2025年高考数学专项复习：函数的概念与性质（4大考向解读）-解析版

专题05函数的概念与性质

考情概览

命题解读考向考查统计

1.高考对函数的考查，重点是函数的单2023•新高考I卷,4

调性、奇偶性、对称性、周期性，需要森、指、对函数的图像与性质2023•新高考I卷,10

关注周期性、对称性、奇偶性结合在一2023•新高考n卷,4

起，与函数图像、函数零点和不等式相2022•新高考I卷，12

结合进行考查。2023•新高考I卷,11

抽象函数的性质

2.高考对函数的考查重点关注以基本初2024•新高考I卷,8

等函数组成的复合函数以及抽象函数2022•新高考n卷，8

为载体，对函数内容和性质进行考查，函数与不等式结合2024・新高考n卷，8

考查函数的定义域、值域，函数的表示2024•新高考I卷，6

方法及性质（单调性、奇偶性、对称性、分段函数、三次函数的图像与性质2024•新高考I卷，10

周期性）、图像等。2024•新高考II卷，11

2024年真题研析

命题分析

2024年高考新高考I卷考查了分段函数、抽象函数、三次函数的性质的应用，难度处于适中及较难。II

卷考查了三次函数的性质及将函数与不等式结合考查，难度是较难的。总体来说函数主要以课程学习情景

为主，备考应以常见的选择题和填空题为主进行训练，难度跨度大，既有容易题，也有中档题，更有困难

题，而且常考常新。函数考查应关注：（1）指数函数、对数函数、赛函数及一次函数、二次函数的图像和

性质是基础，要求考生要在理解的基础上熟练掌握这些函数的图像和性质，准确把握函数概念和性质的本

质，会处理分段函数与抽象函数的相关问题，会识别函数图像的变化。同时，指对运算也是常考查的知识

点，考生应加强对公式的理解及应用的训练。

（2）函数性质、零点、图像等问题是函数专题的重点考察内容，注意函数的奇偶性、单调性的综合应用,

注重数形结合，转化与化归思想以及构造新函数的训练，为突破难点作好准备工作。

试题精讲

一、单选题

—x2—2ax—a.x<0

I.(2024新高考I卷-6)己知函数为〃x)=,,八，在R上单调递增，则.取值的范围是

[e+ln(^+l),x>0

()

A.(-«,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo)

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【详解】因为/(%)在R上单调递增，且x20时，/(x)=e'+ln(x+l)单调递增，

-一^—>0

则需满足2x(-1),解得TWaWO,

-a<e°+In1

即a的范围是

故选：B.

2.(2024新高考I卷—8)已知函数为/⑴的定义域为R,/(x)>/(x-l)+/(x-2),且当x<3时/'(x)=x,

则下列结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【分析】代入得到/(1)=1,/(2)=2,再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.

【详解】因为当x<3时〃x)=x,所以风)=1J(2)=2,

又因为/(x)>〃xT)+〃x-2),

则/(3)>/(2)+/(1)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(II)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233,/(13)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,则依次下去可知"20)>1000,则B正确；

且无证据表明ACD一定正确.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用/⑴=1,〃2)=2,再利用题目所给的函数性质

/(x)>/(x-l)+/(x-2),代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.

3.(2024新高考I倦-8)设函数〃尤)=(x+a)ln(x+6),若/(x)20,则/+/的最小值为()

D.1

【答案】C

【分析】解法一：由题意可知：/(X)的定义域为(-6,+"),分类讨论-。与-6,1-6的大小关系，结合符号分

析判断，即可得6=a+l,代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln(x+6)的符号，进而可得x+a

的符号，即可得6=。+1,代入可得最值.

