易错模型01 全等模型（八大易错分析+举一反三+易错题通关）

易错模型01全等模型易错集合易错模型一：角平分线模型易错陷阱角平分线的性质与判定角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB3、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图步骤：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点（3）画射线OC，射线OC即为所求.4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系：（1）角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。（2）角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。要从题设、条件与结论的关系上理解它们的区别和联系。点在角平分线上 性质定理（3）角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。【易错点】发现几何关键字：角平分线，学会用角平分线的性质添加辅助线——过角平分线上的点向两边作垂线；举一反三例1．如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，BD交AC于点D，CE交AB于点E，若已知△ABC周长为20，BC=7，AE:AD=4:3，则AE长为（

）A．187 B．247 C．267例2．如图，在锐角△ABC中，AC=8，S△ABC=24，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是

变式1．如图，在△ABC中，AM平分∠BAC，点D是BC的中点，且，连接BM、CM，∠BAC=α，则∠BMD的度数为．用含α

变式2．如图△ABC中，，分别作△ABC的两个内角平分线和CD，、CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC；③PD=PE；④BD+CE=BC，其中正确的结论有．变式3．已知∠AOB=90°，OC是∠AOB的平分线．三角板的直角顶点P在射线OC上移动，(1)在图1中，三角板的两直角边分别与OA，OB交于M，N，求证：PM=PN；(2)在图2中，三角板的一条直角边与OB交于点N，另一条直角边与OA的反向延长线交于点M，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由．易错题通关1．如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF．其中正确的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=36°，则∠CAP=．3．如图，在五边形ABCDE中，，CA平分∠BCD，∠CAD=1

(1)求证：；(2)若∠B=75°，求∠E4．如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：

易错模型二：垂直模型易错陷阱【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直．【常见模型】【易错点】善于发现两个有关联的直角，利用直角三角形的两个锐角互余的特征来做；举一反三例3．如图，直线l上有三个正方形，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（

）A．13 B．16 C．36 D．55例4．如图，△ABC为等腰直角三角形AC=BC，若A-3,0，C0,2，则点B的坐标为变式1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作经过点A的直线的垂线段BD，CE，若，CE=4，则DE的长为变式2．如图，△OAB是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为．变式3．综合与实践：如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为E，D．(1)猜想线段AD、DE、三者之间的数量关系，并给予证明．(2)如图2，当过点C的直线绕点C旋转到△ABC的内部，其他条件不变，线段AD、DE、三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；易错题通关1．如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是（

）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm2．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为(4,0)，点B在y轴上，若反比例函数y=kx(k≠0)的图象过点C3．如图，在平面直角坐标系中，A-2,0，C6,0，B为y轴正半轴上一点，D在第四象限，且BC⊥CD，CA平分∠BCD(1)直接写出B点坐标；(2)求证：AB=AD；(3)求四边形ABCD的面积．4．已知，射线于点A，CA=BA，等腰直角△DEF的顶点D，E分别在射线CA和BA上，∠FDE=90°，FD=ED，过点D作DG⊥FC于点G，延长GD交射线BA于点．

(1)如图，点D，E在线段CA，BA上．①若，∠DHE=110°，求∠GFD的度数；②证明：CD=HE；(2)若CA=3CD=6，AH=1，请直接写出线段BE的长．易错模型三：半角模型易错陷阱【模型分析】过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型．【常见模型】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系．半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论．【易错点】当出现45°角和60°角时，要联系到半角模型；举一反三例5．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，则△ABD与A．36 B．21 C．30 D．22例6．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为．变式1如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若BE＝2，则EF的长为．变式2．在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，点E,F在AB边上，∠ECF=45°．若AE=10,EF=15，则的长为．变式3．（1）阅读理解如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常常会想到：把△ADE绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．易证△AEF≌，得出线段BF，DE，EF之间的关系为；（2）类比探究如图2，在等边△ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求线段DE的长；（3）拓展应用如图3，在△ABC中，AB＝AC＝6+2，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰，请直接写出线段

易错题通关1．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（）

A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④2．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为．3．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD'，连接D'(1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝D'E(2)当DE＝D'E时，∠DAE与∠BAC(3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△D'EC4．如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．(1)求证：AE=EF；(2)连接AC，则CFAC的值为__________(3)连接，设与CD交于点H，连接EH，探究BE，EH，易错模型四：一线三等角模型易错陷阱【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE．【常见模型】举一反三例7．如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且BD=4，∠ABC=60°．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（A．43 B．2 C．4 D．例8．小李用7块长为8cm，宽为3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为．变式1．如图，在四边形ABEF中，AB=4，EF=6，点C是上一点，连接AC、CF，若AC=CF，∠B=∠E=∠ACF，则

变式2．如图所示，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作CF⊥l于点F．若BE=2,CF=5，则EF=．变式3．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=-43x+4与坐标轴交于A、B两点，若△ABC

易错题通关1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（）A．3 B．2 C．94 D．2．如图，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，且点C在DE上，若AD＝5，BE＝8，则DE的长为．3．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过边AC．将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度，过点A作AD⊥MN于点D，过点B作BE⊥MN于点

(1)当△ABC绕点C旋转到图2的位置时，①求证：△ADC≌△CEB；②求证：DE=AD+BE；(2)当△ABC绕点C旋转到图3的位置时，（1）中的结论②4．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

