2025高考物理一轮复习讲义：电场中的图像问题、电场中的功能关系

第3课时专题强化：电场中的图像问题电场中的功能关系

【目标要求】1.掌握静电力做功的计算方法及电场中常用的功能关系。2.掌握电场中的几种常

见图像。

考点一电场中的功能关系

几种常见的功能关系：

⑴合外力做功等于动能的变化，即也合=反2-&1=4用(动能定理)。

(2)重力做功等于物体重力势能的变化，即版;=EpGi—EpG2=-AEp。

(3)静电力做功等于电势能的变化，即Wi=Epii-£pi2=-AEp4o

(4)弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，即W产％—Ep2=—AEp弹。

(5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化，即W其他力=£机2—E机1

=机。

说明：动能定理可以把不同力对物体做的功联系起来；能量守恒定律可以把系统中参与变化

的所有能量联系起来。

【例1】(2023•全国乙卷J9改编)在。点处固定一个正点电荷，尸点在。点右上方。从P点由

静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一

段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点，OP>OM,OM=ON,则小球()

A.在运动过程中，电势能先增加后减少

B.在P点的电势能小于在N点的电势能

C.在M点的机械能等于在N点的机械能

D.从/点运动到N点的过程中，电场力始终不做功

答案C

解析由题知，OP>OM,OM=ON,则根据正点电荷的电势分布情况可知9M=0N>pp,则带

负电的小球在运动过程中，电势能先减小后增大，且EpP>EpM=EpN,则带负电的小球在M点

的机械能等于在N点的机械能，A、B错误，C正确；从M点运动到N点的过程中，电场力

先做正功后做负功，D错误。

【例2】(2024.江苏南通市校考)如图所示，光滑水平面上有一劲度系数为左的轻弹簧左端固定,

右端连一质量为机、电荷量为q的带负电小物块，水平面上方有一电场强度大小为E、方向

水平向右的匀强电场。开始时物块在大小为2qE、方向水平向右的外力P作用下静止在M点,

设物块在〃点的电势能为零。现将力尸撤去，则物块运动过程中，下列说法正确的是()

/77777^7777777777777777^7777~

A.弹簧和物块组成的系统机械能之和不变

B.弹簧处于原长时物块的速度最大

C.弹簧最短时物块加速度大小为华

D.物块电势能的最小值为一型

答案C

解析弹簧和物块组成的系统，撤去尸后受到弹簧的弹力和静电力作用，则机械能与电势能

之和不变，选项A错误；当所受的合力为零时速度最大，即此时弹力大小等于静电力大小，

此时弹簧不是处于原长位置，选项B错误；开始撤去厂时，物块受到的合力大小为2gE,由

对称性可知，弹簧最短时物块所受的合力大小为2qE,此时物块加速度大小为4=^^,选项

C正确；开始时弹簧的弹力大小为尸弹=夕£,此时弹簧处于伸长状态；在平衡位置时弹簧的

弹力大小为F滓=qE,此时弹簧处于压缩状态，则从开始运动到平衡位置的距离为x=华，

弹簧最短时物块的电势能最小，从开始释放物块到弹簧最短时，静电力做功为W=qE-2x=

4万华=包餐，即物块的电势能减小的费；因M点的电势为零，则物块电势能的最小值为

KKK

一也咨，选项D错误。

【例3】(2023•江苏苏州市检测)可视为质点的物块A、B、C放在倾角为37。、长工=2m的固

定斜面上，B、C相距1m,其位置关系如图所示。物块与斜面间的动摩擦因数均为〃=0.5,

物块A、^的质量分别为期二。^。!^、，"^^。.相］^,其中A不带电，B、C均带正电，且C

的带电荷量为*=+2.0X10-5c,开始时三个物块均能保持静止且与斜面间均无摩擦力作

用。现给A施加一平行于斜面向上的力F,使A在斜面上一直做加速度大小为a=2.5m/s2

的匀加速直线运动，经过时间击，物块A、8分离，当A运动到斜面顶端时撤去力凡已知

静电力常量％=9.0X109Nm2/C2,重力加速度g=10m/s2,sin37°=0.6»

(1)求物块8带电荷量钿;

