专题03 勾股定理与折叠问题 带解析

2022-2023学年湘教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题03勾股定理与折叠问题姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、选择题(每题2分，共20分)1．(本题2分)（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点E处，连接交于点F，当是直角三角形时，的长为（

）A．3 B．5 C．3或6 D．2或5【答案】C【思路点拨】分三种情况：①在中，由勾股定理可求得，由翻折的性质可知：，，则，在中，依据勾股定理列方程求解即可；②当时，由翻折的性质可知：，，然后证明是等腰直角三角形，从而求得；③当时，说明此情况不存在．【规范解答】解：分三种情况：①当时，则，此时点与点重合，如图1所示，在中，，由翻折的性质可知；，，则，设，则．在中，，即．解得：．．②当时，如图2所示：．由翻折的性质可知：，，．∴，∴是等腰直角三角形，，③若时，如图，∵，则，∴之间的距离为，∴而，所以矛盾，故不存的情形，综上，的长为3或6．故选：C．【考点评析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、正方形的判定，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．2．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）在中，，，．现将按如图那样折叠，使点落在上的点处，折痕为，则的长为（

）A．3 B．4 C．6 D．【答案】A【思路点拨】首先利用勾股定理求出，进一步可得，设，则，，在中，由勾股定理得，，列出解方程求解即可得出答案．【规范解答】解：在中，由勾股定理得，，∵将沿折叠，点与点重合，∴，，∴设，则，，在中，由勾股定理得，，即解得，∴，故选：A．【考点评析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，中，，，，点D在上，将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【思路点拨】首先利用勾股定理求出，然后确定取最大值时最小，然后利用垂线段最短解决问题．【规范解答】∵中，，，，∴，∵，，∴当最小时，最大，当时最小，而，∴的最小值为，∴的最大值为．故选：C．【考点评析】本题考查了翻折变换，灵活运用勾股定理及翻折不变性是解题关键．4．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长为8，宽为4，则折痕的长度为（）A．5 B． C． D．【答案】C【思路点拨】过F点作于H．设，则．在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x为5，即可求出，．又易证，从而可求，最后再次利用勾股定理即可求出的长．【规范解答】解：如图，过F点作于H，由折叠的性质可知，．设，则，在中，，∴，解得：，∴，．∵，∴，又∵，∴，∴，∴．∵，∴．故选C．【考点评析】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．5．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，在四边形中，，，与关于直线轴对称，，，点与点对应，交于点，则线段的长为（）A．5 B． C．4 D．【答案】B【思路点拨】设，根据平行线性质和轴对称性质得到，再根据勾股定理得到关于线段、、的方程，解方程即可解决问题．【规范解答】解：设，则，∵，∴；∵与关于直线轴对称，∴，∴，∴；由勾股定理得：，即，解得：，∴，故选：B．【考点评析】本题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，勾股定理等知识点，根据勾股定理列出方程是解题的关键是．6．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，在等腰中，，，点和分别是和上两点，连接，将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处，与交于点，则折痕的长度为（）A． B． C． D．【答案】C【思路点拨】在Rt中，求出，设，则，在中，由勾股定理得，求得，在中，求出，过点怍于点，则，设，则，在Rt中，，可求，在Rt中，，可求，则．【规范解答】解∶由折叠可知，，等腰Rt中，，，是的中点，，在Rt中，，，设，则，在中，，，，在Rt中，，过点作于点，，，设，则，在Rt中，，在Rt中，，，，，故选∶C．【考点评析】本题考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．7．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，在纸片中，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为（

