专题01 含30°角的直角三角形 带解析

2022-2023学年湘教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题01含30°角的直角三角形姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、选择题(每题2分，共20分)1．(本题2分)（2022秋·重庆江北·八年级重庆十八中校考期末）图1是一个地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（

）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．【规范解答】解：如图，过点作于点，过点作于点，在中，，，同理可得，，又双翼边缘的端点与之间的距离为，，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为．故选：A．【考点评析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．2．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，在等边中，，分别为，边上的两个动点，且总使，与交于点F，于点，则以下结论：①；②；③．其中正确的结论有（）A．3个 B．2个C．1个 D．0个【答案】B【思路点拨】由题意知，，证明，进而可判断①的正误；由可得，由三角形外角的性质可知，，进而根据含度角的直角三角形的性质，可判断②的正误；由是动点，可知与的值不一定相等，进而可判断③的正误．【规范解答】解：由题意知，在和中，∵∴，故①正确；由可得，∵，∴，∵，∴，∴；故②正确；∵是动点，∴与的值不一定相等，仅当时，，则，故③错误；故选：B．【考点评析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．解题的关键在于对知识的灵活运用．3．(本题2分)（2021秋·河南信阳·八年级校考期末）如图，已知，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，，若，则OM的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【思路点拨】过P作，根据等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半即可得到答案．【规范解答】解：过P作，∵，，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，故选：C．．【考点评析】本题考查等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，解题关键是作出辅助线．4．(本题2分)（2023秋·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，边长为的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到，连结．则在点运动过程中，线段长度的最小值是（

）A．6 B．3 C．1 D．【答案】B【思路点拨】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用边角边证明，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可．【规范解答】解：如图，取的中点，连接，旋转角为，，又，，是等边的对称轴，，，又旋转到，，在和中，，，，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，此时，，，；故选：B．【考点评析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．5．(本题2分)（2022秋·河北保定·八年级统考期中）如图，在中，平分交于点M，过点M作交于点N，且平分．若，则的长为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【思路点拨】先求得的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得的长，再求得的长．【规范解答】解：∵在中，平分交于点M，∴∵过点M作交于点N，∴，，∴，∴，∵平分，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵在中，，，∴，∴，∴，∵在中，，，∴，故选：D．【考点评析】本题考查了角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．6．(本题2分)（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）如图，为等边三角形，相交于点于的长是（

）A． B． C． D．【答案】D【思路点拨】根据等边三角形的性质得出，，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，，求出，求出，根据含角的直角三角形的性质求出，即可求出答案．【规范解答】解：是等边三角形，，，在和中，，，，，，，在中，，，，，，，故选D．【考点评析】本题考查了等边三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．7．(本题2分)（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且.有下列结论：①；②为等边三角形；③；④.其中正确的结论是（

）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④【答案】A【思路点拨】连接，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求，可得，可判断②；过点作，在上截取，由“”可证，延长至H，使，则点关于的对称点，连接，根据对称性质即可判断③；过点A作，在上截取，由三角形的面积的和差关系可判断④．【规范解答】解：如图，连接，∵，点是的中点，∴，，，∴是的中垂线，∴，而，∴，∴，，∴，∴，故①正确；∵，∴，

∵，∴，∴而，∴是等边三角形，故②正确；如图，延长至，使，则点关于的对称点为，连接，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故③正确；过点A作，在上截取，

∵，∴是等边三角形，∴，∴，且，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴．故④正确．所以其中正确的结论是①②③④．故选：A．【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，垂直平分线的定义与性质，添加恰当辅助线是本题的关键．8．(本题2分)（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，平分交与点G，平分交于点D，、相交于点F，交的延长线于点E，连接，下列结论中正确的是（

