第一节 导数的概念

第二章导数与微分1.由于自变量x的变化引起函数y=f(x)变化的快慢问题——函数的变化率，即导数的概念.3.求导或微分——微分法2.由于自变量x的微小变化(Δx很小)，引起函数y=f(x)的改变量Δy的近似值问题——微分问题。2第一节导数的概念一.导数概念的引例二.导数的概念及其几何意义主要内容:三.可导与连续的关系31.变速直线运动的瞬时速度

问题描述:

设某点沿直线做非匀速运动,其走过的路程s

与时间t

的函数关系为s=f(t),那么动点在某一时刻(设为t0)的瞬时速度如何求得?一.导数概念的引例4播放2.平面曲线的切线斜率5

如图,曲线C的方程为y=f(x),点M的坐标为(x0,y0).

问题:

如果曲线C在

点M处的切线存在,

点M处的切线斜率如何求?则6二.导数的概念记为定义:设函数y=f(x)在点x0的某个领域内有定义,当自变量x在x0处取得增量时,函数取得增量相应地如果当时,的极限存在,则称函数x0

处可导,y=f(x)在点并称这个极限为函数点

x0

处的导数,y=f(x)在7即：也可记作当上式极限不存在时,称函数f(x)在点x0处不可导.8质点在时刻的瞬时速度曲线在M

点处的切线斜率9关于导数的说明:

2.

如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导,就称函数f(x)在开区间I

内可导.对于任一都对应着f(x)的一个确定的导数值.这个函数叫做原来函数f(x)的导函数.记作或

1.是因变量在点x0处的变化率,它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.10即注意:2.在用上式求函数导函数时，要注意极限变量是,而x为常量.11例1

求函数f(x)=sinx

的导函数处的导数．和在x=解任意x∈R,x有增量Δx,(1)求增量(2)定比值12(3)取极限因此,任意x∈R,则类似地可得任意x∈R,13例2

求函数f(x)=c(常数)的导数．解任意x∈R,有即任意x∈R,14例3

求函数lnx的导数．解任意x∈(0,+∞)，即任意15则称此极限值为在处的右导数,记作即定义2:

若极限存在,(左)或或16

函数y=f(x)在x0处可导的充要条件为

y在x0处的左、右导数存在且相等．例4

讨论函数f(x)=|x|在x=0处的可导性.解由于因此函数|x|在x=0处不可导.17导数的几何意义：表示曲线y=f(x)上点处切线的斜率。由导数的几何意义，可分别得到曲线y=f(x)在点处的切线方程和法线方程切线方程:法线方程:18例5

求曲线y=sinx在点处的切线和法线方程．根据以上公式，则该曲线的切线方程为解由例1,法线方程为19三.可导与连续的关系定理函数f(x)在x0处可导,则f(x)在x0处连续．例7

设函数讨论函数f(x)在x=0处的连续性与可导性.解因为所以f(x)在x=0处不连续.由以上定理,f(x)在x=0处不可导.20例8

设函数讨论函数f(x)在x=0处的连续性与可导性.解因为由于x=0与x≠0时函数的表达式不同,因此要用导数的定义讨论f(x)在x=0处的可导性.所以函数f(x)在x=0处连续.21因为极限不存在.所以函数f(x)在x=0处不可导.22例9

设函数求证由于所以当时当时于是得23小结:1.导数的实质:

增量比的极限;3.导数的几何意义:

切线的斜率;4.

函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法:

由定义求导数.

判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.24播放2.平面曲线的切线斜率25播放2.平面曲线的切线斜率26播放2.平面曲线的切