专题07 解二元一次方程组 带解析

2022-2023学年人教版七年级数学下册精选压轴题培优卷专题07解二元一次方程组考试时间：120分钟试卷满分：100分评卷人得分一、选择题(每题2分，共20分)1．(本题2分)（山东省泰安市东平县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）若|x+2y+3|与（2x+y）2互为相反数，则x﹣y的值是（）A．3 B．﹣3 C．5 D．1【答案】A【思路点拨】根据互为相反数的两个数的和为0得出|x+2y+3|+（2x+y）2=0，即，②-①即可求出答案．【规范解答】解：∵|x+2y+3|与（2x+y）2互为相反数，∴|x+2y+3|+（2x+y）2=0，即，②-①，得x-y-3=0，即x-y=3，故选：A．【考点评析】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，相反数和解二元一次方程组等知识点，能选择适当的方法求解是解此题的关键．2．(本题2分)（湖南省常德市汉寿县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）规定，如，如果同时满足，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【思路点拨】根据规定得到，，得到，解方程组得．【规范解答】解：∵，，∴，由②得，y=2x-3③，把③代入①，得，3x+2x-3=17，解得，x=4，把x=4代入③，得，，∴．故选C．【考点评析】本题主要考查了新运算，解二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握规定新运算的定义，解二元一次方程组的一般方法．3．(本题2分)（安徽省芜湖市第二十九中学2021-2022学年七年级下期期末数学试卷）已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【思路点拨】将代入方程组，然后利用加减消元法解方程组，从而求解．【规范解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程组的解，∴，解得：，∴(a,b)坐标为(-4,-3)，即在第三象限，故选：C．【考点评析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解方程组的步骤和计算法则，正确计算是解题关键．4．(本题2分)（福建省厦门市思明区厦门第一中学2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试卷）数轴上A、B两点分别表示数a和b，满足，且的长为，其中，则k的值为（

）A．2或 B．3或 C．4 D．5或【答案】C【思路点拨】解方程组，求出a，b的值，得到AB的长，根据且的长为，求出k即可．【规范解答】解：解方程组，解得，∴AB=a-b=（2t-2）-（2-2t）=4t-4或AB=（2-2t）-（2t-2）=4-4t，∵t>1，∴AB=4t-4，∵AB=kt-k，∴4t-4=kt-k，得k=4故选：C．【考点评析】此题考查了解二元一次方程组，数轴上两点之间的距离公式，正确解二元一次方程组是解题的关键．5．(本题2分)（浙江省绍兴市绍初教育集团2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为（）A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】把原方程组化为，根据的解为，得出，依此解答，即可得出结果．【规范解答】解：由得，∵的解为，∴的解为：，∴．故答案为：B．【考点评析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，得出根据题意求出是解此题的关键．6．(本题2分)（湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）对于实数x，y，定义一种新的运算“⊙”：，其中，，为常数，若，，求的值为（

）．A． B．1C． D．与或或的值有关【答案】A【思路点拨】由题意得，通过解方程组的思路恒等变式可求得的值即可．【规范解答】解：由题意得,②−①得，a＋2b＝13③，由②得，4a＋8b−b＋c＝28，即4（a＋2b）−b＋c＝28④，将③代入④得，4×13−b＋c＝28，整理得，−b＋c＝−24⑤，③＋⑤得，a＋b＋c＝-11，即1⊙1＝-11，故选：A．【考点评析】此题考查了运用解二元一次方程组的方法解决相关新定义问题的能力，解题的关键是根据定义得到的算式能结合已知方程组进行合理的恒等变形、计算表示出来．7．(本题2分)（福建省厦门市厦门第六中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【思路点拨】把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法即可得到一个关于x，y的方程组，即可求解．【规范解答】解：将中的每一项方程的左右两边都除以5，得，∵原方程组的解为，∴，将两个方程相加，可得将方程组中的两个方程相加，可得由①②得，故选：D【考点评析】本题考查了二元一次方程组的解，根据等式的性质把第二个方程组化成第一个方程组的形式是解题关键．8．(本题2分)（福建省福州市福州屏东中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解是（

