2024年中考数学暑假复习讲义：几何最值问题专项复习讲义

第9章几何最值问题

9.1简单的最值问题

方法说明

“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小(“将军饮马”问题)。

方法归纳

⑴如图，在直线I上找一点B，使得线段AB最小。过点A作ABL,垂足为B,则线段AB即为所求。

A*A

-------------1-----------0------------1

B

(2)如图在直线1上找一点P,使得PA+PB最小。过点B作关于直线1的对称点B；AB与直线1交于点P.此时P

A+PB最小，则点P即为所求。

⑶如图，在/AOB的边AO,BO上分别找一点C,D,使得PC+CD+PD最小。过点P分别作关于AO,BO的对称点

E,F,连接EF,并与AO,BO分别交于点C,D,此时PC+CD+PD最小厕点C,D即为所求。

⑷如图，在NAOB的边AO,BO上分别找一点E,F,使得CE+EF+DF最小。分别过点C,D作关于AO.BO的对称

点C,D,连接CD,并与AO,BO分别交于点E,F,此时CE+EF+DF最小，则点E,F即为所求。

典型例题

类型一两点之间线段最短

例1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=|x2+bx+c与坐标轴交于A(0,-2),B(4,0)两点，直线BC:y=-2x+8

交y轴于点C。点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G,DG分别交直线BC,AB于

点E,F0

⑴求抛物线y=72+匕久+°的表达式。

⑵当GF=泄，连接BDF的面积。

(3)①H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标。、义I

②在①的条件下，第一象限有一动点P,满足PH=PC+2,^APHB周长的最小值。\\/

思路点拨\/

(1)抛物线有2个系数待定才巴点A,B的坐标代入求解即可。____kJ__

(2)易得EF〃y轴，则△FBGs^ABO,已知GF的长度，易求得点G的坐标，代入求IX]

得点D与F的坐标，再求△BDF的面积就不难了。

(3)@当四边形BEHF是矩形时根据矩形的性质易得点H和点B到EF的距离相等，进而得到点E,F,G的

坐标，再求点H的坐标。

②本题求△PHB周长的最小值，关键在于把△PHB的周长转化为PC+PB+7,当点B.P和C这三点共线时,△P

HB的周长取最小值。

解题过程

解:⑴；抛物线y=^x2+bx+c过A(0,-2),B(4,0)两点,­,n，解得

[b=一一..抛物线的表达式为y=”—白—2。

lc=-222

(2)VB(4,0),A(0—2),・•・OB=4,OA=2o

i

：GF_Lx轴,OA_Lx轴，，在RtAABO和RtAFGB中,tanNAB。=—=—,gp-=且,GB=1,OG=OB-

OBGB4GB

GB=4—1=3,.•.当x=3时,=:X9—|X3-2=-2,D(3,-2),GD=2,FD=GD-GF=2-|=|,.-.SBDF=/DF.

“13T3

BG=-x—x1——

224o

(3)①如图，过点H作HM±EF于Mo

四边形BEHF是矩形,，EH〃BF,EH=BF,ZHEF=ZBFEO

,/ZEMH=ZFGB=90°,.\△EMH△FGB(AAS),MH=GB,EM=FGO

•••HM=OG,OG=GB=\0B=2O

•；A(0,—2),B(4,0),.•.直线AB的解析式为y=*2.

设E(a,-2a+8),F(a,V2a-2)o

由MH=BG得a-0=4-a,解得a=2,E(2,4),F(21),/.FG=1O

EM=FG,二4—yH=l,yH=3,H(0,3)«

②如图,BH=70H2+OB?=V32+42=5。

VPH=PC+2,.\APHB的周长=PH+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7。

PC+PB>BC,当点P在BC上时,PC+PB=BC的值最小，此时△PHB的周长最小。

•••BC=<OC2+OB2=V82+42=4V5,.\APHB的周长的最小值为4V5+7。

例2如图所示，抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,且OA=2,OB=4,OC=8抛物线的对称轴与直线BC

交于点M,与x轴交于点N。

⑴求抛物线的解析式。

(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P,C,M为顶点的三角形与△MNB相似?若存在，求出点P