）A． B．10 C．11 D．【答案】A【思路点拨】过点D作AB的垂线，垂足为G，过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N，分别求出△DEA和△DFC的面积，利用S△DEF＝×（S△ABC－S△DEA－S△DFC）可得结果．【规范解答】解：过点D作AB的垂线，垂足为G，∵∠BAC＝120°，∴∠GAC＝60°，∠GDA＝30°，∴AG＝，DG＝，设AE＝x，则BE＝12－x＝DE，在Rt△DGE中，，即，解得：x＝，∴S△ADE＝DG×AE＝＝，过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N，∵，∴AN＝AB＝6，BN＝，∴BC＝，设DF＝y，则CF＝，DH＝，CH＝，则有，即，解得：，则S△DFC＝，∴S△DEF＝×（S△ABC－S△DEA－S△DFC）＝＝＝故选A．【考点评析】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出AE、BF的长是解题关键．8．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为（

）A．1或4 B．或9 C．1或9 D．或1【答案】C【思路点拨】分两种情况：①当E点在线段DC上时，②当E点在线段DC的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质进行解答即可．【规范解答】解：分两种情况讨论：①当E点在线段DC上时，如图所示：∵△AD'E≌△ADE，∴∠AD'E=∠D=90°，∵∠AD'B=90°，∴∠AD'B+∠AD'E=180°，∴B、D'、E三点共线，∵△ABE的面积=BE×AD'=AB×AD，AD'=AD，∴BE=AB=5，∵BD'==4，∴DE=D'E=5-4=1；②当E点在线段DC的延长线上，且ED″经过点B时，满足条件，如图所示：∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°，∴∠CBE=∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，，∴△ABD″≌△BEC（ASA），∴BE=AB=5，∵BD''==4，∴DE=D″E=BD''+BE=4+5=9；综上所知，DE的长为1或9，故选C．【考点评析】本题考查了翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键，有一定难度．9．(本题2分)（2022秋·江苏·八年级期中）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，连结AD，把△ACD沿AD翻折，得到△AD，D与AB交于点E，连结B，若BD＝B＝2，AD＝3，则点D到A的距离(

)A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】连接，交于点，过点作于点，由翻折知，，垂直平分，证为等边三角形，利用解直角三角形求出，，，在中，利用勾股定理求出的长，在中利用面积法求出的长．【规范解答】解：如图，连接，交于点，过点作于点，，是边上的中点，，由翻折知，，垂直平分，，，，，为等边三角形，，，，在△中，，，，，，在中，，，，故选：．【考点评析】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．10．(本题2分)（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，cm，cm，点D、E分别在AC、BC上，现将沿DE翻折，使点C落在点处，连接，则长度的最小值（

）A．不存在 B．等于1cmC．等于2cm D．等于2.5cm【答案】C【思路点拨】当C′落在AB上，点B与E重合时，AC'长度的值最小，根据勾股定理得到AB=5cm，由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，于是得到结论．【规范解答】解：当C′落在AB上，点B与E重合时，AC'长度的值最小，∵∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB=5cm，由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，∴AC′=AB-BC′=2cm．故选：C．【考点评析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．评卷人得分二、填空题(共20分)11．(本题2分)（2023秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处．若，，，则的值是_________．【答案】8【思路点拨】由折叠的性质可得，由，可得，可求的值．【规范解答】解：∵将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：8．【考点评析】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．12．(本题2分)（2023秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，中，，点P在直线上运动，连接，将沿直线折叠，点O的对应点记为．