）A． B．C． D．【答案】D【思路点拨】仔细观察两个两个方程组的结构可知由此即可得到答案．【规范解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，，∴，∴，故选D．【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，正确得到是关键．9．(本题2分)（河北省邯郸市永年区2021-2022学年七年级下学期第二次月考数学试题）已知关于，的二元一次方程组给出下列结论中正确的是（

）①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变．A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】C【思路点拨】根据解二元一次方程组的方法对各项进行判断即可．【规范解答】解：先解方程①-②得，，将代入②中得，故二元一次方程的解为：，于是①当这个方程组的解，的值互为相反数时，即故，即，正确；②当时，不是方程的解，错误；③，无论取什么实数，的值始终不变，正确．故选：C．【考点评析】本题考查了解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．10．(本题2分)（浙江省杭州市杭州中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）已知关于，的方程组，则下列结论中正确的是：①当时方程组的解是方程的解；②当时，；③当，则a的值为1或；④不论a取什么实数，的值始终不变．（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】B【思路点拨】①把a看作已知数表示出方程组的解，把代入求出x与y的值，代入方程检验即可；②令求出a的值，即可作出判断；③把x与y代入中计算得到结果，判断即可；④令求出a的值，判断即可．【规范解答】解：，据题意得：，解得：，把代入方程得：，当时，，，把，代入得：左边，右边，所以，是方程的解，故①正确；当时，，即，故②正确；当时，，即或3，故③错误，无论a为什么实数，的值始终不变为-9，故④正确．∴正确的结论是：①②④，故选：B．【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．评卷人得分二、填空题(共20分)11．(本题2分)（湖南省永州市剑桥学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）若，则＝__．【答案】【思路点拨】根据一个数的平方的非负性和绝对值的非负性可以列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再求出的值即可．【规范解答】解：∵，∴，解得：，∴，故答案为：．【考点评析】本题考查了一个数的平方的非负性和绝对值的非负性，根据已知方程列出关于x、y的二元一次方程组是解答本题的关键．12．(本题2分)（河南省南阳市九中2021-2022学年七年级数学下学期第一阶段综合练习题）在等式中，当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝﹣4；则的值是_____．【答案】-3【思路点拨】把时，；当时，代入中可得关于k、b的方程组，解方程组可得k、b的值，然后可得的值．【规范解答】解：把，；，代入中得，解得，则．故答案为：﹣3．【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，关键是掌握加减消元法解二元一次方程组的方法．13．(本题2分)（湖北省武汉市汉阳区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）已知关于x，y的方程组．以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x－2y＝－4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y＝6，则k＝1．其中正确的序号是_____．