(1)当直线MN绕点C旋转到图1位置时，求证：DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2位置时，试问：DE、AD、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明；(3)当直线MN绕点C旋转到图3位置时，DE、AD、之间的等量关系是___（直接写出答案，不需证明）．易错模型五：手拉手模型易错陷阱【模型分析】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等．【模型图示】公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”．对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得．【常见模型】（等腰）（等边）（等腰直角）举一反三例9．如图，在△ABC中，AB=AC=23，∠BAC=120°，D为线段BC边上的动点，以BD为边向上作等边△BED，连接CE、AD，则AD+CE的最小值为（

）

A．43 B．23+6 C．3+3 D．63例10．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与交于点O，AD与BC交于点P，与CD交于点Q，连接．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有．（把你认为正确的序号都填上）变式1．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接BD，有下列结论：①AE=BD；②∠DAB=∠BCD；③ED⊥DB；④AE变式2．已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F分别是边AD、CD上的点，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，连接EF，则EF的长为．变式3．如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC=BC，DC=EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；(2)猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．易错题通关1．如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（

）个A．1 B．2 C．3 D．42．如图，△DAC，△ECB均是等边三角形，点A，C，B在同一条直线上，且AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，连结MN．则下列结论：（1）△ACE≌△DCB；（2）△CMN为等边三角形；（3）OC平分∠AOB；（4）MN∥BC；（5）CO平分∠DCE．其中正确的有（

3．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，设E、F分别是AD、AB上的点，若∠EOF=90°，4．如图，已知△ABC是等边三角形，过点A作DE∥BC（DE<BC），且DA=EA，连接BD、CE．

(1)求证：四边形DBCE是等腰梯形；(2)点F在腰CE上，连接交AC于点G，若∠FBD=60°，求证：CG=12易错模型六：旋转模型易错陷阱【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件．【常见模型】举一反三例11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．当AD＝BF时，∠BEF的度数是（）

A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°例12．如图，等边△ABC中，∠AOB=115°,∠BOC=125°，则以线段OA,OB,OC为边构成的三角形的各角的度数分别为．变式1．如图，正方形ABCD中，AB=45，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=4，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF，则线段OF变式2．如图，在四边形ABCD中，于，则的长为变式3．如图1，等边△ABC中，DE∥BA分别交BC、AC于点D、E．(1)求证：△CDE(2)将△CDE绕点C顺时针旋转θ（0°<θ<360°），设直线AE与直线BD相交于点F．①如图2，当0°<θ<180°时，判断∠AFB②若AB=7，CD=3，当B，D，E三点共线时，求BD的长．易错题通关1．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3cm，那么PP′的长为（

）A．43 B． C．33 D．2．如图，ΔABC和ΔDCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，∠EBD=42°，则∠AEB=度．3．等腰Rt△ABC中，AB=(1)如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°①求证：△AED②当BE=3，CE=7时，求DE的长；(2)如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD=3，BC=9时，则4．已知点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD．CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点

(1)如图1，可得△ACE≌___________；若∠ACD=60°，则∠AFB=___________(2)如图2，若，则∠AFB=___________．（用含a的式子表示）(3)设，将图2中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD，AE中的一条线段上），如图3．试探究∠AFB与易错模型七：倍长中线模型易错陷阱【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE.若连结BE，则ΔBDE≅ΔCDA；若连结EC，则ΔABD2、中点型:如图2，C为AB的中点.证明思路：若延长EC至点F，使得CF=EC，连结AF，则ΔBCE若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则ΔACD3、中点+平行线型：如图3,AB//CD，点E为线段AD的中点.证明思路：延长CE交AB于点F(或交BA延长线于点F)，则ΔEDC举一反三例13．在△ABC中，AC=6，中线AD=10，则AB边的取值范围是（）A．16<AB<22 B．14<AB<26 C．16<AB<26 D．14<AB<22例14、如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接并延长交AC于点F，若∠AEF=∠FAE，BE=4，，则CF的长为．变式1．如图，在▱ABCD，点F是BC上的一点，连接，AE平分∠FAD，交CD于中点E，连接EF，若∠FAD=60°，AD=5，CF=3，则

变式2．如图，△ABC中，点D在AC上，，点E是BD的中点，连接，则CD=．变式3．（1）如图①，在△ABC中，若AB=6，AC=4，AD为BC边上的中线，求AD的取值范围；（2）如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，，CF之间的数量关系，并加以证明．易错题通关1．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB⊥BD，AB=5，BD=4，CD=3，点E是AC的中点，则的长为（

A．2 B．52 C．5 D．2．如图，在△ABC中，AB=12，AC=20，求BC边上中线AD的范围为．3．如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，交AD于点F，AE=EF．求证：．4．已知△ABC中，(1)如图1，点E为BC的中点，连接AE并延长到点F，使FE=EA，则与AC的数量关系是．(2)如图2，若AB=AC，点E为边AC上一点，过点C作BC的垂线交BC的延长线于点D，连接AD，若∠DAC=∠ABD，求证：(3)如图3，点D在△ABC内部，且满足AD=BC，∠BAD=∠DCB，点M在DC的延长线上，连接AM交BD的延长线于点N，若点N为AM的中点，求证：易错模型八：截长补短模型易错陷阱【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。【常见模型及证法】（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。例：如图，求证BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等举一反三例15．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积是4，则BC+CD等于（）A．2 B．4 C．22 D．42例16．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，，∠B=70°，则∠D的度数是．变式1．已知：如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B=∠1+∠2，AE=CD，BF=43，则AD的长为变式2．如图，已知ΔABC中，∠A=60°，D为AB上一点，且AC=2AD+BD,∠B=4∠ACD，则∠DCB的度数是变式3、如图，在平面直角坐标系中，A-2,0，C6,0，B为y轴正半轴上一点，D在第四象限，且BC⊥CD，CA平分∠BCD(1)直接写出B点坐标；(2)求证：AB=AD；(3)求四边形ABCD的面积．易错题通关1．如图，正△ABC和正△CDE中，B、C、D共线，且BC=3CD，连接AD和相交于点F，以下结论中正确的有（

