2025年湘师大新版高一数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘师大新版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a-x与y=logax的图象（）

A.

B.

C.

D.

2、已知f（x）=g（x）=则下列结论中不正确的是（）

A.函数y=f（x）•g（x）的图象关于点（0）成中心对称。

B.函数y=f（x）•g（x）的最大值为

C.函数y=f（x）•g（x）的最小正周期为π

D.将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象。

3、已知为坐标原点，点C在∠AOB内，且设则的值为（）A.B.C.D.4、【题文】集合则（）.A.B.C.D.5、在ABC中，则ABC一定是（）A.正三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形6、圆(x鈭�1)2+(y鈭�2)2=1

关于直线y=x

对称的圆的方程为(

)

A.(x鈭�2)2+(y鈭�1)2=1

B.(x+1)2+(y鈭�2)2=1

C.(x+2)2+(y鈭�1)2=1

D.(x鈭�1)2+(y+2)2=1

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)7、已知f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）=x2+x，则x＜0时，f（x）=____．8、【题文】已知函数的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数的取值范围为____.9、【题文】直线ax+y-a=0与圆x2+y2=4的位置关系是­­­­­____．10、【题文】已知三个正整数x，y，z的最小公倍数是300，并且则方程组的解（x，y，z）=____。11、【题文】设函数f(x)=a–|x|(a＞0且a≠1)若f(2)=4，则a=____，f(–2)与f(1)的大小关系是____．12、已知f（x）=则f（f（-2））=______．13、已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x2-3．

（1）当x＜0时；求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）在R上的解析式；

（3）解方程f（x）=2x．14、已知函数f(x)=sin(2娄脴x鈭�娄脨6)

将其图象向左平移娄脨4

个单位得到函数g(x)

图象，且函数g(x)

图象关于y

轴对称，若娄脴

是使变换成立的最小正数，则娄脴=

______．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)15、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．16、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．17、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．18、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．19、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．20、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．21、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．评卷人得分四、计算题(共4题，共12分)22、（1）sin30°+cos45°；

（2）sin260°+cos260°-tan45°．23、等式在实数范围内成立，其中a、x、y是互不相等的实数，则的值是____．24、已知b＜a＜0，且a-b=3，ab=1；

（1）求a+b的值；

（2）求的值．25、关于x3-ax2-2ax+a2-1=0只有一个实数根，则a的取值范围是____．评卷人得分五、解答题(共2题，共4分)26、【题文】如图，在直三棱柱中，为的中点.

（I）求证：平面

（II）求平面和平面夹角的余弦值.27、已知函数f(x)=(12)x

函数g(x)=log12x.

(1)

若g(mx2+2x+m)

的定义域为R

求实数m

的取值范围；

(2)

当x隆脢[鈭�1,1]

时；求函数y=[f(x)]2鈭�2af(x)+3

的最小值h(a)

(3)

是否存在非负实数mn

使得函数y=log12f(x2)

的定义域为[m,n]

值域为[2m,2n]

若存在，求出mn

的值；若不存在，则说明理由．评卷人得分六、作图题(共1题，共3分)28、作出函数y=的图象．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、A【分析】

∵函数y=a-x可化为。

函数y=其底数小于1，是减函数；

又y=logax；当a＞1时是增函数；

两个函数是一增一减；前减后增．

故选A．

【解析】【答案】先将函数y=a-x化成指数函数的形式；再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果．

2、A【分析】

∵f（x）==cosx，g（x）==sinx

A：y=f（x）•g（x）=sinxcosx=sin2x，而当x=时，函数值y=为函数的最大值；与对称中心处函数值为0矛盾，故A错误。

B正确，由周期公式可知T=故C正确。

把y=f（x）=cosx向右平移移个单位后得到函数y=cos（x-）=g（x）的图象；故D正确。

故选A

【解析】【答案】由诱导公式可得f（x）==cosx，g（x）==sinx，从而可得y=f（x）•g（x）=sinxcosx=sin2x；结合正弦函数的性质结合选项即可判断。

3、C【分析】试题分析：如图所示，∵∴设又∵∴∴考点：平面向量的运算.【解析】【答案】C.4、D【分析】【解析】

试题分析：由题意知，集合因为所以故答案选D.