【详解】解法一：由题意可知：/(©的定义域为(-A+8),

令x+a=O解得x=-a；令ln(x+6)=0解得x=l-6；

若-aM-b,当xe(-6,l-6)时，可知x+a>0,ln(x+6)<0,

此时〃x)<0,不合题意；

若一b<-a<l-b,当xe(-a,l-b)时，可知x+a>O,ln(x+b)<0,

此时〃x)<0,不合题意；

若-a=l-6,当》€(-6,1-6)时，可知x+a<0［n(x+6)<0,此时/(x)>0；

当xe［l-6,+co)时，可知x+aN0,ln(x+6)N0,此时/(x)NO；

可知若-a=1-6,符合题意；

若一a>l-6,当xe(l-b,-a)时，可知x+a(0,ln(x+6》0,

此时〃x)<0,不合题意；

综上所述：-a=l-b,即6=a+l,

贝!1/+/=/+(〃+1)2=21+工］+!2，，当且仅当a=-1,6=］时，等号成立，

所以/+尸的最小值为：；

解法二：由题意可知：/(X)的定义域为(-6,+8),

令X+Q=0解得工=-。；令ln(x+b)=0解得x=l-b；

贝！I当工£(一6,1—6)时，ln(x+/?)<0,故x+a<0,所以l-6+a«0；

XE(1—a+。)时，ln(x+6)>0,故x+a20,所以l-b+a20；

故l-b+Q=O,贝!I/+/=/+(q+1)2=

当且仅当°=-；,6=3时，等号成立，

所以/+〃的最小值为］

故选：C.

【点睛】关键点点睛：分别求x+a=。、ln(x+6)=。的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论,

结合符号性分析判断.

二、多选题

1.(2024新高考I卷•10)设函数/(X)=(X-1)2(X-4),则()

A.x=3是/(x)的极小值点B.当0<尤<1时，/(x)</(x2)

C.当l<x<2时，-4</(2x-1)<0D,当-l<x<0时，/(2-x)>/(x)

【答案】ACD

【分析】求出函数“X)的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数“X)在

(1,3)上的值域即可判断C；直接作差可判断D.

【详解】对A,因为函数的定义域为R,而〃x)=2(x-1)(X-4)+(XT)2=3(XT(X-3),

易知当xe(l,3)时，/'(x)<0,当xe(-s,l)或xe(3,+s)时，/'(x)>0

函数〃x)在(一双1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+动上单调递增，故x=3是函数的极小值

点，正确；

对B,当0<x<l时，x-x2=JC(1-X)>0,所以1>工>/>0,

而由上可知，函数在(01)上单调递增，所以/卜)>/卜2),错误；

对C,当l<x<2时，K2x-1<3,而由上可知，函数/(x)在(1,3)上单调递减，

所以/⑴>/(2X-1)>/(3),即-4</(2X-1)<0,正确；

对D,当-l<x<0时，/(2-%)—/(x)=(1-x)2(-2-%)—(%—1)2(x-4)=(2-2x)>0,

所以〃2-元)>〃x),正确;

故选：ACD.

2.(2024新高考II卷-11)设函数〃x)=2x3-3ax?+1,则()

A.当。>1时，“X)有三个零点

B.当。<0时，x=0是/⑴的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在a,使得点为曲线>=/(x)的对称中心

【答案】AD

【分析】A选项，先分析出函数的极值点为》=0/=。，根据零点存在定理和极值的符号判断出/⑴在

(-1,0),(0,a),(a,2a)上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在

这样的凡6,使得x=b为/(x)的对称轴，贝!]/(x)=/(2Z)-x)为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这

样的。，使得(1,3-3a)为/⑶的对称中心，贝！]〃幻+/(27)=6-6a,据此进行计算判断，亦可利用拐点结

论直接求解.

