专题09 方案问题（二元一次方程组的应用） 带解析

2022-2023学年华师大版七年级数学下册精选压轴题培优卷专题09方案问题（二元一次方程组的应用）试卷满分：100分考试时间：120分钟评卷人得分一、选择题(每题2分，共20分)1．(本题2分)（2023春·七年级单元测试）我校七年级某班为筹备篮球运动会，准备用265元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱恰好用尽的条件下，有(

)种购买方案．A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】B【思路点拨】设甲种运动服买了x套，乙种买了y套，根据准备用265元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下可列出方程，且根据x，y必需为正整数可求出解．【规范解答】解：设甲种运动服买了x套，乙种买了y套，20x+35y=265，得，∵x，y必须为正整数，∴＞0，即0＜y＜，∴当y=3时，x=8当y=7时，x=1．所以有两种方案．故选：B．【考点评析】本题考查理解题意的能力，关键是根据题意列出二元一次方程，然后根据解为正整数确定值从而得出结果．2．(本题2分)（2023春·全国·七年级专题练习）为迎接2022年北京冬奥会，清华附中初二级部开展了以“绿色冬奥，人文冬奥，科技冬奥”为主题的演讲比赛，计划拿出240元钱全部用于购买奖品，奖励优胜者，已知一等奖品每件15元，二等奖品每件10元，则两种奖项齐全的购买方案有（

）A．6种 B．7种 C．8种 D．9种【答案】B【思路点拨】设购买x件一等奖品，y件二等奖品，由题意：现计划拿出240元钱全部用于购买奖品，已知一等奖品每件15元，二等奖品每件10元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．【规范解答】解：设购买x件一等奖品，y件二等奖品，由题意得：15x+10y=240，∴，又∵x，y均为正整数，∴或或或或或或，∴购买方案有7种，故选：B．【考点评析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．3．(本题2分)（2022春·湖南永州·七年级统考期中）某水果店需要把60个一样的苹果分装到一些同样的水果篮里，要求每个水果篮要有4个或者5个苹果，请问有（

）种不同的分法．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【思路点拨】将装4个苹果和5个苹果的水果篮的个数分别设出来，然后列出所有情况即可求解．【规范解答】解：设装4个苹果的水果篮的个数为x个，装5个苹果的水果篮的个数为y个，∴4x+5y=60，当x=0时，y=12，满足条件，当x=5时，y=8，满足条件，当x=10时，y=4，满足条件，当x=15时，y=0，满足条件，∴有4种不同的分法．故选C．【考点评析】本题考查了二元一次方程的运用，解题的关键是根据等量关系列出方程，列出所有的情况．4．(本题2分)（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）喜迎“二十大”，某校举办以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲比赛．计划用80元钱购买甲、乙两种笔记本作为奖品（钱全部用尽，两种笔记本都买），已知甲种笔记本每本8元，乙种笔记本每本12元，则购买方案共有（

）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【答案】A【思路点拨】设可以购进甲种笔记本x本，乙种笔记本y本，利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的个数．【规范解答】解：设可以购进甲种笔记本x本，乙种笔记本y本，依题意得：8x+12y=80，∴x=10-y．又∵x，y均为正整数，∴或或，∴共有3种购买方案．故选：A．【考点评析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．5．(本题2分)（2021春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）小亮去文化用品商店购买笔和本，已知本每个3元，笔每支5元，购买笔和本共花费48元，并且本的数量不少于笔的数量，则小亮的购买方案共有

(

)A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】B【思路点拨】设买了x个本子，y支笔，依题意得：3x＋5y＝48，根据本的数量不少于笔的数量，计算出可实行的方案．【规范解答】解：设买了x个本子，y支笔，依题意得：3x＋5y＝48则，∵x，y为正整数，且≥0且48－5y是3的倍数，∵本的数量不少于笔的数量，即x≥y即y≤6，当x=6时，y=6；当x=11时，y=3；故选：B．【考点评析】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握正确理解题意，设出未知数，列出等量关系，根据时间情况得出方案．6．(本题2分)（2020秋·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考阶段练习）小明去买2元一支和3元一支的两种圆珠笔（一种圆珠笔至少买一支），恰好花掉30元，则购买方案有（