当点在直线上时，的长为________________．【答案】或【思路点拨】分类讨论点落在线段上，点落在延长线上，结合图形，根据翻折的性质求解．【规范解答】解：如图，点落在线段上，∵，∴为等腰直角三角形，，∴，由折叠可得，∴，如图，点落在延长线上，由翻折可得，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，故答案为：或【考点评析】本题考查图形的折叠问题，勾股定理，解题关键是通过分类讨论，结合图形求解．13．(本题2分)（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在中，为边上的中线，已知，，．将沿着翻折得到，连接，，则的面积为______．【答案】6.72####【思路点拨】延长交于点H．由折叠可知垂直平分线段，，，利用勾股定理解和可求出，进而求出；再证是直角三角形，利用勾股定理求出，最后利用三角形面积公式即可求解．【规范解答】解：如图，延长交于点H．，为边上的中线，．沿着翻折得到，，，垂直平分线段，在中，，在中，，，解得，，，，，，又，，是直角三角形，，，，，点A到的距离等于的长，，故答案为：6.72．【考点评析】本题考查折叠的性质，勾股定理，直角三角形的判定，平行线间的距离，等腰三角形的性质，三角形面积公式等，有一定难度，解题的关键是能够综合运用上述知识．14．(本题2分)（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在长方形纸片中，，，点M为上一点，将沿翻至，交于点G，交于点F，且，则的长度是____________．【答案】【思路点拨】先证明，再根据勾股定理设未知数列方程求解．【规范解答】解：设，则，由题意得：，，，，（AAS），，，在中，，即：，解得：．故答案为：．【考点评析】本题考查了翻折变换和矩形的性质，勾股定理，根据条件列出方程是解题的关键．15．(本题2分)（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，在中，，，将边沿着翻折，使点B落在上的点D处，再将边沿着翻折，使得C落在延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于E，F．以下四个结论①；②；③；④．正确的是_____．【答案】①③④【思路点拨】根据将边沿着翻折，使点B落在上的点D处，再将边沿着翻折，使得C落在延长线上的点处，可得，，即得，可判断①正确，由，，得，，即知是等边三角形，，设，则，，而，有，即得，可判断②错误，又可判断③正确，根据，，得，可判断④正确．【规范解答】解：∵将边沿着翻折，使点B落在上的点D处，再将边沿着翻折，使得C落在延长线上的点处，∴，，∴，故①正确，∵，，∴，，∴是等边三角形，，设，则，，∴，∵，，∴，∴，∴，而，∴，故②错误，∵，，∴，故③正确，∵，，∴，∴，∴，故④正确，∴正确的有①③④，故答案为：①③④．【考点评析】本题考查图形的折叠，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，熟练应用含30°角的直角三角形三边的关系是解题的关键．16．(本题2分)（2022秋·山西晋中·八年级统考期末）如图，在长方形中，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边的垂直平分线上，则的长为____________．【答案】##【思路点拨】根据垂直平分线的性质可得，，，再由折叠的性质，可知，，在中，由勾股定理可得，进而可得；设，则，在中，由勾股定理可得，然后代入求解即可获得答案．【规范解答】解：∵四边形为矩形，，是边的垂直平分线，∴，，，∴四边形为矩形，，根据折叠的性质，可知，，∴在中，，∴，设，则，∴在中，可有，即，解得，∴的长为．故答案为：．【考点评析】本题主要考查了垂直平分线的性质、勾股定理与折叠问题等知识，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题关键．17．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为______．【答案】或【思路点拨】连接，过作，交于点，于点，作交于点，先利用勾股定理求出，再分两种情况利用勾股定理求出．【规范解答】解：如图，连接，过作，交于点，于点，作交于点点的对应点落在的角平分线上，，设，则，，又折叠图形可得，，解得或，即或．在中，设，当时，，，，，解得，即，当时，，，，，解得，即．故答案为：或．【考点评析】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．18．(本题2分)（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考阶段练习）如图，在中，，D是边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则的面积是__________．【答案】42【思路点拨】连接，过点B作于点M，过点B作于点E，用等面积法求出，再用勾股定理求出和的长度，证明，，最后根据即可求解．