(2)求时间t0；

（3）已知点电荷。周围的电势分布可表示为9=尸，求力/对物块A做的功。

答案（1）+4.OX1（F5c（2）0.4s（3）9.8J

解析（1）由题知，开始时三个物块均能保持静止且与斜面间均无摩擦力作用，则以A8整体

为研究对象有（妨+sOgsin37°=耳襄

解得利=+4.0X10-5C

（2）当A、8刚好分离时，对8有

呼niBgsin37。一〃加Bgcos37°=;加。

代入数据有/=1.2m

在A、8分离前二者一起做匀加速直线运动，则A、8一起匀加速运动了尤=/-尤Bc=0.2m

根据匀变速直线运动位移与时间的关系有

尤=；。疗，代入数据解得而=0.4s

（3）根据以上分析当A、8刚好分离时，二者的共同速度为。=的=1m/s

则A从A、8开始运动到二者刚好分离时，根据功能关系有WFI—〃（《u+"ZB）gxcos37°-（mA

+mB）gxsin370+W电=/mA+MB）。？

由于点电荷。周围的电势分布可表示为夕=层，则W电="一夕,）qB=（徂^—谭卜）qB

rXBCx

联立解得WFI=1.8J

当A、B分离后有Fz—mAgsin37°—〃加Agcos37°=»ua

解得尸2=ION

则A、8分离后，A还要继续上滑

x"—L—x'=0.8m

则A、8分离后，A继续上滑过程中F做的功为死=8J

则整个过程中力尸对物块A做的功航■=WFi+Wfe=9.8J。

考点二电场中的图像问题

1.电场中的。一1图像

根据。一I图像的速度变化、斜率变化（即加速度大小的变化），可确定电荷所受静电力的方向

与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。

【例4】一带负电粒子仅在静电力的作用下从A点沿直线运动到8点，速度由。1变为。2,其

速度一时间图像如图所示，下列说法正确的是（）

Oht-2t/s

A.A、8两点的电势关系为"A<0B

B.A点附近的等势面比8点附近的等势面稀疏

C.A、8两点的电场强度大小关系为&>瓦

D.粒子从A点到8点的过程中，可能两次经过同一个等势面

答案C

解析根据速度由01变为02,速度减小，可知静电力对粒子做负功，电势能增加。根据负电

荷在电势高处电势能低，则04>建，故A错误；电场线密集的位置等势面密集，电场强度更

大，则带电粒子受到的静电力更大，加速度大，在。一/图像中斜率的绝对值更大，A处斜率

的绝对值大于B处斜率的绝对值，则电场强度的关系为EA>EB,A点附近的等势面比B点附

近的等势面密集，故B错误，C正确；粒子从A点到B点的过程中，速度一直减小，则静电

力一直做负功，电势能一直增大，故不可能两次经过同一个等势面，故D错误。

2.p—x图像（电场方向与x轴平行）

⑴电场强度的大小等于p—无图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电

场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场（如图）。切线的斜率为零时沿x轴方向电场强

度为零。

匀强电场

〃非匀强电场

（2）在tp-x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方

向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向。（如图）

处图线切线的斜率为0,即瓦产0

~出处图线切线的斜率

/!Y-----7的绝对值比与处的大，

/Ii即EQ4

沏处3=0,

电场强度1电场强度方向向右

方向向左

（3）电场中常见的（p—x图像

①点电荷的p—x图像（取无限远处电势为零），如图。

②两个等量异种点电荷连线上的9—x图像，如图。

两正点电荷连线上两正点电荷连线的中垂线上

【例5】（2024.江苏南京市联考）两个所带电荷量相等的点电荷固定在无轴上A、2两点，A、B

与坐标原点。的距离相等，以无穷远处为电势零点，x轴上各点电势°随坐标x分布的图像

如图所示，M、N是x轴上两点，其中M点比N点距离。点远，将一带负电的试探电荷沿x

轴从M点移动到N点的过程中，下列说法中正确的是（）

A.试探电荷在M点受到的静电力比在N点大

B.试探电荷在M点具有的电势能比在N点大

