高中数学讲义（人教B版2019必修二）第02讲412指数函数的性质与图像

4.1.2指数函数的性质与图像TOC\o"13"\h\z\u题型1指数函数的判断 3题型2指数函数求值 6题型3指数函数含参求值 8题型4指数函数的解析式 10题型5指数函数图象问题 11题型6指数函数过定点问题 19题型7定义域问题 22题型8指数函数的对称性 23题型9指数函数图像中的含参问题 27题型10指数函数比较大小问题 29题型11指数方程 34题型12指数函数不等式 37◆类型1指数不等式 37◆类型2抽象不等式 40题型13指数函数的性质 45知识点一.指数函数的定义一般地，函数y=ax（a>0且a≠1）叫做指数函数，其中【结构特征】底数：大于零且不等于1的常数；指数：仅有自变量；(3)系数：的系数是1.知识点二.指数函数的图象与性质图象性质定义域值域过定点单调性在上是增函数在上是减函数奇偶性非奇非偶函数注意∶底数a与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”.当a>1时，指数函数的图像是“上升”的；当0<a<1时，指数函数的图像是"下降"的.知识点三.两类指数模型1．y＝kax(k>0)，当a>1时为指数增长型函数模型．2．y＝kax(k>0)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型．知识点四.指数函数单调性的应用1.比较幂的大小比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．2．有关指数型函数的性质(1)求复合函数的定义域形如的函数的定义域就是的定义域．求形如的函数的值域，应先求出的值域，再由单调性求出的值域．若的范围不确定，则需对进行讨论．求形如的函数的值域，要先求出的值域，再结合确定出的值域．(2)判断复合函数的单调性令，，如果复合的两个函数与的单调性相同，那么复合后的函数在上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那和复合函数在上是减函数．(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子与的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或轴对称，则函数具有奇偶性．知识点五.简单指数不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．题型1指数函数的判断【方法总结】判断一个函数是否为指数函数的方法(1)底数的值是否符合要求；(2)ax前的系数是否为1；(3)指数是否符合要求【例题1】（2019上·河北邢台·高一邢台一中校考阶段练习）下列函数中指数函数的个数是（

）①y=2⋅3x

②y=3x+1

③y=3x

④y=2a−1⑤y=x3

⑥y=−4A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据指数函数的定义，对每个选项进行逐一分析即可.【详解】对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数；对②：其指数为x+1，不是x，故不是指数函数；对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数；对⑤：是幂函数，不是指数函数；对⑥：指数式的系数为1，不是1，故不是指数函数；对⑦：指数的底数为4，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是；综上，是指数函数的只有③④，故选：B.【点睛】本题考查指数函数的定义：只有形如y=a【变式11】1.（2021上·高一课时练习）给出下列函数：①y＝x13；②y＝−3xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】依据指数函数的概念来判断.【详解】对于①，函数y＝x1对于②，函数y＝−3x对于③，函数y＝−3x中的指数式对于④，函数y＝π−3故选：A.【变式11】2.（2017·高一课时练习）下列函数中，指数函数的个数为()①y=12x−1②③y＝1x；④y=A．0 B．1C．3 D．4【答案】B【详解】由指数函数的定义可判定，只有②正确．故选B【变式11】3．