2024-2025学年高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理练习新人教A版必修5

PAGEPAGE1§1.1.1正弦定理1.在△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝15°，则c等于A.1 B.eq\r(2) C.3eq\r(2) D.eq\r(3)解析C＝180°－30°－15°＝135°，c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(3×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝3eq\r(2).应选C.答案C2.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a＝2b，则eq\f(2sin2B,sin2A)的值是A.eq\f(4,9) B.eq\f(8,9) C.1 D.eq\f(9,2)解析由正弦定理，eq\f(sinB,sinA)＝eq\f(b,a)＝eq\f(3,2)，所以eq\f(2sin2B,sin2A)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinB,sinA)))eq\s\up12(2)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,2).故选D.答案D3.在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3eq\r(2)，则AC等于A.4eq\r(3) B.2eq\r(3) C.eq\r(3) D.eq\f(\r(3),2)解析由正弦定理得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，所以AC＝eq\f(BC·sinB,sinA)＝eq\f(3\r(2)×sin45°,sin60°)＝2eq\r(3).故选B.答案B4.△ABC中，已知a＝eq\r(2)，b＝2，B＝45°，则角A等于A.30°或150° B.60°或120°C.60° D.30°解析因为a＝eq\r(2)，b＝2，B＝45°，所以eq\f(\r(2),sinA)＝eq\f(2,sin45°)，可得sinA＝eq\f(\r(2),2)sin45°＝eq\f(1,2)，又a＜b，可得A＜B，所以∠A＝30°.故选D.答案D5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝eq\r(2)，b＝eq\r(6)，B＝120°，则a＝________.解析在△ABC中，由正弦定理，有eq\f(\r(2),sinC)＝eq\f(\r(6),sin120°)，所以sinC＝eq\f(\r(2)×\f(\r(3),2),\r(6))＝eq\f(1,2)，所以C＝30°或150°(舍去).所以A＝30°，所以a＝c＝eq\r(2).答案eq\r(2)[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.若A＝30°，B＝45°，BC＝3eq\r(2)，则AC＝A.eq\f(\r(2),2) B.3eq\r(2) C.4eq\r(2) D.6解析由eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，得eq\f(3\r(2),sin30°)＝eq\f(AC,sin45°)，则AC＝eq\f(3\r(2)sin45°,sin30°)＝6.答案D2.在△ABC中，b＋c＝eq\r(2)＋1，C＝45°，B＝30°，则A.b＝1，c＝eq\r(2) B.b＝eq\r(2)，c＝1C.b＝eq\f(\r(2),2)，c＝1＋eq\f(\r(2),2) D.b＝1＋eq\f(\r(2),2)，c＝eq\f(\r(2),2)解析∵eq\f(b＋c,sinB＋sinC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(\r(2)＋1,sin45°＋sin30°)＝2，∴b＝1，c＝eq\r(2).答案A3.在△ABC中，已知c＝eq\r(6)，A＝eq\f(π,4)，a＝2，则b＝A.eq\r(3)＋1 B.eq\f(\r(3)＋1,2)或eq\f(\r(3)－1,2)C.eq\r(3)＋1或eq\r(3)－1 D.eq\r(3)－1解析由正弦定理可得sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(\r(3),2)，又c＞a，所以C＞A，所以C＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)，当C＝eq\f(π,3)时，B＝eq\f(5π,12)，b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\r(3)＋1，当C＝eq\f(2π,3)时，B＝eq\f(π,12)，b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\r(3)－1，故选C.答案C4.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4(eq\r(2)＋1)，且sinB＋sinC＝eq\r(2)sinA，则a＝A.eq\r(2) B.2 C.4 D.2eq\r(2)解析依据正弦定理，sinB＋sinC＝eq\r(2)sinA可化为b＋c＝eq\r(2)a，∵△ABC的周长为4(eq\r(2)＋1)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝4（\r(2)＋1），,b＋c＝\r(2)a，))解得a＝4.故选C.答案C5.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝eq\f(\r(5),2)b，A＝2B，则cosB等于A.eq\f(\r(5),3) B.eq\f(\r(5),4) C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(5),6)解析在△ABC中，因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(\r(5),2)b，,A＝2B，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinA＝\f(\r(5),2)sinB，,sinA＝sin2B＝2sinBcosB，))所以cosB＝eq\f(\r(5),4).答案B6.(实力提升)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsinB＝csinC且sin2A＝sin2B＋sin2CA.等腰直角三角形 B.等边三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形解析因为bsinB＝csinC，所以b·b＝c·c，即b＝c，又sin2A＝sin2B＋sin2C，所以a2＝b2＋c2，即△ABC为直角三角形；而b＝c，所以△ABC为等腰直角三角形.答案A二、填空题(每小题5分，共15分)7.在△ABC中，a＝3，b＝eq\r(6)，∠A＝eq\f(2π,3)，则∠B＝________.解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(3,\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(6),sinB)，所以sinB＝eq\f(\r(2),2)，又a＞b，所以∠B＝eq\f(π,4).答案eq\f(π,4)8.在△ABC中，A＝60°，a＝eq\r(13)，则eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________.解析由a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，得eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(13),\f(\r(3),2))＝eq\f(2\r(39),3).答案eq\f(2\r(39),3)9.(实力提升)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcosC＋ccosB＝2b，则eq\f(a,b)＝________.解析由正弦定理及bcosC＋ccosB＝2b，可得sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB，即sin(B＋C)＝2sinB，所以sinA＝2sinB，故eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)＝2.答案2三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)在△ABC中，已知b＝6eq\r(3)，c＝6，C＝30°，求a.解析由正弦定理，得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(\r(3),2).因为b＞c，所以B＞C＝30°，所以B＝60°或120°.当B＝60°时，A＝90°，a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(6sin90°,sin30°)＝12.当B＝120°时，A＝30°，a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(6sin30°,sin30°)＝6.所以a＝6或12.11.(12分)△ABC中，假如lga－lgc＝lgsinB＝－lgeq\r(2)，且B为锐角，试推断此三角形的形态.解析因为lgsinB＝－lgeq\r(2)，所以sinB＝eq\f(\r(2),2)，又因为0°＜B＜90°，所以B＝45°，由lga－lgc＝－lgeq\r(2)，得eq\f(a,c)＝eq\f(\r(2),2).由正弦定理得eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(\r(2),2)，即2sin(135°－C)＝eq\r(2)sinC，即2(sin135°cosC－cos135°sinC)＝eq\r(2)sinC.所以cosC＝0，得C＝90°.又因为B＝45°，所以A＝45°，从而△ABC是等腰直角三角形.12.(12分)(2024·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B＝eq\r(3)bsinA.(1)求B；(2)若cosA＝eq\f(1,3)，求sinC的值.解析(1)在△ABC中，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得asinB＝bsinA，又由asin2B＝eq\r(3)bsinA，得2asinBcosB＝eq\r(3)bsin