）①若，则；②；③；④．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【思路点拨】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求，由外角的性质和直角三角形的性质可求，故①正确；先求出，由直角三角形的性质可得，故②正确；先证明可得，得到，由直角三角形的性质可得只有当时，，与已知条件可得③错误；在上截取，连接，先证明，进而证明，，即可得到，从得到④正确，问题得解．【规范解答】解：①∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∵，∴，∴，故①正确；②∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∵，∴，∴，故②正确；③如图，延长，交于点H，∵，∴，∴，∴点E为线段中点，∴只有当时，，由题意得，∴,故③错误；④如图，在上截取，连接，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故④正确．故选：B【考点评析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．9．(本题2分)（2022·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，点D、E分别在边AC、AB上，P是边BC上一动点，P、D不与C重合，当AE＝13时，求PD＋PE的最小值（

）A．24 B．25 C．26 D．【答案】D【思路点拨】作D关于BC的对称点G，连接GE则PD＋PE＝GE，当PD＋PE的值最小时，GE最小，当GE⊥AB时，GE最小，即求得GEAE＝13．【规范解答】解：作D关于BC的对称点G，连接GE，则PD＝PG，∴PD＋PE＝PD＋PG＝GE，当PD＋PE的值最小时，GE最小，∴当GE⊥AB时，GE最小，∵AE＝13，∠B＝30°∴GEAE＝13．故选：D．【考点评析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，直角三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键．10．(本题2分)（2022秋·山东德州·八年级统考期末）如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（