（2023·全国·高一专题练习）给定下列函数：①y=x②y=8③y=a−1x，a>1④y=−4⑤y=π⑥y=5⑦y=x⑧y=−10其中是指数函数的有.（填序号）【答案】②⑤【分析】根据指数函数fx=a【详解】对于①，y=x2不符合指数函数fx对于②，y=8x符合指数函数fx对于③，y=a−1x只有当a>1且a≠2时是指数函数，∴y=a−1x，对于④，y=−4x不符合指数函数fx对于⑤，y=πx符合指数函数fx对于⑥，y=52x2+1对于⑦，y=xx不符合指数函数fx对于⑧，y=−10x不符合指数函数fx故答案为：②⑤.题型2指数函数求值【例题2】（2023上·河北保定·高一河北定兴第三中学校联考期中）已知函数fx=2x,x<02−x,x≥0，则ff−1=.【答案】3【分析】先得到f−1，进而求出f【详解】由题意得f−1故答案为：30，且a≠1)，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(5),25)得a−32=525=5125【变式21】1．（2021·四川攀枝花·高一期末）已知函数fx=2【答案】2【分析】由分段函数解析式先求f(1)，再求f【详解】由已知可得f(1)=1+2=3，故f【变式21】2．（2022·贵州黔西·高一期末）已知函数fx=xA．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】将x=1【详解】∵当x≤2时，fx=【变式21】3．（2022·全国·高一专题练习）已知函数fx=g【答案】72【分析】先由奇函数结合f0=0求得g1=1，再由【详解】因为fx是定义在R上的奇函数，所以fx=−f−x，特别地，当x=0时，得到f0=0．由fx=gx+1−2x取x=0，所以f(0)=g(1)−1，所以g1=1【变式21】4．（2022·全国·高一专题练习）若函数Fx=fx−2【答案】5【分析】由于函数Fx=fx−2x4是奇函数可得f【详解】∵函数F(x)=f(x)−2x4是奇函数，∴F(1)+F(−1)=0，即f(1)−2+f(−1)−2=0题型3指数函数含参求值【例题3】（2023·全国·高三专题练习）若函数fx=a2−3⋅ax为指数函数，则a＝.【答案】2【分析】利用指数函数的定义列方程组即可解得.【详解】因为函数fx所以a2故答案为：2【变式31】1.（2017上·湖南株洲·高一阶段练习）已知函数f(x)=(a2−2a+2)【答案】1【详解】∵函数fx=a2−2a+2a+1x【变式31】2.（2021·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）已知指数函数f(x)=axA．8 B．16 C．116 D．【答案】B【分析】把点(12，4)代入函数解析式，即可求出【详解】解：由题意可得a12=4【变式31】3.（2023上·甘肃兰州·高二兰州一中校考学业考试）已知指数函数fx=a−1bxA．4 B．1 C．2 D．1【答案】A【分析】根据指数函数的特征，结合经过的点即可求解.【详解】由指数函数fx=a−1a−1=1a−1b−1所以ab=4，故选：A【变式31】4（2023下·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）已知函数fx=2x−1,x≤0【答案】7或−2【分析】根据题意,结合函数的解析式,分2种情况讨论,求出x的值,综合可得答案.【详解】根据题意，函数f(x)=2x−1,x≤0当x≤0时，f(x)=2x当x>0时，f(x)=1−x4=−34，则有x=7故答案为：7或−2.【变式31】5.（2022上·广东佛山·高一统考期中）已知函数y=a12xA．a=−2，b=2 B．a=2，b=2C．a=−1，b=2 D．a=2，b=1【答案】A【分析】根据题意得到a+b=0，a12x+b→b，从而求出【详解】由题意得0=a120x→+∞时，12x故b=2，解得a=−2.故选：A题型4指数函数的解析式【例题4】（2022·全国·高一专题练习）若指数函数fx的图象经过点2,9，求f【答案】f【分析】设出函数解析式，代入点2,9求解即可.【详解】设fx=axa>0且a≠1)解得a=3或a=−3(舍去)．故【变式41】1.（2023·江苏·高一专题练习）已知指数函数fx的图象过点3,π，则函数【答案】f【分析】根据指数函数的概念设出指数函数求出底数即可.【详解】设fx=ax（a>0且a≠1），将点解得a=3π，所以故答案为：f【变式41】2.