的坐标，若不存在，请说明理由。

(3)D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E,再走到抛物线对称轴上的点F,最后返回

到点Co要使动点G走过的路程最短，请找出点E,F的位置，写出坐标，并求出最短路程。

(4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰RtACQR?若存

在,求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。

思路点拨

(1)先求点A.B.C的坐标，再用待定系数法求解即可。

(2)由于△MNB为直角三角形，因此点P只能在点M的上方。因为NPMC是锐角，所以只需分两种情况进行

讨论求解。

(3)本题是典型的两定两动型最短路径问题，可以参考本节“方法归纳”中第4点的方法。

(4)分为点Q在点C的左侧或右侧共2种情况进行讨论，构造三垂直得到全等进行求解。

解题过程

解:⑴•••OA=2,OB=4,OC=8,.•.点A,B,C的坐标分别为(-2,0),(4,0),(0,8)。

4a—2b+c=0ci=-1

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,则在6a+4b+c=0,解得b=2，，抛物线的解析式为y=-x2+2x

、c=8(c=8

+8。

⑵存在.理由如下。

①当NCPM=90。,以P,C,M为顶点的三角形与△MNB相似时,PC〃x轴,.•.点P的坐标为(1,8)。

②当NPCM=90°时，在RtAOBC中，设/.CBO-a,tana=tanZ.CBO=—=-=2,since=cosa=

OB4V5V5

在RtANMB中,NB=4-1=3,8M=弛=3V5O

cosa

22

同理可得MN=6,.-.BC=V8+4=4:b,；.CM=BC=MB=V5O

在RtAPCM中,NCPM=/OBC=a,PM="=堂=三,二PN=MN+PM=6+三=二。点P的坐标为（

sina—=222

>/5

(以)。

C衣p

/

A.

0\\N\x

综上所述，点P的坐标为(1,8)或(1-y)。

⑶作点C关于函数对称轴的对称点C(2,8),作点D关于x轴的对称点D,连接CD交x轴于点E,交函数的对

称轴于点F。

:点G走过的路程为DE+EF+FC=D'E+EF+FC>C。,.•.点E.F为所求的点。

,/D为CO的中点,；•D(0,4),D'(0.-4)o

,-1C(0,8),直线C'D的解析式为y=6x-4,当y=6x-4=0时，解得x=|,当x=l时,y=2,点E,F的坐标分别为(|,

o),((1,2),.,.点G走过的最短路程为CD'=J(2—0)2+(8+4曰=?何。

①如图，当点Q在y轴的右侧时，过点Q作y轴的平行线交x轴于点N,交过点C的x轴平行线于点M。

ZMQC+ZRQN=90°,ZRQN+ZQRN=90°,.\ZMQC=ZQREO

ZANQ=ZQMC=90°,QR=QC,△ANQ^AQMC(AAS),QN=CM0

设点Q的坐标为3f2+2x+8),x=-x2+2x+8,解得%=上咨=甘，舍去)，，点Q的坐标为

石)1+V33)

②当点Q在y轴的左侧时，同理可得，点Q的坐标为(上/,"=2)。

综上所述，点Q的坐标为(手)牛)或(上汽,杵亘)。

举一反三

[1]如图，二次函数y=x2-（m+l）x+m（m是实数，且的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的

左侧）,其对称轴与x轴交于点C,已知点D位于第一象限，目在对称轴上，ODJ_BD，点E在x轴的正半轴上Q

C=EC,连接ED并延长交y轴于点F,连接AF。

⑴求A,B,C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）。

⑵已知点Q在抛物线的对称轴上，当仆AFQ的周长的最小值等于争寸，求m的值。

（备用图）

【2】如图,。0为等边.△48C的外接圆，半径为2,点D在劣弧.-48上运动（不与点A.B重合），连接DA,DB.

DC0

（1）求证:DC是乙MB的平分线。

（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗?如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由。

（3）若点M,N分别在线段CA,CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△

DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值。

BC

9.2线段差最大问题

方法说明

“差最大”问题常见的问法是，在一条直线上找一点，使得这个点与两个定点距离的差最大。

方法归纳

⑴如图.当点A,B在直线1的同侧时，连接AB并延长交直线1于点P,此时PA—PB|最大。

AA

•K

B、、、B

•A

1V1

⑵如图.当点A,B在直线1的异侧时，作点B关于直线I的对称点B',连接AB并延长交直线1于点P.此时IPA-P

B|最大。

AA

*•、、"