C.试探电荷在M、N两点受到的静电力方向相同

D.静电力先做正功后做负功

答案A

解析夕一X图线上某点切线的斜率表示该点电场强度，由题图可知M点电场强度大小大于N

点电场强度大小，则试探电荷在M点受到的静电力比在N点大，故A正确；两点电荷所带

电荷量相等，关于。点对称，M点比N点距离。点远，M点电势高于N点，则负试探电荷

在M点具有的电势能比在N点小，故B错误；M、N两点电场强度方向相反，试探电荷在M、

N两点受到的静电力方向相反，故C错误；由题图可知从M到。电势降低，从。到N电势

升高，将一带负电的试探电荷沿无轴从M点移动到N点的过程中，静电力对试探电荷先做负

功后做正功，故D错误。

3.万一龙图像（电场方向与x轴平行）

（1）£—%图像为静电场在无轴上的电场强度E随尤的变化关系，若规定尤轴正方向为电场强度

E的正方向，则£>0,电场强度E沿无轴正方向；E<0,电场强度“沿尤轴负方向。

（2）E—x图线与无轴所围图形“面积”表示电势差（如图所示），两点的电势高低根据电场方向

判定。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等

情况。

上/-一图像所围“面积”表示

。、A两点间的电势差

（3）电场中常见的E-x图像（沿x轴正方向为电场强度正方向）

①点电荷的E—x图像

正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标尤变化关系的图像大致如图所示。

E

正点电荷负点电荷

②两个等量异种点电荷的E—尤图像，如图。

两正点电荷连线上两正点电荷连线的中垂线上

【例61（2023•江苏盐城市三模）在x轴的坐标原点固定一电荷量绝对值为q的点电荷，在尤=

8尤o处固定另一点电荷，两者所在区域为真空，在两者连线上某点的电场强度E与该点位置

的关系如图所示。选取x轴正方向为电场强度的正方向，无限远处电势为零，则下列说法正

确的是（）

A.尤=3尤o处的电场强度大于x=5xo处电场强度

B.x=3尤o处的电势高于x=5xo处的电势

C.在x=8尤o处点电荷的电荷量的绝对值为%

D.电子沿x轴从x=xo移动到尤=5尤°过程中电势能先增加后减少

答案D

解析由题图可知，从x=2xo处到x=8尤o处，电场强度不断增大，所以x=3无o处的电场强度

小于x=5xo处电场强度，故A错误；在x轴的坐标原点固定一电荷量绝对值为g的点电荷，

在x=8xo处固定另一点电荷，选取x轴正方向为电场强度的正方向，分析可知为两不等量正

电荷产生的电场，类比等量同种正电荷产生的电场，可知从x=2xo处到尤=8犹处电场强度沿

x轴负方向，所以x=3xo处的电势低于x=5xo处的电势，故B错误；设在x=8xo处固定另一

点电荷的电荷量为q',在x=2xo处电场强度为0,可得=%xo〜2XO)2,解得=9q,

故C错误；电子从x=xo移动到尤=2xo过程，顺着电场线运动，可知静电力做负功，电势能

增加，从x=2尤o移动到尤=5尤o过程，逆着电场线运动，可知静电力做正功，电势能减少，所

以电子沿无轴从x=xo移动到x=5xo过程中电势能先增加后减少，故D正确。

4.%—x图像、Ek—x图像

（l）£p-x图像

由静电力做功与电势能变化关系F电尤=Epi—稣2=-A优知Ep—尤图像的切线斜率k=*,

其绝对值等于静电力大小，正负代表静电力的方向。

⑵Ek-x图像

当只有静电力对带电体做功，由动能定理F电x=Ek—Eko=AEk知Ek-x图像的切线斜率k=

斜率表示静电力。

【例7】（2023•江苏宿迁市阶段检测）将两个点电荷A、B分别固定在水平面上x轴的两个不同

位置上，将一带负电的试探电荷在水平面内由A点的附近沿无轴的正方向移动到B点附近的

过程中，该试探电荷的电势能随位置变化的图像如图所示，已知XAC>XCB，图中的水平虚线在

C点与图线相切，两固定点电荷带电荷量的多少分别用分、钳表示。则下列分析正确的是（）

A.两固定点电荷都带正电，且私>在

B.在连线上，C点的电场强度最小但不等于零

C.因试探电荷的电势能始终为正值，可知A8两点间沿x轴方向的电场强度始终向右

D.如果将试探电荷的电性改为正电，则该电荷在C点的电势能最大

答案D

解析负试探电荷从A运动到C,电势能降低，则从A到C电势逐渐升高，电场方向从C