（2020·高一课时练习）若指数函数fx，满足f2−f【答案】27【分析】先设指数函数fx=a【详解】设指数函数fx由f2−f1=6得a2则f3故答案为：27.【点睛】本题主要考查求指数函数值，熟记指数函数的概念即可，属于基础题型.【变式41】3.（2019上·重庆渝北·高一重庆市松树桥中学校校考阶段练习）若指数函数fx的图象经过点2，14【答案】1【分析】设指数函数为fx=a【详解】设fx因为fx的图象经过点2，所以14=a所以f(x)=(∴f6故答案为：1【点睛】本题主要考查了指数函数的解析式，函数值，属于容易题.【变式41】4.（2018上·浙江杭州·高一统考期末）已知f2x+3=ex,【答案】3【分析】先换元求得函数fx【详解】f2x+3=ex,且fx0=1，令故答案为：3.题型5指数函数图象问题【方法总结】处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．【例题5】（2017上·广西南宁·高一南宁三中校考期中）函数fx=aA． B．C． D．【答案】A【分析】由a>1时，函数fx的单调性和g【详解】当a>1时，函数fx=ax单调递增，当故选：A【变式51】1．（2023上·高一课时练习）函数y=ax−1aA．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分别讨论a>1或0<a<1时，图象与y轴的交点的纵坐标，即可得出答案.【详解】A，B选项中，a>1，于是0<1−1a<1显然A，B的图象均不正确；C，D选项中，0<a<1，于是1−1a<0故选：D【变式51】2.（2022·全国·高一专题练习）如图所示，函数y=2A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】将原函数变形为分段函数，根据x=1及x≠1时的函数值即可得解.【详解】∵y=2∴x=1时，y=0，当x>1时，函数y=2x−2为1,+当x<1时，函数y=2−2x为−∞故选：B【变式51】3.（2022上·湖南益阳·高一统考期末）函数fxA． B．C． D．【答案】C【分析】判断函数fx【详解】由fx=ex−2因为f1所以函数fx所以函数fx的图象不关于y又f1选项C满足以上要求.故选：C.【变式51】4．（2021上·福建福州·高一校联考期中）指数函数y=bax

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】先由指数函数的图象判断出0<ba<1即可解出.【详解】由指数函数y=bax令ax2+bx=0则−1<x对应只有B选项符合题意.故选：B【变式51】5.（2022上·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考阶段练习）函数f(x)=xA． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数的性质和特殊值排除部分选项可得答案.【详解】若函数有意义，则ex−4≠0，解得x≠±2所以函数fx的定义域为{x|x≠±2因为f(x)=x2e所以fx为定义域上的偶函数，图像关于y当x∈2ln2,+故选：D．【变式51】6.（2023上·浙江宁波·高一镇海中学校考期中）函数fxA． B．C． D．【答案】B【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．【详解】由2x−2−x≠0因为f−x=−2又f4故选：B.【变式51】7．（2022·全国·高一单元测试）函数fxA． B．C． D．【答案】D【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，最后根据函数值的情况判断即可.【详解】解：因为函数fx=x22所以fx是偶函数，函数图象关于y当x∈0,2时1<2x<4，f故选：D．【变式51】8．（2022·全国·高一课时练习）函数fxA． B．C． D．【答案】B【分析】先判断函数的奇偶性，再判断当x趋近于+∞时，函数fx【详解】解：因为fx=x所以fx当x趋近于+∞时，ex趋近于+∞，x2趋近于+∞，但是ex比x2增长速度快得多，所以

