2025届高三数学总复习函数、导数公式大全

高中数学公式及如识点速记(二)

五，函致

1.晒敷的定义

(I)的数的概念

①一念：给定两个北空数如AH,如果存在•个时向关国/,使的对任诲•个*c4布在唯

之对应,则称时应关系f为定又在集合4上的一个由散.记作y=〃幻.xWA

②曲数的科斯：若x、y-训应.或多个x对应1个y,则称y是x的函数

(2)定义峨：指伙函数肝析K仃意义的F1变出的取值范IW常见基本豺等函数的定义械如下：

①分式函数中分出不等f。

②偶次根式函数的帔开方式大r或第ro

剑=x。的定义城金(X|XWO}

④引收雨收的我数大ro,指.对收商敢的底数人rojy/、等ri

⑤•次的数..次函数的定义域均为K

(3)函数的对双法则：博散的时应法则(也称便।故的解析K〉是衣示俟酸的件方式，WJ不是,=凡0的杉

式，求涓数的解析式时.•定要注意历数定义域的变化.郭别是利用捶儿/或N凄因求出的斡竹式

(4)函数的值域：指演故他构成的柴Q・常见从本初等例数的何域如卜：

①反比例函数丫=人《为第数［Lkwo)的自悚为(-9.o)u(o,+3)

X

②•次由《iy=*x+6《为何敷H43的例域为R

(§)二次的liy=a/+bx+c<a.h.c为石敝11。工0)

当a>0时.二:次的数的伯域为［它±.+oo).-W<OB1,次的数伯值域为(TC.四£士|

4aAu

④指数谦1Kly=°，的值蛀为(。.+b)

⑤时效南跤y=btx的值域为R

(5)网数的最竹

前提设函数y=/(x)的定义域为/,如果〃在实ft.W谓)是

①对于任意的xw/，»/(x)SAf①时于任老的;£/.郭/(1)2M

条件

②存在&€/,住用/(U)=AI②存在十€八使得

结论M为最大依M为《t小值

注盍：①函数的值域一定存在.血的数的依!日不•定存C

②苦函数的斑侑存在，则定是妇域中的兀哀：若眄数的值域是开区时，则南数无疑伯

2.函数的性质

(I)函数的单调性

①定义法，*tVij,x2€la.bj.fix,<x2

/(x,)-/(x;)<0=f(x］^a.b］上是懈函数

〃xJ-/(0)〉Oo/cn在向上是收函数

②求号法।设而数.V=/(x>在区间|a.b］内nJ导

一广㈤N0.则/\外在区间［ab］上为憎函数

*「(*)s0,则/(x)在区间［q。上为减的国

③常用结论

❶?；/(K)・g(X)均为区间A上的物减屈致,则/(”+«("也足区同A上的增画话改

0}.t>o.则@(<)与/(.r)的单调性州叫匕人<0.划勺'(x)。”"中调件用反

❸芈好要函数的单词件和图映，

对勾函数

y~ajc^Qp-0y~ajc-^.

“exx

①定义：若"X)为偶语故，则“-*)=/•(*).兀定义域关于原点对称,图轨关于y兄对称

若人外为奇南致，则其定义域关于原点时林，其图型美TKL也对称，匕奇居酷在0

处有定义，则八0)=。

②拓照：-，x+G为偶/数,Hr(-x+a)=/(x+a)

若/Xx+a)为偶由数.期/■(-*+a)=-ftr+a)

(3)的数的周期性

①定义，若对下定义域内任您的x都杓了a+7)=/(*).斓〃x)是周期前数•其周期为r

②拓展：匕对「定义域内任理的x苻:行/a+a>=/'(*+6).即〃x)是周期函数.K刊期为|6-a|

若对「定义域内任点的x都有ya+a)=7G+b),则/(x)是诲网困数，共周期为21b-al

(-1)的歌的对称性

①定义，若八外的对称轴方程为x=a.li»/(x)=/(2a-x)

若的刈称中心为(a,0).—=-/(2a-x)

②拓展：若对尸定义域内任Jfi的x都仔/a+a)=，(一x+b),则圉数，(x)行对称轴，其方腥为*=誓

若对「定义举内任一的x-有/♦+a)=-/(-x+b)・则——有对称中心.其坐标为(手，0)