/________u________/

.______________IP

BB

典型例题

例3在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”。如图，抛物线J:y

2

=|x-|x-2的顶点为D,交x轴于点A,B(点A在点B左侧)，交y轴于点C。抛物线L2与Lx是“共根抛物线”,

其顶点为P=

(1)若抛物线L2经过点(2,-12),求L2对应的函数表达式。

(2)当BP—CP的值最大时，求点P的坐标。

⑶设点Q是抛物线Li上的一个动点，且位于其对称轴的右侧。若△DPQ与^ABC相似，求其“共根抛物

线”Lz的顶点P的坐标。

(备用图)

思路点拨

⑴先求出Li与x轴的交点，再用交点式表示L2的解析式，代入点(2,—12)的坐标即可。

⑵线段差最大问题，两定点在直线的异侧时，需要作对称再连接。根据抛物线的对称性得点B关于抛物线对

称轴的对称点为A,因此，连接AC与对称轴交于一点，该点即为所求。

⑶根据已知条件可得△ABC的形状大小不变，当△DPQ与4ABC相似时.进行分类讨论，利用相似三角形对应

边成比例求出对应边的长，再得到点P的坐标。本题由于/PDQ不可能是直角，所以只需分为NDPQ或/DQP为

直角进行分类讨论即可。

解题过程

解:⑴当y=0时,#-1%-2=0,解得X1=-l,x2=4,.\A(-l,0),B(4,0),C(0,-2)o

设抛物线L2的解析式为丫=2支+1)依-4)把(2,-12)代入得y=a(x+l)(x-4)化简得-12=—6a,解得a=2,.•.抛物线的解

析式为.y=2(%+1)(%-4)=2%2-6%-8。

(2)抛物线L2与Li是“共根抛物线”,A(-l,0),B(4,0),抛物线Lx,L2的对称轴是直线%=|,点P在直线%

=|上,；.BP=AP。

如图.当点A,C,P共线时,BP—PC的值最大，此时点P为直线AC与直线x=|的交点。

•••直线AC的解析式为y=-2x-2,P(|，一5)。

(3)由题意彳导.AB=5,CB=2V5,CA=V5,AB2=BC2+AC2,•••乙ACB=90°,CB=2CA。

：y=#-1%-2=施-，-务•.顶点D的坐标为(|'-.

由图可知，NPDQ不可能是直角。

①如图，当ZDPQ=90。且4QDP-AABC时，黑=至=上

UrDCN

设Q(x-|x2-|x-2),则P(I#_)|x-2),.-,DP=)2_|x_2_(W)十一|久+1QP=x_I。

2

PD=2QP,■-2x-3=|x-|x+看解得,;xx=y,%2=|(舍去)"•P(|)7)。

②如图，当/DPQ=90。且ADQP^AABC时，同理可得PQ=2PDO

由x-|=%?-3久+解得%i=|,%2=|（舍去）,P«

③如图，当/DQP=90。且4PDQ^AABC时，瞿=嚷=

DQBC2

过点Q作QMXPD于乂厕4QDMsPDQ,...需=券=J

9.3造桥选址问题

方法说明

造桥选址问题来源于教材。如图，A和8两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使

从A到B的路径AMNB最短?（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）

我们把河的两岸看成两条平行线a和b（如图），N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b,交直线a于点

M,这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时,AM+MN+NB最小？

方法归纳

造桥选址问题主要有两大类型，两个定点位于定长线段运动路线的同侧或异侧。解决此类问题的方法常常是

利用平移（或构造平行四边形）进行解决。

（1）如图,a〃b,N为直线b上的一个动点,MNLb,交直线a于点M,求AM+MN+NB最小值。

A

如图，过点A作AA，〃MN,且使得AAr=MN,,则四边形AA'NM为平行四边形,AM=AN。连接AB,与直线b

交于点N；当点N位于点N时,AM+MN+NB最小。

(2)如图，长度不变的线段CD在直线1上运动，在直线1上找到使得AC+BD最小的CD的位置。分别过点A,

D作AA，〃CD,DA，〃AC,AA与DA交于点A；再作点B关于直线1的对称点B；连接AB与直线1交于点D；当点D

位于点D时CD的位置即为所求。

BB

•♦

__一一一一।----r—，

CDCD\D'

典型例题

例4如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A,B在x轴上，抛物线y=x2+bx+c经过B,D