题型6指数函数过定点问题【方法总结】形如指数型函数求定点：①求x，令f(x)=0求解x;②求y=A+B【例题6】（2023上·上海·高一格致中学校考阶段练习）已知函数y=4+ax−1（其中a>0且a≠1）的图象恒过定点P，则点【答案】1,5【分析】根据指数函数的性质，令x−1=0，求出y的值，即可得答案.【详解】对于函数y=4+ax−1（其中a>0且令x−1=0，∴x=1，则即函数y=4+ax−1的图象恒过定点(1,5)，即点P坐标为故答案为：(1,5)【变式61】1.（2023上·上海闵行·高一校考阶段练习）函数y=ax−1+2（a>0【答案】1,3【分析】令指数x−1=0，即x=1即可得解.【详解】当x=1时，y=a1−1+2=a0+2=1+2=3，所以函数y=a故答案为：1,3.【变式61】2.（2023上·河北保定·高一保定一中校联考期中）已知函数fx=3a2x−4+1(a>0且a≠1)【答案】2,4【分析】考虑a0【详解】令2x−4=0，得x=2，则f2=3+1=4，所以点A的坐标为故答案为：2,4【变式61】3.（2023上·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考期中）函数y=ax−1+1（a>0且a≠1）图象过定点Ax0,y【答案】9【分析】先求出定点A，代入方程mx+ny=3得到m,n的等式，再根据基本不等式可求得答案.【详解】由y=ax−1+1，（a>0且a≠1），令x=1，得y=a0代入方程mx+ny=3得，m+2n=3即m−1+2n=2，m>1,n>0∴≥125+22nm−1×2所以1m−1+2故答案为：92【变式61】4.（2023上·山西吕梁·高一校联考阶段练习）已知函数fx=amx+1+n−3a（其中m，n∈R，a>0且【答案】2【分析】根据指数幂的性质可得m=−12，n=3，根据f1【详解】由于fx=amx+1+n−3a的图象恒过定点2,1，所以2m+1=0由于a>0，所以n=3，又f1=2，即f因此fx=2故答案为：2【变式61】5.（2023上·云南昭通·高一校联考阶段练习）已知函数y=2ax−3−1(a>0，且a≠1)恒过定点Ax0,y0，且满足A．16 B．6 C．23 D．【答案】A【分析】通过x−3=0可得定点A，代入等式得3m+n=1，然后通过展开3m【详解】令x−3=0，得x=3，此时y=1，∴Ax0∴3m+n=1.∴3当且仅当3nm=3m故选：A.【变式61】6.（2023上·江苏盐城·高一盐城市第一中学校考期中）已知函数y=ax−1+2a>0,a≠1的图像恒过的定点A，且A点在直线A．4 B．1 C．2 D．5【答案】B【分析】由给定条件求出点A的坐标即可得出m+n+1=4，再利用“1”的妙用即可得解.【详解】函数y=ax−1+2a>0,a≠1中，由x−1=0可得即函数的图象恒过定点A(1,3).若点A在直线mx−y+n=0m,n>0上，即有m+n+1=4于是得1m当且仅当n+1m=m所以m=2，n=1时，故选：B.题型7定义域问题【例题7】（2022·全国·高一课时练习）函数y=A．−∞,3 B．−∞,3 C．3,+∞ 【答案】C【分析】根据二次根式的被开方式非负，列出不等式，求解不等式可得答案.【详解】由题意得3x−27≥0，即3x【变式71】1．（2022·全国·高一课时练习）函数y=【答案】−∞,−3【分析】将函数转化为根式形式，根据根式复合型函数定义域范围求解，转化为指数函数不等式2−【详解】因为y=0.5x−8−12=1故函数y=0.5x−8−【变式71】2．（2022·全国·高一专题练习）函数f(【答案】−2，0【分析】解不等式组4−【详解】解：要使fx有意义，则4−x2≥0x∴fx的定义域为−2，0【变式71】3．（2022·全国·高一专题练习）函数fx【答案】0,1【分析】结合分式型，二次根号型函数的定义即可求解.【详解】由题知，2x−1≥0x−1≠0⇒故答案为：0,1∪题型8指数函数的对称性【例题8】（2022下·山东青岛·高二统考期末）函数y=3−x与函数A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y=x对称【答案】C【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象判断.【详解】解：在同一坐标系中，作出函数y=3−x与函数由图象知：函数y=3−x与函数故选：C【变式81】1．（2021·上海·高一专题练习）函数y=−axa>0A．与y=ax的图像关于y轴对称 B．与C．与y=a−x的图像关于y轴对称 D．与【答案】D【分析】利用函数的对称性即可求解.【详解】函数y=ax是把y=ax中的x换成x，把y换成y，所以两个函数的图像关于原点对称，故选：D.【变式81】2．