若对于定义域内任名的xfiK何(x+a)=-/(7+b)+c・则的数/&)育对称中心.他为(等.0

3.反函数

①反函数的定义；将用数y=f(x)的x，y互换，然兀通过移项等变形方式将丫放到-边，松得到错数y=g(x),s(x)

勺八制互为反威数.例如指数函数y="(a为常数.a>OHa#1)勺对散出欧y=kg。x(a为常数.a>OUa*1)

用为反懵散,它力的定义城与值域正好互换

②反图数的性J砧若两个函数反为反明蚁，则它的的图敦关于Jltl!y=x对相

4.二次函敷

(I).次函数解析式的.仲形式

一般式1/(x)—ax7+hx+c(a*0)

—式:f(x)=a(x-Ji)2-f-k(a«0)

两根式：f(x)=u(x—*i)(x—«2)(a*0)

⑵二次一效的图伙川性质

/“)』/+6+。/(x)=«x2+bx+c

悌析大

(a>0)(a<0)

W/

图皎

TZ1

定义收KK

[4ae-b2、.4ac-b:l

12a,+河(…2al

在（-8,—上单调递减；作（一B.一m1冲调递增；

单调性

在［一/'68）上华蠲递增在卜/，+8）上单洸遽减

对称性函数的图象杆R微一料称

5、II函数

（1）：称函数的定义：依地，形旭y=/3为常数）的函数林为基陆数.

（2）案函数的性后

①不论数在+s）上*行定义.在第一象限都学图卓.在第四敦取都设因航

②々r>0时.解的数的图较小过小（0.0）和（l.I）.且便（Q.+8）卜单词逆清

❶40<。<1时，相阐数的围象增长速度越来越当

❷当a>1时.用函数的图依熠长迪度掩来越快

③-av0时.果的数的图集郡过点（1.1）,+«•）上单调通M.

④聚函数y=.0）.q与质）花二.象限的图望.用的数的奇偶杵来确定

O孑为期数时•；为偶数,物f（x）为做俄数.$为奇数，愀〃*）为奇恢教

❷苗为分数时，后q为科数，蚓/（幻为百奇11%由敏

拒7为奇数，为奇数，则/'（幻为奇侑数

柠q为奇数P为偶数.则八幻为例侑散

（3）常见邪函数的图*----------------------------------

6.指败函败

《I）分数指数¥

a"-<«>0,m,N',且”>1）

，I1

a.=—=-T=（a>0.m.nwN.•11H>1）

a・"

（2）根式的性廊

当”为奇数时.后=0

当〃为偶数时,折=<a|='""""

-a.a<0

（3）有珅箱数尊的运算法则

aa,«u,,4（a>O.r,«60

（a'）'=an（a>0.r,sG（7）

（abY=t/br（a>0.b>0.r€Qi

（4）指数函数的定文：•般地.形如y=a*（a为常•数.”>。13次1）的函数称为指之诔I收.

（5）指数函数的性质和图以

底期a>lo<tf<l

图效<・・・・・yvl❿A

-JTs~u\*

C义域为K.值域为0..8)

阳——((M)

性质当》>。附.hl{]y>1当r>0N,t«A0<y<1

丐xV0时，恒仃OVyVI小x<0时，恒仃>>l

在定义城R上为—在定义城R卜为减陶敏

7.时数函数

(1>对数的定义:

一般地,若a°=N.那么数6楼为以a为联N的由故.记什心之"=从K中a叫件对政晌底数.N叫价口数.

叩log“N=boa'=N(a>0.aHl.N>0).11：a11*，'=N(">。,且N>U)

2

①loga(MN)=logaM+logaN

②loga*=1。&>M-logaN

③loga"产=；10811bHlog^Mb=log,,bN

'(a>0,Fin*I,w>().N>()J

(3>对数的换成,公式:log.,N=

10gl.a

推论：logah=.logob.log“=logar

(•D对数由数的定义：•校地,形如y・log。*(a为常数.a>0H。*11的南教林为对UM数.

(5>对*IP舟数的性域和图象：

底我a>l0<a<1

，丁小*

7期.