两点,D(—4,5),且与直线DC父于另点E。

⑴求抛物线的解析式。

(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q,F,E,B为顶点的四边形是

以BE为边的菱形。若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。

(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M,连接ME,BP,探究EM+MP+PB是否存在最

小值。若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由。

思路点拨

(1)由点D的坐标得到正方形的边长，进而求出点B的坐标，再代入抛物线的解析式中即可。

(2)本题是两定两动型菱形存在性问题，可以先使得△BEF是以BE为边的等腰三角形，再确定点Q的位置。

(3)本题属于造桥选址问题的一种变式，由于PM长度固定，求EM+MP+PB的最小值可转化为求EM+PB的最

小值，先平移再对称即可。

解题过程

解:⑴：四边形ABCD为正方形,D(-4,5),正方形ABCD的边长为5,OB=AB-AO=5-4=1,.•.点B的坐标为

(1,0)。

•••抛物线y=x2+bx+c经过B,D两点,•­.(、，解得［b=2抛物线的解析式为y=%2+2%-

(16-4o+c=5=-3

3。

(2)存在，理由如下。

【方法一】

①如图，以点B为圆心，BE为半径画圆，并与抛物线的对称轴交于点F。

分别过点F,E作FQ〃BE,EQ〃BF,且FQ与EQ交于点Q,则四边形BFQE为菱形。

VB(l,0),E(2,5)„BE2=(2—I)2+(5-0)2=26。

设抛物线的对称轴与x轴交于点G,则G(-l,0),.\BG=2o

在RtABGF中，FG=y/BF2-BG2=V26-4=V22,--.尸(一】V22),

当点F位于x轴下方时，同理可得F(-l--V22),

Q

A

②如图，以点E为圆心，BE为半径画圆，并与抛物线的对称轴交于点F。

分别过点F,B作FQ〃BE,BQ〃EF,且FQ与BQ交于点Q,则四边形BEFQ为菱形。

设抛物线的对称轴与DE交于点H，则H(-1,5),.\EH=3O

22

在RtAEFH中,FH=VEF-EH=V26-9=V17,.-.F(—1，5-V17)o

当点F位于DE上方时，同理可得F(-l，5+VT7)O

综上所述，以点Q,F,E,B为顶点的四边形是以BE为边的菱形时，点F的坐标为

(-1，5+V17),(-］，5-V17),(-1,辰或(-1--V22),

:点D,E关于抛物线对称轴对称，六点E的坐标为(2,5),.二BE2=(2-I)2+(5-0)2=26。

2

•••抛物线的解析式为y=%+2%-3,.•.对称轴为直线x=-lo

设点F的坐标为(一l,m),点Q的坐标为(s,t)。

①当四边形BEFQ为菱形时,BE=EF,.•.点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E,点Q向右平移1

个单位向上平移5个单位得到点F。

，S+1=—1(m=5+V17__

t+5=zn解得｛s=-2，，点F的坐标为(一1，5+旧)或(一1,5-旧)。

26=(2+I)2+(m-5)2(t=±V17

②当四边形BEQF为菱形时,BE=QE。

s—1=-1(s=°

同理可得t-5=m解得k=5士原，点F的坐标为(-1，值)或

26=(s-+(t—5尸1nl=+V22

(-L-V22)O

综上所述，点F的坐标为(-1，5+V17),(-1，5-V17),(-1，息)或(-L-V22).

