专项06-平方根-重难点题型

平方根-重难点题型【知识点1平方根的概念及表示】①定义：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的②表示方法：正数a的正的平方根记作a，负的平方根记作−a，正数a的两个平方根记作±负根号a，其中a叫做被开方数.【题型1平方根的概念及表示】【例1】（景县月考）“49的平方根是±2A．49=±23 B．49=23 【变式1-1】（惠山区校级月考）下列语句正确的是（）A．10的平方根是100 B．100的平方根是10 C．﹣2是﹣4的平方根 D．49的平方根是±【变式1-2】（潮南区期末）实数1﹣3a有平方根，则a可以取的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【变式1-3】（九龙坡区期中）若﹣2xay与5x3yb的和是单项式，则（a+b）2的平方根是（）A．2 B．±2 C．4 D．±4【知识点2平方根的性质】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．【题型2平方根的性质】【例2】（阳谷县月考）已知3m﹣1和﹣2m﹣2是某正数a的平方根，则a的值是（）A．3 B．64 C．3或−15 【变式2-1】（孟村县期中）已知正实数x的两个平方根是m和m+b．（1）当b＝8时，m的值是；（2）若m2x+（m+b）2x＝4，则x＝．【变式2-2】（高新区校级期中）已知2x﹣y的平方根为±3，﹣4是3x+y的一个平方根，求x﹣y的平方根．【变式2-3】（东城区校级期中）已知正实数x的平方根是n和n+a（a＞0）．（1）当a＝6时，求n的值；（2）若n2+（n+a）2＝8，求a﹣n的平方根．【知识点3开平方】求一个数的平方根的运算叫做开平方．【题型3利用开平方解方程】【例3】（巴楚县月考）求下列各式中x的值：（1）x2﹣5=4（2）3x2﹣15＝0；（3）2（x+1）2＝128．【变式3-1】（岷县月考）求下列各式中x的值．（1）（2x﹣1）2＝25．（2）x2−121【变式3-2】（甘州区校级期中）求满足下列各式的未知数x．（1）（x﹣1）2﹣49＝0；（2）18【变式3-3】（中山区期末）定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数，且未知数的最高次数是2的⽅程，叫做⼀元⼆次⽅程．如x2＝9，（x﹣2）2＝4，3x2+2x﹣1＝0…都是⼀元⼆次⽅程．根据平⽅根的特征，可以将形如x2＝a（a≥0）的⼀元⼆次⽅程转化为⼀元⼀次⽅程求解．如：解方程x2＝9的思路是：由x＝±9，可得x1＝3，x2＝﹣3．解决问题：（1）解方程（x﹣2）2＝4．解：∵x﹣2＝±4，∴x﹣2＝2，或x﹣2＝．∴x1＝4，x2＝．（2）解方程：（3x﹣1）2﹣25＝0．【知识点4算术平方根的概念】正数a有两个平方根±a，我们把正数a的正的平方根a，叫做a的算术平方根【题型4算术平方根的概念】【例4】（红桥区期中）8116的算术平方根是【变式4-1】（郧西县月考）下列说法正确的是（）A．﹣4是（﹣4）2的算术平方根 B．±4是（﹣4）2的算术平方根 C．16的平方根是﹣2 D．﹣2是16的一个平方根【变式4-2】（巴南区期中）已知99225=315，x=3.15，则A．9.9225 B．0.99225 C．0.099225 D．0.0099225【变式4-3】（玄武区期末）若方程（x﹣1）2＝5的解分别为a，b，且a＞b，下列说法正确的是（）A．a是5的平方根 B．b是5的平方根 C．a﹣1是5的算术平方根 D．b﹣1是5的算术平方根【知识点5算术平方根的性质】①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；②负数没有算术平方根.当a≥0时，③算术平方根具有双重非负性：a≥0；【题型5算术平方根的非负性】【例5】（安宁市校级期中）若x−1+（y+2）2＝0，则（x+y）2021等于【变式5-1】（浦东新区月考）若x−1与|2x+y﹣6|互为相反数，则（x+y）2的平方根是．【变式5-2】（海淀区校级期中）当x＝时，代数式x−2+1取最小值为【变式5-3】（蜀山区校级期中）若a，b，c为实数，且|a+1|+b−1+（c﹣1）2＝0，则（abc）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1【题型6算术平方根的应用】【例6】（武昌区期中）如图，用两个边长为5cm的小正方形拼成一个大的正方形．（1）求大正方形的边长；（2）若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48cm2？【变式6-1】（越秀区校级期中）如图，有一个面积为400cm2的正方形．（1）正方形的边长是多少？（2）若沿此正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明．【变式6-2】（天心区月考）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来的400m2的正方形场地改建成300m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．（1）求原来正方形场地的周长．（2）如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．【变式6-3】（江岸区期中）列方程解应用题小丽给了小明一张长方形的纸片，告诉他，纸片的长宽之比为3：2，纸片面积为294cm2．（1）请你帮小明求出纸片的周长．（2）小明想利用这张纸片裁出一张面积为157cm2的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由．（π取3.14）