（2023上·北京·高一北京市第十二中学校考阶段练习）将函数fx的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线y=4x关于yA．4 B．2 C．0 D．4【答案】C【分析】先根据对称变换和平移变换得到fx【详解】因为函数fx再向上平移4个单位长度，设所得函数图象为gx因为gx与曲线y=4x关于y则gx向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后可得f则fx=4故选：C.【变式81】3．（2018下·四川泸州·高二四川省泸县第二中学校考期末）下列函数中，其图像与函数y=e2x的图像关于直线A．y=e2x−2 B．y=e8−2x C．【答案】B【分析】由函数的对称性求解，【详解】设f(x)=e2x，若g(x)与f(x)的图像关于直线则g(x)=f(4−x)=e故选：B【变式81】4．（2021上·高一课时练习）函数y=1A．关于原点成中心对称B．关于y轴对称C．既关于原点成中心对称又关于y轴对称D．既不关于原点成中心对称也不关于y轴对称【答案】A【分析】先求出函数的定义域关于原点对称，再证明函数是奇偶性，即得解.【详解】解：设f(x)=1由题得x≠0，所以函数的定义域关于原点对称.所以f(−x)=1所以f(−x)+f(x)=3所以f(−x)=−f(x)，f(−x)≠f(x)，所以函数f(x)=1所以其图象关于原点成中心对称，不关于y轴成轴对称.故选：A【变式81】5.（2023上·广东广州·高一校考阶段练习）函数fx的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=exA．ex+1 C．e−x+1 D．【答案】D【分析】根据题意得出y=ex关于【详解】因为y=ex关于y轴对称的解析式为把y=e−x的图象向左平移1个单位长度得出∴f(x)=e故选：D．【变式81】6.（2021上·河南洛阳·高一洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知函数f(x)=2|x−a|的图象关于直线A．1 B．2 C．0 D．2【答案】B【分析】根据y=2|x|的对称性，结合函数图象平移得到关于直线【详解】函数y=2将函数y=2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数所以函数y=2|x−2|的图象关于直线x=2对称，故故选：B【变式81】7.（2021上·上海虹口·高一统考期末）函数y=4A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y=x对称【答案】B【分析】将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．【详解】解：因为f(x)=4x+1所以函数f(x)是偶函数，即函数图象关于y轴对称．故选：B．【变式81】8.（2022上·上海虹口·高一统考期末）函数y=x2A．x轴 B．y轴 C．原点 D．直线y=x【答案】B【分析】判断函数的奇偶性即可得函数图象的对称性.【详解】函数y=x2又f−x所以y=x2函数y=x2故选：B.题型9指数函数图像中的含参问题【例题9】（2021上·浙江温州·高一乐清市知临中学校考期中）函数f(x)=a

A．a>1,b<0 B．a>1,b>0C．0<a<1,b>0 D．0<a<1,b<0【答案】D【分析】由函数单调性判断a与1的大小，再由图象与y轴的交点位置判断b的正负.【详解】由图象可知，函数f(x)为减函数，从而有0<a<1；法一：由f(x)=ax−b图象，函数与y轴的交点纵坐标令x=0，得y=a由0<a−b<1，即0<法二：函数f(x)图象可看作是由y=a则−b>0，即b<0.故选：D.【变式91】1.（2023上·广西柳州·高一柳州高级中学校考期中）要使fx=1A．−1,+∞ B．−∞,−12 【答案】B【分析】根据指数函数的相关知识，找到该函数与y轴的交点坐标,并结合单调性，只需该点的纵坐标小于等于0即可.【详解】函数fx=12x+1要使fx图象不经过第一象限，则12+t≤0故选：B.【变式91】2．（2021上·高一课时练习）指数函数y=ax与A．a>1,0<b<1 B．a>1,b>1C．0<a<1,b>1 D．0<a<1,0<b<1【答案】C【分析】根据指数函数的性质即可得答案.【详解】解：因为函数y=ax的图象是下降的，所以又因为函数y=bx的图象是上升的，所以故选：C.【变式91】3.（2022·高一课时练习）函数y=ax与A．