考点：1.集合的补集、交集；2.对数函数、指数函数的值域.【解析】【答案】D5、D【分析】【分析】把已知不等式左边利用二倍角的余弦函数公式变形；得到cos（A+B)的值小于0，由A和B三角形的内角，得到A+B的范围，进而得到A+B为锐角，再根据三角形的内角和定理可得C必须为钝角，故此三角形为钝角三角形．

【解答】∵cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B)＞0；且A和B为三角形的内角；

∴0＜A+B＜90°；又A+B+C=180°；

则C为钝角；即三角形一定是钝角三角形．

故答案为：D6、A【分析】解：隆脽

点P(x,y)

关于直线y=x

对称的点为P鈥�(y,x)

隆脿(1,2)

关于直线y=x

对称的点为(2,1)

隆脿

圆(x鈭�1)2+(y鈭�2)2=1

关于直线y=x

对称的圆的方程为(x鈭�2)2+(y鈭�1)2=1

．

故选：A

．

根据平面直角坐标系内点P

关于直线y=x

对称的点对称点P鈥�

的坐标公式；可得圆心坐标，即可得出圆的方程．

本题考查圆的方程，考查了平面直角坐标系内点关于直线对称的公式的知识，属于基础题．【解析】A

二、填空题(共8题，共16分)7、略

【分析】

设x＜0；则-x＞0

∴f（-x）=（-x）2-x；

又∵f（x）是偶函数。

∴f（x）=f（-x）=x2-x

故答案为：x2-x

【解析】【答案】先设x＜0；再将x转化到（0，+∞）上，然后再利用奇偶性求解，从而求出所求．

8、略

【分析】【解析】

试题分析：令则由得实数的取值范围为本题可结合二次函数图像理解，也可从零点存在定理理解.二次函数在有一个根，在有另一根，而时，恒大于零，所以

考点：实根分布，二次函数图像，零点存在定理.【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】圆的方程为：其圆心的坐标为：半径则点到直线的距离

①当时，此时；直线过圆心，直线与圆相交；

②当时，此时；直线与圆相交；

③当时，此时；直线与圆相交.

综上所述，直线与圆相交.【解析】【答案】相交10、略

【分析】【解析】记方程组中的两个方程为（1）；（2），消去x得。

即

所以（3）

或（4）

由（1）、（3）得即x：y：z=1：3：5，于是，由已知条件，必有x=20，y=60，z=100；

由（1）（4），得x=-y=-z，与已知条件矛盾。【解析】【答案】（20，60，100）11、略

【分析】【解析】由f(2)=a–2=4，解得a=∴f(x)=2|x|∴f(–2)=4＞2=f(1)．【解析】【答案】________12、略

【分析】解：∵f（x）=

∴f（-2）=4；

∴f（f（-2））=f（4）=14；

故答案为：14．

由已知f（x）=将x=-2代入可得答案．

本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．【解析】1413、略

【分析】

（1）设x＜0，则-x＞0，结合奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x2-3；可得当x＜0时，函数f（x）的解析式；

（2）当x=0时；f（x）=0，结合（1）中结合，可得函数f（x）的解析式；

（3）结合（2）中函数的解析式；分类讨论满足f（x）=2x的x值，最后综合讨论结果，可得答案．

本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．【解析】解：（1）设x＜0；则-x＞0；

则f（-x）=（-x）2-3=x2-3；

∵函数f（x）为奇函数；

∴f（x）=-f（-x）=-x2+3；

（2）∵函数f（x）为奇函数；

∴f（0）=-f（0）=0；

∴f（x）=

（3）当x=0时；方程f（x）=0=2x，解之得x=0；

当x＞0时，方程f（x）=x2-3=2x；解之得x=3，或x=-1（舍去）；

当x＜0时，方程f（x）=-x2+3=2x；解之得x=-3，或x=1（舍去）；

综上所述，方程f（x）=2x的解集为{-3，0，3}14、略

【分析】解：f(x)=sin(2娄脴x鈭�娄脨6)