）个①∠AFB=60°

②连接FC，则CF平分∠BFD

③

④BF=AF+FCA．4 B．3 C．2 D．12．如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=α0°<α<60°，则∠BCD=（用含α3．如图所示，AB∥CD，，CE分别是∠ABC，∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD．4．在四边形ABDE中，点C是BD边的中点．(1)如图①，AC平分∠BAE，∠ACE=90°，写出线段AE，AB，DE间的数量关系及理由；(2)如图②，AC平分∠BAE，平分∠AED，∠ACE=120°，写出线段AB，BD，DE，AE间的数量关系及理由．

易错模型01全等模型易错集合易错模型一：角平分线模型易错陷阱角平分线的性质与判定角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB3、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图步骤：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点（3）画射线OC，射线OC即为所求.4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系：（1）角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。（2）角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。要从题设、条件与结论的关系上理解它们的区别和联系。点在角平分线上 性质定理（3）角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。【易错点】发现几何关键字：角平分线，学会用角平分线的性质添加辅助线——过角平分线上的点向两边作垂线；举一反三例1．如图，在△ABC中，∠A=60°∠ABC，和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，BD交AC于点D，CE交AB于点E，若已知△ABC周长为20，BC=7，AE:AD=4:3，则AE长为（

）A．187 B．247 C．267【答案】B【分析】证明△BOE≌△BOH得出∠EOH=∠BOH=60°，证明△COD≌△COH得出CD=CH，进而即可求解．【详解】解：如图，在BC上截取BH=BE，连接∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB∴∠，∴∠ABC+∴∠，∴∠BOE=在△BOE和△BOH中，BE=BH∠∴△∴∠∴∠∴∠在△COD和△COH中，∠ACE=∴△∴CD=CH，∵△ABC周长为20，，∴AE+AD=6，．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角分线的定义，构造全等三角形是解题的关键．例2．如图，在锐角△ABC中，AC=8，S△ABC=24，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是

【答案】6【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得ME=MN，再根据两点之间线段最短可得BM+MN的最小值为，然后根据垂线段最短可得当BE⊥AC时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．【详解】如图，在AC上取一点E，使AE=AN，连接ME，

∵AD是∠BAC∴∠在△AEM和△ANM中，AE=AN∠∴△∴ME=MN∴BM+MN=BM+ME由两点之间线段最短得：当点B,M,E共线时，BM+ME取最小值，最小值为，又由垂线段最短得：当BE⊥AC时，∵AC=8,∴1解得BE=6，即BM+MN的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出BM+MN取得最小值时的位置是解题关键．变式1．如图，在△ABC中，AM平分∠BAC，点D是BC的中点，且，连接BM、CM，∠BAC=α，则∠BMD的度数为．用含α

【答案】90【分析】过M作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，即可得到△MFB≅△MEC，得到∠MBF=∠MCE，再由四边形内角和可得∠BMC+∠BAC=180°，即可根据∠BMD=【详解】过M作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，则∠

∵AM平分∠BAC∴ME=MF，∵点D是BC的中点，且，∴，∠BMD=1∴△MFB∴∠MBF=∴∠MBF+∵四边形ABMC中，∠MBA+∴∠BMC+∵∠BAC=α∴∠BMD=故答案为：90°-【点睛】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，利用角平分线的性质作辅助线是解题的关键．变式2．如图△ABC中，，分别作△ABC的两个内角平分线和CD，、CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC；③PD=PE；④BD+CE=BC，其中正确的结论有．【答案】①②③④【分析】由三角形内角和定理和角平分线得出∠PBC+∠PCB的度数，再由三角形内角和定理可求出∠BPC的度数，①正确；过点P作，由角平分线的性质可知AP是∠BAC的平分线，②正确；PF=PG=PH，故，由四边形内角和定理可得出，故∠DPF=∠EPG，由全等三角形的判定定理可得出△PFD≌△PGE，故可得出PD=PE，③正确；由三角形全等的判定定理可得出△BHP≌△BFP,△CHP≌△CGP，故可得出，再由DF=EG可得出BC=BD+CE，④正确；即可得出结论．【详解】解：∵、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，，∴∠PBC+∴∠BPC=180°-(过点P作，∵、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∴，∴PF=PG，∴AP是∠BAC的平分线，②∴PF=PG=PH，∵∠BPC=120∴∠DPE=120∵∠BAC=60∴，∴∠DPF=在与△PGE中，∠DFP=∠∴△PFD∴PD=PE，③正确；在Rt△BHP与Rt△∴Rt△同理，Rt△∴，两式相加得，，∵DF=EG，∴BC=BD+CE，④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．变式3．已知∠AOB=90°，OC是∠AOB的平分线．三角板的直角顶点P在射线OC上移动，(1)在图1中，三角板的两直角边分别与OA，OB交于M，N，求证：PM=PN；(2)在图2中，三角板的一条直角边与OB交于点N，另一条直角边与OA的反向延长线交于点M，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)结论仍成立，理由见解析【分析】本题考查角了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，作出辅助线构三角形是解题的关键．（1）过P作PE⊥OA于E，于F，由OC为∠AOB的平分线，利用角平分线定理得到PE=PF，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到△PME与△PNF全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）同（1）可证明．【详解】（1）解：过P作PE⊥OA于E，于F，∵OC是∠AOB∴PE=PF，∠PEM=∵∠MPE+∠MPF=90°，∠NPF+∴∠MPE=∴△∴PM=PN．（2）画出图形，结论仍成立，理由如下：过P作PE⊥OA于E，于F，∵OC是∠AOB∴PE=PF，∠PEM=∵∠MPE+∠MPF=90°，∠NPF+∴∠MPE=∴△PME∴PM=PN．易错题通关1．如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF．其中正确的是（

