2025年中考数学复习：利用二次函数性质解决线段最值问题

利用二次函数性质解决线段最值问题

方法突破练

L如图，已知抛物线y=/+2x-3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,连接A

C,点M是线段AC下方抛物线上一点，过点M作y轴的平行线与AC交于点N,求线段MN的最大值.

2如图，已知抛物线y=-必+2x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,连接B

C,点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PM1BC于点M,求线段PM的最大值.

3.如图，已知抛物线y=-好+2x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,连接BC,

点D是线段BC上方抛物线上一点，过点D作.交x轴于点E,连接AD交BC于点F,当黑取得最小值时，

UE

求点D的坐标.

第3题图

设问进阶练

例如图，已知抛物线y=/—2x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点D是直

线BC下方抛物线上的动点.

⑴如图①，过点D作轴交BC于点E,过点D作DF1BC于点F,求△DEF周长的最大值；

例题图①

(2)如图②，若点D在抛物线对称轴的右侧，过点D作DE1x轴，垂足为点E,DE交BC于点H求DH+C”的

最大值，并求出此时点D的坐标；

例题图②

⑶如图③，连接AD交BC于点E,求黑的最小值.

例题图③

综合强化练

1.如图，抛物线y=ax2+bx+遮与x轴交于A(1,0),B两点，与y轴交于点C,对称轴为直线.x=2.

⑴求抛物线的解析式；

⑵点M为直线BC上一动点，当AB=CM时，求点M的横坐标；

⑶若点P为线段BC上一点,。(0,2V3),,延长线段DP交抛物线于点F,求案的最大值.

作图区答题区

第1题图

备用图①

备用图②

2.如图，抛物线yax2+bx+c(a力0)经过A(4,0),B两点，且与x轴交于另一点(C(-l-0),直线l-.y-^x

+m与x轴交于点A,与y轴交于点B.

⑴求直线1与抛物线的解析式；

⑵若点P是直线1下方的抛物线上一点，过点P作PM〃x轴交1于点M,过点P作PN〃y轴交1于点N,求P

M+PN的最大值；

(3)若点E是直线1下方抛物线上一点，当点E到直线1的距离最大时，求出此时点E的坐标.

备用图②

类型一动点产生的线段问题

考向1

考向2利用二次函数性质解决线段最值问题

一阶方法突破练

1.解：；抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,.•.当x=0时,y=-3,则C(0,-3),

当y=0时，解得x=-3或x=l,

••点A在点B左侧,，A(-3,O),B(1,O),

设直线AC的解析式为y=mx+n(m/O),

把点A(-3,0),C(0,-3)代入，

得「3皿+\=。,解得产

In=—3=—3

二直线AC的解析式为y=-x-3,

设M(t-12+2t-3)(-3<t<0)；则N(t,-t-3)(设出动点坐标),

MN=T—3—(产+2t—3)=-t2-3t=-(t+|)+n表示竖直线段的长)，

-3<--<0,-1<0,

二.当t=-1时，MN有最大值，最大值为：(利用二次函数的性质求解).

2.解:如解图，过点P作PNlly轴交BC于点N(作y轴平行线构造特殊三角形)，

抛物线与x轴交于A,B两点，

2

.,.令y=0,即—x+2久+3=0,解得Xi=—l,x2=3.

1•点A在点B左侧，

.■.A(-l,0),B(3,0).

第题解图

••・抛物线与y轴交于点C,2

.■.C(0,3),.-.OB=OC=3,.-.zOCB=45°.

.PN_Lx轴,..PNIIOC,.-.ZPNM=ZOCB=45°,

二APMN为等腰直角三角形，；.PM=f

•.B(3,0),C(0,3),

二直线BC的解析式为y=-x+3.

设P(TH，-机2+2m+3)(0<m<3),,则N(m,-m+3)(设点坐标),

PN=—m2+2m+3-(―m+3)=-(rn—|)+：(表示线段长).

...PM=曰PN=-苧(m-/+竽(将斜线段转化为竖直线段).

0<-<3,--<0,

22

二当爪=|时，PM取得最大值，最大值为竽(利用二次函数的性质求解).

3.解:1•抛物线y=—久？+2久+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,

令x=0,解得y=3;令y=0,解得x=-l或x=3,

.-.A(-l,0),B(3,0),C(0,3),

，AB=4,直线BC的解析式为y=-x+3.

•.DEllBC,

.“AFBSAADE(找出含有线段比值的两个相似三角形)，

黑=*(利用相似三角形的性质将线段比值转化到可以表示出来的线段上).

DEAE

•.AB为定值,

，当的取得最小值时，AE取得最大值.