）A．15 B．12 C．13 D．10【答案】C【思路点拨】由AC=BC，，作点M关于直线CD的对称点G，过G作于点，交CD于P，则此时MP+PN的值最小，再由直角三角形即可求出答案【规范解答】如图：是等边三角形，作点M关于直线CD的对称点G，过G作于点，交CD于P，为最小值，故答案选C【考点评析】本题考查轴对称中的最短路径问题、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作图是关键．评卷人得分二、填空题(共20分)11．(本题2分)（2023秋·天津·八年级统考期末）如图，已知是等边三角形，点D为的中点，于点E，作，交于点F，若，则________．【答案】6【思路点拨】利用含30度角的直角三角形求出的长，根据平行线的性质、等边三角形的性质和判定求出的长．【规范解答】∵是等边三角形，∴，．∵点D为的中点，，∴∵于点E，，∴，∴，∴∵，∴，∵，∴是等边三角形．∴故答案为：6【考点评析】本题考查了含30度角的直角三角形，平行线的性质，等边三角形的性质和判定；找出30度角所对的直角边为本题的解题关键．12．(本题2分)（2023秋·福建福州·八年级统考期末）如图，Rt△ABC中，，，，点D在边上运动，以为边向右边作等边三角形，连接，以下结论正确的有_____________．（填序号即可）①；②；③当时，；④CE长度的最小值为1.25．【答案】①②③④【思路点拨】取的中点F，连接，由含30度角的直角三角形的性质即可判断①正确；由，得出，判断②正确；当时，，得出，即可判定③正确；证明，得出，则当时，最小，得出此时，，判定④正确；【规范解答】解：取的中点F，连接，∵，，，∴，①正确；∴，，∵是等边三角形，∴，，∴，∴，②正确；∴，∴，则当时，最小，此时，，④正确；当时，，∴，∴，③正确；故答案为：①②③④．【考点评析】本题考查全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．13．(本题2分)（2023秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期末）等边的边长为，点、分别是边、上的动点，点、分别从顶点、同时出发，且速度都是，则经过______秒后，是直角三角形．【答案】或【思路点拨】根据题意得出，求出，根据等边三角形的性质得出，①若时，，根据含角的直角三角形的性质得出，得出方程，求出方程的解即可；②若，，根据，得出方程，求出方程的解即可．【规范解答】解：由题意得：，∴，∵是等边三角形，∴，若时，，∴，即，解得：；若，∴，∴，即，解得：，所以当或时，是直角三角形；故答案为：或．【考点评析】本题考查了直角三角形的判定，含30度角的直角三角形，一元一次方程的应用，分情况讨论是解题的关键．14．(本题2分)（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，是边长为6的等边三角形，E，F分别是边，上的动点，若，则周长的最小值为__________．【答案】12【思路点拨】分别作点C关于，的对称点M、N，连接，与交于点E，与交于点F，连接，则此时的周长最小．分别证，，据此求解即可．【规范解答】解：如图，∵，∴分别作点C关于，的对称点M、N，连接，与交于点E，与交于点F，连接，则此时的周长最小，连接，交于点P，由作图可知，∴的周长：，∵是等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，即周长的最小值是12，故答案为：12．【考点评析】本题考查了最短路径问题，涉及到等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等，正确根据轴对称的性质作出符合条件的图形是解题的关键．15．(本题2分)（2023秋·山西大同·八年级统考期末）在等边中，，点是上一点，过点作于点，交于点，以点为圆心，为半径画弧交于点，连接、，若，则的长为______．【答案】6【思路点拨】先证为等边三角形，再根据为等边三角形，，证，在中，，根据的角对的直角边是斜边的一半，即可得答案．【规范解答】解：由题意可知：，为等边三角形，，为等边三角形，，，，，，，在中，，，解得：，，故答案为：6．【考点评析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，直角三角形的性质，解题的关键是证明．16．(本题2分)（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，边长为6的等边三角形中，若点是高所在直线上一点，连接，以为边在直线的下方画等边三角形，连接，则长度的最小值为________．【答案】##1.5【思路点拨】连接，利用证明，得，再利用含30°角的直角三角形的性质即可解答．【规范解答】解：如图：连接，∵等边三角形，∴，，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，是等边三角形且变长为6，∴，∴，∴时，最短为．故答案为．【考点评析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键．17．(本题2分)（2023秋·湖南长沙·八年级湖南师大附中统考期末）如图，已知平分，若，则________．【答案】7【思路点拨】如图，延长交于M，延长交于N，结合题意根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得，易证为等边三角形，结合已知求出，在中运用角所对的直角边等于斜边的一半解三角形可求解．【规范解答】解：延长交于M，延长交于N，如图，∵平分，∴，∵，∴为等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：7．【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质；解含角的直角三角形；解题的关键是灵活运用相关性质进行计算．18．(本题2分)（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，，点D为平分线上一点，的垂直平分线交分别于点P，O，点E是上异于点P的一点，且，则的面积为___________．【答案】【思路点拨】连接、，过作于，根据角平分线的定义得到，根据线段垂直平分线的性质得到，则,根据三角形外角的性质可得,可得即，然后根据直角三角形的性质可得,再根据勾股定理得到，,最后根据三角形的面积公式即可解答．【规范解答】解：连接、，过作于，∵平分，∴，∵的垂直平分线交分别于点P，O∴，∴，∴，∵∴，∵∴，∵∴∴∴∴的面积，故答案为：．【考点评析】本题考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．19．(本题2分)（2023秋·江西宜春·八年级统考期末）如图所示，在等边中，，点P与点Q分别从点B，C同时出发，沿三角形的边运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设点P与点Q运动的时间为．当时，点P与点Q运动_________s后，可得到．【答案】2或10或3.2【思路点拨】根据题意，时P点刚好运动一周回到B点，而Q点只能运动到的中点.分情况讨论：①P在上，Q在上，且②P在上，Q在上，且；③P、Q都在在上，且.根据“直角三角形中，的角所对的边等于斜边的一半”分别列方程求出t的值即可.【规范解答】①如图1，P在上，Q在上，且，解得