）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】易证△ABD≌△EBCSAS，可得，可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得∠DAE=∠DCE，即③正确，根据③可求得【详解】解：∵BD为△ABC，在△ABD和△EBC中，BD=BC∠∴△ABD≌△∵BD=BC∴∠，∵△ABD∴∠，②正确，∵∠BCE=∴∠∴AE=EC∵△∴AD=EC，③正确；过E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G，

，

∵BD平分∠ABC∴EF=EG在Rt△BEG和Rt△∴Rt∴BG=BF在Rt△CEG和Rt△∴Rt，，④正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和全等三角形对边角、对应边相等的性质是解题的关键．2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=36°，则∠CAP=．【答案】54°【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案【详解】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=36°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=（x-36°），∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x-（x-36°）-（x-36°）=72°，∴∠CAF=108°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA=PA，PF=PM，∴Rt△PFA≌Rt（∴∠FAP=∠PAC=54°．故答案为：54°．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键．3．如图，在五边形ABCDE中，，CA平分∠BCD，∠CAD=1

(1)求证：；(2)若∠B=75°，求∠E【答案】(1)见解析(2)105【分析】（1）在CD上截取CF=CB，连接，证明△BCA≌△FCASAS，根据全等三角形的性质得出AB=AF，∠BAC=∠FAC，进而证明△ADF≌△ADESAS，根据全等三角形的性质得出DE=DF（2）根据全等三角形的性质，结合图形可得∠B+【详解】（1）解：在CD上截取CF=CB，连接．

∵CA平分∠BCD∴∠BCA=在△BCA和△FCA中，CB=CF∴△∴AB=AF，∠BAC=又∵，∴AF=AE．又∵∠CAD=∴∠BAC+∴∠FAD=在△ADF和△ADE中，AF=AE∠∴△∴DE=DF．∴CD=CF+FD=BC+DE．（2）∵△BCA∴∠B=∵△ADF∴∠E=∴∠B+∴∠E=180【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．4．如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：

【答案】证明见解析【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到∠AOC=120°，∠AOE=∠COD=60°，在AC上截取AF=AE，连接OF，分别证明△AOE≌△AOFSAS()，△COD≌△COFASA【详解】证明：∵∠B=60∴∠∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB∴∠OAC=∠OAB=12∠BAC∴∠∴∠∴∠如图，在AC上截取AF=AE，连接OF，

在△AOE和△AOF中，AE=AF∠∴△∴∠∴∠∵∠∴∠在△COD和△COF中，∠OCD=∴△∴CD=CF∵AF=AE∴AF+CF=AE+CD=AC【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键．易错模型二：垂直模型易错陷阱【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直．【常见模型】【易错点】善于发现两个有关联的直角，利用直角三角形的两个锐角互余的特征来做；举一反三例3．如图，直线l上有三个正方形，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（

）A．13 B．16 C．36 D．55【答案】B【分析】根据正方形的性质，易证△BAC≅△ECD(AAS)，可得AB=CE，BC=DE，根据a，c的面积以及勾股定理即可求出b的面积．【详解】解：如图：根据题意，得AC=CD，∠ABC=∴∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∴∠在△BAC和△ECD中，∠ABC=∴△∴AB=CE，BC=DE，，c的面积分别为5和11，，，，根据勾股定理，得，∴b的面积为16故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及正方形的性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．例4．如图，△ABC为等腰直角三角形AC=BC，若A-3,0，C0,2，则点B的坐标为【答案】(2【分析】过点B作BT⊥y轴于点T．证明△AOC【详解】解：如图中，过点B作BT⊥y轴于点T．∵A-3,0，C(0∴OA=3，OC=2，∵∠AOC=∴∠ACO+∠BCT=90°，∠BCT+∴∠ACO=在△AOC和△CTB中，∠∴AAS，∴AO=CT=3，BT=CO=2，∴OT=CT-∴B(2，故答案为：(2，【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．变式1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作经过点A的直线的垂线段BD，CE，若，CE=4，则DE【答案】6【分析】利用垂直的定义得到，由平角的定义及同角的余角相等得到∠ABD=∠CAE，利用AAS证得△ABD≌△ACE，由全等三角形对应边相等得到，AD=CE=4，由DE=AD+AE即可求出DE【详解】解：∵BD⊥DE，∴∠BAD+∵∠，在△ABD和△CAE中，∴△ABD∴DB=AE=2，CE=AD=4则．故答案为：6．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据由平角的定义及同角的余角相等证得∠ABD=变式2．如图，△OAB是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为．【答案】【分析】如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，证明△ACO≌△ODB得到AC=OD，OC=BD，设点B的坐标为（a，b），则点A的坐标为（-b，a），再由点B在反比例函数y=1x，推出【详解】解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，则∠ACO=∠ODB=90°，由题意得OA=OB，∠AOB=90°，∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°，∴∠CAO=∠DOB，∴△ACO≌△ODB（AAS），∴AC=OD，OC=BD，设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，∴点A的坐标为（-b，a），∵点B在反比例函数y=1∴ab=1，∴-ab=∴a=-∴经过点A的反比例函数表达式为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．变式3．综合与实践：如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为E，(1)猜想线段AD、DE、三者之间的数量关系，并给予证明．(2)如图2，当过点C的直线绕点C旋转到△ABC的内部，其他条件不变，线段AD、DE、三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；【答案】(1)DE=AD+BE，理由见解析；(2)改变，AD=BE+DE，理由见解析．【分析】（1）由“AAS”可证△ACD≌△CBE，可得AD=CE（2）由“AAS”可证△ACD≌△CBE，根据全等三角形的性质得到AD=CE，BE=CD本题考查了几何变换综合题，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．【详解】（1）解：DE=AD+BE，理由如下：∵∠ACB∴∠ACD+∴∠BCE=在△ACD和△CBE中，∴△ACD∴AD=CE，BE=CD，∴DE=AD+BE；（2）改变，AD=BE+DE，∵∠ACB=∠∴∠ACD+∴∠BCE=在△ACD和△CBE中，∴△ACD∴AD=CE，BE=CD，∴AD=CE=CD+DE，即AD=BE+DE．易错题通关1．如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是（