【详解】A选项，/(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于a>l,

故xe(-oo,0)u(a,+s)时/'(x)>0,故f(x)在(一吗0),(a,+x))上单调递增，

xe(O,a)时，f'(x)<0,/(x)单调递减，

则/(x)在x=0处取到极大值，在x=。处取到极小值，

由〃0)=1>0,f(a)=l-a3<0,则〃0)/伍)<0,

根据零点存在定理/(x)在(0,a)上有一个零点，

X/(-l)=-l-3a<0,/(2«)=4«3+1>0,贝！J/(-l)/(0)<0,/(a)/(2a)<0,

则/(x)在(T,0),Q,2a)上各有一个零点，于是。>1时，/(x)有三个零点，A选项正确；

B选项,f'(x)=6x(x-a),"0时,xe(a,0),/,(x)<0,/(x)单调递减，

xe(0,+oo)时/(x)>0,/(x)单调递增，

此时/(x)在x=0处取到极小值，B选项错误；

C选项，假设存在这样的6,使得x=b为/(x)的对称轴，

即存在这样的使得"X)="26-x),

即2x3-3ax2+l=2(26-x)3-3a(26-x)2+l,

根据二项式定理，等式右边(26-x)3展开式含有d的项为2C；(26)°(-x)3=_2d,

于是等式左右两边/的系数都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的。力，使得x=b为/(x)的对称轴，C选项错误；

D选项，

方法一：利用对称中心的表达式化简

/⑴=3-3a,若存在这样的。，使得(1,3-3a)为/⑴的对称中心，

贝!|〃x)+/(2-x)=6-6a,事实上，

/(x)+/(2-x)=2x3-3axi+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,

于是6-6a=(12-6tz)x2+(12a-24)x+18-12a

12-6a=0

即12a-24=0,解得a=2,即存在a=2使得(1，/⑴)是/*)的对称中心，D选项正确.

18—12a=6—6a

方法二：直接利用拐点结论

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，

/(x)=2x3-3ax2+1,f\x)=6x2-6ax,/"(%)=i2x-6a,

由尸(x)=0oX=j于是该三次函数的对称中心为、J、1,

由题意(1J⑴)也是对称中心，故5=10。=2,

即存在a=2使得(1,7(1))是f(x)的对称中心，D选项正确.

故选：AD

【点睛】结论点睛：⑴/(x)的对称轴为x=bo/(x)=y(26-x)；(2)/(x)关于(a,6)对称

o/(x)+/(2a-x)=2b；(3)任何三次函数〃x)=加+凉+cx+d都有对称中心，对称中心是三次函数

的拐点，对称中心的横坐标是/〃(x)=0的解，即-；，/

是三次函数的对称中心

，3a

近年真题精选

一、单选题

1.(2023新高考I卷4)设函数〃耳=2"*")在区间(0,1)上单调递减，则。的取值范围是()

A.(-oo,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+co)

【答案】D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数＞=2、在R上单调递增，而函数〃x)=2式…)在区间(0,1)上单调递减，

2

则有函数y=x(x")=(x-勺-幺在区间(0,1)上单调递减，因n此解得此2,

242

所以。的取值范围是[2,+8).

故选:D

22

2.2022新高考n卷•8)已知函数/(幻的定义域为R,且/(x+y)+f(x-y)=〃x)/(y),/■⑴=1,则=

k=\

()

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【分析】法一：根据题意赋值即可知函数/(x)的一个周期为6,求出函数一个周期中的/'(l),"2),…,〃6)

的值，即可解出.

【详解】[方法一]:赋值加性质

因为/(x+y)+/(x-y)=/(x)f(y),令x=l,y=0可得,2/(l)=/(l)/(O),所以〃0)=2,令》=0可得,

/W+/(-y)=2/W，即=f所以函数为偶函数，令〉=1得，

/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)-/(x),即有7•(x+2)+/(x)=/(x+l),从而可知f(x+2)7(=l),

/(x-l)=-/(x-4),故〃x+2)=/(x-4),即/(x)=/(x+6),所以函数/(x)的一个周期为6.因为

/(2)=/(1)-/(0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,

==/(6)=/(0)=2,所以

一个周期内的/⑴+/(2)+…+/⑹=0.由于22除以6余4,

22

所以2/⑻=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1一1一2-1=-3.故选：A.

k=\

［方法二］:【最优解】构造特殊函数

由/■(x+y)+/(x-j)=/(x)/(y),联想到余弦函数和差化积公式

cos(x++cos(x-y)=2cosxcosj^,可设/(x)=acoscox,贝(j由方法一中/(0)=2J⑴=1知a=2,QCOSG=1,

解得cosg=g

■JT

所以/@)=2(：05§苫，则

/(x+y)+/(x-y)=2cos[x+gj+2cos[]x_]yJ=4cos/xcos]y=/(x)/(H,所以〃x)=2cos?x

T3L=6

符合条件，因此/(x)的周期三一，/(O)=2,/(l)=l,且

3

"2)=-1J(3)=-2J(4)=-1J(5)=1J⑹=2,所以〃1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以£/(左)="1)+〃2)+/(3)+〃4)=1一1一2—1=—3.故选：A.

k=\

【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；

法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，

简单明了，是该题的最优解.

