2025年高考二轮复习数学突破练：圆锥曲线的定义、方程与性质（提升篇）

专题突破练（分值：96分）

♦学生用书P201

主干知识达标练

1.（2024山东聊城二模）点P在抛物线V=8尤上，若点P到点（2,0）的距离为6,则点P到v轴的距离为

（）

A.4B.5C.6D.7

答案A

解析根据抛物线方程可知,焦点为（2,0）,准线方程为x=-2,点P到焦点的距离为6,即点P到准线的距

离为6,所以点P到y轴的距离为6-2=4.故选A.

2.（2024江苏扬州模拟）已知椭圆1+尸=1（心1）的离心率为与，则抛物线严办2的焦点坐标为（）

A忌。）C.（Q）D.（O,总

答案D

解析因为椭圆亍+y2=］（a＞l）的离心率为景所以=合解得a=4,则抛物线y=ajc的标准方程为

X2/,它的焦点坐标为（0,2）.故选口.

3.（2024河北沧州一模）已知双曲线C:^-\=1（。＞0力＞0）的一条渐近线的倾斜角为也其焦点到渐近线

的距离为2,则C的方程为（）

答案B

解析由题意可得、=ta4=g,所以"=百女双曲线的渐近线方程为y=土争;，即dV^y=0,不妨设焦点

（c,0）到渐近线x+V3y=0的距离为2,即d=-^==，=2,解得c=4,又«2+&2=^=16,«=73/?,^^

/=4,次=12,

所以C的方程为1—4=1.故选B.

124

2

4.（2023全国甲，文7）设/2为椭圆C：y+/=1的两个焦点,点尸在。上，若两•陋=0,则

|PFI|.|PF2|=()

A.1B.2C.4D.5

答案B

Y2

解析由椭圆C《+y2=l,知〃2=5,庐=1恻，=。2/2=4,即c=2,则|BBI=2c=4.

•.西•度=0,

O

PFi±PF2,^ZFIPF2=90.

在口△尸西出中,归尸1|2+归/2|2=尸上2|2,：归/1|+|尸&|=2。=2代，

22

/.（|PFi|+|PF2|）-2|PFII-\PF2\=|FIF2|.

.,.20-2|PFI1-^21=16,

解得归为卜|尸&|=2.故选B.

5.（2024湖南衡阳二模）已知双曲线C:捻-，=l（a>0,6>0）的左焦点为尸，虚轴的上、下端点分别为

48,若|而+而|=2|启-丽则C的离心率为（）

A萼B苧C.V3D.等

答案A

解析根据题意，作图如下：

|党+而|=2|方一而即2|而|=2|瓦也即c=2b,故c2=462=4（c2_a2）,解得=3,则£=孚，即双曲线

aZ3a3

C的离心率为学.故选A.

6.（多选题）（2024湖南长沙一模深彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距

离太阳最近的点）与太阳中心的距离为九远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为4,并且近

日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（）

A.轨道的焦距为d2+di

B.轨道的离心率为先?

C.轨道的短轴长为2声石

D.当牛越大时，轨道越扁

答案BC

解析以近日点和远日点的中点为坐标原点，近日点和远日点连线所在直线为无轴建立平面直角坐标

系.

设该椭圆的方程为葭+

由题知解得。=空强,。=空，因为轨道的焦距为2c=处4,所以选项A错误;

（aiC—。2，z2

因为离心率为£=生今,所以选项B正确；

CL沏+的

因为轨道的短轴长为27^^=2,丐强）2-（包书）W=2jdid2,所以选项C正确;

1虫

因为“20—京=-1H—,则3越大时，离心率越小，则轨道越圆，所以选项D错误,故选BC.

的+询1+夕1+32

d2d2

7.（多选题）（2023新高考n[0）设。为坐标原点，直线尸-遍a-1）过抛物线C：y2=2*⑦>0）的焦点，且与

。交于M,N两点，/为C的准线，则（）

A.p=2

B.IMNiq

C.以MN为直径的圆与/相切

D.z\OMN为等腰三角形

答案AC

解析对于A,在y=-g（x-l）中令y=0,得x=l,所以抛物线的焦点为（1,0）,所以冷=1,所以p=2,故A正确;

对于B,由A知，抛物线的方程为Ex,则由，2二同一1）'得黑或《二〉

（y一%,3=亍，一--

不妨设M1,等B不正确;

对于C,由B知，以MN为直径的圆的圆心为竽）,半径为|,又抛物线的准线/的方程为圆

心到准线/的距离为|一（一1）=|,故以MN为直径的圆与I相切，故C正确;

对于D,因为|OM=JG）2+（等）2=孚,3|=]32+（一2百）2=后,皿N=学,可知40/7不是等腰

三角形，故D不正确.故选AC.

8.（5分X2024广东湛江二模）已知外出是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足|Pm2=19『尸2匕

则C的离心率的取值范围是.

答案[当当）

解析因为|「西|2=19|尸&|2,所以|尸西|=739尸尸2|,由椭圆定义知2a=|PF1|+|PB|=（旧+1）|尸外|,所以

|尸出[a-Ga+c],则0=展当史,又0<e<l,所以C的离心率的取值范围是[坦f』）.