）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm【答案】C【分析】本题可通过全等三角形来求BE的长．△BEC和△CDA中，已知了一组直角，∠CBE和∠ACD同为∠BCE的余角，AC=BC，可据此判定两三角形全等；那么可得出的条件为CE=AD，BE=CD，因此只需求出CD的长即可．而CD的长可根据CE即AD的长和DE的长得出，由此可得解．【详解】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°；∴∠ACD=∠CBE，又AC=BC，∴△ACD≌△CBE；∴EC=AD，BE=DC；∵DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是3cm．故选C．【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．2．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为(4,0)，点B在y轴上，若反比例函数y=kx(k≠0)的图象过点C【答案】-【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=90°，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90∴∠ABO+∵∠∴∠∵点A的坐标为(4,0)，∴OA=4∵AB=5∴OB=在△ABO和△BCE中，∠OAB=∴△，，∴OE=BE∴点C的坐标为(-∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象，故答案为：-3【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，全等三角形的判定与性质，涉及到正方形的性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是作辅助线构造出全等三角形并求出点C的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，A-2,0，C6,0，B为y轴正半轴上一点，D在第四象限，且BC⊥CD，CA平分∠BCD(1)直接写出B点坐标；(2)求证：AB=AD；(3)求四边形ABCD的面积．【答案】(1)0,6(2)见解析(3)32【分析】（1）先证明∠BCO=45°，进而推出∠OBC=45°=∠OCB，则OB=OC，由此求解即可；（2）如图所示，在BC上取一点E使得CE=CD，利用SAS证明△ECA≌△DCA，得到AE=AD，∠AEC=∠ADC，再证明，得到，则AB=AD；（3）如图所示，过点D作DF⊥x轴于F，证明△OAB≌△FDA，得到DF=OA，则DF=OA=3，OC=7，AC=10，再由【详解】（1）解：∵BC⊥CD，CA平分∠BCD∴∠BCO=∵∠BOC=90∴∠OBC=45∴OB=OC，∵C6,0∴OB=OC=6，∴B0（2）解：如图所示，在BC上取一点E使得CE=CD，

∵AC平分∠BCD∴∠ECA=在△ECA和△DCA中，EC=DC∠∴△ECA∴AE=AD，∵∠ABC+∴，∴，∴AB=AD；此题方法较多，如以下两种辅助线方式同理可证.（3）解：如图所示，过点D作DF⊥x轴于∴∠AFD=∠BOA=90°，∴∠FAD+∵BC⊥DC∴∴∠FAD+∠OAB=90°，∴∠FDA=由（2）得AD=AB，∴△∴DF=OA∵A-2,0，∴DF=OA=2，OC=6，∴AC=6∴===32．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．4．已知，射线于点A，CA=BA，等腰直角△DEF的顶点D，E分别在射线CA和BA上，∠FDE=90°，FD=ED，过点D作DG⊥FC于点G，延长GD交射线BA于点．

(1)如图，点D，E在线段CA，BA上．①若，∠DHE=110°，求∠GFD的度数；②证明：CD=HE；(2)若CA=3CD=6，AH=1，请直接写出线段BE的长．【答案】(1)①∠GFD=40°；(2)3或5或7或9【分析】（1）①根据三角形内角和在△DEH中可求∠EDH=40°，继而可得∠FDG=50°，再由直角三角形的两个锐角互余即可求出∠GFD=40②利用同角的余角相等可证明∠CDF=∠DEH，∠EDH=∠CFD，进而可得△FCD（2）根据点E和点H位置不同分四种情况画图讨论，由（1）②的结论即可解答．【详解】（1）①解：在△DEH中，，∠DHE=110°∴∠EDH=40∵∠FDE=90∴∠FDG=50∵DG⊥FC于点∴∠DGF=90∴∠GFD=40②证明：∵∠FDE=90°，∠DGF=90∴∠EDH+∠FDG=90°，∠FDG+∴∠EDH=∵∠FDE=90°，∠DAE∴∠CDF+∠ADE=90°，∠ADE+∴∠CDF=∵FD=ED，∴△FCD∴CD=HE．（2）∵CA=3CD=6，CA=BA，由（1）可知：CD=HE，∴CA=BA=6，CD=HE=2，根据顶点E分别在射线BA上和点F不同位置有四种情况；I．当点E在线段BA上点H在点A右侧时，如图：