2 B．3 C．12 D．【答案】D【分析】利用排除法，结合指数函数和幂函数的图象特征分析判断即可.【详解】显然a>0．由y=ax>0，知①是函数y=由函数y=ax的图象可知由②知，函数y=xa在故选：D．【变式91】4.（2021上·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知函数gx=ax+3−2aA．2,+∞ B．2,+∞ C．1,2 【答案】A【分析】根据指数函数的性质得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为函数gx=ax+3−2a（a>0且a≠1故选：A题型10指数函数比较大小问题【方法总结】比较幂的大小的方法:1同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.2指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.3底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.4当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论.【例题10】（2023上·福建泉州·高一泉州七中校考期中）设a=3727，A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a【答案】A【分析】利用指数函数和幂函数单调性比较大小.【详解】由fx=2由gx=x即：a>c>b.故A项正确.故选：A.【变式101】1.（2023上·广东汕头·高一金山中学校考期中）已知a=0.40.2,b=A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．b>c>a【答案】C【分析】根据指数函数的单调性和中间值比较出大小关系.【详解】因为y=0.4x在R上单调递减，所以0.40>0.4c=2.10.2>故选：C【变式101】2.（2023上·广东汕头·高一汕头市潮阳林百欣中学校考阶段练习）已知a=313，b=915，c=1A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b【答案】D【分析】根据指数函数的单调性及中间量“1”即可比较a，b，c大小，得出答案.【详解】b=因为函数y=3x为R上的增函数，所以325>因为函数y=12x为R所以1229综上可得：c<a<b.故选：D.【变式101】3.（2023上·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知a=2−1，b=aA．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a【答案】B【分析】结合指数函数的单调性即可得.【详解】由a=2−1，即0<a<1，则a1则a1<a故选：B.【变式101】4.（2023上·北京·高一北京一七一中校考阶段练习）已知a>b，ab≠0，下列不等式恒成立的是（

）A．a2>bC．1a<1【答案】B【分析】应用特殊值a=1,b=−2判断A、C；由指数函数的单调性判断B、D.【详解】a=1,b=−2时a2<bB：由y=2x在定义域上递增，则D：由y=(13故选：B【变式101】5.（2023上·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）若2xA．1x>1y B．x>y【答案】D【分析】依题意可得2x−7−x>2y【详解】因为2x−2y>因为y=2x和y=−7−x在R上单调递增，所以所以由2x−7当x=2、y=1时，满足x>y，而1x当x=2、y=−2时，满足x>y，而x=因为y=12x在R故选：D【变式101】6．（2022·全国·高一课时练习）若实数x，y满足2022xA．xy>1 B．xy<1C．【答案】C【分析】由指数函数的性质可知fx=2022x−2023−x是【详解】令fx=2022x−2023−x，由于y=2022x，y=−2023−x均为R【变式101】7．（多选）（2023上·广西·高一校联考阶段练习）x，y，z为正实数，若13x=A．x>y>z B．z>y>xC．5z>4y>3x D．3x>4y>5z【答案】AC【分析】将13x=14y=15z变形得到3x=4y=5z【详解】由13即有3x=4y=因为3x故3x因为81>64，故3x<4y，同理，因为4故4y因为1024>625，故4y<5z，即有5z>4y>3x，故C正确，D错误.