平方根-重难点题型（解析版）【知识点1平方根的概念及表示】①定义：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的②表示方法：正数a的正的平方根记作a，负的平方根记作−a，正数a的两个平方根记作±负根号a，其中a叫做被开方数.【题型1平方根的概念及表示】【例1】（景县月考）“49的平方根是±2A．49=±23 B．49=23 【分析】根据一个正数有两个平方根，可得平方根的表示方法．【解答】解：±4故选：C．【点评】本题考查了平方根，注意一个正数有两个平方根．【变式1-1】（惠山区校级月考）下列语句正确的是（）A．10的平方根是100 B．100的平方根是10 C．﹣2是﹣4的平方根 D．49的平方根是±【分析】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数可对A、B、D进行判断；根据负数没有平方根可对C进行判断．【解答】解：A、10的平方根是±10，所以A选项错误；B、100的平方根是±10，所以B选项错误；C、﹣4没有平方根，所以C选项错误；D、49的平方根为±23，所以故选：D．【点评】本题考查了平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，记作±a（a≥0）．【变式1-2】（潮南区期末）实数1﹣3a有平方根，则a可以取的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据平方根的性质求出a的范围，从而得出答案．【解答】解：∵实数1﹣3a有平方根，∴1﹣3a≥0，解得a≤1故选：A．【点评】本题主要考查平方根，平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．【变式1-3】（九龙坡区期中）若﹣2xay与5x3yb的和是单项式，则（a+b）2的平方根是（）A．2 B．±2 C．4 D．±4【分析】若﹣2xay与5x3yb的和是单项式，可知﹣2xay与5x3yb是同类项，根据同类项的定义求出a，b，再代入计算即可求出答案．【解答】解：由题意可知：﹣2xay与5x3yb是同类项，∴a＝3，b＝1，∴（a+b）2＝（3+1）2＝16，16的平方根是±4．故选：D．【点评】本题考查合并同类项，解题的关键正确理解同类项的定义，本题属于基础题型．【知识点2平方根的性质】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．【题型2平方根的性质】【例2】（阳谷县月考）已知3m﹣1和﹣2m﹣2是某正数a的平方根，则a的值是（）A．3 B．64 C．3或−15 【分析】3m﹣1与﹣2m﹣2相等或者互为相反数，分别求出m的值，再求出3m﹣1的值，最后求出a的值．【解答】解：根据题意得：3m﹣1＝﹣2m﹣2或3m﹣1+（﹣2m﹣2）＝0，解得：m=−1当m=−13m﹣1=−8∴a=64当m＝3时，3m﹣1＝8，∴a＝64；故选：D．【点评】本题考查了平方根的定义，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解．【变式2-1】（孟村县期中）已知正实数x的两个平方根是m和m+b．（1）当b＝8时，m的值是；（2）若m2x+（m+b）2x＝4，则x＝．【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出m的值；（2）利用平方根的定义得到（m+b）2＝x，m2＝x，代入式子m2x+（m+b）2x＝4即可求出x值．【解答】解：（1）∵正实数x的平方根是m和m+b∴m+m+b＝0，∵b＝8，∴2m+8＝0∴m＝﹣4；（2）∵正实数x的平方根是m和m+b，∴（m+b）2＝x，m2＝x，∵m2x+（m+b）2x＝4，∴x2+x2＝4，∴x2＝2，∵x＞0，∴x=2故答案为：（1）4；（2）2．【点评】本题考查了平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．【变式2-2】（高新区校级期中）已知2x﹣y的平方根为±3，﹣4是3x+y的一个平方根，求x﹣y的平方根．【分析】根据平方根的意义可知2x﹣y＝9，3x+9＝16，进而求出x、y的值，代入求出x﹣y的值，最后求出其平方根．【解答】解：∵2x﹣y的平方根为±3，∴2x﹣y＝9，又∵﹣4是3x+y的一个平方根，∴3x+y＝16，∴x＝5，y＝1，因此x﹣y＝5﹣1＝4，所以4的平方根为±2，答：x﹣y的平方根为±2．【点评】本题考查平方根的意义和计算方法，理解平方根的意义是解决问题的前提．【变式2-3】（东城区校级期中）已知正实数x的平方根是n和n+a（a＞0）．（1）当a＝6时，求n的值；（2）若n2+（n+a）2＝8，求a﹣n的平方根．【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出a的值；（2）利用平方根的定义得到（n+a）2＝x，a2＝x，代入式子n2x2+（n+a）2x2＝10即可求出x值．