）A．4种 B．5种 C．6种 D．7种【答案】A【思路点拨】根据题意列出二元一次方程，再结合实际情况求得正整数解．【规范解答】解：设买x支2元一支的圆珠笔，y支3元一支的圆珠笔，根据题意得：，且为正整数，变形为：，由为正整数可知，必须是3的整数倍，∴当，即时，不是整数，舍去；当，即时，是整数，符合题意；当，即时，不是整数，舍去；当，即时，是整数，符合题意；当，即时，不是整数，舍去；当，即时，是整数，符合题意；当，即时，不是整数，舍去；当，即时，是整数，符合题意；当，即时，不是整数，舍去；故共有4种购买方案，故选：A．【考点评析】本题考查了二元一次方程的应用，解题定关键是根据题意列出不定方程，然后根据实际问题对解得要求，逐一列举出来舍去不符合题意的即可．7．(本题2分)（2020·云南普洱·校考二模）某抗战纪念馆想找一批学生参加志愿活动，活动时间累计56个小时，每名男生工作6小时，每名女生工作5小时，则可以安排学生参加活动的方案共有（

）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】B【思路点拨】设安排女生人，安排男生人，由“累计56个小时的工作时间”列出方程求得正整数解．【规范解答】解：设安排女生人，安排男生人，依题意得：，则．当时，．当时，．即安排女生10人，安排男生1人；安排女生4人，安排男生6人，共有2种方案．故选：B．【考点评析】考查了二元一次方程的应用，理清题意是解题的关键．8．(本题2分)（2020春·浙江金华·七年级校考阶段练习）购买甲、乙两种笔记本共用70元．若甲种笔记本单价为5元，乙种笔记本单价为15元，且甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，则购笔记本的方案有（

）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】A【思路点拨】设购买甲种笔记本x个，则乙种笔记本y个，利用购甲、乙两种笔记本共用70元得到x=14-3y，利用=–3为整数可判断y=1，2，7，14，然后求出对应x的值从而得到购笔记本的方案．【规范解答】设购买甲种笔记本x个，购买乙种笔记本y个，根据题意得5x+15y=70，则x=14–3y，因为为整数，而=–3，所以y=1，2，7，14，当y=1时，x=11；当y=2时，x=4；y=7和y=14舍去，所以购笔记本的方案有2种．故选A．【考点评析】本题考查了二元一次方程的解，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系，特别是确定甲种笔记本数量和乙种笔记本数量关系，然后利用整除性确定方案．9．(本题2分)（2021秋·七年级单元测试）某市在“五水共治”中新建成一个污水处理厂．已知该厂库池中存有待处理的污水a吨，另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时b吨的定流量增加）．若污水处理厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组．需15小时处理完污水．现要求恰好用5个小时将污水处理完毕，则需同时开动的机组数为（）A．6台 B．7台 C．8台 D．9台【答案】B【思路点拨】设1台机组每小时处理污水v吨，要在5小时内处理完污水，至少需开动x台机组，根据题意列出方程组，将求得的值再代入不等式，求不等式的解集即可．【规范解答】解：根据题意列二元一次方程组：设每台机器每小时处理s（吨）解得：a=30s，b=1s,设需同时开动的机组数为x台，则s，∴x=7.答：要在5小时内处理完污水，至少需同时开动7台机组．故选B．【考点评析】本题考查的是用二元一次方程组来解决实际问题，正确的理解题意是解题的关键．10．(本题2分)（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团15人准备同时租用这三种客房共5间，如果每个房间都住满，租房方案有（