【答案】①②③【思路点拨】直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．【规范解答】解：①当k=0时，原方程组可整理得：，解得：，把代入x－2y=－4得：x－2y=－2－2=－4．即①正确；②，由②－①得：x+y=2k－1，若x+y=0，则2k－1=0，解得：k=，即存在实数k，使得x+y=0，即②正确；③解方程组，得，∴x+3y=3k－2+3（1－k）=1，∴不论k取什么实数，x+3y的值始终不变，故③正确；④解方程组，得，若3x+2y=6∴k=，故④错误．所以正确的序号是①②③．故答案为①②③．【考点评析】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解得定义．14．(本题2分)（浙江省湖州市德清县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）对于两个非零实数x，y，定义一种新运算，若，，则的值是______．【答案】-2【思路点拨】根据新定义运算法则，构建方程组确定a，b值，后代入计算即可．【规范解答】因为新运算，且，，所以，解得，所以，所以=-2．【考点评析】本题考查了实数的新定义运算，根据运算法则构造方程组并正确求解是解题的关键．15．(本题2分)（辽宁省葫芦岛市兴城市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）已知s，t满足，则_______．【答案】##【思路点拨】先用加减消元法求得s、t，然后再代入计算即可．【规范解答】解：①+②得：3s=4，解得：s=将s=代入②可得t=所以s+t=+=．故答案为：．【考点评析】本题主要考查了解二元一次方程组、代数式求值等知识点，掌握运用加减消元法解二元一次方程组是解答本题的关键．16．(本题2分)（四川省泸州市合江县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如果二元一次方程组的解适合方程，则______．【答案】-2【思路点拨】根据题意联立新的方程组，解出x，y的值再代入x-3y=k+4即可得出答案．【规范解答】解：∵二元一次方程组的解适合方程，∴，解得，将代入得：，故答案为：．【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的解，会解二元一次方程组是解题的关键．17．(本题2分)（浙江省绍兴市柯桥区联盟校2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）我们知道方程组的解是，现给出另一个方程组，它的解是_____．【答案】【思路点拨】令，，根据题意可知为方程组的解．即得出，解出x、y即可．【规范解答】解：令，，则方程组可变为：，∴为方程组的解，∵方程组的解是，∴，∴，解得：，故方程组的解为：．故答案为：．【考点评析】本题主要考查二元一次方程组的解．掌握整体代入的思想是解题关键．18．(本题2分)（河南省漯河市郾城区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）二元一次方程组的解满足2x－ky＝10，则k的值等于_________．【答案】4【思路点拨】先解方程组，然后把方程组的解代入2x－ky＝10中，求出k的值即可．【规范解答】解方程组得，把代入2x－ky＝10中，得2+2k=10，解得k=4．故答案为：4【考点评析】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次方程．正确地解方程组是解题的关键．19．(本题2分)（江苏省南通市海安市2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的二元一次方程组的解是______．【答案】【思路点拨】根据已知得出关于a，b的方程组进而得出答案．【规范解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组，的解是，∴方程组中，解得：．故答案为：．【考点评析】本题主要考查二元一次方程组的解法，关键是根据整体思想及方程组的解法进行求解．20．(本题2分)（福建省厦门市湖滨中学2021-2022学年七年级下学期期末质量检测数学试题）我国古代很早就对二元一次方程组进行研究，在《九章算术》中记载用算筹表示二元一次方程组，发展到现代就用矩阵表示．例如：对于二元一次方程组，我们把，的系数和方程右边的常数分离出来组成一个矩阵：，用加减消元法解二元一次方程组的过程，就是对方程组中各方程中未知数的系数和常数项进行变换的过程．若将②×5，则得到矩阵，用加减消元法可以消去．解二元一次方程组时，我们要用加减消元法消去，得到的矩阵是____________．【答案】【思路点拨】根据范例运用加减消元法求解即可．