2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价十四一元二次不等式的应用含解析北师大版必修1

PAGE10-课时素养评价十四一元二次不等式的应用(15分钟35分)1.已知集合M=x|x+3x-1<0,N={x|x≤A.M∩N B.M∪NC.R(M∩N) D.R(M∪N)【解析】选D.x+3x-故集合M可化为{x|-3<x<1},将集合M和集合N在数轴上表示出来(如图),易知答案为D.【补偿训练】不等式(x-2A.{x|-1<x<2或2<x<3}B.{x|1<x<3}C.{x|2<x<3}D.{x|-1<x<3}【解析】选A.原不等式等价于(解得-1<x<3,且x≠2.2.关于x的不等式ax-1x+1<0(A.1B.-C.-∞,1aD.(-∞,-1)∪1【解析】选D.原不等式变形,得(ax-1)(x+1)<0,又因为a<-1,所以x-解得x<-1或x>1a则原不等式的解集为(-∞,-1)∪1a3.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240),每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ()A.100台 B.120台C.150台 D.180台【解析】选C.y-25x=-0.1x2-5x+3000≤0,即x2+50x-30000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去).故生产者不亏本的最低产量是150台.4.“t≥-2”是“对随意正实数x,都有t2-t≤x+1x恒成立”A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由于x+1x≥2,可知t2-t≤解得-1≤t≤2.所以“t≥-2”是“-1≤t≤25.已知{x|ax2-ax+1<0}=∅,则实数a的取值范围为.

【解析】当a=0时,原不等式无实解,故符合题意.当a≠0时,ax2-ax+1<0无实解,即ax2-ax+1≥0对一切实数R恒成立.所以a>0,Δ答案:[0,4]【补偿训练】若不等式x2-4x+3m<0的解集为空集,则实数m的取值范围是.

【解析】由题意,知x2-4x+3m≥0对一切实数x恒成立,所以Δ=(-4)2-4×3m≤0,解得m≥43答案:46.解下列不等式.(1)2x-13【解析】(1)原不等式可化为(解得x所以x<-13或x≥1所以原不等式的解集为x|(2)方法一:原不等式可化为x或x解得x>-所以-3<x<-12所以原不等式的解集为x|方法二:原不等式可化为(2化简得-2即2x解得-3<x<-12所以原不等式的解集为x|(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若不等式x2-2x+5≥a2-3a对随意实数x恒成立,则实数a的取值范围为 ()A.[-1,4]B.(-∞,-2]∪[5,+∞)C.(-∞,-1]∪[4,+∞)D.[-2,5]【解析】选A.x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以x2-2x+5≥a2-3a对随意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.【补偿训练】函数y=x2+mx+m2对一切x∈RA.m>2 B.m<2C.m<0或m>2 D.0≤m≤2【解析】选D.由题意知x2+mx+m2≥0对一切x∈R恒成立,所以Δ=m2-2m≤0,所以0≤m≤2.不等式x2-2A.{x|x≠-2} B.RC.∅ D.{x|x<-2或x>2}【解析】选A.因为x2+x+1>0恒成立,所以原不等式⇔x2-2x-2<2x2+2x+2⇔x2+4x+4>0,所以(x+2)2>0,所以x≠-2.所以不等式的解集为{x|x≠-2}.3.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位A.[15,20] B.[12,25]C.[10,30] D.[20,30]【解析】选C.设矩形的另一边长为ym,则由三角形相像知,x40=40因为xy≥300,所以x(40-x)≥300,所以x2-40x+300≤0,所以10≤x≤30.4.若不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是 ()A.-235,C.(1,+∞) D.-∞,-【解题指南】转化为二次方程与二次函数问题求解.【解析】选A.由Δ=a2+8>0知方程恒有两个不等实根,又因为x1x2=-2<0,所以方程必有一正根,一负根,对应二次函数图象过点(0,-2),如图.只要当x=5时,二次函数y=x2+ax-2的函数值大于0,就能保证不等式x2+ax-2>0在[1,5]上有解,即25+5a-2>0,所以a>-235二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列结论错误的是 ()A.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为RB.不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0C.若关于x的不等式ax2+x-1≤0的解集为R,则a≤-1D.不等式1x>1的解集为【解析】选ABD.A选项中,只有a>0时才成立;B选项当a=b=0,c≤0时也成立;D选项x是大于0的.6.在一个限速40km/h的弯道上,甲,乙两辆汽车相向而行,发觉状况不对,同时刹车,但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距离Sm与车速xkm/h之间分别有如下关系:S甲=0.1x+0.01x2,SA.甲车超速 B.乙车超速C.两车均不超速 D.两车均超速【解析】选ACD.由题意列出不等式S甲=0.1x甲+0.01x甲2>12,S乙=0.05x乙+0.005分别求解,得x甲<-40或x甲>30,x乙<-50或x乙>40.由于x>0,从而得x甲>30km/h,x乙>40km/h.经比较知乙车超过限速.三、填空题(每小题5分,共10分)7.在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对随意的实数x都成立,则a的取值范围是.

【解题指南】依据运算⊗的定义,转化为不等式恒成立问题解决.【解析】依据定义得(x-a)⊗(x+a)=(x-a)[1-(x+a)]=-x2+x+a2-a,又(x-a)⊗(x+a)<1对随意的实数x都成立,所以x2-x+a+1-a2>0对随意的实数x都成立,所以Δ<0,即1-4(a+1-a2)<0,解得-12<a<3答案:-8.已知关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则ba=,关于x的不等式ax-bx【解析】依题意,a>0且-ba=1,所以b不等式ax-bx-2>0可变形为(ax-b)(x-2)>0,即所以(x+1)(x-2)>0,故x>2或x<-1.答案:-1{x|x<-1或x>2}四、解答题(每小题10分,共20分)9.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.【解析】因为a=2时,原不等式为-4<0,所以a=2时恒成立.当a≠2时,由题意得a即a解得-2<a<2.综上两种状况可知-2<a≤2.【误区警示】失分点一:不能将不等式恒成立问题转化为不等式组求解.失分点二:没能对二次项系数分状况探讨使答案不精确.【补偿训练】已知不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,求实数a的取值范围.【解析】当a2-1=0,即a=1或a=-1时,原不等式的解集为R或x|x<12当a2-1≠0,即a≠±1时,要使原不等式的解集为R,必需a2即a2解得:-35所以实数a的取值范围是-310.某城市上年度电价为0.80元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度安排将电价降到0.55元/千瓦时～0.75元/千瓦时,而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时(该城市电力成本价为0.30元/千瓦时).经测算,下调电价后,该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比,比例系数为0.2a.试问当地电价最低为多少时,可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%.【解析】设新电价为x元/千瓦时(0.55≤x≤0.75),则新增用电量为0.依题意,有a+≥a(0.8-0.3)(1+20%),即(x-0.2)(x-0.3)≥0.6(x-0.4),整理得x2-1.1x+0.3≥0,解此不等式,得x≥0.6或x≤0.5,又0.55≤x≤0.75,所以0.6≤x≤0.75,因此,xmin=0.6,即电价最低为0.6元/千瓦时,可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%.1.在关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含1个整数,则a的取值范围是 ()A.(-3,5) B.(-2,4)C.[-1,3] D.[-2,4]【解析】选C.因为关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0可化为(x-1)(x-a)<0,当a>1时,不等式的解集为{x|1<x<a},当a<1时,不等式的