（图1）②如图2，P在上，Q在上，且，则解得（图2）③如图3，P、Q都在在上，且，则解得（图3）

综上，点P与点Q运动的时间为2秒或3.2秒或10秒时可得到.【考点评析】本题是一个动点问题，主要考查了“直角三角形中，的角的边等于斜边的一半”这一性质.解题的关键是要运用数形结合和分类讨论的思想，防止漏解.20．(本题2分)（2023秋·北京·八年级校联考期末）如图所示，是以A为公共端点的两条线段，且满足，，作线段的垂直平分线l交于点D．点P为直线l上一动点，连接，以为边构造等边，连接．当的周长最小时，，则周长的最小值为_________．（用含有a、b的式子表示）【答案】【思路点拨】如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，连接，证明得到，接着证明，连接，取的中点F，则，可证明点E和点F重合，进一步证明点Q在上，作D关于直线的对称点，连接，则，可以推出当最小时，的周长最小，则当三点共线时，有最小值，此时点恰好在直线l上，据此求解即可．【规范解答】解：如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即是的角平分线，又∵，∴，连接，取的中点F，则，∴，即点E和点F重合，又∵，∴点Q在上，作D关于直线的对称点，连接，则，∵的周长，∴当最小时，的周长最小，∵，∴当三点共线时，有最小值，此时点恰好在直线l上，∴此时，则，∴，∴的周长最小值，故答案为：．【考点评析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，轴对称最短路径问题，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形从而确定点Q的运动轨迹是解题的关键．评卷人得分三、解答题(共60分)21．(本题6分)（2023秋·天津西青·八年级统考期末）如图，等边的边长为3，点D是延长线上的一个动点，以为边在上方作等边，过点A作，连接并延长，交于点N．(1)求证：；(2)当时，求的度数；(3)在点D的运动过程中，线段的长度是否会发生变化？若不变，则求出的长度；若变化，请说明理由．【答案】(1)见详解(2)(3)长度不变，且，理由见详解【思路点拨】（1）证明即可作答；（2），，即有，即，结合，有；（3）由，结合，，可得，进而，随之，即可得，则有在中，有，问题得解．【规范解答】（1）∵、都是等边三角形，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∴；（2）∵是等边三角形，∴，∵，∴，∵在（1）中，有，∴，∵都是等边三角形，∴，∴；（3）长度不发生变化，理由如下：∵在（1）中，有，∴，∵，，∴，∴结合一组对顶角相等，可得：，∴，∴，∵，∴，∴，∴在中，有，∴，∵等边的边长为3，∴．【考点评析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键．22．(本题6分)（2022秋·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）如图，在等边中，厘米，厘米．如果点以3厘米/秒的速度运动．(1)如果点在线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动．它们同时出发，若点的运动速度与点的运动速度相等．经过2秒后，和是否全等？请说明理由．(2)在（1）的条件下，当两点的运动时间为多少时，是一个直角三角形？(3)若点的运动速度与点的运动速度不相等，点从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都顺时针沿三边运动，经过25秒点与点第一次相遇，请直接写出点的运动速度是多少厘米/秒？【答案】(1)，理由见解析(2)当运动时间为秒或秒时，是直角三角形(3)厘米/秒或厘米/秒【思路点拨】（1）分别求出运动2秒后，的长，然后利用证明即可；（2）设运动时间为t秒，分别表示和．分两种情况，运用特殊三角形的性质求解：当；当；（2）点M与点N第一次相遇，有两种可能：点M运动速度快；点N运动速度快．分别列方程求解即可．【规范解答】（1）解：，理由如下：由题意得，运动2秒后，厘米，厘米，∴厘米，∵是等边三角形，∴，又∵厘米，厘米，∴；（2）解：设运动时间为秒，是直角三角形有两种情况：当时，∵，∴∴，∴解得；当时，∵，∴，∴，∴，解得；综上所述，当运动时间为秒或秒时，是直角三角形；（3）解：分两种情况讨论：若点运动速度快，则，解得；若点运动速度快，则，解得；综上所述，点N的运动速度为厘米/秒或厘米/秒．【考点评析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，一元一次方程的应用，解题的关键在于运用分类讨论的思想列出方程求解．23．(本题8分)（2023春·八年级课时练习）如图，已知等边的边长为，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点M的速度，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．(1)当点N第一次到达B点时，点M的位置在；当M、N运动秒时，点N追上点M；(2)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．(3)当为直角三角形时，运动时间t的值是【答案】(1)线段的中点，6(2)存在，当M、N运动8秒时，能得到以为底的等腰三角形(3)，，，9【思路点拨】（1）先求解N第一次到达B的时间，可得M的位置，再点M、N运动x秒后，M、N两点重合，可得，再解方程即可；（2）先证明，可得，再建立方程，即可得到答案；（3）当点N在上运动时，如图3，若，如图4，当，再利用含的直角三角形的性质列方程即可，当点N在上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形：当点N在上运动时，如图5，当点N位于中点处时，由为等边三角形知，如图6，当点M位于中点处时，由时等边三角形知，即是直角三角形，再列方程求解即可．【规范解答】（1）解：当点N第一次到达B点时，，此时运动了，∴点M的位置在线段BC的中点，设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，，解得：，即当M、N运动6秒时，点N追上点M．（2）当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图2，假设是等腰三角形，∴，∴．∴，∵是等边三角形，∴，AB=AC，在和中，∵，，∴∴，∴，解得，符合题意．