将其图象向左平移娄脨4

个单位；

则g(x)=sin[2娄脴(x+娄脨4)鈭�娄脨6]=sin(2娄脴x+娄脴娄脨2鈭�娄脨6)

由所得图象关于y

轴对称，则娄脴娄脨2鈭�娄脨6=娄脨2+k娄脨k隆脢Z

解得：娄脴=2k+43k隆脢Z

当k=0

时，娄脴

的最小值是43

．

故答案为：43

．

根据正弦函数的图象变换求得g(x)

由题意可知娄脴娄脨2鈭�娄脨6=娄脨2+k娄脨k隆脢Z

求得娄脴

的值，当k=0

时，娄脴

取最小值．

本题考查正弦函数的坐标变换，正弦函数的对称性，考查计算能力，属于基础题．【解析】43

三、证明题(共7题，共14分)15、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．16、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=17、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．18、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．19、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．20、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．21、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．四、计算题(共4题，共12分)22、略

【分析】【分析】本题中所给的两个题中的三角函数都是特殊角的三角函数，其三角函数值已知，将其值代入，计算即可．【解析】【解答】解：由题意（1）sin30°+cos45°=+=

（2）sin260°+cos260°-tan45°=+-1=+-1=023、略

【分析】【分析】根据二次根式有意义的条件得到a（x-a）≥0，x-a≥0，则a≥0，而a（y-a）≥0，a-y≥0，则a≤0，得到a=0，把a=0代入已知条件中易得x=-y，然后把x=-y代入分式计算即可．【解析】【解答】解：∵a（x-a）≥0；x-a≥0；

∴a≥0；

又∵a（y-a）≥0；a-y≥0；

∴a≤0；

∴a=0；

把a=0代入已知条件则-=0；

∴x=-y；

∴原式==．24、略

【分析】【分析】（1）要求a+b，可以首先求得（a+b）2的值，利用完全平方公式中（a+b）2与（a-b）2之间的关系；即可求解；

（2）根据===，代入即可求解．【解析】【解答】解：（1）∵b＜a＜0

∴a+b＜0（1分）

又∵（a+b）2=（a-b）2+4ab=13

∴a+b=±

∵b＜a＜0

∴a+b=-

（2）∵a-b=3

∴（a-b）2=a2+b2-2ab=9

∴a2+b2=9+2ab=9+2=11

∴====-×3×11=-33．25、略

【分析】【分析】先把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a2-（x2+2x）a+x3-1=0，然后利用求根公式解得a=x-1或a=x2+x+1；于是有

x=a+1或x2+x+1-a=0，再利用原方程只有一个实数根，确定方程x2+x+1-a=0没有实数根，即△＜0，最后解a的不等式得到a的取值范围．【解析】【解答】解：把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a2-（x2+2x）a+x3-1=0；

则△=（x2+2x）2-4（x3-1）=（x2+2）2；

∴a=，即a=x-1或a=x2+x+1．

所以有：x=a+1或x2+x+1-a=0．

∵关于x3-ax2-2ax+a2-1=0只有一个实数根；

∴方程x2+x+1-a=0没有实数根；即△＜0；

∴1-4（1-a）＜0，解得a＜．

所以a的取值范围是a＜．

故答案为a＜．五、解答题(共2题，共4分)26、略

【分析】【解析】(1)关键在平面B1CD内找到与AC1平行的直线，涉及到中点想到构造中位线解决.本题连接BC1交B1C于O点连接OD，则证明OD//AC1即可.

（2）先做出其平面角，过C作于E点，连接C1E；

则就是二面角C－ＡＢ－Ｃ1的平面角；然后解三角形即可。

（1）证明：设交于点O，则O为的中点.

在△中，连接OD，D，O分别为AB，的中点，故OD为△的中位线；

∥又

∥平面6