∴BE=AB-II．当点E在线段BA上，点H在点A左侧时，如图2-2：

∴BE=AB+AH-III．当点E在线段BA延长线上、点H在点A左侧时，如图2-3：

∴BE=AB+AE=6+1+2=9，IV．当点E在线段BA延长线上、点H在点A右侧时，如图2-4：

∴BE=AB-综上所述：线段BE的长为3或5或7或9．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，难点在问题（2），需要根据点E和点H的位置不同正确画出图形，根据线段的和差进行计算．易错模型三：半角模型易错陷阱【模型分析】过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型．【常见模型】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系．半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论．【易错点】当出现45°角和60°角时，要联系到半角模型；举一反三例5．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，则△ABD与A．36 B．21 C．30 D．22【答案】B【分析】将△ADE关于AE对称得到△AFE，从而可得△AFE的面积为15，再根据对称的性质可得AF=AD,∠EAF=45°，然后根据三角形全等的判定定理证出△ACF≅△ABD，从而可得CF=BD=3,∠ACF=∠ABD=45°,S△ACF=S△ABD，最后根据△ABD与△AEC的面积之和等于△AFE【详解】解：如图，将△ADE关于AE对称得到△AFE则AF=AD,∠EAF=45°，S△∴∠∵∠∴∠在△ACF和△ABD中，AC=AB∠∴△∴CF=BD=3,∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，即△CEF∴S∴S即△ABD与△AEC的面积之和为21故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．例6．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为．【答案】210【分析】延长BA到点G，使AG=CF，连接DG，EF，利用SAS证明△ADG≌△CDF，得∠CDF=∠GDA，DG=DF，再证明△GDE≌△FDE（SAS），得GE=EF，设AE=x，则BE=6-x，EF=x+3，再利用勾股定理解决问题．【详解】解：延长BA到点G，使AG＝CF，连接DG，EF，∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF，∴△ADG≌△CDF（SAS），∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°，∵DE＝DE，∴△GDE≌△FDE（SAS），∴GE＝EF，∵F是BC的中点，∴AG=CF=BF=3，设AE＝x，则BE＝6﹣x，EF＝x+3，由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2，∴AE＝2，∴DE＝AD故答案为：210．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握半角模型的处理策略是解题的关键．变式1如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若BE＝2，则EF的长为．【答案】5【分析】由旋转的性质可得，∠DAF=∠BAG，∠D=∠ABG=90°，由“SAS”可证，可得EF=GE，由勾股定理可求解．【详解】解：由旋转的性质可知：，∠DAF=∠BAG，∠D=∠，∴点G在CB的延长线上，∵四边形ABCD为正方形，．又∵∠EAF=45∴∠．∴∠GAE=在和ΔFAE中，，，∴EF=GE，∵E，∴DF=3∴EF=5故答案为：5．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，解题的关键是掌握利用勾股定理求线段的长．变式2．在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，点E,F在AB边上，∠ECF=45°．若AE=10,EF=15，则的长为．【答案】5【分析】将CE绕点C顺时针旋转90°得到CG，连接GB，GF，可得△ACE≌△BCG，从而得FG2＝AE2＋BF2，再证明△ECF≌△GCF，从而得EF2＝AE2＋BF2，进而即可求解．【详解】解：将CE绕点C顺时针旋转90°得到CG，连接GB，GF，∵∠BCE＋∠ECA＝∠BCG＋∠BCE＝90°∴∠ACE＝∠BCG．∵在△ACE与△BCG中，∵CE＝∴△ACE≌△BCG（SAS），∴∠A＝∠CBG＝45°，AE＝BG，∴∠FBG＝∠FBC＋∠CBG＝90°．在Rt△FBG中，∠FBG＝90°，∴FG2＝BG2＋BF2＝AE2＋BF2．又∵∠ECF＝45°，∴∠FCG＝∠ECG−∠ECF＝45°＝∠ECF．∵在△ECF与△GCF中，EC＝∴△ECF≌△GCF（SAS）．∴EF＝GF，∴EF2＝AE2＋BF2，∵AE=10,EF=15，∴BF=15故答案是：55【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及旋转变换，二次根式的化简，通过旋转变换，构造全等三角形，是解题的关键．变式3．（1）阅读理解如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常常会想到：把△ADE绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．易证△AEF≌，得出线段BF，DE，EF之间的关系为；（2）类比探究如图2，在等边△ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求线段DE的长；（3）拓展应用如图3，在△ABC中，AB＝AC＝6+2，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰，请直接写出线段