【解答】解：（1）∵正实数x的平方根是n和n+a，∴n+n+a＝0，∵a＝6，∴2n+6＝0∴n＝﹣3；（2）∵正实数x的平方根是n和n+a，∴（n+a）2＝x，n2＝x，∵n2+（n+a）2＝8，∴x+x＝8，∴x＝4，∴n＝﹣2，n+a＝2，即a＝4，∴a﹣n＝6，a﹣n的平方根是±6．【点评】本题考查了平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．【知识点3开平方】求一个数的平方根的运算叫做开平方．【题型3利用开平方解方程】【例3】（巴楚县月考）求下列各式中x的值：（1）x2﹣5=4（2）3x2﹣15＝0；（3）2（x+1）2＝128．【分析】（1）移项后合并同类项，再开方即可；（2）先移项，方程两边除以3，再开方即可；（3）方程两边除以2，再开方即可．【解答】解：（1）x2﹣5=4x2=49x=±49x1=73，x2（2）3x2﹣15＝0，3x2＝15，x2＝5，x=±5（3）2（x+1）2＝128，（x+1）2＝64，x+1＝±8，x1＝﹣9；x2＝7．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．【变式3-1】（岷县月考）求下列各式中x的值．（1）（2x﹣1）2＝25．（2）x2−121【分析】（1）根据平方根的定义求解即可；（2）先移项，再根据平方根的定义求解即可．【解答】解：（1）∵（2x﹣1）2＝25，∴2x﹣1＝5或2x﹣1＝﹣5，∴x＝3或x＝﹣2．（2）∵x2−121∴x2=121∴x=117或x【点评】此题考查了平方根的定义，熟记平方根的定义是解题的关键．【变式3-2】（甘州区校级期中）求满足下列各式的未知数x．（1）（x﹣1）2﹣49＝0；（2）18【分析】（1）根据平方根的定义进行求解即可得出答案；（2）先把要求的式子化成（x﹣2）2＝64，再根据平方根的定义进行求解即可．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2﹣49＝0，∴（x﹣1）2＝49，∴x﹣1＝±7，∴x1＝8，x2＝﹣6．（2）∵18∴18∴（x﹣2）2＝64，∴x﹣2＝±8，∴x1＝10，x2＝﹣6．【点评】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的求法是解题的关键．【变式3-3】（中山区期末）定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数，且未知数的最高次数是2的⽅程，叫做⼀元⼆次⽅程．如x2＝9，（x﹣2）2＝4，3x2+2x﹣1＝0…都是⼀元⼆次⽅程．根据平⽅根的特征，可以将形如x2＝a（a≥0）的⼀元⼆次⽅程转化为⼀元⼀次⽅程求解．如：解方程x2＝9的思路是：由x＝±9，可得x1＝3，x2＝﹣3．解决问题：（1）解方程（x﹣2）2＝4．解：∵x﹣2＝±4，∴x﹣2＝2，或x﹣2＝．∴x1＝4，x2＝．（2）解方程：（3x﹣1）2﹣25＝0．【分析】根据例题运用平方根解一元二次方程的方法解答即可．【解答】解：（1）∵x﹣2＝±4，∴x﹣2＝2，或x﹣2＝﹣2．∴x1＝4，x2＝0．（2）∵（3x﹣1）2﹣25＝0∴（3x﹣1）2＝25，∴3x﹣1＝±25，∴3x﹣1＝5，或3x﹣1＝﹣5．∴x1＝2，x2=−4故答案为：﹣2，0．【点评】此题主要考查了平方根的定义，熟练掌握例题运用平方根解一元二次方程的方法是解本题的关键．【知识点4算术平方根的概念】正数a有两个平方根±a，我们把正数a的正的平方根a，叫做a的算术平方根【题型4算术平方根的概念】【例4】（红桥区期中）8116的算术平方根是【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．【解答】解：∵8116∴8116的算术平方根是：3故答案为：32【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握相关定义是解题关键．【变式4-1】（郧西县月考）下列说法正确的是（）A．﹣4是（﹣4）2的算术平方根 B．±4是（﹣4）2的算术平方根 C．16的平方根是﹣2 D．﹣2是16的一个平方根【分析】根据算术平方根、平方根的定义求解判断即可．【解答】解：A，﹣4是（﹣4）2的负的平方根，故此说法不符合题意；B，±4是（﹣4）2的平方根，故此说法不符合题意；C，16的平方根是±2，故此说法不符合题意；D，﹣2是16的一个平方根，故此说法符合题意；故选：D．【点评】此题考查了算术平方根、平方根，熟记算术平方根、平方根的定义是解题的关键．【变式4-2】（巴南区期中）已知99225=315，x=3.15，则A．9.9225 B．0.99225 C．0.099225 D．0.0099225【分析】直接利用平方根的定义将原式变形得出答案．【解答】解：∵99225=∴9.9225×10000=∵x=∴x＝9.9225，故选：A．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握相关定义是解题关键．【变式4-3】（玄武区期末）若方程（x﹣1）2＝5的解分别为a，b，且a＞b，下列说法正确的是（）A．a是5的平方根 B．b是5的平方根 C．a﹣1是5的算术平方根 D．b﹣1是5的算术平方根【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐一判断即可．