）A．4种 B．3种 C．2种 D．1种【答案】C【规范解答】解：设二人间x间，三人间y间，四人间（5﹣x﹣y）间．根据题意得：2x+3y+4（5﹣x﹣y）=15，整理得：2x+y=5．当y=1时，x=2，5﹣x﹣y=5﹣2﹣1=2；当y=3时，x=1，5﹣x﹣y=5﹣1﹣3=1；当y=5时，x=0，5﹣x﹣y=5﹣0﹣5=0．因为同时租用这三种客房共5间，则x＞0，y＞0，所以有二种租房方案：①租二人间2间、三人间1间、四人间2间；②租二人间1间，三人间3间，四人间1间．故选C．【考点评析】本题是二元一次方程的应用，此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程，然后根据x，y是整数求解，注意分类讨论思想的应用，另外本题也可以列三元一次方程组．评卷人得分二、填空题(共20分)11．(本题2分)（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）在新冠疫情下，口罩作为重要的防疫物资，国家投入了大量的资金和工厂进行口罩的生产，每个工厂生产的口罩型号，颜色均有差异．某商店共有a种不同型号的口罩，每种口罩都有红、白、蓝三种颜色，并且货源充足，每种型号的口罩红色的价格均为每包50元，白色的价格均为每包b元，蓝色的价格均为每包c元，且满足，b、c均为正整数．A、B、C三人每人都将每种型号的口罩各买一包，且对于同种型号的口罩，三人选择的颜色各不相同．结账时，A、B都花了1200元，且他们买的蓝色口罩数量不同，C花了1400元，三种颜色的口罩皆有购买，请问C用于购买白色、蓝色的口罩最多一共花费_____元．【答案】1350【规范解答】由题意可得，再由a，b，c均为正整数，且，求出，，则满足条件的有四种情况：①，；②，；③，；④，；设A、B购买红色型号的口罩x包，白色型号的口罩y包，蓝色型号的口罩包，分别列出方程求解讨论即可．【解答】解：A、B、C三人将a种不同型号的口罩三种颜色的口罩各买一包，共花了（元），即，∵a，b，c均为正整数，且，∴，∴，，即，，∴有四种情况：①，；②，；③，；④，；设A、B购买红色型号的口罩x包，白色型号的口罩y包，蓝色型号的口罩包，①，整理得，∵，，且x、y是整数，∴，∴C只购买了白色和蓝色口罩，不符合题意；②，整理得，∵，，且x、y是整数，∴，∴C只购买了白色和蓝色口罩，不符合题意；③，整理得，∵，，且x、y是整数，∴，∴C只购买了白色和蓝色口罩，不符合题意；④，整理得，∵，，且x、y是整数，∴或或或，∴当，时，C用于购买白色、蓝色的口罩最多，1400﹣50＝1350（元）；综上所述：C用于购买白色、蓝色的口罩最多一共花费1350元，故答案为：1350．【考点评析】本题考查二元二次方程的实际应用，能够理解题意，根据题意列出方程，根据所给的取值范围，求解不定方程是解题的关键．12．(本题2分)（2022秋·八年级课时练习）某公司在安排出差的22名员工住宿时，有2人间和3人间两种房间可供选择，如果每一个房间都住满，则安排住宿的方案有_______种．【答案】4【思路点拨】设住3人间的需要x间，住2人间的需要y间，根据总人数是22人，列出二元一次方程，解答即可．【规范解答】解：设住3人间的需要有x间，住2人间的需要有y间，3x+2y=22，因为x，y是自然数，2y是偶数，22是偶数，所以，3x只能是偶数，即x必须是偶数，当x=0时，y=11，当x=2时，y=8，当x=4时，y=5，当x=6时，y=2，综合以上得知，有4种租住方案．故答案是：4．【考点评析】此题主要考查了二元一次方程的应用，解答此题的关键是，根据题意，设出未知数，列出二元一次方程，再根据方程的未知数的特点解答即可．13．(本题2分)（2022·北京·九年级专题练习）某中学为积极开展校园足球运动，计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球价格为120元，一个B品牌足球价格为150元．学校准备用3000元购买这两种足球（两种足球都买），并且3000元全部用完，则该校共有______种购买方案．【答案】4【思路点拨】设该学校可以购买x个A品牌足球，y个B品牌足球，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出结论．【规范解答】解：设该学校可以购买x个A品牌足球，y个B品牌足球，依题意，得：120x+150y=3000，解得∵x，y均为正整数，∴x是5的倍数，∴共有4种购买方案．故答案为：4．【考点评析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．14．(本题2分)（2021秋·重庆渝北·九年级校考期中）金秋十月，丹桂飘香，重庆市綦江区某中学举行了创新科技大赛，该校初二年级某班共有18人报名参加航海组、航空组和无人机组三个项目组的比赛（每人限参加一项），其中航海组的同学比无人机组的同学的两倍少3人，航空组的同学不少于5人但不超过9人，班级决定为航海组的每位同学购买2个航海模型，为航空组的每位同学购买3个航空模型，为无人机组的每位同学购买若干个无人机模型，已知航海模型75元每个，航空模型98元每个，无人机模型165元每个，若购买这三种模型共需花费6939元，则其中购买无人机模型的费用是_______．【答案】4125元．【思路点拨】设无人机组有x个同学，航空组有y个同学，根据人数为18列出二元一次方程，根据航空组的同学不少于5人但不超过9人，得到x,y的解，再代入模型费用进行验证即可求解．