图独

0•

定义域：(0z+-)

伯明K

图皋过定点(1,0),即忸的10g1=0

性质li

当Q1时，恒育y>S当工>1时,

当0JVI时.旭HY0当OVxU时，舸在户。

在<0,+8)上是塘牌数在(0,-8)上是减的我

8、图触的变换

(1)平称变换(n>0.6>0)

的数f(x+a)+b的图象：可由函数Wx)的田软向小平格c个单色，向上平格b个单位得刎

的数/"(*-<!)-b的图象：”由陶收八幻的图象由右平桥c个单位，向卜平桁b个单位物到

口诀,上加下战.左加右减

(2)惮嘴支换(U)>1.4>1)

的数Af(wr)的图像：可由函数”外图我的微坐标缩短为原束的金场生机伸长为原来的A倍得到

函数:fG*)的图尔：可由闲数f(*)图欢的/也标伸长为凰求lTja.ffi.纵邓标小正为糜米的T得到

(3)时将变换“

①的数“-X)的图象I可由诵数/(*)的图象大fy地内落网到

函数-/(*)的图8G可山而数八》)的图歌为于丁轴对称神到

函数-f(-x)的图取：可由质数/(*)的图以关于原点#1秣抬H

②函立f(|x|)的图象：

可由血数八公图象的・*<0部分租掉，*>0制分左的(关Ty轴时移到另一边》.x>0部分裸留咫到

的wool的囤取，

可由出数/GO图象的,yvO部分上翻(关Fx轴对称到处一边).丫〈。部方耕抻，》)0郁分保恸得耳

六、身数

1、平均更化率、明时变化率、导敷的低念及其几何意义

般地,对rfitfty=r(x).当门变lr从。变为小时.函数值从/'CrJ登为〃X》.则它在K间以“勺)的平均变化

率为“咨产，此时平均变化率的几何怠义为连接(Mj(xi»，(“JJz))的点的刈栈的自宰：

仪Ax=3一均,Ay=-r(x1-r(xt).则它在区间1八.小J的平均变化率喘=八期F'=〃.♦；-1%,-AxT

oii-r.子均变化率均于•个固定的他，这个也就是/•⑶任式公处的收时变化率.此时瞬.或化率的儿网总义为所效)•=

〃幻在点4处的切理的斜率：

1

此时称胸时生化本为明数y=八*)布店々处的分数，K常用符号广SJ表示,记什，(r,)=.与飞亡学必.

此时/(%)的几何意义为曲数y=〃外在戊七处的切段的斜率.

2、导函败

股地，如果的数y=f(x)在区间(a.b)内的海•点x鄢行导数，Cx)=&产4％则彩〃力在区网(。淮)内

可/Q)是大于”的泊数，称f(外为国数y=/(x)的导函数.简称与数

3.■本初号函数的尊欧公式

®C=0®<x')=«-'

③(o')=a'Ina：(e')=<,'④(log,*).=---：(Inx)=—

AInax

⑤(sinx>«cosx®(COSAT)«-sin.r

⑦"的=i^F

4.再敷的四财运.

①画数和(或羌》的求导法则

TR地.如果〃x)・g(JT)都可导.则［A幻土'0)土g’(外

即两个南敢和(或龙)的导致等于这两个南敢导致的他<rfcS>

推广：iA(x)±/i(x)±-±A.(x)r=/；'(x)±<(%)±-±fn㈤

②涵数枳的求导法则

帔地，&梁〃*),g(x)都可-，则i/a)g(*)r=ra)ga)+ra)g'a)

即笫•个函数的。数乘以第：个由数，加上第一个话数乘以第•个函数的？数

特别地，［k/a)］'=*ra)，即雷数与由故之枳的导近，等于痂数乘以曲数的》歆

③雨数林的求导法则

一般地,如果，(x)・g(x)都可导,1%(幻*例九有黝=山黯g

5、简单复合图效的求导法则

一般地.函数y=f(u)fju=g»(x)的封台函数可我作为y=f(r(x)).

则y=IAW⑶)r=rwv'M=r“(x)wa).

6.微值点与微值、磨值

(I)极大值点与极大殖、最攵值

①在包含几的一个区网(5切内・

若由数yr/，(外在"同(%b)上G在异号零点(A•正右负》.你点%为由

数y/6)在区01)(0,b)内的假大ffl点.称其国数值/(*•)内函改>=/(*)在区间

(a.内的极大值.