⑶存在，理由如下。

【方法一】

如图，连接OM，作点O关于抛物线对称轴的对称点B；连接BMBE,则B,M=OMo

：P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线,垂足为M,.\PM=1O

VB(1,0),0(1,0),；.MP=OB=1,MP//OB,B'(—2,0),；.四边形OBPM为平行四边形,，PB=OM=B'M,AEM+MP+PB

=EM+1+B'M>1+B'EO

设BE与抛物线的对称轴交于点M',则点M与M重合时EM+MP+PB最小。

点E的坐标为(2,5),直线B'E的解析式为y==(x+2)。

当x=-l时,y=3乂+2)=，..点M的坐标为(-1,今,；.EM+MP+PB的最小值为B"E+1=

444

J（—2—2尸+（0_+1=俯+1,.当点M的坐标为（-1-3时,EM+MP+PB取最小值且最小值为闻+

【方法二】

设抛物线的对称轴交x轴于点夕（-1，0）,将点B，向左平移1个单位得到点夕’（-2,0）。

连接B"E,交函数的对称轴于点M,过点M作MP±y轴厕点P.M为所求的点，此时EM+MP+PB为最小。

B'B"=PM=1,,且B'B'〃PM,；.四边形B"B'PM为平行四边形，B"M=B'P=BP,AEM+MP+PB=EM+1+M

B"N1+B"E,...当点E,M,B”三点共线时,EM+MP+PB最小，最小值为1+B"E的长度。

由点B",E的坐标得，直线B"E的解析式为y=+2）。

当x=-l时,y=久久+2）=点M的坐标为（-1,EM+MP+PB的最小值为B〃E+1=

【总结】此类造桥选址问题，可以先平移（构造平行四边形）再对称，也可以先对称再平移（构造平行四边形）。

至一反二

[4]如图,抛物线y=-/+3久+4与x轴交于A,B两点（点A位于点B的左侧）,与y轴交于C点，抛物线的

对称轴1与x轴交于点N,长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动。

（1）直接写出A,B,C三点的坐标。

⑵求CP+PQ+QB的最小值。

（3）过点P作PM±y轴于点CPM和小QBN相似时，求点Q的坐标。

9.4胡不归问题

方法说明

如图，在/AOB的边0B上有一点P,当点P位于什么位置时,AP+kOP(0<k<l)最小?此类问题俗称“胡不归问

题

方法归纳

如图，在0B的下方作射线0C，使得sinZBOC=ko过点P作PHXOC于H,当点A,P,H三点共线时,AP+kQP

(0<k<l)最小。

C

备注：①题目中要求mAP+nOP(m>n>0)的最小值时，常常进行提公因式，变形为根阴+的形式；②

题目中已知动点速度，要求动点运动时间最少时，常常把求时间的问题转化为求路程的问题。

典型例题

例5如图,已知点A(-8,0),点B(-5,-4),直线y=2x+m过点B交y轴于点C,交x轴于点D,抛物线y^ax2+^x

+c经过点A,C,D,连接AB,ACO

(1)求抛物线的表达式。

(2)判断△ABC的形状，并说明理由。

(3)E为直线AC上方的抛物线上一点，且tanNECA=/求点E的坐标。

乂

ww

A\-/D°\*A\rVD°\

(备用图)

(4)N为线段AC上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运动到点N,再以每秒

6个单位长度的速度沿线段NC运动到点C,又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当点P运动

到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标。

思路点拨

(1)把点B的坐标代入直线解析式，再求出点C,D的坐标，用待定系数法求抛物线的表达式即可。

(2)观察图形可知△ABC为直角三角形，且/BAC=90。。只需根据点A,B,C的坐标求出三边长，用勾股定理的

逆定理进行证明即可。

(3)由(2)的结论可得tanzBCX=^=因此只需作点B关于AC的对称点F,连接CF并与抛物线交于一点

E,点E即为所求。

(4)由于速度是已知的，那么运动时间的最小值即可转化为求BN+^NC的最小值，也就是我们说的胡不归问

题。再观察易得sin"CF=sinzFCX=嚼=唱因此只需过点N作CF的垂线段NM,当点B,N,M三点共线时运动

DC5

时间取最小值。

解题过程

解:⑴•.•直线y=2x+m过点B(-5,—4),交y轴于点C,.一4=2x(-5)+m,解得m=6,:.C(0,6)o

2

把A(—8,0),C(0,6)代入y=aX+^x+a得｛0=6?屋2+c,解得?二；.•.抛物线的表达式为y=^+

—x+6

4o

(2)△ABC为直角三角形，且/BAC=90。,理由如下。

2222222

:点A(-8,0),B(-5,-4),C(0,6),AAB=(-8+5)+(0+4)=25,AC=(-8+0)+(0-6)=100,BC=

(一5+0)2+(-4-6)2=125,AC2+AB2=BC2,：.AABC为直角三角形，且/BAC=90。。

(3)由(2)得AB=5,AC=10,.\tanZBCA=襄=|=tan/ECA,zBCX=zFCX.