【规范解答】设无人机组有x个同学，航空组有y个同学，则航海组有(2x-3)个同学，依题意得x+2x-3+y=18，解得x=，∵航空组的同学不少于5人但不超过9人，x，y为正整数，y为3的倍数，故方程的解为，，，设为无人机组的每位同学购买a个无人机模型，当时，依题意得5a×165+2×7×75+6×3×98=6939解得a=，符合题意，故购买无人机模型的费用是4125元；当时，依题意得4a×165+2×5×75+9×3×98=6939解得a=，不符合题意；综上，答案为4125元．故答案为：4125元．【考点评析】此题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，再分类讨论进行求解．15．(本题2分)（2021·江苏·九年级专题练习）为了开展“阳光体育”活动，某班计划购买甲、乙两种体育用品（每种体育用品都购买），其中甲种体育用品每件元，乙种体育用品每件元，共用去元，请你设计一下，共有_______________种购买方案．【答案】【思路点拨】设购买甲种体育用品x件，乙种体育用品y件，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的个数．【规范解答】设购买甲种体育用品x件，乙种体育用品y件，依题意，得：，∴．∵x，y均为正整数，∴当y=1时，x=9；当y=2时，x=7；当y=3时，x=5；当y=4时，x=3；当y=5时，x=1．∴共有五种购买方案．故答案为：5．【考点评析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．16．(本题2分)（2020·浙江杭州·九年级期末）为了迎接浙江省中小学生健康体质测试，某学校开“使康校园，阳光跳绳”活动，为此学校准备购置，，三种跳绳，已知某厂家的跳的规格与价格如下表：绳子绳子绳子长度（米）864单价（元/条）1286若该厂家有一根长200米的绳子，现将其裁成，两种绳子销售总价为240元，则剩余的绳子长度最多可加工____条种绳子．【答案】6【思路点拨】设A种绳子裁了a条，C种绳子裁了c条．由现将其裁成A，C两种绳子销售总价为240元得到：c=40-2a．然后求得B种绳子的长度；【规范解答】解：设A种绳子裁了a条，C种绳子裁了c条．则12a+6c=240，化简得c=40-2a．B种绳子的总长度为：200-8a-4c=200-8a-4（40-2a）=40（米），，∴B种绳子最多可加工6条．故答案为6.【考点评析】本题考查了二元一次方程的应用和二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程（组）．17．(本题2分)（2019春·重庆渝北·九年级重庆市渝北中学校校考阶段练习）我国的经济总量已居世界第二，人民富裕了，有的家庭拥有多种车型．小红家有A、B、C三种车型，已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量．现有一批货物，原计划用C型车10次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运12次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运_____次（每辆车每次都满载重量）【答案】24【思路点拨】设A型车的载重量x吨，B型车的载重量y吨，C型车的载重量z吨，由3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量，列出方程组，可求解．【规范解答】解：设A型车的载重量x吨，B型车的载重量y吨，C型车的载重量z吨，由题意可得：∴，∵10z﹣12×＝6z，∴B型车需单独装运的次数＝＝24次，故答案为：24．【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．18．(本题2分)（2022秋·重庆·九年级统考期末）每年冬季是渝北梨橙大丰收的季节，四川成都开展“水果一带一路”活动，渝北顺丰快递公司出动所有车辆分12月25，26日两批往成都运输现摘梨橙．该公司共有A，B，C三种车型，其中A型车数量占公司车辆总数的一半，B型车数量与C型车数量相等．25日安排A型车数量的一半，B型车数量的，C型车数量的进行运输，且25日A，B，C三种车型每辆车载货量分别为10吨，15吨，20吨，则25日刚好运完所有梨橙重量的一半．26日安排剩下的所有车辆完成剩下的所有梨橙的运输，且26日A，B，C三种车型每辆载货量分别不超过15吨，27吨，24吨．26每辆B型车实际载货量为26日每辆A型车每辆实际载货量的．已知同型货车每辆的实际载货量相等，A，B，C三种车型每辆车26日运输成本分别为100元/吨，200元/吨，75元/吨，则26日运输时，一辆A型车、一辆B型车，一辆C型车总的运输成本至多为_____元．【答案】【思路点拨】用列表法设出车辆总量数及对应的运输总质量，然后根据题目中的等量关系确定m，n的取值范围，从而确定可行方案，然后求解．