2024年中考数学复习：最值系列之-将军饮马(一)

最值系列之—将军次马（-）

一、什么是将军饮马？

【问题引入】

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顽《古从军行》里的一句诗.而由此却引申出一系列非

常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”.

【问题描述】

如图，将军在图中点A处，他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？

B军营

将军」

河

【问题简化】

如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小?

【问题分析】

这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，

线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段.

【问题解决】

作点A关于直线的对称点A',连接PA',则PA，=PA,所以PA+PB=PA'+PB

当A\P、B三点共线的时候，P4+PB=A'B,,此时为最小值（两点之间线段最短）

【思路概述】

作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段.

二、将军饮马模型系列

【一定两动之点点】

在OA、0B上分别取点M、N,使得APMN周长最小.

P"

此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段

PM+MN+NP为PM+MN+当P'、M、N、P"共线时,APMN周长最小.

【例题】如图,P是/AOB内任意一点，NAOB=30。,0P=8,M和N分别是射线0A和射线0B上的动点，则

△PMN周长的最小值为.

【分析】APMN周长即PM+PN+MN的最小值此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、0A对称点P、P",

化PM+PN+MN为P'N+MN+P"M.

当P；N、M、P”共线时，得APMN周长的最小值，即线段P7〃长，连接。P；0P”,,可得AOPP”为等边三角形，

所以PP〃=OP'=OP=8.

【两定两动之点点】

在OA、0B上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小.

考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似,分别作点P、Q关于OA、OB对称，化

折线段PM+MN+NQ为PM+MN+NQ，,当P；M、N、Q，共线时，四边形PMNQ的周长最小.

【一定两动之点线】

在OA、0B上分别取M、N使得.PM+MN最小.

此处M点为折点，作点P关于0A对称的点P1,将折线段PM+MN转化为P'M+MN,即过点P作0B垂线分

别交OA、OB于点M、N,得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）

三、几何图形中的将军饮马

【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】

1.正方形中的将军饮马

【关于对角线对称】

如图.正方形ABCD的边长是4,M在DC上，且DM=1,N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值

是______•

【分析】考虑DM为定值，故求△DMN周长最小值即求.DN+MN最小值.点N为折点，作点D关于AC的

对称点.即点B,连接BN交AC于点N,此时△DMN周长最小.

【假装不存在的正方形】

（2019•山东聊城）如图,在RtAABO^,/.OBA=90°,A（4,4）,点C在边AB上，且.4C:CB=1：3,D为OB的

中点，P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）

88,

C.——)—D.(3,3)

,33.

【分析】此处点P为折点，可以作点D关于折点P所在直线OA的对称（也可以作点C的对称）

【隐身的正方形】

（2017・辽宁营口）如图，在△ABC中,AC=BC/ACB=90。,,点D在BC上,BD=3,DC=1,P是AB上的动点,

贝！J.PC+PD的最小值为（）

【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C,当C、P、D共线时，PC+PD最小，最小值为5,故选

B.

2.三角形中的将军饮马

【等边系列】

如图,在等边△4BC中,48=6,N为AB上一点且BN=2AN,BC的高线AD交BC于点D,M是AD上的动

点连结BM,MN,则BM+MN的最小值是_____.

【分析】M点为折点，作B点关于AD的对称点，即C点，连接CN,即为所求的最小值.

过点C作AB垂线，利用勾股定理求得CN的长为2倍根号7.

【隐身的等边三角形】

如图，在Rt△4BD中,AB=6,ABAD=30。,ND=90°„N为AB上一点且.BN=24MM是AD上的动点,连

结BM,MN,则BM+MN，的最小值是.

【分析】对称点并不一定总是在已知图形上.

【角分线系列之点点】

（2018.山东潍坊）如图,在RtAABC中,ZACB=90°,AC=6.AB=12,AD平分/CAB,F是AC的中点,E是AD上

的动点.则CE+EF的最小值为（）

A.3B.4C.3V3O.2V3

【分析】此处E点为折点,可作点C关于AD的对称,对称点C在AB上且在AB中点，化折线段CE+EF为

CE+EF,当C；E、F共线时得最小值.CF为CB的一半,故选C.

【角分线系列之点线】

（2018•辽宁营口）如图,在锐角AABC中,BC=4,ZABC=60°,BD平分/ABC,交AC于点D,M、N分别是BD,

BC上的动点,则CM+MN的最小值是（）

BN

X.V3B.2C.2V3D.4

【分析】此处M点为折点，作点N关于BD的对称点,恰好在AB上.化折线CM+MN为CM+MN,.

BN

因为M、N皆为动点，所以过点C作AB的垂线，可得最小值，选C.

3.矩形、菱形中的将军饮马

【菱形高】

（2018广西贵港）如图,在菱形ABCD中,AC=6a,BD=6,E是BC的中点,P、M分别是AC、AB上的动点,

连接PE、PM,则PE+PM的最小值是（）

A.6B.3V3C.2V6D.4.5

【分析】此处P为折点，作点M关于AC的对称点M：恰好在AD上化折线EP+PM为EP+PM.

当E、P、M共线时,EP+PM最小，最小值即为菱形的高，可用面积法：（0.54C-BD=BC-EM'

B

【折点在边上】

（2017山东荷泽）如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（（-4,5）,D是OB的中点,E是OC上的一点,当△4DE的

周长最小时，点E的坐标是（）

4（呜）&（0，|）C.（0,2）。.（0号）

【分析】E为折点，E是y轴上一点，作D关于y轴的对称点D,连接AD,与y轴交点即为所求.

【折点与面积】

（2019西藏）如图,在矩形ABCD中,48=6,AD=3,,动点P满足=?施3…，则点P到A、B两点距离

之和.PA+PB的最小值为（）

X.2V13B.2V10C.3V5D.V41

【分析】由SPAB=的1.必口”可作出P点轨迹为直线.MN（AM=BN=2）,,作点B关于MN的对称点次，化折

JH-.］六ADULJ

线.PA+PB为PA+PB'.

当A、P、B，共线时，取到最小值，选A.

【全等与对称】

（2017江苏南通）如图,矩形ABCD中,AB=10,BC=5,,点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且AE=

CG,BF=,则四边形EFGH周长的最小值为（）

A5西B.10V5C.10V3O.15V3

【分析】考虑到四边形EFGH是平行四边形,即求EH+E尸最小值，此处E为折点，作F关于AB对称点F,

则,BF=BF=DH=CM”.MF'=BC=5,MH=DC=10,AHF为5倍根号5,周长最小值为10倍根号5,故选B.

E/

DG

四、特殊角的对称

【60。角的对称】

（2018滨州）如图，NAOB=60。,点P是.乙4OB内的定点且OP=8，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点

O的动点，则APMN周长的最小值是（）

A3展D36

A.---D.C.6D.3

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【分析】此处M、N均为折点,分别作点P关于OB、OA的对称点P;P\化△PMN周长为PN+NM+MP”.

当P；N、M、P”共线时得最小值利用（60。角翻倍得NPOP〃=120。,。。，=OP〃=8,可得最小值.

[30。角的对称】

（2017湖北随州）如图，乙4OB的边OB与x轴正半轴重合，点P