2Y-1

3.(2023新高考II卷-4)若〃》)=(%+。)山5节为偶函数，贝巾=().

A.-1B.0C.yD.1

【答案】B

【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出。值，再检验即可.

【详解】因为/(x)为偶函数，则/(I)=/(-I),(1+«)In1=(-1+«)In3,解得a=0,

当a=0时，=(2x-l)(2x+l)>0,解得x>g或

则其定义域为卜或关于原点对称.

====xln||^=〃x),

故此时/(无)为偶函数.

故选：B.

二、多选题

1.(2022新高考I卷-12)已知函数，(x)及其导函数/(x)的定义域均为R,记g(x)=/(x),若-2d

g(2+x)均为偶函数，则()

A./(0)=0B.g］J=0C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)

【答案】BC

【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项

判断即可得解.

【详解】［方法一］:对称性和周期性的关系研究

对于/(X),因为为偶函数,所以/Odl+2.即出一=沁)①,所以

〃3-x)=/(x),所以/(x)关于无=；对称，则〃-1)=/(4),故C正确；

对于g(x),因为g(2+x)为偶函数，g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(x),所以g(x)关于x=2对称,由①求

导，和g(x)=—(X),得=/(T+xJ+,所

以g(3-x)+g(x)=0,所以g(x)关于弓,0)对称，因为其定义域为R,所以gg］=°，结合g(x)关于》=2

对称，从而周期7=4x(2-0=2,所以g］_m=g］1］=0,g(-l)=g(l)=-g(2),故B正确，D错误；

若函数/⑴满足题设条件，则函数/(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定/(x)的函数值，

故A错误.

故选：BC.

［方法二］:【最优解】特殊值，构造函数法.

由方法一知g(x)周期为2,关于x=2对称，故可设g(x)=cos(m)，则/(x)=,sing)+c,显然A,D错

兀

误，选BC.

故选：BC.

［方法三］:

因为了11一2d，g(2+x)均为偶函数，

所以噌-2'=*+2］即/(|-力=个+力，g(2+x)=g(2-x),

所以〃3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),则〃-1)=〃4),故C正确;

3

函数/(x)，g(x)的图象分别关于直线X==2对称，

又g(x)=7'(x),且函数/(x)可导，

所以g1|]=0，g(3-x)=-g(_r),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g，[=g0=O，g(T)=g#=-g(2),故B正确，D错误；

若函数/(x)满足题设条件，则函数/(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定/(x)的函数值，

故A错误.

故选：BC.

【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的

通性通法；

方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解.

2.(2023新高考I卷•10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

4=20xlg二，其中常数为(为>0)是听觉下限阈值，P是实际声压.下表为不同声源的声压级:

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为月,°2，。3,则().

A.Pi>p2B.p2>10/73

C.夕3=10020D.A<100j72

【答案】ACD

【分析】根据题意可知人e[60,90],%«50,60]，4=40,结合对数运算逐项分析判断.

【详解】由题意可知：4<60,90],Je[50,60],4=40,

对于选项A：可得41一工外=20xlg.-20*lg匹=20xlgdl_,

PoPoPi

因为474,则4-4=20xlg且20,gpigA>o,

PlPl

所以且21且P1,%>O,可得pg0，故A正确；

P1

对于选项B：可得一4=20*坨区—20*坨必=20*眩上，

PoPo2

因为4「43=4-40加0,贝！|2°x七21°,即吸。

所以&Z&6且2e>0,可得02»&加3，

23

当且仅当4。=50时，等号成立，故B错误；

对于选项C：因为4=20xlg△=40,即1g匹=2,

PoPo

可得乙=100,即区=10。。。，故C正确；

Po

对于选项D：由选项A可知：Lpi-Lp2=20xlgA,

Pl

且4-%(90-50=40,则20xlg且W40,

Pl

即1ga42,可得包4100,且口也>0,所以月W1OO0，故D正确；

PlP1

故选：ACD.