【规范解答】解：设A型车辆数为2x，B，C型车辆数各位x，25日运输情况（假设梨橙总量为y吨）种类运输车辆总数运输梨橙总量Ax10xB5xC15x由题意得，∴，26日运输情况（设一辆A型车实际载货量为m吨，一辆C型车实际载货量为n吨）种类运输车辆总数一辆车实际载货量运输梨橙总量AxmmxBmxCn由题意得，解得m≤15，n≤24，，又m，n为正整数，∴m=14，n=8或m=13，n=16或m=12，n=24∴一共有三种方案，则方案①成本为，方案②成本为，方案①成本为，∵6200＜6400＜6600，∴一辆A型车、一辆B型车，一辆C型车总的运输成本至多为6600元．故填：6600．【考点评析】本题主要考查二元一次方程及不等式组的应用问题，这类题型通过列表格的方式进行求解，能够清晰易解．19．(本题2分)（2022·重庆·模拟预测）为了应对疫情对经济的冲击，增加就业岗位，某区在月份的时候开设了一个夜市，分为餐饮区、百货区和杂项区三个区域，三者摊位数量之比，市场管理处对每个摊位收取元/月的管理费，到了月份，市场管理处扩大夜市规模，并将新增摊位数量的用于餐饮，结果餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量的，同时将餐饮区、百货区和杂项区每个摊位每月的管理费分别下调了元、元和元，结果市场管理处月份收到的管理费比月份增加了，则百货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之比是______．【答案】【思路点拨】由题意设月份的餐饮区、百货区和杂项区三者摊位数量分别为，再假设新增摊位数量为，则餐饮区新增摊位数量为，进而根据条件得出n和m的关系，利用市场管理处月份收到的管理费比月份增加了建立关系式，进行代入分析即可得出答案．【规范解答】解：由题意设月份的餐饮区、百货区和杂项区三者摊位数量分别为，则月份的管理费为：（元），6月份的管理费为：（元），再假设新增摊位数量为，则餐饮区新增摊位数量为，由餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量的，可得：，化简后可得：，即有新增摊位数量为，餐饮区新增摊位数量为，且6月份下调后的餐饮区、百货区和杂项区每个摊位每月的管理费分别为：40元、30元、20元，由此可得百货区和杂项区6月份的管理费为：（元），百货区和杂项区没新增摊位数量时管理费为：（元），则百货区和杂项区新增的摊位数量管理费为：（元），当百货区新增，杂项区新增时，满足条件，所以百货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之比是．故答案为：．【考点评析】本题考查不定方程的应用，注意掌握根据条件得出n和m的关系以及利用市场管理处月份收到的管理费比月份增加了建立关系式，进行代入分析是解答本题的关键．20．(本题2分)（2022秋·九年级课时练习）某单位现要组织其市场和生产部的员工游览该公园，门票价格如下：购票人数1～5051～100100以上门票价格13元/人11元/人9元/人如果按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1245元；如果两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为945元．那么该公司这两个部的人数之差的绝对值为_____．【答案】15【思路点拨】根据945不能被11和13整除，能被9整除，可得两个部门的人数之和为105；再根据1245不能被11和13整除可知两个部门的人数分别在1～50和51～100的范围，结合门票价格和人数之间的关系列出方程组进行求解即可．【规范解答】解：设人数较少的部门有x人，人数较多的部门有y人，∵945不能被11和13整除且945÷9=105（人），∴两个部门的人数之和为105（人），∵1245不能被11和13整除，∴1≤x≤50，51≤y≤100，依题意，得：，解得：，∴，故答案为：15．【考点评析】本题考查了函数的应用问题和学生分析问题的能力，结合门票和人数之间的关系，建立方程是解题的关键．评卷人得分三、解答题(共60分)21．(本题6分)（2023秋·陕西西安·八年级西安市西光中学校考期末）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进型和型两种吉祥物．据了解，8只型吉祥物和10只型吉祥物的进价共2000元；10只型吉祥物和20只型吉祥物的进价共3100元．(1)求型和型两种吉祥物每只进价分别是多少元．(2)该专卖店计划恰好用4500元购进型和型两种吉祥物（两种均购买），问专卖店共有几种采购方案？【答案】(1)型吉祥物每只进价150元，型两种吉祥物每只进价80元(2)3种方案【思路点拨】（1）设型吉祥物每只进价x元，型两种吉祥物每只进价y元，根据“8只型吉祥物和10只型吉祥物的进价共2000元；10只型吉祥物和20只型吉祥物的进价共3100元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进m只型吉祥物，n只型吉祥物，根据“恰好用4500元购进型和型两种吉祥物（两种均购买）”列出二元一次方程，求出正整数解即可得到结论．