【解答】解：若方程（x﹣1）2＝5的解分别为a，b，且a＞b，则a﹣1是5的算术平方根．故选：C．【点评】本题主要考查看平方根与算术平方根，熟记相关定义是解答本题的关键，算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为a；平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．【知识点5算术平方根的性质】①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；②负数没有算术平方根.当a≥0时，③算术平方根具有双重非负性：a≥0；【题型5算术平方根的非负性】【例5】（安宁市校级期中）若x−1+（y+2）2＝0，则（x+y）2021等于【分析】利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：∵x−1+（y+2）2∴x﹣1＝0，y+2＝0，解得：x＝1，y＝﹣2，则原式＝（1﹣2）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了非负数的性质：算术平方根，以及偶次方，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．【变式5-1】（浦东新区月考）若x−1与|2x+y﹣6|互为相反数，则（x+y）2的平方根是．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列方程，再根据非负数的性质列方程求出x、y的值，然后代入代数式求解，再根据平方根的定义解答．【解答】解：∵x−1与|2x+y﹣6|互为相反数，∴x−1+|2x+y∴x−1=02x+y−6=0解得x=1y=4∴（x+y）2＝（1+4）2＝25，∴（x+y）2的平方根是±5．故答案为：±5．【点评】本题考查了平方根以及非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【变式5-2】（海淀区校级期中）当x＝时，代数式x−2+1取最小值为【分析】直接利用非负数的性质得出x的值，进而得出答案．【解答】解：∵代数式x−2+∴x﹣2＝0，解得：x＝2，故当x＝2时，代数式x−2+故答案为：2，1．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x的值是解题关键．【变式5-3】（蜀山区校级期中）若a，b，c为实数，且|a+1|+b−1+（c﹣1）2＝0，则（abc）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1【分析】利用非负数的性质，以及绝对值的代数意义求出a，b，c的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：∵a，b，c为实数，且|a+1|+b−1+（c﹣1）∴a+1＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，解得a＝﹣1，b＝1，c＝1，∴（abc）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查的是非负数的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．【题型6算术平方根的应用】【例6】（武昌区期中）如图，用两个边长为5cm的小正方形拼成一个大的正方形．（1）求大正方形的边长；（2）若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48cm2？【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；（2）先求出长方形的边长，再判断即可．【解答】解：（1）大正方形的边长是2×52=52（2）设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，则4x•3x＝48，解得：x=4cm＝2（cm4x＝8cm＞52cm，所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48cm2．【点评】本题考查了算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键．【变式6-1】（越秀区校级期中）如图，有一个面积为400cm2的正方形．（1）正方形的边长是多少？（2）若沿此正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明．【分析】（1）根据正方形的面积等于边长乘以边长．利用算术平方根的意义进行计算．（2）先求出长方形的边长，再判断即可．【解答】解：（1）∵正方形的面积为400cm2，∴正方形的边长是400=20（cm2（2）设长方形纸片的长为5xcm，宽为4xcm，则5x•4x＝360，解得：x=405x＝540=所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360cm2．【点评】本题考查算术平方根的意义，正确理解算术平方根的意义是解题的关键．【变式6-2】（天心区月考）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来的400m2的正方形场