【答案】（1）△AGF，EF＝DE+BF；（2）DE＝7；（3）BD＝2或2【分析】（1）证明△AGF≌△AEF（SAS），则GF＝EF，即GF＝BG+BF＝DE+BF＝EF，即可求解；（2）证明△AFD≌△AED（SAS），则FD＝DE，在Rt△FBH中，∠FBH＝60°，则BH＝12BF＝1，FH＝BFsin60°＝2×32＝，则FD=F（3）①当DE＝AD时，△ADE≌△ADF（SAS），在△ABC中，AB＝AC＝6+2，∠HAC＝30°，由BC2＝（AB+AH）2+HC2得：BC2＝（x+32x）2+（12x）2，求出BC＝4+2；在△ADE中，AD＝DE＝a，∠ADE＝30°，同理可得：AE＝6-22a，由AB2+AE2＝BE2，求出a＝2，即可求解；②当DE＝AE【详解】解：（1）由图象的旋转知，AG＝AE，∠DAE＝∠GAB，∵∠BAF+∠DAE＝∠BAD﹣∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠GAB+∠BAF＝∠DAE+∠BAF＝90°﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，又∵AG＝AE，AF＝AF，∴△AGF≌△AEF（SAS），∴GF＝EF，即GF＝BG+BF＝DE+BF＝EF，即EF＝DE+BF，故答案为：△AGF，EF＝DE+BF；（2）将△AEC围绕点A旋转到△AFB的位置，连接FD，由（1）知，△AFB≌△AEC（SAS），则AF＝AE，FB＝EC＝2，∵∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠EAC+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣30°＝∠DAE，∵AD＝AD，AF＝AE，∴△AFD≌△AED（SAS），∴FD＝DE，∠ABF＝∠C＝60°，在△BDF中，BD＝1，BF＝2，∠FBD＝∠ABF+∠ABC＝60°+60°＝120°，过点F作FH⊥BD交DB的延长线于点H，则∠FBH＝60°，在Rt△FBH中，∠FBH＝60°，则BH＝12BF＝1，FH＝BFsin60°＝2×32＝则FD=故DE＝7；（3）①当DE＝AD时，则∠DAE＝∠DEA＝75°，则∠ADE＝180°﹣2×75°＝30°，在等腰△ABC中，∠BAC＝150°，则∠ABC＝∠ACB＝15°，将△AEC围绕点A旋转到△AFB所在的位置（点F对应点E），连接DF，由（2）同理可得：△ADE≌△ADF（SAS），∴DF＝DE，∵∠ADE＝∠ABC+∠BAD＝15°+∠BAD＝30°，故∠BAD＝15°＝∠ABD，∴AD＝BD＝ED，设BD＝a，则AD＝BD＝ED＝a，则BE＝2a，过点C作CH⊥BA交BA的延长线于点H，则∠HAC＝2∠ABC＝30°，在△ABC中，AB＝AC＝6+2，∠HAC＝设AC＝x，则CH＝12x，AH＝32由BC2＝（AB+AH）2+HC2得：BC2＝（x+32x）2+（12x）将x＝6+2代入上式并解得：BC＝4+2在△ADE中，AD＝DE＝a，∠ADE＝30°，同理可得：AE＝6-∵∠ABE＝15°，∠AEB＝75°，故∠BAE＝90°，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，即（6+2）2+（6-22a）2解得a＝±2（舍去负值），故a＝2，则BD＝2，CE＝BC﹣2a＝4+2﹣4＝2；②当DE＝AE时，BD对应①中的CE，故BD＝2；综上，BD＝2或2．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.易错题通关1．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（）

