin600=gx(6后)xsin60°=18如,

四边形MRQN的面积52=：(。氏+阿)/7=9卜0+6立卜42&了一(a)2=1073,

所以截面口的面积为186+10出=286，

又点P到截面a的距离＜Z=1PC=1V62+62+62=2抠,

所以所求棱锥的体积V=g*28Gx2G=56.

故选：C.

10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AAGA中，E,尸分别为棱A8和。。的中点，过点用，E,尸的

平面a交AD于点G,则AG=()

4

D.-

3

【答案】D

如图，平面用E尸与平面CCQQ的交线与用E平行，即过点月作8也的平行线，交GA于点H,连接四“，

因为E,尸分别为棱43和。，的中点，所以H为GA的四等分点，

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过点E作EG||B/，交AZ）于点G.从而G为AD的三等分点，i^AG=-x2=~.

故选：D.

题型三：异面直线的判定

11.（2024•江西南昌•二模）在三棱锥A-3CD中，AB_L平面BCD,AB=43,BC=BD=CD=2,E,

产分别为AC,CD的中点，则下列结论正确的是（）

A.AF,3E是异面直线，AF±BEB.AF,BE是相交直线，AF±BE

C.AF,BE是异面直线，AF与BE不垂直D.AF,BE是相交直线，AF与BE不垂直

【答案】A

【解析】显然根据异面直线判定方法：经过平面ACD外一点8与平面ACO内一点E的直线BE与平面ACD

内不经过E点的直线AF是异面直线.

下面证明BE与AF垂直：

证明：因为平面BCD,CDu平面BCD,

所以ABLCD,

因为9尸分别为CD的中点，连接8尸，

所以

因为=平面AB产，

所以C£>_L平面AB尸，

如图：取"的中点。，连接8。，EQ,

因为AFu平面/，所以CD_LA尸，

又因为EQ/C。，所以EQ1_AF,

因为BC=BD=CD=2,

所以BF=@x2=g=AB,

2

又因为Q为AF的中点，所以8QJ_A产，

因为8QcE0=。，5Q,EQu平面BEQ,

所以平面BEQ,

又因为BEu平面2EQ,所以AF_L3E.

故选：A.

12.（2024•上海•模拟预测）如下图,尸是正方体ABCD-4片GA面对角线AG上的动点，下列直线中,

始终与直线8尸异面的是（）

C.直线4。D.直线AC

【答案】D

【解析】当P位于AG中点时，易知尸€月2,由正方体的特征可知四边形32。为平行四边形，此时8尸、

D2u面BBQQ,故A错误;

当P与C1重合时，此时3尸、8（＜=面88口夕，故B错误;

当尸与C1重合时，由正方体的特征可知四边形ABC"为平行四边形，此时5P//A0,故C错误;

由正方体的特征可知四边形ACGA为平行四边形,

而3e平面ACGA，Pc平面ACGA，AC//AG，AC,AGu平面ACGA，BPcA1cl=P,

故AC与BP始终异面，即D正确.

故选：D

13.已知正方体ABC。-4gG0中，M,N,P分别是棱AA，D6,43的中点，。是线段MN上的动

点，则下列直线中，始终与直线PQ异面的是（）

A.ABjB.BC[C.CAtD.DDt

【答案】A

【解析】对于选项A,AB]U面Pw面ABBJA，Qe面所以直线PQ与4片异面；

对于选项B,当。与N重合时，因为P8//NG，又M,N,尸分别是棱AA，AG，AB的中点，所以P8=NG，

所以尸Q//BG，选项B错误；

对于选项C,连接AP,PC,CN,M4,,在正方体中，易得AP//CN且4f=CN,所以AC与PN相交，即当Q

与N重合时，PQ与CA相交，选项C错误；

对于选项D,取4耳中点H,连D\H交MN于E,连DP,PH,因为PH//DR且PH=,所以DP//RH

且DP=RH,故当。与E重合时，PQ与。2相交，选项D错误.

故选：A.

题型四：异面直线所成的角

14.如图，在直三棱柱ABC-AgG中，所有棱长都相等，D,E,尸分别是棱AB,BC,4G的中点，则

异面直线。户与GE所成角的余弦值是（）

C,

【答案】D

【解析】连接2尸，因为在直三棱柱ABC-AAG中，E,尸分别是棱BC,gG的中点,

故^用|取6尸=8瓦，即四边形GFBE，为平行四边形，所以8FIIGE,

则NORB即为异面直线。尸与GE所成角或其补角;

直三棱柱ABC-AMG中，所有棱长都相等，设其棱长为2,连接

则所=2,EF||B综2瓦，平面A8C,故平面ABC,OEu平面ABC,

故EF1.DE,。是棱AB的中点，故。E=(AC=1,

则=ylEF2+DE2=拈，而BF=^EF2+BE2=&

DF2+BF2-DB25+5-19

,又DB6故在必所中，侬"2DF-BF

2-75-75-10

由于异面直线所成角的范围（。（），故异面直线£＞尸与GE所成角的余弦值是白,

\J10

故选：D.