3.(2023新高考I卷-11)己知函数的定义域为R,/(^)=//(x)+x2/(y),则().

A./(0)=0B./⑴=0

C.“X)是偶函数D.x=0为“X)的极小值点

【答案】ABC

【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC,举反例/(刈=。即可排除选项

D.

方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D,可构造特殊函数/(幻=\InXW0进行判断即可.

[0,x=0

【详解】方法一：

因为/'(个)=//W+,

对于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令f/(1)=1/(1)+1/(1),贝!)〃1)=0,故B正确.

对于C令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)-2/(-1),则/(一1)=0,

令.V=TJ(-x)=/(x)+x2/(-l)=/(x),

又函数/(x)的定义域为R,所以/(©为偶函数，故C正确，

对于D,不妨令/(x)=0,显然符合题设条件，此时/(x)无极值，故D错误.

方法二：

因为/(中)=V/(x)+x2/(y),

对于A,令》=尸0,〃0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令尤=了=1,/(1)=1/(1)+1/(1),贝！)/⑴=0,故B正确.

对于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),贝！］〃T)=0,

令产-1,/(t)=f(x)+x2/(-l)=f(x),

又函数/(x)的定义域为R,所以/(x)为偶函数，故C正确，

对于D,当fy2#。时，对/(盯)=y2/(x)+x"(y)两边同时除以得至’」4^^=4^+半^，

故可以设汇=In忖(XX0),则〃x)=］：叫,xwO,

x［0,x=0

当x>0肘，f(x)=x2Inx,贝！|/'(%)=2xlnx+x2•—=x(21nx+l),

令/'(、)<0,得o<x<e4；令/'(x)>。，得x>e$

故/(x)在］o,J上单调递减，在卜W+'上单调递增，

因为/(x)为偶函数，所以“X)在-e2,0上单调递增，在-co,e2上单调递减，

k)\)

显然，此时x=0是Ax)的极大值，故D错误.

故选：ABC.

必备知识速记

一、函数定义域限制

求解函数的定义域应注意：

(1)分式的分母不为零；

(2)偶次方根的被开方数大于或等于零:

（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；

（4）零次幕或负指数次幕的底数不为零；

（5）三角函数中的正切y=tanx的定义域是｛x|xeR,且%，6+彳,左eZ＞；

（6）已知/（x）的定义域求解/[g（x）]的定义域，或已知/[g（x）]的定义域求/（X）的定义域，遵循两

点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则J下，括号内式子的范围相同；

（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.

二、基本初等函数的值域

(1)y=Ax+6（4w0）的值域是R.

(2)y=ax2+bx+c（〃.O）的值域是：当。＞0时，值域为例"号声｝;当。＜0时，值域为

{"4QC-b”

＞="（左。0）的值域是w0｝.

(3)

X

(4)y=a"（a＞0且。w1）的值域是（0,+oo）.

(5)y=log°x（a＞0且aW1）的值域是R.

函数的单调性

（1）单调函数的定义

一般地，设函数/（x）的定义域为/,区间

如果对于。内的任意两个自变量的值匕，匕当玉＜三时，都有/区）＜/（2）,那么就说/（X）在区间。上是

增函数.

如果对于。内的任意两个自变量的值与，乙，当西＜三时，都有了区）＜〃％）,那么就说“X）在区间。上

是减函数.

①属于定义域/内某个区间上；

②任意两个自变量X1,X?且为＜£；

③都有/（%!）＜/（%）或〃%）＞/（x2）；

④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.

（2）复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）

函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.

四、函数的奇偶性

函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个x,都有/(-x)=/(x),那

偶函数关于V轴对称

么函数/(X)就叫做偶函数

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有/(-X)=-/(x)，

奇函数关于原点对称

那么函数/(X)就叫做奇函数

判断了(-X)与/(x)的关系时，也可以使用如下结论：如果/(-x)-〃x)=0或Z5=l(/(x)wO)，则函数f(x)

/(x)

为偶函数；如果〃-x)+/(x)=O或止上=-1(/(X)HO),则函数〃x)为奇函数.