A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④【答案】C【分析】利用旋转性质可得△ABF≌△ACD，根据全等三角形的性质一一判断即可．【详解】解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB，∴△ABF≌△ACD，∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正确，∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正确无法判断BE＝CD，故①错误，故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为．【答案】2+2【分析】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，由旋转得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根据SAS推出△AEM≌△ANM，根据全等得出MN＝ME，求出MN＝CN＋BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周长＝BD＋DC，代入求出答案即可．【详解】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，∵∠BAC＝∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABD+∠ABE＝180°，∴E，B，M三点共线，∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，在△AEM和△ANM中，AE＝AN∴△AEM≌△ANM（SAS），∴MN＝ME，∴MN＝CN+BM，∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BC＝4，∴CD＝12BC＝2，BD＝BC2-∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝2+2，故答案为：2+2．【点睛】本题考查直角三角形、全等三角形的性质和判定、旋转的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．3．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD'，连接D'(1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝D'E(2)当DE＝D'E时，∠DAE与∠BAC(3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△D'EC【答案】(1)见解析(2)∠DAE＝12∠BAC(3)DE＝2BD【分析】（1）根据旋转的性质可得AD＝AD'，∠CAD'＝∠BAD，然后求出∠D′AE＝60°，从而得到∠DAE＝∠D'AE，再利用“边角边”证明△ADE和△A（2）根据旋转的性质可得AD＝AD'，再利用“边边边”证明△ADE和△AD'E全等，然后根据全等三角形对应角相等求出∠DAE＝∠D'AE，然后求出∠BAD＋∠CAE＝（3）求出∠D'CE＝90°，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的2倍可得D'E＝2C【详解】（1）证明：∵△ABD绕点A旋转得到△ACD'∴AD＝AD'，∠CAD'＝∠∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠D'AE＝∠CAD'＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣60°＝∴∠DAE＝∠D'AE在△ADE和△AD'E中，∵AD=A∴△ADE≌△AD'E（SAS∴DE＝D'E（2）解：∠DAE＝12∠BAC理由如下：在△ADE和△AD'E中，AD=A∴△ADE≌△AD′E（SSS），∴∠DAE＝∠D'AE∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE，∴∠DAE＝12∠BAC（3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠ACD'＝45°∴∠D'CE＝45°＋45°＝90°∵△D'EC∴D'E＝2CD由（2）DE＝D'E∵△ABD绕点A旋转得到△ACD'∴BD＝D'，∴DE＝2BD．【点睛】本题考查了几何变换的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小找出三角形全等的条件是解题的关键．4．如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．(1)求证：AE=EF；(2)连接AC，则CFAC的值为__________(3)连接，设与CD交于点H，连接EH，探究BE，EH，【答案】(1)见解析(2)1(3)EH=BE+DH，理由见解析【分析】（1）取AB的中点M，并连接ME，通过正方形和等腰直角三角形的基本性质，证明△AME（2）连接AC后，由点M，E分别为AB，BC的中点，推出ME为△ABC（3）结合（1）的结论，可得到∠EAF=45°，从而考虑运用“半角”模型，因此延长CB至点N，使得BN=DH，连接AN，运用两次基础全等证明即可得出结论．【详解】（1）证明：如图所示，取AB的中点M，并连接ME，∴AM=BM，∵E是边BC的中点，∴BE=CE，∵四边形ABCD是正方形，∴AM=BM=BE=CE，∵∠AEF=90°，∴∠MAE+∠AEB=90°，∠CEF+∴∠MAE=∵BM=BE，∴∠BME=45°，∠AME=135∵正方形外角的平分线为CF，∴，∴∠AME=在△AME和△ECF中，∠∴△AME∴AE=EF；（2）解：如图所示，连接AC，∵点M，E分别为AB，BC的中点，∴ME为△ABC∴AC=2ME，由（1）得△AME∴ME=CF，∴AC=2CF，∴CFAC故答案为：12（3）解：EH=BE+DH，理由如下：如图所示，延长CB至点N，使得BN=DH，连接AN，由正方形基本性质得：∠ABN=∠ADH=90°，AB=AD，∴△ABN∴AN=AH，∠DAH=由（1）知，AE=EF，且∠AEF=90∴∠EAF=∴∠DAH+∴∠NAE=∠BAN+∠BAE=45°，即：∠NAE=在△NAE和△HAE中，AN=AH∴△NAE∴EN=EH，∵EN=BE+BN，BN=DH，∴EN=BE+DH，∴EH=BE+DH．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点，在证明第一小问时要合理作出辅助线，才能为后面的问题做良好的铺垫，掌握基本图形的性质，熟练运用基本定理是解题关键．易错模型四：一线三等角模型易错陷阱【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE．【常见模型】举一反三例7．如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且BD=4，∠ABC=60°．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（A．43 B．2 C．4 D．【答案】A【分析】要求的面积，想到过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为题目已知∠ABC=60°，想到把∠ABC放在直角三角形中，所以过点D作DG⊥BA，垂足为G，利用勾股定理求出DG的长，最后证明即可解答．【详解】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点D作DG⊥BA，垂足为G，在Rt△BGD中，BD=4，∠ABC=60，∴BG=∴GD=是等边三角形，∴∠PDE=60°，PD=DE，，∵∠ABC=60，，，，，的面积，，=43故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线．例8．小李用7块长为8cm，宽为3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为．【答案】36【分析】根据题意可得AB=BC，∠ABC=90°，AD⊥DE，CE⊥DE，进而得到∠ADB=∠BEC=90°，再根据等角的余角相等可得∠ABD=∠BCE，再证明△ABD【详解】解：由题意得AB=BC，∠ABC=90°，AD⊥DE，CE⊥DE，AD=24cm，CE=12∴∠∴∠ABD+∠CBE=90°，∠BCE+∴∠在△ABD和△BCE中，∠ABD=∴△，DB=CE=12cm，∴DE=DB+BE=36则两堵木墙之间的距离为36cm故答案为：36．变式1．如图，在四边形ABEF中，AB=4，EF=6，点C是上一点，连接AC、CF，若AC=CF，∠B=∠E=∠ACF，则

【答案】10【分析】先证明∠BAC=∠FCE，再证明△ABC【详解】，又∵∠B=∴∠∵∠B=∠E，AC=CF，∴△∴AB=CE，BC=EF，，EF=6，，故答案为：10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质等知识，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键．变式2．如图所示，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作CF⊥l于点F．若BE=2,CF=5，则EF=．

【答案】7【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；【详解】解：∵BE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB=∠CFA=90°．∴∠EAB+∠EBA=90°．又∵∠BAC=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°．∴∠EBA=∠CAF．在△AEB和△CFA中∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△AEB≌△CFA．∴AE=CF，BE=AF．∴AE+AF=BE+CF．∴EF=BE+CF．∵BE=2,CF=5，∴EF=2+5=7；故答案为：7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的证明三角形全等．变式3．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=-43x+4与坐标轴交于A、B两点，若△ABC

【答案】点C的坐标是7,3【分析】通过一次函数解析式能求出A、B两点的坐标，也就是OA，OB的长，由等腰直角△ABC可以得出AB=AC，作CD垂直于x轴，构造△ABO≌△CAD，从而求出AD、CD的长，得到点C的坐标，本题考查了一次函数求交点坐标，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．【详解】解：当y=0时，0=-43x+4，解得x=3，即点A当x=0时，y=4，则点B坐标为0,4，作CD垂直于x轴，

∴∠CDA=90∵△ABC∴AB=AC，∠BAC=90∴∠∵∠∴∠在△AOB和△CDA中，∠∴△AOB∴AD=BO，AO=CD，∴OD=AO+AD=3+4=7∴DC=OA=3∴点C的坐标是7,3易错题通关1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（）A．3 B．2 C．94 D．【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论．【详解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