9.（5分）（2024湖南益阳模拟）已知双曲线C:冒-5=1（°>0/>0）的左、右焦点分别为过分作一

条渐近线的垂线交双曲线C的左支于点尸,己知祸=|,则双曲线C的渐近线方程为----------.

答案y=±2x

解析根据题意画出图象如下:

由籍=|得|朋|=||尸尸2|,又IP&I-I明1=2。,所以吐2|=平,|叨I岑双曲线C：马-盘=1（。>0力>0）的渐

近线方程为bx±ay=0,

则点R（-c,0）到渐近线的距离4=乎」=6,所以在中,

历+。2°

由余弦定理得|P&|2=|PR|2+EP2|2-2|PB||BF2|COS/PB1P2,

即岑Q=等+4°2一等,化简得（\）22.3—>0,即（Q）C+|）=0,解得5=2或：=-|,因为0>0力>0,所

以2=2.

a

则双曲线C的渐近线方程为y=+2x.

关键能力提升练

10.（2024山东日照一模）过双曲线。-[=1的右支上一点P,分另IJ向OG：（尤+4）2+声=3和。。2：（六

41Z

4）2+y2=l作切线，切点分别为MN,则（两+丽）•丽的最小值为（）

A.28B.29C.30D.32

答案C

解析由双曲线方程^—二=1可知〃=2力=2V3,c=Va2+h2=4,可知双曲线方程的左、右焦点分别为

412

尸（4,0）,尸2（4,0）,圆G的圆心为G（-4,0）（即场）,半径为n=V3;

圆C2的圆心为C2(4,0)(即尸2),半径为r2=l.

如图，连接PFI,PF2,FIM,FZN,则MFi上PM,NF2上PN,可得西+丽)•丽=(而+P/V)-(PM-

2222122

PN)=\PM^-\PN\=(\PFl\-r^-(\PF2\-r^=(\PF1\-3y(\PF2\-l)=\PFi\-\PF2\-2=(\PFl\-

|PF2|)(|PFi|+|PF2l)-2=2a(|PFi|+|PF2|)-2>2a-2c-2=2x2x2x4-2=30,

当且仅当尸为双曲线的右顶点时，等号成立，即(两+两)•丽的最小值为30.故选C.

22

11.(多选题X2024山东青岛模拟)已知椭圆。:3+%=1(0<6<3)左、右两个焦点分别为Q和巳，动直

线/经过椭圆左焦点打与椭圆交于A乃两点，且|A尸2|+|33区8恒成立，下列说法正确的是()

A.b=V6

B.|AB|e[4,6]

C.离心率e=y

D.若。4则—2-------j=To

|04产|OB|218

答案AB

解析如图，易知a=3,由椭圆定义可知|48|+|4川+|8&|=44=12.

2

因为lA&l+IB&g恒成立，所以IABIN4,当4B_Lx轴时,|AB|最小，所以解得6=遥，所以A

正确；

当|48|为长轴时,|48|最大，此时|A8|=2a=6,所以|48|34,6],所以B正确；

可得椭圆方程为C:*+5=1,则c=y/a2-b2=皆,得离心率e=--g,所以C错误；

96a3

(x=my-V3,

因为尸1(-百,0),可设直线/的方程为x=my-V^,A(%i,yi),3(X2j2),联立%2y2整理可得(2川+34-

1—9+—6=I'

4倔妹12=0,因此皿=**二岛.

若04_1_。2,可得。a-OB=0,即肛¥2+约》2=0,所以（苏+1）力y2-百根（口+了2）+3=0,整理得6疗+1=0,此时

方程无解，因此D错误.故选AB.

12.（多选题）（2024湖南衡阳模拟）已知抛物线7V=2力3>0）过点尸（2,2夜），其焦点为R过点B作两条

互相垂直的直线/i12,直线/i与抛物线「相交于A,8两点，直线/2与厂相交于CQ两点（如图所示），则

下列结论正确的是（）

A.抛物线厂的方程为y2=©

B.抛物线r的准线方程为x=-2

C.ZXACB和△BfD面积之和的最小值为7

D.ZkACF和△2即面积之和的最小值为8

答案AD

解析将点尸（2,2或）代入y2=20x,得8=4p,解得p=2,所以抛物线厂的方程为产=4无，故A正确；

由丁=©知,抛物线的准线方程为尤=-1,故B错误；

易知直线/112斜率均存在且不为0,设4（X1,%）,2（必）2）,直线/1的方程为y=-X-l）,联立，即

Ff-QF+4）x+S=0,①

4

所以Xl+X2=2+-7,X1X2=1,

k

设C（%3j3）Q（X4,y4）,则直线，2的斜率为京代入①中，得X3+X4=2+4/,X3,X4=l,所以△AC尸和△BFZ）面积

11111（

之和为S=-\FA|-|FC|+-\FB\-\FD|=万［（%1+1）（x3+1）+3+1）（工4+1）］=］（%1%3+X2X4+xi+%2+%3+工4）+1=5

XlX3+X2X4+2+5+2+4F）+izg（2j%i%2%3%4+2J,4k2+4）+1=8,当且仅当左=±1,且为羽=%2%4时等号

成立，所以△ACT和△8FD面积之和的最小值为8,故C错误,D正确.故选AD.