【规范解答】（1）解：设型吉祥物每只进价x元，型两种吉祥物每只进价y元，依题意得：，解得：，∴型吉祥物每只进价150元，型两种吉祥物每只进价80元；（2）设购进m只型吉祥物，n只型吉祥物，依题意得：，∴，又∵m，n均为正整数，∴或或，∴该公司共有3种购买方案，方案1：购进22只型吉祥物，15只型吉祥物；方案2：购进14只型吉祥物，30只型吉祥物；方案3：购进6只型吉祥物，45只型吉祥物．【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．22．(本题6分)（2022秋·宁夏银川·八年级校考期末）某校准备组织七年级名学生参加北京夏令营，已知用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人；用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人；(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？(2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金元，大客车每辆需租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．【答案】(1)每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生(2)①租车方案有种．方案：小客车辆，大客车辆；方案：小客车辆，大客车辆；方案：小客车辆，大客车辆；②方案租金最少，最少租金为元【思路点拨】（1）每辆小客车能坐a名学生，每辆大客车能坐b名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；列出方程组，再解即可；（2）①设租用小客车x辆，大客车y辆，由题意得：小客车的数量大客车的数量人，根据等量关系列出方程，求出非负整数解即可；②分别计算出每种租车方案的钱数，进行比较即可．【规范解答】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生，根据题意，得，解得，答：每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生．（2）根据题意，得，，、均为非负整数，，，租车方案有种．方案：小客车辆，大客车辆；方案：小客车辆，大客车辆；方案：小客车辆，大客车辆．方案租金：（元）方案租金：（元）方案租金：（元），方案租金最少，最少租金为元．【考点评析】此题主要考查了二元一次方程（组）的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．23．(本题8分)（2022秋·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）为了响应“阳光体育运动”，学校大力开展各项体育项目，现某中学体育队准备购买100个足球和个篮球作为训练器材，现已知有、两个供应商给出标价如下：足球每个200元，篮球每个80元；供应商的优惠方案：每买一个足球就赠送一个篮球；供应商的优惠方案：足球、篮球均按定价的80%付款．(1)若，请计算哪种方案划算？(2)，请用含的代数式，分别把两种方案的费用表示出来，并计算为多少时，两种方案花的钱数一样多？【答案】(1)A(2)；；【思路点拨】（1）根据供应商A和B的优惠方案，求出各自的费用，比较即可得到结果；（2）用含x的代数式表示出两种方案的费用，再根据题意列出方程求解即可．【规范解答】（1）当时，供应商A优惠方案为：（元）；供应商B优惠方案为：（元），∵，∴供应商A的优惠方案划算；（2）当时，供应商A优惠方案为：元；供应商B优惠方案为：元；当两种方案花的钱数一样多时，则有：解得，∴当时，两种方案花的钱数一样多【考点评析】此题考查了代数式求值，列代数式，以及一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．24．(本题8分)（2022秋·江苏泰州·七年级校考期末）甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下：购买苹果数不超过30千克30千克以上但不超过50千克50千克以上每千克价格3元2.5元2元甲班分两次共购买苹果80千克（第二次多于第一次），共付出185元，乙班则一次购买苹果80千克．(1)乙班比甲班少付出多少元？(2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？【答案】(1)25元；(2)甲班第一次购买苹果25千克，第二次购买55千克．【思路点拨】（1）首先根据总价＝单价×数量，用一次性购买50千克以上苹果时，每千克苹果的价格乘以80，求出乙班付出多少钱；然后用甲班付出的钱数减去乙班付出的钱数，求出乙班比甲班少付出多少元即可．