到A;负电荷从C到8电势能增加，则电势逐渐降低，则电场方向从C到8,即电场方向先

沿X轴负方向，后沿X轴正方向，则“A和均为负电荷。因为在［A和在连线中点处的合电

场强度沿尤轴负方向，故4A＞在，故A、C错误；Ep—x图像的斜率表示静电力，而C点的切

线斜率为零，说明该试探电荷在C点处受到的静电力为零，可知C点的电场强度为零，B错

误；在C点，负电荷的电势能最低，则正电荷在C点的电势能最大，故D正确。

课时精练

基础落实练

1.如图所示，在电场强度大小为E、方向竖直向上的匀强电场中，一质量为机、带电荷量为

+q的物体，以某一初速度沿电场方向做匀减速直线运动，不计空气阻力，其加速度大小为

吟田，物体运动距离S时速度变为零。则在此过程中（）

E

mq

A.物体克服静电力做功0.6g&

B.物体的电势能增加了qEs

C.物体的重力势能增加了qEs

D.物体的动能减少了0.6g&

答案D

解析由于物体所受静电力和运动方向相同，故静电力做正功W=Eqs,故A错误；静电力

做正功，电势能减小，物体的电势能减小了qEs,故B错误；重力做功皿=一加gs,重力做

负功，重力势能增加，又由题可知，mg=\.6qE,所以重力势能增加了\.6qEs,故C错误；

物体做减速运动，所受合外力做负功，动能减小，由动能定理得：A£k=—F^s——mas—

-0.6Eqs,所以物体的动能减少了0.6qEs,故D正确。

2.如图所示，空间有一带正电的点电荷，图中的实线是以该点电荷为圆心的同心圆，这些同

心圆位于同一竖直平面内，MV为一粗糙直杆，A、B、C、。是杆与实线圆的交点，一带正

电的小球（视为质点）穿在杆上，以速度。o从A点开始沿杆向上运动，到达C点时的速度为。，

则小球由A点运动到C点的过程中，下列说法正确的是（）

A.小球减少的机械能一定等于克服摩擦力做的功

B.小球减少的机械能一定大于克服摩擦力做的功

C.小球的机械能守恒

D.小球的机械能增大

答案B

解析小球由A点运动到C点，重力做负功，重力势能增加，静电力做的总功为负功，电势

能增加，摩擦力做负功，产生热量，由能量守恒定律知，小球减少的机械能等于增加的电势

能与克服摩擦力做的功之和，故A错误，B正确；静电力和摩擦力都做负功，小球机械能一

定减少，故C、D错误。

3.如图甲所示，两个点电荷Q、仍固定在x轴上距离为L的两点，其中。1带正电，位于原

点。，a、b是它们连线延长线上的两点，其中6点与。点相距3K现有一带电的粒子g以

一定的初速度沿无轴从。点开始经b点向远处运动（粒子只受静电力作用），设粒子经过。、b

两点时的速度分别为勿，其速度随坐标x变化的图像如图乙所示，则以下判断正确的是

A.Q：。2=4：9

B.b点的电场强度一定为零

C.。点的电势比b点的电势高

D.粒子在a点的电势能比在6点的电势能小

答案B

解析由图像可知，粒子在b点之前做加速运动，6点之后做减速运动，可知在万点加速度

为0,由于粒子只受静电力，所以6点电场强度为0,且。2带负电，因此弓一婿=0,解

得。1：。2=9：4,故A错误，B正确；因为©带正电、Q带负电，所以在必段电场线方

向由b指向a,沿电场线方向电势逐渐降低，故a点的电势比6点的电势低，故C错误；粒

子从a到6过程中做加速运动，故静电力做正功，电势能在减小，所以粒子在a点的电势能

比在b点的电势能大，故D错误。

4.（2023•江苏常州市前黄高级中学二模）0、A、8为一条电场线上的三点，一电子仅在静电力

作用下由。点经A点向B点运动，以。点为零电势点，该电子运动过程中电势能皖随移动

距离x的变化规律如图所示，则下列说法中正确的是（）

A.该电场可能是孤立点电荷形成的电场

B.A点的电场强度等于8点的电场强度

C.电子在A点的动能小于在B点的动能

D.电子由A点运动到B点的过程中静电力对其所做的功W=EpB—£pA

答案B

解析由题图可知，从。点到8点，电子的电势能随移动距离均匀增加，则电势随移动距离

也均匀增加，该电场一定为匀强电场，不可能为孤立点电荷形成的电场，A、8两点的电场强

度相等，选项A错误，B正确；电子在A、8两点的电势能分别为和EpB,且EpA<EpB,

说明电子由A点运动到8点时电势能增大，静电力做负功，动能减小，即电子在A点的动能