【规范解答】解：如图，连接，过点B作于点M，过点B作于点N，∵，∴，∵，∴，即，解得：，在中，，∴，∵D是边的中点，∴，∵沿翻折，得到，∴，∴，∴，在中，，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵是的垂直平分线，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴．故答案为：42．【考点评析】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用等面积法求出三角形的高，正确画出辅助线，构造全等三角形．19．(本题2分)（2022秋·重庆·八年级校考期中）如图，在中，，，点D为上一点，连接，将沿翻折，得到，连接．若，，则____________．【答案】【思路点拨】根据折叠的性质得到，可得，根据等边三角形的判定和性质得，根据，，得，设，则，根据含得直角三角形的性质和勾股定理列方程求解即可．【规范解答】解：如图，过点A作交得延长线于点H，∵将沿翻折，得到，∴，∴，∵，∴，∴时等边三角形，∴，∴，∵，，∴，即，∴，∵，∴，设，则，∵，∴，在中，由勾股定理得，，∴，解得（舍去），∴，∴，在中，由勾股定理得，，∴，∴，故答案为：．【考点评析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质、一元二次方程的应用、含得直角三角形的性质和勾股定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．20．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则________【答案】或##或【思路点拨】分两种情况讨论：①当点E在线段CD上时，三点共线，根据可求得，再由勾股定理可得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值；②当点E在射线CD上时，设，则，，由勾股定理可解得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值即可．【规范解答】解：根据题意，四边形ABCD为长方形，，，将沿AE折叠得到，则，，，①如图1，当点E在线段CD上时，∵，∴三点共线，∵，∴，∵，∴；∴在中，；②如图2，当点E在射线CD上时，∵，，，∴，设，则，∴，∵，即，解得，∴，∴在中，．综上所述，AE的值为或．故答案为：或．【考点评析】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键．评卷人得分三、解答题(共60分)21．(本题6分)（2023秋·福建三明·八年级统考期末）如图，在中，，点E，F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的D点处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处．(1)求的度数；(2)若，，求线段的长；(3)在（2）的条件下，求的面积．【答案】(1)(2)(3)【思路点拨】（1）由折叠可得，，，再根据，即可得出；（2）在中，根据勾股定理可得；（3）设，则，根据勾股定理可得，即，求得，即可得出．【规范解答】（1）由折叠可得，，，又∵，∴，∴，即；（2）由折叠可得，，，∵，∴，∴，∴，∴在中，；（3）结合（2），设，则，∵在中，，在中，，∴，即，解得∴．【考点评析】本题主要考查折叠的性质及勾股定理的应用，掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键．22．(本题6分)（2020秋·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征，如图，把一张长方形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．(1)判断和是否全等？并说明理由(2)若，求的长．【答案】(1)．理由见详解(2)10【思路点拨】（1）由矩形的性质可以得出，由等式的性质可以得出就可以得出．（2）设，即，则，利用勾股定理即可求解；【规范解答】（1）．理由如下：∵∴．∵，∴，∴，∴．在和中，∴．（2）由（1）得∴设，即，则在中即解得，即．【考点评析】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，直角三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．23．(本题8分)（2023春·八年级课时练习）如图，折叠矩形纸片的，使点落在对角线上的点处，得折痕，若，，求折痕的长（结果保留根号）．【答案】折痕的长【思路点拨】在中，，，由勾股定理得到，由折叠性质得到，从而得到，设，则，在中，利用勾股定理得到，解得，在中，利用勾股定理得到，从而得到答案．【规范解答】解：由题意可知，在中，，，则由勾股定理得到，折叠矩形纸片的，使点落在对角线上的点处，，，设，则，在中，利用勾股定理得到，解得，，在中，利用勾股定理得到，折痕的长．【考点评析】本题考查利用勾股定理求线段长，涉及折叠的性质、解方程等知识，熟练掌握折叠的性质及勾股定理的运用是解决问题的关键．24．(本题8分)（2022·全国·八年级专题练习）如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，求．