高一数学讲义（人教A版2019）521三角函数的概念（五大题型）

5．2．1三角函数的概念目录TOC\o"12"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 2【知识点梳理】 2【典型例题】 4题型一：三角函数的定义 4题型二：判断三角函数值的符号 6题型三：确定角所在象限 8题型四：诱导公式（一）的应用 9题型五：圆上的动点与旋转点 11

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一：三角函数定义设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：（1）做的正弦，记做，即；（2）叫做的余弦，记做，即；（3）叫做的正切，记做，即．知识点诠释：（1）三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离，那么，，．（2）三角函数符号是一个整体，离开的、、等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是、、与的积．知识点二：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知识点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．知识点三：诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：，其中注意：利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求（或）范围内角的三角函数值．知识点四、特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010100010【典型例题】题型一：三角函数的定义【典例11】（2024·云南昆明·一模）如果角的终边过点，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】点到原点的距离，由定义知.故选：C【典例12】（2024·高一·山东威海·期末）下列角的终边落在射线上的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在射线上任取点，显然点在第三象限，故该角也是第三象限角，排除A，B两项；对于C，因，符合题意，故C正确；对于D，因，故D错误.故选：C.【方法技巧与总结】利用三角函数的定义求值的策略（1）已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．方法二：在的终边上任选一点，P到原点的距离为（）．则，．已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便．（2）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．（3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．【变式11】（2024·高一·贵州六盘水·期中）已知角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】角的终边过点，故.故选：A【变式12】（2024·高一·全国·课后作业）若角的终边在直线上，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在角的终边上取一点，所以；或角的终边上取一点，所以，综上可得等于.故选：B．【变式13】（2024·高一·辽宁辽阳·阶段练习）若的终边经过点，则（

）A． B． C．为锐角 D．【答案】D【解析】由角的终边经过点，求得，由三角函数的定义，.且为第一象限角，非锐角.故选：D.【变式14】（2024·高一·西藏拉萨·期末）已知角终边上一点的坐标为，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由三角函数定义可得.故选：A题型二：判断三角函数值的符号【典例21】（2024·高一·上海·专题练习）已知角是第四象限角，则下列各式中一定为正的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为角是第四象限角，所以，对于A，取，则，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，则，故D错误.故选：C.【典例22】（2024·高一·辽宁沈阳·期末）已知角的终边经过点，则下列各式一定为正的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为角终边经过点，所以在第四象限，所以，，，，故C正确．故选：C．【方法技巧与总结】三角函数值在各象限内的符号也可以用下面的口诀记忆：“一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负．【变式21】（2024·高一·山西·阶段练习）下列各式的值为负的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A选项，由，，可知A选项不正确；对于B选项，由，，可知B选项不正确；对于C选项，由，，可知C选项不正确；对于D选项，由，，可知D选项正确.故选：D.【变式22】（2024·高一·陕西安康·期末）的符号为（

）A．正 B．0 C．负 D．无法确定【答案】C【解析】由1弧度为第一象限角，2弧度为第二象限角，3弧度为第二象限角，4弧度为第三象限角，则，，，，所以．故选：C．【变式23】（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）下列选项中符号为负的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据三角函数定义判断各三角函数值得正负.A.终边在第二象限，故，故A选项错误；B.终边在第四象限，故，故B选项错误；C.弧度终边在第三象限，故，故C选项错误；D.终边在第二象限，故，故D选项正确；故选：D.【变式24】（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）下列函数值其结果为负值的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，所以为第一象限角，故，故不符合题意；，所以为第四象限角，故，故不符合题意；，所以为第二象限角，故，故符合题意；，所以为第二象限角，故，故不符合题意；故选：.题型三：确定角所在象限【典例31】（2024·高一·江西新余·阶段练习）已知点在第二象限，则角的终边在第（

）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【解析】因为点在第二象限，所以，，所以的终边在第三象限.故选：C.【典例32】（2024·高一·上海·专题练习）若，则点在第（

）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【解析】因为，所以，，所以点在第四象限．故选：D．【方法技巧与总结】确定角所在象限的步骤（1）判断该角的某些三角函数值的符号；（2）根据角的三角函数值的符号，确定角所在象限．【变式31】（2024·高一·上海·阶段练习）若，角终边所在的象限是（

）A．一或三 B．二或四 C．二或三 D．三或四【答案】B【解析】由，得角是第三象限角，即，则，当为奇数时，是第二象限角，当为偶数时，是第四象限角，所以角终边所在的象限是二或四.故选：B【变式32】（2024·高一·四川内江·期末）已知，，则的终边在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【答案】D【解析】因为，，所以为第二象限角，即，所以，则的终边所在象限为所在象限，即的终边在第一、二、四象限.故选：D.【变式33】（2024·高一·山东济宁·期中）若，则角的终边在（

）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】C【解析】因为，所以在所在的象限一正一负，所以角的终边在第三、四象限.故选：C.【变式34】（2024·高一·山西大同·期末）点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由，即的终边在第二象限，所以，，所以点在第二象限.故选：B.题型四：诱导公式（一）的应用【典例41】（2024·高一·福建龙岩·阶段练习）．【答案】【解析】.故答案为：【典例42】（2024·高一·广东湛江·期末）．【答案】/【解析】由题意可得：.故答案为：.【方法技巧与总结】利用诱导公式一化简或求值的步骤（1）将已知角化为（为整数，）或（为整数，）的形式．（2）将原三角函数值化为角的同名三角函数值．（3）借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的．【变式41】（2024·高一·上海·随堂练习）.【答案】#【解析】，故答案为：.【变式42】（2024·高一·北京海淀·期中）【答案】/【解析】.故答案为：.【变式43】（2024·高一·安徽淮北·阶段练习）已知，若，则的值为.【答案】/【解析】由可得，即，又因，故得，所以，，因此.故答案为：.【变式44】（2024·高一·河南省直辖县级单位·阶段练习）计算：．【答案】【解析】依题意原式，，故答案为：【变式45】（2024·高一·四川眉山·期中）．【答案】【解析】.故答案为：.题型五：圆上的动点与旋转点【典例51】（2024·高一·山东·阶段练习）已知，的终边与以原点为圆心，以2为半径的圆交于，则=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，即；又因为在以2为半径的圆上，所以，，；当时，，此时；当时，，此时；故选：A.【典例52】（2024·高一·湖南益阳·期末）在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每转一圈，则后的长为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可知，一个质点在圆O上每逆时针方向转一圈，那么后，到达P点，所以，而在中，且为圆的半径，取的中点T，如图，则，所以，则，所以故选：C【方法技巧与总结】利用三角函数的定义求解【变式51】（2024·高一·福建三明·期末）在平面直角坐标系中，已知是以原点为圆心，半径长为2的圆.设角的顶点与原点重合，始边与横轴的非负半轴重合，终边与的交点为，则点的纵坐标关于的函数解析式为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，，所以.故选：D.【变式52】（2024·高一·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，若点P从出发，沿圆心在原点，半径为2的圆按逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，作出半径为的圆，由题意，，过作轴于点，则故选：B【变式53】（2024·高一·