/(x)

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个X,7也

在定义域内(即定义域关于原点对称).

五、函数的对称性

(1)若函数y=a)为偶函数,则函数y=/(x)关于x=a对称.

(2)若函数y=/(x+°)为奇函数，则函数y="X)关于点(0,0)对称.

⑶若/(x)=/(2a-x),则函数〃x)关于x=。对称.

(4)若/(x)+/(2a-x)=2b,则函数八＞)关于点(a,b)对称.

六、函数的周期性

(1)周期函数：

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数7,使得当x取定义域内的任何值时，都有了(x+T)=/(x),那

么就称函数y=〃x)为周期函数，称7为这个函数的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函数/(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做/(%)的最小正周期.

七、常见的褰函数图像及性质

_1_

23-1

函数y=xy=xy=x）二12y=x

y

Vk

4V

图象1

TV0x

定义域RRR{xx>0}{xxw0}

值域R{ygo}R{ygo}{y|yN0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

在五上单在(-GO,0)上单调递在正上单调递在［0,+oo)上单调在(-00,0)和

单调性

调递增减，在(0,+oo)上单增递增(0,+8)上单调递

调递增减

公共点（1，1）

八、指数及指数运算

1、指数

(1)根式的定义：

一般地，如果x"=a,那么x叫做。的〃次方根，其中(〃>1,〃eN*),记为后，”称为根指数，。称为

根底数.

(2)根式的性质：

当”为奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的"次方根是一个负数.

当”为偶数时，正数的〃次方根有两个，它们互为相反数.

(3)指数的概念：指数是幕运算优(aw0)中的一个参数，。为底数，〃为指数，指数位于底数的右上角，幕

运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数塞的分类

①正整数指数幕〃=“公不(”N*)；②零指数累。°=1("0)；

③负整数指数累〃eN*)；④0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义.

(5)有理数指数幕的性质

①暧优=d"+"(a>Q,m,neQ)；②(屋)"=a"'"(a>0,m,〃e。)；

@{abyn=ambn\a>0,b>0,加e。)；©叱=/年>G，m>"Q).

2、指数函数

y=ax

0<«<1a>\

图

象

-o]~；彳

<o\L\X

性①定义域R,值域(0,+8)

质②0。=1,即时x=0,y=l,图象都经过(0，1)点

③优=a,即x=l时，N等于底数a

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

⑤x<0时，优>1；x>0时，0<Q"<1X<0时，0<Q*<1;%>0时，ax>1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

九、对数及对数运算

1、对数式的运算

(1)对数的定义：一般地，如果a'=N(a>0且。*1),那么数》叫做以。为底N的对数，记作x=k>g.N,读

作以。为底N的对数，其中。叫做对数的底数，N叫做真数.

(2)常见对数：

①一般对数：以。(。>。且a")为底，记为log3读作以。为底N的对数；

②常用对数：以10为底，记为IgN；

③自然对数：以e为底，记为InN；

(3)对数的性质和运算法则：

①log：=0；log：=l；其中。>0且awl；

②d°g3=N(其中0>0且awl，N>0)；

③对数换底公式：1°8。6=器1；

@10gli(ACV)=10gliM+logaN-

⑤bg«==1呜M-bg”；

⑥log.b"=—log06(〃7,nei?)；

am

b

®=b和logaa=b；

log/,a

2、对数函数的定义及图像

(1)对数函数的定义：函数>=log.x(。>0且叫做对数函数.

值域：R

过定点(1，0),即x=l时，y=0

在(0,+8)上增函数在(0,+8)上是减函数

当0<x<l时，歹<0,当xNl时，当0<%<1时，歹〉0,当工之1时，歹40

y>0

十、函数与方程

1、函数的零点

对于函数)=/(X),我们把使y(x)=O的实数X叫做函数〉=y(x)的零点.

2,方程的根与函数零点的关系

方程“X)=0有实数根o函数y=的图像与X轴有公共点o函数了=“X)有零点.