13.（多选题X2024云南昆明模拟）已知椭圆C:q+4=l的左、右焦点分别为后42,直线与C交

于A,B两点（A在y轴右侧）,0为坐标原点，则下列说法正确的是（）

A.|AFi|+|BFi|=2V5

B.当根二警时，四边形ABB6为矩形

C.若AH_L5Fi,贝ljm=^

D.存在实数机使得四边形ABB。为平行四边形

答案ABD

解析如图，根据椭圆方程可得”=有力=2,c=l,E（-l,0）,B（l,0）.

由对称性可得|人为|+|BFi|=|AB|+|A尸2|=2有，故A正确;

当加=警时，可得A（1,卓）,8（1，W）,又B（-1,O）,尸2（1,0）,则尸尸2,则四边形

ABEEi为矩形，故B正确;

------->>------->>cc-VI22

设4",徵）,8（-〃,徵）,则4&二（-1-凡加）,8&=（-1+〃广闻,若AFi_LBFi,则Z0•5&=1-〃2+m2=0,又二十7二1,

联立消元得9/-16=0,解得加=±±故C错误;

1

若四边形ABRO为平行四边形，则|43|=旧1。|=1,即点A的横坐标为搭即可，代入椭圆方程可得

"片土?,故当机=±等时,四边形ABF。为平行四边形，故D正确.故选ABD.

14.（5分X2024山东青岛一模）已知。为坐标原点，点尸为椭圆谆+哙=1（°>6>0）的右焦点，点"在

C上,且线段AB的中点为凡。4，。8,则C的离心率为.

答案与

解析如图，由椭圆的对称性可知鼻2垂直于x轴,又04_L。氏所以，所以△AOF为等腰直角三

角形，故A（C,C）,代入椭圆方程有g+3=1,即422+。22=〃2户,所以42cZ+d*’/uHPcZ）,整理得人

azbcc

3/+1=0,解得/=竽或次=竽（舍去），故e=

15.（5分）

（2024河北衡水模拟）数学家Dandelin用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们

分别与圆锥侧面、截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双球模

型）.若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成60。角的平面截圆锥所得椭圆的离心率

为.

答案当

解析如图，令两个球。1,。2分别与截面相切于点在截口曲线上任取一点7/,过点7/作圆锥的母线，

分别与两个球相切于。,尸,"。,班'均为球01的切线，则/。=郎,同理因此

HE+HF=HP+HQ=PQ>EF,由切点、P,Q的产生方式知，尸。长为定值，于是截口曲线上任意一点H到定

点瓦尸的距离和为定值,该曲线是以点&F为焦点的椭圆，

作出几何体的轴截面，如图，设SA=2,依题意,/S=60°,/SAB=30°,

贝比/$朋=90°,52=1/12=b，椭圆的长轴长2a=42=百，半焦距为c,

厂匕£皮、、将，

则nija-c=nBF=-A-B-+-S-B--S-A=V,3^-l因6此.»。二不1所以离心率e=-c=—V3.

222a3

16.（5分）（2024福建厦门一模）设AABC是面积为1的等腰直角三角形，。是斜边A8的中点，点「在4

A8C所在的平面内，记△PC。与△PAB的面积分别为Si&且Si5=l.当呼|=同，且|尸4|>|尸3|

时,|P4|=;记11PAi-|PB||=a,则实数a的取值范围为.

答案后（警,2）

解析以。为原点，荏为x轴正方向建立如图所示平面直角坐标系，由题易知C（0,1）4（-1,0）,3（1,0）,

设P（无o,yo）,则S1=｝尤o|,S2=lyol,所以手尤o|-|yol=l,则|必|=手尤ol-l,当|尸5|="^,且1PAi>|尸3|时而>0,即

1PBi2=（xo-l）2+诏=10,所以（xo-l）2+（|xo-l）2=10,即5亚-12xo-32=O,可得尤o=4（负值舍），则|州|=1,故

2

|PA|=/(x0+I)+光=V26,

双曲线顶点的横坐标的绝对值小于半焦距1,则双曲线与jxUy|=l的图象有交点，

即双曲线的渐近线与gm-|y|=l的图象有交点，则双曲线的渐近线斜率的绝对值小于

4”cU-a211,1,5162”,,4V5c

所以°<J而<5=7/<五今二<4,^—<«<2,

所以实数a的取值范围为（卓,2）.

核心素养创新练

17.（多选题X2024山东荷泽模拟）用平面a截圆柱面，圆柱的轴与平面a所成角记为仇当。为锐角时，

圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大

小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于a的上方和下方，并且与圆柱面和a均相切.其中G1G2为椭

圆长轴,品,尸2为两切点，尸为椭圆上一点下列结论中正确的有（）

A.椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等

B椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距。1。2相等

C.所得椭圆的