【规范解答】解：对于二元一次方程组，我们把，的系数和方程右边的常数分离出来组成一个矩阵：，用加减消元法解二元一次方程组的过程，就是对方程组中各方程中未知数的系数和常数项进行变换的过程．若将①×2、②×3则得到矩阵，用加减消元法可以消去x．故答案为．【考点评析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法成为解答本题的关键．评卷人得分三、解答题(共60分)21．(本题6分)（浙江省绍兴市越城区长城中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）解下列方程组．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【思路点拨】（1）根据代入消元法求解二元一次方程组即可；（2）根据加减消元法求解二元一次方程组即可．【规范解答】（1）解：，将①代入②得，，将代入①得，∴该方程组的解为；（2）解：，将得，，∴，将代入③得，∴，∴该方程的解为．【考点评析】本题考查了二元一次方程组的求解，正确的运用方法求解方程组是解决本题的关键．22．(本题6分)（陕西省西安市第三中学等联考2022-2023学年八年级上学期12月大练习数学试题）解方程组：(1)(2)【答案】(1)(2)【思路点拨】（1）用代入法求解即可；（2）用加减法求解即可．【规范解答】（1）解：

，将②代入①得：，把代入②得，∴原方程组的解为；（2）解：整理得：，①-②，得，解得：，把代入①，得，解得：，∴方程组的解是．【考点评析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用代入法或加减法解二元一次方程组是解题的关键．23．(本题8分)（【新东方】义乌初中数学初一下【00030】）如图，，A，B分别在直线MN，PQ上，且，若射线AN绕点A逆时针旋转至AM后立即回转，射线BP绕点B顺时针转至BQ后立即回转，两射线分别绕点A，点B不停地旋转，若射线AN转动的速度是/秒，射线BP转动的速度是/秒，且a，b满足方程式，（1）求a，b的值．（2）若射线AN和射线BP同时旋转，旋转多少秒时，射线AN和射线BP第一次互相垂直？（3）若射线AN绕点A逆时针先转动6秒，射线BP才开始绕点B顺时针旋转，在射线BP到达BA之前，射线AN再转动多少秒，射线AN和射线BP互相平行？【答案】（1）a=4，b=1；（2）18秒；（3）31.2秒或52秒或103.2秒【思路点拨】（1）解方程组解可；（2）设至少旋转t秒时，射线AN、射线BP互相垂直．设旋转后的射线AN、射线BP交于点O，则BO⊥AO，证出∠OBP+∠OAN=90°，得出方程，解方程即可；（3）求出t＜120s，设射线AN再转动t秒时，射线AN、射线BP互相平行，由题意得出方程，解方程即可．【规范解答】解：（1），②×2-①得：9b=9，∴b=1，将b=1代入②得：a+3=7，∴a=4；（2）设旋转t秒时，射线AN、射线BP第一次互相垂直．如图1所示：设旋转后的射线AN、射线BP交于点O，则BO⊥AO，∴∠ABO+∠BAO=90°，∵MN∥PQ，∴∠ABP+∠BAN=180°，∴∠OBP+∠OAN=90°，又∵∠OBP=t°，∠OAN=4t°，∴t°+4t°=90°，∴t=18（s）；（3）∵∠BAN=60°，∴∠PBA=120°，∴t＜120s，设射线AN再转动t秒时，射线AN、射线BP互相平行，射线AN绕点A逆时针先转动6秒，AN转动了6×4=24°，如下图：当时，AN∥BN，则有：120-t=4t-(60-24)解得t==31.2当AN到达AM又返回到达时，AN∥BN，此时有∠=t°180+t=4（t+6）t=52当AN到达AM又返回起点，再次到达时，AN∥BN,∠=t°则有：4（t+6）=156+180+180-tt=103.2综上所诉，在射线BP到达BA之前，射线AN再转动31.2秒或52秒或103.2秒，射线AN和射线BP互相平行．【考点评析】本题考查了平行线的判定与性质、二元一次方程组的解法、一元一次方程的应用等知识；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．24．(本题8分)（北京市通州区2019-2020学年七年级下学期期中数学试题）阅读以下内容：已知有理数m，n满足m+n＝3，且求k的值．三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值；乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；丙同学：先解方程组，再求k的值．（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；（2）在解关于x，y的方程组时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．