故选：AC.题型11指数方程【例题11】（2022·全国·高一专题练习）方程5x−1A．1,4 B．14 C．1,14【答案】B【分析】根据题意，先把103x转化为53x⋅【详解】原方程可化为：5x−1⋅53x⋅故选：B．【变式111】1.（2022上·河北沧州·高一统考期中）关于x的方程21+xA．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】令t=2x,(t>0)，化简可得2t2【详解】解：原方程即2×2x−22x+5=0，化简可得2×2x2+5×故选：B.【变式111】2．（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）关于x的方程4x【答案】x=1【分析】由4x−2x=2可得出2【详解】由4x−2x=2因为2x>0，可得2x所以，方程关于x的方程4x−2故答案为：x=1.【变式111】3（2023·高一单元测试）方程22x+1【答案】{−1,2}【分析】令t=2x，换元可得方程2t2−9t+4=0【详解】令t=2x，则方程可化为2t2−9t+4=0，解得t=所以，2x=1解得x=−1或x=2.所以，方程的解集为{−1,2}.故答案为：{−1,2}.【变式111】4．（2021·安徽省定远中学高一阶段练习）函数fx=3A．23,+∞ B．23,+∞ C．【答案】B【分析】令fx=t，则ft=2t，当t<1时，3t【详解】由函数fx=3x−1,当t<1时，3t−1=．∴t<1时，当t≥1时，2t=2t成立，由fx≥1当x≥1时，有2x≥1，解得x≥1，综上，【变式111】5.（2020·全国·高三对口高考）方程35x−2y【答案】x=2【分析】根据指数函数的图象和性质列出方程组，解之即可.【详解】因为5x−2y≥0且y−5≥0，由指数函数的图象和性质可知：当x≥0时，y=a则有5x−2y=0y−5=0解得：x=2，y=5故答案为：x=2y=5【变式111】6.（2023·全国·高三专题练习）求方程35【答案】x=2【分析】令fx=3【详解】令fx=35x所以函数y=fx在R又f2=3题型12指数函数不等式【方法总结】1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am<c且c<bn，则am<bn；若am>c且c>bn，则am>bn.2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论．(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解．◆类型1指数不等式【例题121】（2023上·上海·高一校考阶段练习）关于x的不等式3x−1【答案】x【分析】根据题意，由指数函数的单调性代入计算，即可得到结果.【详解】因为不等式3x−1>1，即3x−1>3则不等式的解集为xx>1故答案为：x【变式121】1.（2022上·辽宁阜新·高一校考期末）不等式(1【答案】(0,1)【分析】作出函数y=(【详解】在同一坐标系内作出函数y=(两个函数图象交于点(0,1),(1,13)，观察图象知，当且仅当0<x<1所以不等式(13)故答案为：(0,1)【变式121】2.（2023上·四川凉山·高一校联考期末）不等式13【答案】−【分析】根据函数的单调性、一元二次不等式的解法求得正确答案.【详解】依题意，132x由于y=3x在R上单调递增，所以2x解得x≤−52或x≥1，所以不等式的解集为故答案为：−【变式121】3.（2023上·广东广州·高一南沙一中校考期中）不等式2x【答案】x【分析】先利用指数幂的运算化简不等式，再根据指数函数的单调性求解即可.【详解】不等式2x2−4x−1因为函数y=2x为单调递增函数，所以x2解得−1≤x≤3，所以不等式2x2−4x−1故答案为：x【变式121】4．（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）不等式2−x【答案】(−【分析】根据一次函数及指数函数的性质求解.【详解】当x<0时，−x>0，则2−x>20=1当x=0时，则2−x=20=1当x>0时，−x<0，则2−x<20=1综上，不等式2−x>x+1的解集为故答案为：(−∞【变式121】5．