若函数y=/(x)在区间(a.h)内住。点处的函数值都小「式等丁点〜处的

的数位・衿以X。为函数y—/(X)在X间(凡与内的及大伯良，称其博依伯/(孙)为

油tky〃*)在卜间(a」)内的呆大值

②如图，优包如1Pxi的个区向(。")内.南tty-〃*W区间(a,e)内的极火侦

为“X。)和〃4),最大tfl为/(*“

(2)极小值点。极小tfl.最小(ft

①在包含阳)的•介IX何(a,b)内，

存函故y-厂(幻在区「水见外」存在异号牢点(左负右正>.悸点勺为由

故y”X)在卜间(a.b)内的梭小化33称医南数伤/(%»)为ifi&y”均在M同

(a.b)内的极小俏，

若函数y=/(x)在区间a.b)内任£5立处的曲数值都大「成冷F点即处的佝卜T、

的数依,称点均为的收网(a.b)内的锻小值为.称具由故伯外孙)方

01a*06

函数y**>在1<。1(*b)内的最小值

②如图，作包含右.小的一个国蚓(ac)内.由tty-f(xMtZmKac)内的秘小值

为/5)和fk)・一小值为f(x・)

(3)注a

①极大色力。极小竹也统称为极伯启，极大伯。极小伯统弥为梅伯，

最大侑力与最小值总统构:为最的点，最大伯与址小伯统称为敏伯

②唠数的极值不一定是函数的最慎,例如上图的，(xj是极值但不足取象

陶数的址值不一定咫的故的极值.例如G值还可以是区间黑点侦

③极值点不足点,是对应点的雁坐标工极值是对应点的姒坐标〃％)

④若a»y=/a)<ux同应用上«««•则恃隐数》=ram【*间m，&］±-更号零点

心南欧y=/a)在展间［a,b］上没有械值.刚/由怆=，a)在【<甩瓜”上没仃零点段同号军广

⑤Xxu是诵般y=/a)的极侑点，则q是r(*)=o的解，但ra)=。的*/却不•定是祖敢的粮值点

⑥南敢。与南政图象的关系

❶若尸3>0且函低y=/''(*)单调通填则原南数火外的阳象上升R下凸

—)〉€且函数y=f(x)单眄递流.—效用0的用以上升JL上凸

er.r(x)vo且函数y=r(x)单调递增.则一函数川》)的图象下獐”下凸

r.ru)<OIL而数y=roo单调递减.则原函数/u)的图象卜舒旦上凸

7、导敷的综合应用

(1)胸型1:求由数的切饯力度

①求函数y=，a)在点(勾.力)处的切线方程

方法：点(4.“)减足切点.先求出r(rj).燃后利用点斜式耳出切线方程；y-yi=f(x.j-Cx-x,)

例：曲找「=/K)=K'+X在点(I.2)处的切找方程为4x-y-2=o

②求tflCjy="X)过点(4.力)的切线方科

(y«=/3》

方法：点(4.力)不姑切点.先设0J点为(％Jo),然后行到方柝姐［*=/"(X0).

(>-yc=fc(x-x0)

化的ftly-〃Xo)=f(r.)(x-r.).G后将点”|,九)代人用"-八Xo)=f(xoXx,-xe).从小求用切

点320)

例：曲线/劝一"N过点P(2《)的切戊方程为⑵-3>-16=。A.31-3.+2-0

(2)题型2：求两个函数的公切线方程

①共仞由的公切找问送

方法：出两数“X)、g(x)的公共切点为(4,而).此时tl在亦是M个函数的交点.利用=、N

1/=g(q)

5J

怀已知函数〃幻“”|对(口Fn上的图象在公共点处方共同的切线.则实数a的值为方

②不同切点的公切戌同题

方法：设版数/(幻、g(x)的切有分别为(必.%).(xz.y2),分别％出两个啪教任切践a1.％)处、(力尢)处的

3殴方程[y=/⑺a").利用两切找方程的对应系数和巧求解

3一以八)=9(*2)(x-x2)