设D(m>-m2+2m+3j(0<m<3)(设点坐标)，

.•DEIIBQ

:设直线DE的解析式为y二-x+b把点D(m>-m2+2m+3)代入，得一TH+b=-m2+2m+3,

.・.b=3m+3,

「•直线DE的解析式为y=—x—m2+3m+3,将y=0代入y=—x—m2+3m+3中，得％=—m2+3m+3,

E(^—m2+3m+3,0),

AE=—m2+3m+3—(—1)=—m2+3m+4=—(m—|)2+彳(表示线段长).

70<|<3,-1<0,

当爪=|时，AE取得最大值，此时点D的坐标为(|，号(利用二次函数的性质求解)，

,当案取得最小值时，点D的坐标为

二阶设问进阶练

例解:⑴抛物线y=例-2x-3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,

.-.A(-l,0),B(3,0),C(0,-3).

.•直线BC的解析式为y=x-3.

由B(3,0),C(0,-3)知OB=3,OC=3,，NOCB=45。.

设D久2一2万-3)(0<x<3),则E(x,x-3),

DE—x—3—-2x-3)=—x2+3x

•••DElly®,DF±BC,.-.zFED=zOCB=45°,

."DEF为等腰直角三角形,二FD=FE=与DE.

.,.当DE取最大值时,△DEF的周长最大.

•*.DE=—/+3%=—(x—)4—，且-1<0,0<-<3,

\2/42

，当X=*寸，DE取得最大值，最大值为：,此时尸。=FE=乎x：=竽.

N4Z4o

「.△DEF周长的最大值为DEFE+FD=9+^;

4

⑵如解图①,过点H作HG，y轴于点G,则GHIIOB,

由⑴得,A(-L0),B(3,0),C(0,-3),

.,QB=OC=3,..BC=3V2Z

••・抛物线的对称轴为直线x=-£=1,

设。［，运一2万—3)(1<x<3),由(1)知，直线BC的解析式为y=x-3,例题解图①

.,.H(x,x-3),GH=x,

•.GHIIOB/.ACHG-ACBO,

.GH_CHanX_CH

"OB~CB'3-3G

CH=y[2x,

又「DH=x-3—(小-2%-3)=—%2+3x,

，DH+CH=—x2+3]+V2x=—%2+(3+V2)x

•.-1<O,/.DH+CH存在最大值，

二.当X=等时，DH+CH取得最大值，最大值为安兰

.■.DH+CH的最大值为空，此时点D的坐标为(萼，中);

(3)如解图②，过点A作AH轴交直线BC于点H,过点D作DF，x轴交直线BC于点F,

易得ADEFiAEH,•=篇

设D(d,d2—2d—3),则F(d,d-3),

***DF-d-3-(d?-2d-3)=-d?+3d.

AH±x轴,且点H在直线BC上，

.-.AH=4.

例题解图②

，当d=-一加=|寸案取得最大值，最大值为高,第勺最小值为？

2x(——I2AE16DE9

•••黑的最小值为2|.

DE9

三阶综合强化练

1.解：(1);抛物线y=。/++百与x轴交于点AQQ),对称轴为直线x=2,

_V3

a+6+V3=0CL=—

_2__2，解得.3

,4显

2a一b=---------

-V3

，抛物线的解析式为y=-9x+V3；

(2)由⑴得B(3,0),/.AB=2,

当x=0时,y=痣得C(0,V3),

直线BC的解析式为y=-fx+V3,

设M(t,-争+")，

.CM=AB,

CM2=t2+|t2=2?,解得t=或t=—V3,

.•点M的横坐标为8或一百；

⑶【思路点拨】画出草图，过点F作x轴的垂线FK,构造AFKP-ADCP,将求9的最大值转化为求线段FK的

最大值求解即可.

如解图，过点F作FK±x轴，交BC于点K,

D(0,2V3),

CD=V3,

第1题解图

FKlly轴,

.“FKPSADCP,

FK_FK

DC-后

V3।

—m2-------m+

33

V32

.­.FK=-------+

3

旧血,贝U=1771^4-771=+*

•・•一£<0,0<；<3,

・•・当M=次寸，霁有最大值，最大值是;•

2.解:⑴将点A(4,0)代入直线1:y="+6中，得m=-2二直线I的解析式为y="-2；

令x=0碧y=-2,，B(0,-2),

.,抛物线的解析式为y=ax2+bx-2,

•.抛物线经过点A(4,0),与x轴交于另一点C(-l,0),

，将A,C的坐标分别代入抛物线的解析式，

得｛16a+4b-2=0解得.

a—b—2=0'

抛物线的解析式为y=|x2-|x-2；

(2)【思路点拨】由PMllx轴,PNlly轴，易得AMPN-AAOB,可求出PM与PN的关系，再由二次函数的性质求

解即可.

设点P(正弓，—|九—2)(0<n<4)厕点N(n,|n—2),PN=|n—2—Qn2—|n—2)=—|n2+2n,

'：PMllx轴,PNlly轴/.AMPNSA