【答案】（1）见解析；（2）a和b的值分别为2，5．【思路点拨】（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可；（2）根据加减消元法的过程确定出a与b的值即可．【规范解答】解：（1）选择甲，，①×3﹣②×2得：5m＝21k﹣8，解得：m＝，②×3﹣①×2得：5n＝2﹣14k，解得：n＝，代入m+n＝3得：＝3，去分母得：21k﹣8+2﹣14k＝15，移项合并得：7k＝21，解得：k＝3；选择乙，，①+②得：5m+5n＝7k﹣6，解得：m+n＝，代入m+n＝3得：＝3，去分母得：7k﹣6＝15，解得：k＝3；选择丙，联立得：，①×3﹣②得：m＝11，把m＝11代入①得：n＝﹣8，代入3m+2n＝7k﹣4得：33﹣16＝7k﹣4，解得：k＝3；（2）根据题意得：，解得：，检验符合题意，则a和b的值分别为2，5．【考点评析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．25．(本题8分)（江苏省南通市田家炳中学22019-2020学年七年级下学期4月月考数学试题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，其中满足．（1）若数没有平方根，判断点在第几象限并说明理由；（2）若点到轴的距离是点到轴的距离的2倍，求点的坐标；（3）若点的坐标为，三角形的面积是三角形面积的3倍，求点的坐标．【答案】(1)点A在第二象限；(2)(，)或(，)；(3)(，)或(，)【思路点拨】(1)根据平方根的意义得到，然后根据各象限点的坐标特征可判断点A在第二象限；(2)先利用方程组，用表示、得，，则B点坐标为(，)，再利用点A到轴的距离是点B到轴距离的2倍得到，则或，分别解方程求出的值，于是可求出B点坐标；(3)利用A(，)和B(，)得到AB与轴平行，由于点D的坐标为(2，)，△OAB的面积是△DAB面积的3倍，则判断点A、点B在轴的下方，即，根据三角形面积公式即可求得的值，于是可求出B点坐标．【规范解答】(1)∵没有平方根，∴，∴，∴点A在第二象限；(2)解方程组，用表示、得，，∴B点坐标为(，)，∵点A到轴的距离是点B到轴距离的2倍，∴，当，解得，此时B点坐标为(，)；当，解得，此时B点坐标为(，)；综上所述，B点坐标为(，)或(，)；(3)∵点A的坐标为(，)，点B坐标为(，)，∴AB与轴平行，∵点D的坐标为(2，)，且，∴点A、点B在轴的下方，即，∴，∴，当，解得，此时B点坐标为(，)；当，解得，此时B点坐标为(，)；综上所述，B点坐标为(，)或(，)．【考点评析】本题考查了平方根的定义，方程组的解法，坐标与图形性质：利用点的坐标计算线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式．26．(本题8分)（河南省驻马店市确山县2018-2019学年七年级下学期期末考试数学试题）如图，已知和的度数满足方程组，且.(1)分别求和的度数；(2)请判断与的位置关系，并说明理由；(3)求的度数．【答案】（1）；（2），理由详见解析；（3）40°【思路点拨】（1）利用加减消元法，通过解二元一次方程组可求出和的度数；（2）利用求得的和的度数可得到，于是根据平行线的判定可判断AB∥EF，然后利用平行的传递性可得到AB∥CD；（3）先根据垂直的定义得到，再根据平行线的性质计算的度数.【规范解答】解（1）解方程组，①-②得：，解得：把代入②得：解得：；（2），理由：∵，，，(同旁内角互补，两直线平行)，又，；（3），.【考点评析】本题考查了平行线的性质与判定、解二元一次方程组，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题关键.27．(本题8分)（【全国百强校】广东省汕头市潮阳实验学校2018-2019学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点A(a,0)，B(b,0)在坐标轴上，C的纵坐标是2,且a,b满足式子:(1)求出点A、B、C的坐标．(2)连接AC，在y轴上是否存在点M，使△COM的面积等于△ABC的面积，若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．(3)若点P是边CD上一动点，点Q是CD与y轴的交点，连接OP，OE平分∠AOP交直线CD于点E，OF⊥OE交直线CD于点F，当点P运动时，探究∠OPD和∠EOQ之间的数量关系，并证明.【答案】(1)(2)M的坐标为(0,3)或(0,-3);(3)∠OPD=2∠EOQ.【思路点拨】(1)根据非负数的性质列出关于a、b的二元一次方程组，然后解方程组即可求出点A、B、C的坐标．(2)求出△ABC的面积，根据△COM的面积与△ABC的面积相等，求得OM的长，即可求