【答案】或【思路点拨】分为两种情况，一种是点在线段上，另一种是点在的延长线上，利用勾股定理分别求解即可．【规范解答】解：①如图1，当点在线段上时，，，，三点共线，由折叠可知：，，，，，在中，由勾股定理，得；②如图2，当点在的延长线上时，，，，，设，则，，，，解得，，在中，由勾股定理，得；综上，的值为或．【考点评析】本题考查折叠的性质，勾股定理，解题的关键是正确进行分类讨论．25．(本题8分)（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考阶段练习）操作与实践：已知长方形纸片中，，．操作一：如图①，任意画一条线段，将纸片沿折叠，使点B落到点的位置，与交于点G．试说明重叠部分为等腰三角形；操作二：如图②，将纸片沿对角线折叠，使点B落到点的位置，与交于点H．求的面积．【答案】操作一：见解析；操作二：【思路点拨】操作一：由翻折的性质可知，由长方形的性质和平行线的性质可知，从而得到，由等角对等边可得；操作二：首先表示出，然后在中利用勾股定理构建方程求出即可解决问题．【规范解答】操作一：由折叠的性质可知，∵在长方形中，∴，∴，∴，∴为等腰三角形；操作二：在长方形中，，同操作一可得，则，在中，，∴，解得：，∴．【考点评析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理的应用等知识，利用勾股定理构建出方程是解题的关键．26．(本题8分)（2023春·全国·八年级专题练习）在长方形中，，，．(1)如图1，为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，请你直接写出的长为．(2)如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长；(3)如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当，，三点在同一直线上时，请直接写出的长．【答案】(1)3(2)或(3)2或8【思路点拨】（1）根据折叠的性质可得，再由勾股定理，即可求解；（2）分两种情况讨论：当时，过点作于点．先证明，可得，从而得到，可求出，当时，设，则，根据，求出x，即可求解；（3）分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在的延长线上时，即可求解．【规范解答】（1）解：四边形是长方形，，由翻折变换的性质可知，，，故答案为：3；（2）解：如图，当时，过点作于点．，，，，，，，，，，，，，，，；如图，当时，设，则，∵，∴，，．综上所述，的长为或；（3）解：如图，当点在线段上时，四边形是长方形，，，，，，，，．如图，当点在的延长线上时，同法可证，，，，．综上所述，满足条件的的长为2或8．【考点评析】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理，图形的折叠的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．27．(本题8分)（2023春·八年级课时练习）在中，点是上一点，将沿翻折后得到，边交线段于点．(1)如图1，当，时．和有怎样的位置关系，为什么？若，，求线段的长．(2)如图2，若，折叠后要使和，这两个三角形其中一个是直角三角形而另一个是等腰三角形．求此时的度数．【答案】(1)，见解析；(2)的值为【思路点拨】（1）由折叠可知，，由平行可知，，根据三角形内角和得到，再由，利用等量代换可求，即可求解；设，则，在Rt中，，解得：，设，由折叠可知，，则，在Rt中，，解得：，即可求解；（2）设，则，当时，；当时，当时，，不符合题意，舍去；当时，，；当时，，；当时此时，，不成立；当时，此时不成立；当时，此时不成立；当时，当时，此时不成立；当时，；当时，此时不成立．【规范解答】（1）解：，理由如下：由折叠可知，，，，，，，，，，；设，则，由折叠可知，，在Rt中，，，解得：，，设，由折叠可知，，则，在Rt中，，，解得：，即；（2）解：，设，则，由折叠可知，，当时，是直角三角形则是等腰三角形，，；当时，是直角三角形，则是等腰三角形，，，当时，，此时，不符合题意，舍去；当时，，此时，所以；当时，，此时，所以；当时此时，，不成立；当时，是直角三角形，此时不能是等腰三角形，否则与边没有交点；当时，是直角三角形，则是等腰三角形，所以，所以；此时，与题意不符合，不成立；当时，是直角三角形，则是等腰三角形，所以，所以，当时，，此时，不成立；当时，，此时，所以；当时，，此时，不成立．综上所述，的值为．【考点评析】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．28．(本题8分)（2022秋·江苏·八年级期中）在长方形ABCD中，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．（1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）．①如图1，当点E落在边CD上时，直接写出此时DE＝_______．②如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长．（2）如图