圆与圆的位置关系+课件-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.6.2圆与圆的位置关系前面我们运用直线与圆的方程，研究了直线与圆的位置关系，今天我们将类比上述研究方法，运用圆的方程通过定量计算来研究圆与圆的位置关系。

问题1圆与圆有哪些位置关系？相离、相切、相交.外离，外切，相交，内切，内含.

从两圆公共点的个数来考虑，可将两圆的方程联立，消去一个未知数得到一元二次方程，通过判断∆的符号确定一元二次方程解的个数，即方程组解的个数,我们把这种方法称之为代数法.

问题2如何用方程来刻画两圆的位置关系呢？圆与圆相离两圆没有公共点圆与圆内含圆与圆外离∆<0圆与圆内切圆与圆外切圆与圆相切两圆只有一个公共点∆=0

问题3如何进一步描述两圆的位置关系呢？圆与圆相交两圆有两个公共点∆>0外切内切令相交外离内含几何法：通过比较两圆圆心距与两圆半径的大小关系来刻画位置关系.不妨设两圆的半径分别为给出了两圆的方程之后，就知道了两圆的半径及圆心坐标，并根据圆心坐标算出两圆心之间的距离d，进而由d的大小就可以判断两圆具有上述哪种位置关系.下面我们举例说明.

例5判断圆与圆的位置关系.

解把圆的方程化成标准方程，得.

把圆的方程化成标准方程，得.

圆的圆心是点，半径为2

.

圆的圆心是点，半径为.

此时，两圆心之间的距离.

所以圆与圆相交，它们有两个公共点

（如右图所示）.xyOC1C2对于本例，我们也可以用代数法来解决问题.

因为

即

,

例5判断圆与圆的位置关系.将两圆的方程联立，得方程组①②①-②，得

.③即

.代入①式，整理，得④因为∆，所以方程④有两个不相等的实数根，即方程组有两组不同的解，因此，圆C1与圆C2有两个公共点，所以两个圆相交.

例5判断圆与圆的位置关系.

既然已知两圆相交，你能求出两圆的交点A，B坐标吗？公共弦AB所在的直线方程呢？由方程组①②①-②，得

.③即

.代入①式，整理得，得解得：xyOC1C2AB将其代入方程③得，因此所以公共弦AB所在的直线方程为.追问：为什么公共弦在的直线方程与③一样呢？

这是因为两圆的交点A，B的坐标同时满足方程①和②因此也满足③,也就是这两个交点都在直线上，而两点确定一条直线，所以公共弦AB所在的直线方程就是.xyOC1C2AB追问：是不是任何两个圆相减得到的方程都是这两个圆的公共弦所在的直线方程吗？

事实上，

如果两圆相离，两圆相减也可以得到一个的二元一次方程，而这个二元一次方程所表示的直线就不是两圆的公共弦所在的直线方程了.举例如下xyOC1C2

把圆的方程化成标准方程，得.

圆的圆心是点，半径为1

.

把圆的方程化成标准方程，得.

圆的圆心是点，半径为1

.

所以圆与圆相离.例6证明圆与圆内切，并求出它们的公切线l的方程.

解把圆的方程化成标准方程，得.

把圆的方程化成标准方程，得.

圆的圆心是点，半径.

圆的圆心是点，半径.

此时，两圆心之间的距离,因此两

圆内切（如右图所示）.xyOC1C2为了求公切线方程，需要求切点坐标，不妨设为点P.切点是两圆唯一的公共点，其坐标即为方程组

的解.①②②-①，得

.③即

.④将④代入②式，整理得

解得唯一解.把它代入方程④得.因此切点坐标为.xyOC1C2PxyOC1追问1：最后求出的切线方程不就是式吗？从以后的运算是否都可以省去呢？③③P

过切点、圆心的直线的一个方向向量为

而，因此向量

是切线l的一个法向量，故可设切线的一般式方程为

.将切点

代入上述方程，解得

.因此，所求切线方程为.l追问2：切线l的法向量可以是

吗？

追问：你能从直线法向量的角度去思考为什么两圆相交弦直线方程是两圆方程相减吗？剩下的证明过程与前面一致.l1.圆与圆的五种位置关系.2.圆与圆的位置关系的判定方法.3.两圆相交弦所在直线方程的求解方法.

4.两圆公切线的求解方法.小结课后作业

1.判断圆