（2）根据第二次多于第一次，分三种情况讨论：①其中一次不30千克以下，另一次50千克以上；②当，时，不满足题意；③两次都30千克以上，但不超过50千克，根据两次一共付出185元，则有：，不满足题意，求出甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克后结合题意分析即可．【规范解答】（1）解：（元）答：乙班比甲班少付出25元．（2）设甲班第一次、第二次分别购买苹果、千克，则依据题意得：①当，，则有：，解得：，经检验满足题意；②当，时，，不满足题意；③当，，则有：，不满足题意．答：甲班第一次购买苹果25千克，第二次购买55千克．【考点评析】此题主要考查了单价、总价、数量的关系，以及二元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．25．(本题8分)（2023春·全国·七年级专题练习）今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知租用2辆型车和1辆型车装满物资一次可运10吨；用1辆型车和2辆型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．(1)1辆型车和1辆型车都装满物资一次可分别运多少吨？(2)请你该物流公司设计租车方案；(3)若型货车每辆需租金120元/次，型货车每辆租金140元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】(1)3，4(2)方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．(3)租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为1100元．【思路点拨】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方程；（3）根据总租金＝每辆车的租车费用×租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．【规范解答】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，依题意：得，解得：，答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨．（2）依题意，得：，又∵a，b均为正整数，或或，∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．（3）方案1所需租金为（元）；方案2所需租金为（元）；方案3所需租金为（元）．，∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为1100元．【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出三种租车方案所需费用．26．(本题8分)（2022秋·山东青岛·八年级山东省青岛实验初级中学校考期末）已知：现有型车和型车载满货物一次可运货情况如表：型车（辆型车（辆共运货（吨32172318某物流公司现有35吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(3)若型车每辆需租金300元次，型车每辆需租金320元次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】(1)1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨；(2)见解析；(3)最省钱的租车方案是方案1：租用型车1辆，型车8辆，最少租车费为2860元．【思路点拨】(1)根据表格中的数据列出关于型车载满货物和型车都载满货物的二元一次方程组，解出即可．(2)根据租用的车一次运完35吨货物且恰好每辆车都载满货物，即可得出关于、的二元一次方程，再结合、都是自然数，即可得出方案．(3)分别求出选择各方案所需租车的费用，比较后可得出结论．【规范解答】（1）解：设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨，依题意得：，解得：．答：辆型车载满货物一次可运货3吨，辆型车载满货物一次可运货4吨．（2）解：依题意得：，，又，均为自然数，或或，共有3种租车方案，方案1：租用型车1辆，型车8辆；方案2：租用型车5辆，型车5辆；方案3：租用型车9辆，型车2辆．（3）（3）选择方案1所需租车费为（元；选择方案2所需租车费为（元；选择方案3所需租车费为（元．，最省钱的租车方案是方案1：租用型车1辆，型车8辆，最少租车费为2860元．【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组(或二元一次方程)是解题的关键．27．(本题8分)（2022春·重庆万州·七年级统考期末）在解