如图，延长BA至F,使AF=AB,连接CF厕点B,F关于点A对称厕F(-11,4),BC=FCO

VZBAC=ZFAC=90。,；.ZBCA=/FCA,.•.点E为直线CF与抛物线的交点。

T"土=",解得卜=5,,直线CF的解析式为y=会+6。

y=+6

...由，解得(113500\

11，，点E的坐标为

y=-1xz2H।——％+।6r\1112V

y44

(4)【方法一】

如图，过点N作NMXCF于点M,过点B作BM'XCF于点M：并与AC交于点N'o

•••AB=S,CF=BC=V125=5V5,sin^ACF=sin^BCA=—=MN=—NC

BC55Q

22

•••SBCF=^BF-AC=^CF-BM',BM'=失手==4V5,.­.CM'=A/BC-BM'=3圾

222

设M'(m'-m+6),；.CM'?=m+gm+)6—6)=|||m=45,解得利==33/5(舍去)。

B(-5,-4),直线BM，的解析式为y=

•••A(-8,0),C(0,6),...直线AC的解析式为y=9+6。

4

(1163

y———x——(x=—6z八

•••由32，解得V_3,.••点N的坐标为(-6，|)。

y^-x+6{y~2、2)

\4

由题可知，点P的运动时间t=-+^+—=BN+-NC+6=BN+MN+6>BM'+6^4^+6,.,.当点

1V515

N与N重合且点M与M重合时，点P的运动时间取最小值，最小值为4V5+6,此时点N的坐标为(-6，|)。

【方法二】

过N作MN_LBC于M,过F作FM'XBC交AC于N,连接FN,则FN=BN0

AB=5,BC=7125=5V5,•••sm^BCA=—=MN=

BC5NCV5o

；C0=6,.•.点P的运动时间t=攀+矍+牛=BN+MN+6=FN+MN+62FM'+6。

当F,N,M三点共线时,t最小。

■.-AC=10,BC=5V5,sm^ABC=若="=器,；.FM'=4V5,.\点P运动时间t的最小值为4V5+6。

BC5BF

由直线BC的表达式y=2x+6得点D的坐标为(-3,0)。

FD=，(一11+3尸+42=4V5,点D与点M重合，则点N(即N)为直线FD与直线AC的交点。

由点A(—8,0)和C(0,6)得直线AC的表达式为y=；x+6.

4

由点F(-l1,4)和D(-3,0)得直线FD的表达式为y=-|x-|o

y=+6(x=—6z

4i夕解得第=3,・••止匕时点N的坐标为(—6,。

!y=-2%-22

9.5阿氏圆问题

方法说明

如图，在。O上有一点P,当点P位于什么位置时AP+k-BP最小?

此类问题俗称“阿氏圆问题二当前后两项的系数都不唯一时，常常提取公因式进行转化。例如，3AC+2BC

=3伽+|呵。

方法归纳

⑴如图,。0的半径为r,且r=k-OB,点P为。0上的一个动点，求AP+k-BP的最小值。连接0B,并在0B上取

一点B',使得（OB'=kr„再连接OP,PB',!J!|AOPB'^AOBP,^.PB'=k-BP。所以AP+k-BP=AP+PB2AB;当点A,

PB三点共线时AP+k-BP最小。

AA

pP

⑵如图,。O的半径为r,且r=k-OB,点P为。0上的一个动点，求AP+k-BP的最小值。连接0B,并在0B的延

长线上取一点B1使得（OB'=什,,再连接OP,PB',!J1I|AOPB'-AOBP,^PB'=k-BP,

所以AP+kBP=AP+PB*AB;当点A,PB三点共线时,AP+kBP最小。

⑶阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)：如图，一动点P到两定点A,B的距离之比等于定比m:n,则P