3、零点存在性定理

如果函数了="X)在区间［出用上的图像是连续不断的一条曲线，并且有/(«)./(/))<0,那么函数了=/(%)

在区间(见6)内有零点，即存在ce(a,6),使得/(c)=0,c也就是方程/(x)=0的根.

4,二分法

对于区间6］上连续不断且〃。/伍)<0的函数/(x),通过不断地把函数/(x)的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程

/(x)=0的近似解就是求函数/(x)零点的近似值.

5、用二分法求函数/(x)零点近似值的步骤

(1)确定区间［。月,验证<0,给定精度£.

(2)求区间(氏6)的中点再.

(3)计算〃再).若/(再)=0,则X］就是函数〃x)的零点；若/(“卜/(再)<0,则令6=再(此时零点

x(,).若/他>/(x)<0,则令a=%(此时零点/e(%,6))

(4)判断是否达到精确度£,即若|a则函数零点的近似值为。(或6)；否则重复第(2)—(4)

步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

【函数性质常用结论】

1、单调性技巧

(1)证明函数单调性的步骤

①取值：设X］,X?是/(X)定义域内一个区间上的任意两个量，且不<2；

②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；

③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；

④得出结论.

(2)函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行判断.

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区

间.

(3)记住几条常用的结论：

①若/(x)是增函数，则-/(x)为减函数；若/(x)是减函数，贝匚/(x)为增函数；

②若/(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在/(x)和g(x)的公共定义域上/(x)+g(x)为增(或减)函数；

③若〃x)>0且〃x)为增函数，则函数为增函数，上为减函数；

“X)

④若〃x)>0且/(x)为减函数，则函数口5为减函数，，为增函数.

/(x)

2、奇偶性技巧

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

(2)奇偶函数的图象特征.

函数是偶函数Q函数的图象关于歹轴对称；

函数是奇函数Q函数的图象关于原点中心对称.

(3)若奇函数、="X)在x=0处有意义，则有/(0)=0；

偶函数y=f(x)必满足f(x)=/(|xI).

(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个

区间上单调性相同.

(5)若函数/(x)的定义域关于原点对称，则函数/(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记

g(x)=；[/(x)+/(-%)],A(x)=1[/(%)-/(-%)]，则/(x)=g(x)+%(x).

(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数,

如/(X)+g(x)J(x)-g(x),f(x)Xg(x)J(x)+g(x).

对于运算函数有如下结论：奇士奇=奇；偶士偶=偶；奇±偶=非奇非偶；

奇x(4-)奇=偶；奇x(+)偶=奇；偶x(+)偶=偶.

(7)复合函数y=/[g(x)]的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.

(8)常见奇偶性函数模型

奇函数：①函数〃刈=加(3)("0)或函数/(x)=m(—).

axax

②函数/(%)=土⑷-尸).

③函数/(x)=log"=log。(1+或函数/(X)=log,=log"(1-

x-mx-mx+m

注意：关于①式，可以写成函数/*)=加+尊-(》20)或函数/(幻=加-字-(加€尺).

«-1a+\

偶函数：①函数/(x)=±(a*+aT).

②函数/(》)=1。&(“皿+1)-拳.

③函数/(|x|)类型的一切函数.

④常数函数

3、周期性技巧

函数式满足关系(xwK)周期

/(x+r)=/(x)T

/(%+r)=-/(x)2T

=』;/(

“x+7)x+T)=-1IT

/(无)〃x)

/(x+T)=/(x-r)IT

f(x+T)=-f(x-T)4T

{f(a+x)=f{a-x)

2(6-Q)

[f(b+x)=f(b-x)

J/(a+x)=/(a-x)

[/(x)为偶函数la

[f(a+x)=-f{a-x)

2(6-a)

f(b+x)=-f(b-x)

[f(a+x)=-f(a-x)

2a

/(x)为奇函数

[/(a+x)=/(a-x)

4(6-Q)

f(,b+x)=-f(b-x)

J/(a+x)=/(a-x)

1/(x)为奇函数4。

[f(a+x)=-f(a-x)