（2022·上海·高一单元测试）关于x的不等式10⋅2【答案】−3,−1【分析】首先将不等式转化为2−x2【详解】由题知：4−x−10⋅2−x+16<0，整理得：2−【变式121】6.（2023上·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第十九中学校考阶段练习）不等式2x2−2x−3<1【答案】7【分析】根据指数函数单调性解不等式，结合一元二次不等式解法进而得到答案.【详解】因为y=2x则2x2−2x−3即x2+x−6<0，解得因为−3＜x＜所以−3+2=−a−3×2=b此时x2+ax+b<0，即x2故a−b=7故答案为：7.◆类型2抽象不等式【例题122】（2021上·河南郑州·高一统考期末）已知函数f(x)=1−22x【答案】1,+∞【解析】首先分析函数的奇偶性和单调性，不等式变形为f2x−1【详解】fx=1−2并且f−x=1−2所以不等式f2x−1+fx−2即2x−1>2−x，解得：x>1，所以不等式的解集为1,+∞.故答案为：1,+∞【变式122】1．（2022上·浙江台州·高一校联考期中）已知函数fx=ex−【答案】0,+【分析】构造函数F(x)=f(x)−1为R上单调递增的奇函数，再利用其性质将原不等式转化求解即可.【详解】令F(x)=f(x)−1=e则F(−x)=e故F(x)为奇函数，则原不等式变形为f(2x−1)−1>−fx+1+1=f−x−1因为y=ex是R上的增函数，所以所以F(x)=e所以2x−1>−x−1，解得x>0.故答案为：0,+∞【变式122】2．（2023·全国·高一单元测试）双曲正弦函数shx=ex−A．23,+∞ B．12,+∞ C．【答案】A【分析】函数f(x)是奇函数且在R上单调递增，由奇偶性可将f【详解】由题意可知，函数f(x)是奇函数且在R上单调递增，所以f(x+1)+f【变式122】3．（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知函数fx=2024x−【答案】x【分析】构造函数gx=2024【详解】依题意，函数fx的定义域为R，令g则g−x=2024−x−2024x所以不等式f4x+1+f−2x+1得到g4x+1<−g−2x+1=g2x−1故答案为：x|x<−1.【变式122】4．（2022·全国·高一课时练习）设函数fx=2x,A．−∞,0 B．0,+∞ C．0,1 D．1,+∞【答案】B【分析】分类讨论：①当a<0时和②当a【详解】①当a<0时，2a<0②当a≥0时，2a≥0，fa<f2综上，实数a的取值范围是0,+∞．故选：B．【变式122】5.（2023上·四川成都·高一校考期中）指数函数y=g(x)的图像经过点12,2(1)求y=g(x)的解析式；(2)判断f(x)的单调性，并用定义法证明；(3)解关于x的不等式0<f3【答案】(1)g(2)fx在R(3)−【分析】（1）求幂函数解析式采用待定系数法，设函数解析式gx=ax，代入点g1（2）证明单调性利用定义法，定义域上任取x1<x（3）将不等式转化为f0<f3【详解】（1）设gx=axa>0,a≠1因为gx（2）因为gx=2fx在R任取x1，x2∈fx因为x1<x2，所以2x所以fx1−f所以fx是定义在R（3）由fx是定义在R令f(x)=12⋅2x−12所以原不等式0<f3x2所以0<3x2−x≤2，即所以x的取值范围是−2【变式122】6.（2023上·江苏苏州·高一苏州中学校考期中）已知定义域为R的函数fx(1)求实数a的值．(2)试判断fx(3)解关于x的不等式f(4【答案】(1)1(2)函数f（x）(3)(0,3)．【分析】（1）根据题意，结合f−x（2）化简fx（3）根据题意，把不等式转化为22x【详解】（1）解：因为函数fx=1−a⋅2x即fx所以a−1=0，解得a=1.（2）解：函数fx在R证明如下：由函数fx=1−2x则fx因为x1<x2，所以所以fx1−f所以函数fx在R（3）解：由（1）（2）知，函数fx为奇函数，且在R所以f(4x)>f(9×令2x=t(t>0)，可得t2即1<2x<8，解得0<x<3【变式122】7.（2023上·广东江门·高一台山市第一中学校考期中）己知定义域为R的函数f(x)=−2x(1)求实数a的值，并用定义证明fx(2)求不等式f2【答案】(1)a=1，证明见解析(2)−【分析】（1）根据奇函数的性质求解a，再利用函数单调性的定义，即可证明；（2）先利用奇偶性将不等式化为f2【详解】（1）若函数fx为奇函数，则f又f−x=−2−x所以a−1=0，解得a=1，所以fx=−证明如下：设x1<x因为x1