点的轨迹是以定比m:n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。这个轨迹最先由古希腊数学家阿

波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。

/U

万一丁一7B

典型例题

2

例6如图,已知二次函数y=ax+bx+c的图象经过点C(2,—3),且与x轴交于原点及点B(8,0)o

(1)求二次函数的表达式。

(2)求顶点A的坐标及直线AB的表达式。

(3)判断△ABO的形状，试说明理由。

(4)若点P为。。上的动点，且。O的半径为2V2,一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段

AP匀速运动到点P,再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t

的最小值。

思路点拨

⑴根据待定系数法才巴点B,C,0的坐标代入解析式进行求解。

⑵进行配方或直接用顶点坐标公式得到点A的坐标，再用待定系数法求直线AB的解析式。

(3)根据抛物线的对称性易得△ABO为等腰三角形，再观察发现它可能还是等腰直角三角形。因此需要把3条

边都求出来，再用勾股定理的逆定理进行判定即可。

(4)求点E的运动时间t的最小值，其实就是求^AP+BP的最小值。由于点P为。0上的一个动点，因此该问

题为阿氏圆问题。在0A上取一点D,使得。。=|r=&,再根据相似，把|AP转化为PD,连接BD并与。0交于

一点，该点即为运动时间最小时的点P的位置。

解题过程

解:⑴；二次函数y=ax2+bx+c(a#))的图象经过原点,.,.c=0,.,.二次函数的表达式为y=ax2+bx(a力0)。

把B(8,0),C(2,-3)代入,得｛冷之二;，解得［匚十•.二次函数的函数表达式为y=评一2%。

(2):y=_2久=；(%—4乃一4,...抛物线的顶点A(4.-4)O

设直线AB的函数表达式为y=kx+m,把A(4,-4),B(8,0)代入，得｛曾:黑:不,解得｛一二匕，•直线AB的函数表

达式为y=x-8o

(3)△ABC是等腰直角三角形，理由如下。

【方法一】

如图过点A作AF±OB于点F,则F(4,0),.\ZAFO=ZAFB=90°,OF=BF=AF=4,AAFO,AAFB均为等腰直

AABO的三个顶点分别是O(O,O),A(4,-4),B(8,0),；.OB=8—0=8,OA=y/OF2+FA2=7(4-0)2+(-4-0)2=

22222

4V2AB=VXF+BF=J[0-(-4)]2+(8—4<=4/,;.OA=OB,且OB=OA+AB,：.AABC是等腰直角三

角形。

(4)由题可知，动点E的运动时间为t=1AP+PBO在OA上取点D,使得OD=连接PD,•••券=券=2。

APpnAO11

ZAOP=NPOD,△APOSPDO,...丝=吆=吧=2,PD==-AP,：.t=-AP+PB=PD+PB>BD

PDODOP22O

当点B,P,D三点共线时，t取最小值，最小值为BD的长。

如图，过点D作DGXOB于点G,DG=OD-s讥45。=1,OG=OD-cos45°=1,.•.动点E的运动时间最小值

为t=BD=VDG2+GB2=JF+(8—1)2=5值

举一反三

【7】如图,抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4,--4),B(0,4)两点直线AC:y=-6交y轴于点

C。点E是直线AB上的动点，过点E作EF±x轴交AC于点F,交抛物线于点G。

(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式。

⑵连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标。

⑶①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时，以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出此

时点E,H的坐标。

9.6费马问题

方法说明

如图，已知△ABC,在平面内确定一点P,使得PA+PB+PC的值最小。此类问题称为“费马问题”，而所求的

点P称为“费马点二

备注：费马问题是著名的几何极值问题。费马曾提出一问题征解：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个

三角形的三个顶点的距离之和为极小。”它的答案是：当三角形的三个角均小于120。时，所求的点为三角形的正等

角中心；当三角形有一内角大于或等于120。时，所求点为三角形最大内角的顶点。在费马问题中所求的点称为费

方法归纳

1.PA+PB+PC的值最小

如图，已知△ABC,在平面内确定一点P，使得PA+PB+PC的值最小。上

B+PC的值最小。/

2.mPA+PB+PC的值最小

如图,已知△ABC,在平面内确定一点P,使得V3PA+PB+PC的值最小。将4PAC绕点A逆时针旋转120°

至小PAC,连接PP'O当点P在BC上时,V3PA+PB+PC的值最小。

备注：当系数不为1时，常常考虑构造一个特殊的三角形，利用三角函数进行转化。如以PA为腰构造一个顶

角为120。的等腰三角形，则底边是PA的收倍；以PA为腰构造一个等腰直角三角形，则斜边为PA的或倍。

典型例题

例7如图1在4ABC中,NC=90o,NABC=30°,AC=l,D为AABC内部的一动点(不在边上)，连接BD,将线段BD

绕点D逆时针旋转60。,使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60。,使点A到达点E的位置，连接

AD,CD,AE,AF,BF,EF。

E

(1)求证:△BDA^ABFE0」

(2)©CD+DF+FE的最小值为___。/

②当CD+DF+FE取得最小值时，求证:AD//BFOA至~

(3)如图2,M,N,P分别是DF,AF,AE的中点，连接MP,NP,在点D运动的过程中，请判断NM

PN的大小是否为定值。若是，求出其度数；若不是，请说明理由。

图1

图