大于在2点的动能，静电力对其所做的功为W=£pA—EpB,选项C、D错误。

5.（2023•江苏扬州市扬州中学期中）水平地面上方有水平向右、范围足够大的匀强电场，从地

面上的A点竖直向上抛出一个带电的小球，运动轨迹如图所示，2点为轨迹的最高点，空气

阻力可忽略。则小球在从A到2过程中（）

A.电势能增大

B.动能先减小后增大

C.机械能先减小后增大

D.相同时间内速度变化量不同

答案B

解析由运动轨迹可知，小球带正电，则小球在从A到8过程中静电力做正功，电势能减小，

机械能增大，故A、C错误；运动开始过程中，小球所受合力与速度夹角为钝角，合外力做

负功，故小球动能减小，之后小球所受合力与速度夹角减小为锐角，合外力做正功，小球动

能增大，故B正确；小球所受合外力固定不变，则加速度固定不变，则相同时间内小球的速

度变化量相同，故D错误。

1/能力综合练

6.如图甲，粗糙绝缘的水平地面上，电荷量为。小必的两个点电荷分别固定于相距为“

的A、B两处。一质量为根、电荷量为g的带负电小滑块（可视为点电荷）从x=一£处由静止

释放后沿x轴正方向运动，在x=2L处开始反向运动。滑块与地面间的动摩擦因数为〃，滑

块在不同位置所具有的电势能Ep如图乙所示，尸点是图线最低点，重力加速度为g。下列说

法正确的是（）

A.两固定点电荷均为正电荷

B.QA=2QB

C.尤=心处电势最低

D.从一L到2L电势升高红髻

答案D

解析小滑块带负电，结合题意可知两固定点电荷均为负电荷，在％=心处电势能最低，则x

=£处电势最高，故A、C错误；根据功能关系知Ep-x图像的斜率表示静电力，可知在x

=£处静电力为零，则々名2=々雷2,解得。A=4QB,故B错误；对滑块，从一L到2L,由

动能定理有一4。一〃加g3乙=0—0,解得迎，则从一/,到2£,电势差为负，电势升高

q

驷更，故D正确。

q

7.（2023•江苏连云港市阶段练习）某静电场中，取电场强度£的方向为x轴正方向，尤轴上各

点的电场强度E与位置尤的关系如图所示。一带正电荷的粒子沿无轴从X!位置运动到X4位置，

不计粒子重力。下列说法中正确的是（）

A.尤2、尤4处的电势相等

B.粒子在尤2、X4处受到的静电力不同

C.粒子在尤3处的电势能最大

D.粒子由尤2处运动到X3处的过程中静电力做的功大于由冷处运动到尤4处的过程中静电力做

的功

答案D

解析X1到X4电场强度为正，沿电场线方向电势降低，因此无1处电势最高，粒子电势能最大，

A、C错误；X2、尤4处电场强度相同，因此粒子受到的静电力也相同，B错误；根据图像与X

轴围成的面积表示电势差，由题图可知粒子由X2处运动到无3处的面积大于由X3处运动到X4

处的面积，因此粒子由X2处运动到无3处的过程中静电力做的功大于由X3处运动到尤4处的过

程中静电力做的功，D正确。

8.（2024•江苏南京市六校联合调研）一带电粒子仅在静电力作用下沿X轴做直线运动，其动能

及随位置无变化的关系如图所示，则其电势能优、加速度大小。、电场的电场强度大小E、

电势夕分别与位置尤的关系图，正确的是（）

答案C

解析根据功能关系有AEk=qEx,由图像可知左=城=勺£,图像的斜率逐渐增大，则E逐

渐增大，根据功能关系有AEp=-4&,由£p—x图像可知斜率3=*=-qE,E逐渐增

大，稣一x图像斜率为负，斜率绝对值应逐渐增大，根据牛顿第二定律°=誓，可知E逐渐

增大，加速度a逐渐增大，故A、B错误，C正确；根据电场强度与电势差关系式有9=00

—Ex,由夕一x图像可知斜率/”——E,E逐渐增大，p—x图像斜率绝对值应逐渐增大，故

D错误。

9.（2024•江苏南通市联考）如图所示，在一正点电荷0的电场中，某点的电势夕与该点到点

电荷Q的距离r的关系如图甲所示。如图乙所示，在正点电荷。的上方水平固定一光滑绝缘

杆，。点在点电荷。的正上方，现将一质量为机、带电荷量为一q的小球穿在杆上，然后从

a点由静止释放后，小球沿杆依次经过。、6两点到达最远点以已知°、。、b三点到点电荷

。的距离分别为3L、L、2L下列说法正确的是（）

qQbc

OL3L5L0

甲乙

A.小球在a点和b点的加速度大小之比为4:9

B.小球运动过程中的最大速度为24电

C.电场中。点的电场强度和c点的电场强度相同

D.小球由a点到b点的过程中电势能增大

答案