所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以为底的等腰三角形．（3）当点N在上运动时，如图3，若，∵，，∴，∵，∴，即，解得．如图4，当，同理可得：由得，解得；当点N在上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形：当点N在上运动时，如图5，当点N位于中点处时，由为等边三角形知，即是直角三角形，则，解得．如图6，当点M位于中点处时，由时等边三角形知，即是直角三角形，则；综上，当，，，9时，可得到直角三角形．【考点评析】本题考查的是动态几何问题，等边三角形的性质，等腰三角形的定义，含的直角三角形的性质，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．24．(本题8分)（2023秋·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，在中，，，cm，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为cm/s，cm/s，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为ts.(1)当t为何值时，为等边三角形？(2)当t为何值时，为直角三角形？【答案】(1)时(2)或时【思路点拨】（1）由题意得，，，再由等边三角形的性质得到，即，解方程即可；（2）讨论或时，利用与之间的关系，建立方程求解即可．【规范解答】（1）如图：在中，∵，，cm，∴，，．∴cm，cm．

-当时，为等边三角形．即，∴，又，∴当时，为等边三角形；（2）若为直角三角形，∵，①当时，，即，∴；

②当时，，即，∴．

∴当或24时，为直角三角形．【考点评析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握含30度角的直角三角形的性质．25．(本题8分)（2023秋·福建泉州·八年级期末）阅读材料：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．如图①，等腰和等腰中，，将绕点A旋转，连接，利用上面结论或所学解决下列问题：(1)若，求证：；(2)连接，当点D在线段上时．①如图②，若，则的度数为；线段与之间的数量关系是；②如图③，若，为中边上的高，判断的度数及线段之间的数量关系说明理由．【答案】(1)见解析(2)①；②，见解析【思路点拨】（1）由“”可证，可得；（2）①由，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论；②类比①可得，即可求解．【规范解答】（1）∵∴∴在和中∴∴（2）①∵，∴，即，∵∴是等边三角形，∴∴又，∴，∴∴，故答案为：；②关系：理由：∵∴，∴∴∵∴∵∴∴【考点评析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．26．(本题8分)（2023秋·福建龙岩·八年级统考期末）在中，，是中线，以为边在右侧作等边三角形．(1)如图（1），连接，交于点F．①若，求；②求证：．(2)如图（2），当时，以为边在下方作等边三角形，连接交于点P．求证：点P是的中点．【答案】(1)①；②见解析(2)见解析【思路点拨】（1）①先由等边三角形的性质得，，从而求出，再根据等腰三角形性质与三角形内角和定理求解即可；②先等腰三角形三线合一得出平分，且，从而求出，得到，然后由直角三角形的性质得出结论．（2）证法一：过点E作于H，先证明，得，再证明，得出，即得出结论；证法二：过点G作交于M，先证明，得到，再证明，得出，即可得出结论．【规范解答】（1）解：①，是等边三角形，，，又，，．②证明：，是中线，平分，且，设，则，中，，，，在中，，．（2）证明一：过点E作于H，是等边三角形，，，中，，，即，由（2），，，，是等边三角形，，，，又，，，，，又，，，即点P是中点．证明二：过点G作交于M，是等边三角形，，，中，，，，，由（2），，又，是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，即又，，，又，，，即点P是中点．【考点评析】本题词考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质是解题的关键．27．(本题8分)（2023秋·山西吕梁·八年级校考期末）如图，是边长是的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿，方向匀速移动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：(1)当点Q到达点C时，与的位置关系如何？请说明理由．(2)在点P与点Q的运动过