15.在正方体A8CD-A£CQi中，£尸,G,"分别为、AB,8片、4G的中点，则异面直线力'与G7/

所成的角等于（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

【答案】B

【解析】如图，连接AB,BG，AG，

由题意所〃ABGH//BQ,

所以异面直线EF与GH所成的角是乙412G或其补角,

由正方体性质知VA/G是等边三角形，=60。,

所以异面直线£尸与GH所成的角是60。.

故选：B.

16.（2024•高三•陕西西安•期末）如图，在长方体A8CD-4与GA中，AB=8,AD=6,异面直线

则CG=()

A.B.20C.2GD.372

【答案】C

【解析】连接AC,交DB于点O,取CC1的中点E,连接0E,3E.

因为AC"/OE,所以3。与AG所成的角为/BOE（或其补角）.

令EC=尤，在△3EO中，由A3=8,AD=6,得03=5.

又OE=Jf+25,BE=Jf+36，cos/BOE=卡,

-\f]x'+25+25—x2—36y/1__r—

由余弦定理得"慧;产—，即Rn--------二——=为，解&得zx=相,

102x5x5/尤2+2510

所以CG=2百.

故选：C

17.（2024•上海杨浦•二模）正方体ABC。-AAGR中，异面直线AB与。G所成角的大小为.

1T

【答案】450/y

4

【解析】正方体ABC。-aqGQ中，CD//AB,因此/C£）G异面直线A3与。G所成的角或其补角，

而NC]Co=9（r,cr>=CG，因此NCOG=45。.

所以异面直线与。G所成角的大小为45。.

故答案为：45°

题型五：平面的基本性质

18.下列说法不正确的是（）

A.若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线

B.若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线

C.若aT\B=l,aua,bc.13,aC\b=A,则AG/

D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

【答案】B

【解析】若四点中恰有三点共线，则直线和直线外一点，确定一个平面；若四点共线，则四点一定共面；

若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线，故A正确.若两条直线没有公共点，则两条直线可能异面，

也可能平行，故B错误.若aua,bu0,aC\b=A,则Ada,因为aCl/=/,所以AG/,故C正确.两

两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确.故选B.

19.如图，在正方体ABCD-中，P,。分别是棱44-CG的中点，平面平面ABCD=/,

则下列结论错误的是（）

A./过点8

B./不一定过点B

C.。丁的延长线与ZM的延长线的交点在/上

D.BQ的延长线与。C的延长线的交点在/上

【答案】B

【解析】连接QB,如图，

因为尸，。分别是棱A4-CG的中点，

由勾股定理得RP=D{Q=QB=BP,

所以四边形APB0是菱形，

所以P,B,。四点共面，即Be平面AP8Q.

又Be平面ABC。，所以Be/,故A结论正确，B结论错误.

如图，延长，尸与ZM的延长线交于点色延长。卫与DC的延长线交于点E.

因为"Fu平面〃尸3。，所以尸e平面APB。，

因为Z）尸u平面A3CD,所以尸e平面ABCD,所以尸e/,

同理Ee/,故C,D正确.

故选：B

20.若空间中〃（“23）个不同的点两两距离都相等，则正整数”的最大值为（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】考虑平面上3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；

若平面内4个点两两距离相等，则其中有三个点A、3、C构成等边三角形，

第四个点到等边三角形三个顶点的距离相等，则第四个点必为等边三角形的中心O,

A

则。4=03=OC,易知NAOB=120。，则OA<AB,矛盾，

当"25时，也不成立；

在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；

当〃=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点与它们距离相等，

必为正四面体的外接球的球心，

将棱长为〃的正四面体"吟置于正方体WQ-跳中，则正方体的棱长为正〃,

2

正四面体A/Z小H的外接圆半径为尺=」产石=!'6乂立〃=如。<尸尸，矛盾，

2224

同理〃>5时不成立.

故选：C.

题型六：等角定理

21.设NA和N3的两边分别平行，若NA=45。，则的大小为.

【答案】45。或135。/135。或45°

【解析】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补.

故答案为：45。或135。.

22.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是

【答案】正方形

【解析】连接AC、BD,

•；E、F、G、H分别为各边的中点，

:.EF//AC,GH//AC,E