2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价4.2.1.2等差数列的性质及应用含解析新人教A版选择性必修第二册

PAGE四等差数列的性质及应用(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(2024·扬州高二检测)在等差数列{an}中,若a3=-6,a7=a5+4,则a1等于()A.-10 B.-2 C.2 【解析】选A.因为数列{an}是等差数列,a7=a5+4,所以a5+2d=a5+4(d是公差),解得d=2,因为a3=a1+2d=-6,即a1+4=-6,解得a1=-10.2.(多选题)若{an}是等差数列,则下列数列为等差数列的有 ()A.{an+an+1} B.{QUOTE}C.{an+1-an} D.{2an}【解析】选ACD.设等差数列{an}的公差为d.对于A,(an+an+1)-(an-1+an)=(an-an-1)+(an+1-an)=2d(n≥2),所以{an+an+1}是以2d为公差的等差数列;对于B,QUOTE-QUOTE=(an+1-an)(an+an+1)=d(an+an+1)≠常数,所以{QUOTE}不是等差数列;对于C,因为an+1-an=d,所以{an+1-an}为常数列;所以{an+1-an}为等差数列;对于D,因为2an+1-2an=2d,所以{2an}为等差数列.3.《九章算术》一书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织28尺,其次日,第五日,第八日所织之和为15尺,则第十五日所织尺数为 ()A.13 B.14 C.15 【解析】选C.由题意可知,每日所织数量构成等差数列{an},且a2+a5+a8=15,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=28,设公差为d,由a2+a5+a8=15,得3a5=15,所以a5=5,由a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=7a4=28,得a4=4,则d=a5-a4=1,所以a15=a5+10d=5+10×1=15.4.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m的值为 ()A.12 B.8 C.6 【解析】选B.由等差数列的性质,得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,所以a8=8,又d≠0,所以m=8.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知数列{an}为等差数列,若a2+a6+a10=QUOTE,则tan(a3+a9)的值为________.

【解析】因为数列{an}为等差数列,a2+a6+a10=QUOTE,所以a2+a6+a10=3a6=QUOTE,解得a6=QUOTE,所以a3+a9=2a6=QUOTE,所以tan(a3+a9)=tanQUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.(2024·杭州高二检测)已知各项都不为0的等差数列{an}满意a2-2QUOTE+a10=0,则a6的值为________.

【解析】因为各项都不为0的等差数列{an}满意a2-2QUOTE+a10=0,即2a6-2QUOTE=0,则a6=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)7.成等差数列的四个数之和为26,其次个数和第三个数之积为40,求这四个数.【解析】设四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则QUOTE由①,得a=QUOTE.代入②,得d=±QUOTE.所以四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.8.已知数列{an}为等差数列,且公差为d.(1)若a15=8,a60=20.求a65的值;(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差【解析】(1)等差数列{an}中,a15=8,a60=20,QUOTE解得d=QUOTE,a65=a60+5d=20+QUOTE=QUOTE.(2)数列{an}为等差数列,且公差为d且a2+a3+a4+a5=34,a2a5解得a2=4,a5=13或a2=13,a5=4.a5=a2+3d,即13=4+3d或4=13+3d,解得d=3或d=-3.(15分钟·30分)1.(5分)已知数列{an}是等差数列,若a1-a9+a17=7,则a3+a15= ()A.7 B.14 C.21 【解析】选B.因为a1-a9+a17=(a1+a17)-a9=2a9-a9=a9=7,所以a3+a15=2a9=2×7=14.2.(5分)若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为 ()A.0 B.1 C.2 D.1或【解析】选D.因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,所以Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.所以二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2.【加练·固】等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么方程x2+(a4+a6)x+10=0的根的状况 ()A.没有实根 B.两个相等实根C.两个不等实根 D.无法推断【解析】选A.由a2+a5+a8=9得a5=3,所以a4+a6=6,方程转化为x2+6x+10=0.因为Δ<0,所以方程没有实根.3.(5分)在等差数列{an}中,a5+a6=4,则log2(QUOTE·QUOTE·…·QUOTE)=________.

【解析】在等差数列{an}中,a5+a6=4,所以a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4,所以a1+a2+…+a10=(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=5(a5+a6)=20,则log2(QUOTE·QUOTE·…·QUOTE)=log2QUOTE=a1+a2+…+a10=20.答案:204.(5分)若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为________.

【解析】设这三个数为a-d,a,a+d,则QUOTE解得a=3,d=4或a=3,d=-4.所以这三个数为-1,3,7或7,3,-1.所以这三个数的积为-21.答案:-215.(10分)已知数列a1,a2,…,a30,其中a1,a2,…,a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,…,a20是公差为d的等差数列;a20,a21,…,a30是公差为d2的等差数列(d≠0).(1)若a20=30,求公差d;(2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围.【解析】(1)a10=1+9=10,a20=10+10d=30,所以d=2.(2)a30=a20+10d2=10(1+d+d2)(d≠0),a30=10QUOTE,当d∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,a30∈QUOTE.1.设公差为-2的等差数列{an},假如a1+a4+a7+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99等于 ()A.-182 B.-78 C.-148 【解析】选D.a3+a6+a9+…+a99=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)=(a1+a4+…+a97)+2d×33=50+2×(-2)×33=-82.【加练·固】若等差数列{an}的首项a1=5,am=3,则am+2等于 ()A.13B.3-QUOTEC.3-QUOTE D.5-QUOTE【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,因为a1=5,am=3,所以d=QUOTE=QUOTE.所以am+2=am+2d=3+QUOTE=3-QUOTE.2.已知无穷等差数列{an},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}.(1)求b1和b2;(2)求数列{bn}的通项公式;(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项?【解析】(1)由题意,等差数列{an}的通项公式为an=3-5(n-1)=8-5n,设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项,则需满意m=4n-1,n∈N*.所以b1=a3=8-5×3=-7,b2=a7=8-5×7=-27.(2)由(1)知bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,所以数列{bn}也为等差数列,且首项b1=-7,公差d'=-20,所以bn=b1+(n-1)d'=-7+(n-1)×(-20)=13-20n.(3)因为m=4n-1,n∈N*,所以当n=110时,m=4×110-1=439,所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项.【加练·固】已知两个等差数列{an}和{bn},且{an}为2,5,8,…,{bn}为1,5,9,…,它们的项数均为40项,则它们有多少个彼此具有相同数值的项?【解析】由已知两等差数列的前3项,简单求得它们的通项公式分别为:an=3n-1,bm