M：已知〃x)=ex(c为H然时数的底数)，gW=inx/2.■线，是儿)与巩r)的公切线.则直

缈

的方程为y=ex夷y=x+l

COSSR3：导致'夕函数的第网件

①在的数y三/a)的定义域内,归数ra)zj的解娱为函区的隼调耀区同

在函数y=/(x)的定义城内，'力数/'(幻<。的怦生为帆鼓的魁,减区间

②若曲曲y="x)的单调地区间为[a.b],则八*)2。的解案冽a,0

若的数y=/Qr)的外调H瓜间为|a.b],则/*(*)&0的解忧为0b)

ft■

--=1

例；若由故〃幻=：/+3"+女的单调增慎间为[-121，则三1_?•即(/：1]

③若的数y="外在M间lab]内单词通捕.则「(幻2：0的蝌集卜,12]a.bj.

等价ff(x)之0在区间[a,b]上恒成立

苦函数y=/Q0在【灯叫abj内单调诩M,Wf(r)4。的皖馍匕引？(a.bj.

等价rrco<0在区间回切上恒或'工

例：若函数-x)=V-ar+lnr在M间(Lc)|单调递增，喇。的取值范围足(-叱3]

④若的数y=fCr)在区间[a,b|内存在通蜀珀1j｛间,Wf(x)之。的解况k，d]C[a,b].

等价『/'(»>o在乂间am上有解

若阚数y=/(一在区间(a.b)内存在附调减区间.Mf(x)<0叨解集仁句C(abj.

等价r1(x)V0在区间[a,6]上有斛.

i://DN^-at+lniT|<W(Lc)卜"用单调遂增区向・如。的取值也用足(-8,2e+：)

⑤若函数y=f(x)在区间[ab]内不单WhWJy=f(x)AIXffl[a.HI.■一号等点,

何，行函数/Xx)=。*(芥2-4X-4)住区间依-I*+6)上不单调.明实数上的取的15H为(-8,3)

(0也型L利用号教解决恒成汇、有婚时期

①若分离冬数时不需要分类(卷数的系数恒》0或恒SO).则使用分国参数法

例：已知a>0.=rJ-3x2+6a>OfrlXlu](-l._lji.fiW.机a的取伯版同为(0.+8)

②若分两•数时需夔分类(叁故的系数可能#0也可的WO),则使用图散图像法

例：已知。>0・若南敦/a)=a--3/+6>0在区划•切成立.剜。的山值他因为(0.3)

，③恒底立、仃解经启发合同应

3

MI：=x-3r+3,j(x)=ln(x+l)+a+1.VXpX26[0,2],使得八占)4g(x)成t,

则变数。的取值范围是乩+8).(提示；

3

M2t£llo/(x)«JT-3x+3,g(x)=ln(r+1)+A+1.3r,.xae[0,2].使得「氏)S©(的)确立.

则实数a的取值范围是|-伍3.+8)J提示：/mmWS^(r)>

M3i已知/'(x)=x3-3x+3,g(x)=Inx+a+1.BXj£[ONLY*1W[13].使符/<仁)£,(x?)成工

则实数a的取值范用是[0.+8).(提示；<gmin(xV

M4：已为/(x)=jp_3%+3,g(x)=In*+a+1,9xE[13h-x)Eg(x)t4立,

则实效a的取位范国是@+8).(舆示।等价于/(x)-g(x)SO&jrW[13上仃解)

(5)题型入利用二向号求函故的G值问题

①阶导零点X。能H也通过裤析式特征观察得比.仃其将rCr。=0的解x.代入〃x).可求日瓜侨“Xo>的值

例，?7Vxe(0.>ao),不等式+则实数”的取位他府场(-«».

.?)•阶H零Mx。不能通过新折式特征观察舁出.揩rs・)=。变形后代入外幻,用求/g循/a,关于此的国析

式

例：若不等式4办+了一*1+2«>0对^^€(2,+8)也或立.《€2,则上的呆，、惰为4

(6)理型6：利用导致求函数的考点向网

①己知函数;•Cr)=x-hu+m有两个零点必，小，则实数m的取值范也是m<-l

②已知函数ra)=>t>*-lnx百两个零点八，灯.则实数m的取伯色囹是0<m<：

?!

③已知函数/(x)