必修三第三章数学试卷

必修三第三章数学试卷一、选择题

1.在集合A={x|x≥1}中，集合B={x|x<3}，则集合A与集合B的交集是：（）

A.{x|1≤x<3}B.{x|x<1}C.{x|x≥3}D.空集

2.已知函数f(x)=2x-1，若函数的图象关于y轴对称，则a的值为：（）

A.2B.1C.0D.-1

3.已知函数f(x)=x^2+2x+1，则函数的对称轴是：（）

A.x=1B.x=-1C.y=1D.y=-1

4.已知函数f(x)=x^2+3x+2，若函数的零点为a，则a的值为：（）

A.-2B.-1C.0D.1

5.已知函数f(x)=|x-2|，若函数的图象在x=3时取得最小值，则最小值为：（）

A.0B.1C.2D.3

6.已知函数f(x)=x^3-3x^2+3x-1，若函数的导数为f'(x)=0，则x的值为：（）

A.-1B.0C.1D.2

7.已知函数f(x)=x^2-2ax+a^2，若函数的图象开口向上，则a的取值范围为：（）

A.a>0B.a<0C.a≥0D.a≤0

8.已知函数f(x)=|x-2|+|x+2|，若函数的图象在x=0时取得最小值，则最小值为：（）

A.4B.2C.0D.-4

9.已知函数f(x)=x^3-3x^2+3x-1，若函数的导数f'(x)的零点为a，则f(x)的极值点为：（）

A.aB.a+1C.a-1D.a^2

10.已知函数f(x)=x^2+2ax+a^2，若函数的图象与x轴相切，则a的值为：（）

A.0B.1C.-1D.-2

二、判断题

1.函数y=|x|在x=0处取得极小值。（）

2.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-b/2a,c-b^2/4a）。（）

3.对于任意实数a，函数y=ax^2+bx+c的图象都是抛物线。（）

4.若函数f(x)=x^3在区间[0,1]上是增函数，则a的取值范围是a>0。（）

5.函数y=√(x^2+1)在定义域内是单调递增的。（）

三、填空题5道（每题2分，共10分）

1.已知函数f(x)=2x^3-3x^2+4，则f'(x)=__________。

2.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图象开口向上，则a的取值范围是__________。

3.函数y=|x-1|的零点是__________。

4.二次函数y=x^2-4x+3的顶点坐标是__________。

5.函数y=3x^2+2x-1的对称轴方程是__________。

四、解答题3道（每题10分，共30分）

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求f(x)的导数f'(x)。

2.已知函数f(x)=2x^2-4x+1，求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。

3.已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），若函数的图象开口向上，且顶点坐标为(1,2)，求a、b、c的值。

三、填空题

1.已知函数f(x)=2x^3-3x^2+4，则f'(x)=6x^2-6x。

2.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图象开口向上，则a的取值范围是a>0。

3.函数y=|x-1|的零点是x=1。

4.二次函数y=x^2-4x+3的顶点坐标是(2,-1)。

5.函数y=3x^2+2x-1的对称轴方程是x=-b/(2a)，代入得x=-2/(2*3)=-1/3。

四、简答题

1.简述函数的奇偶性的定义，并举例说明。

2.请解释什么是函数的单调性，并说明如何判断一个函数在某个区间上的单调性。

3.简要描述二次函数的图象特征，包括开口方向、对称轴、顶点等。

4.解释函数导数的概念，并说明导数如何反映函数在某一点的局部变化率。

5.请简述如何通过导数判断函数的极值点，并举例说明。

五、计算题

1.计算下列极限：(limx→0)(sinx/x)。

2.求函数f(x)=x^3-6x^2+9x的导数f'(x)，并求其在x=2时的导数值。

3.求函数f(x)=x^2+2x-3的图象的对称轴方程，并求出该函数在x=1时的函数值。

4.已知函数f(x)=√(x^2-1)，求f(x)在区间[1,2]上的定积分∫f(x)dx。

5.设函数f(x)=e^x-e^-x，求f(x)的导数f'(x)，并求f'(x)在x=0时的导数值。

六、案例分析题

1.案例分析：

某公司生产一种产品，其成本函数为C(x)=100x+5000，其中x为生产的数量。该产品的市场需求函数为D(x)=200-2x，其中x为价格（单位：元）。求：

（1）当公司定价为多少时，可以实现利润最大化？

（2）求出此时的最大利润是多少？

2.案例分析：

某城市公交公司计划推出一种新的月票，以便吸引更多乘客。公司收集到以下数据：当月票价格为P元时，预计的乘客数量为Q(P)（单位：万人）。根据市场调查，月票价格与乘客数量的关系为Q(P)=-0.01P^2+0.3P。公司的运营成本函数为C(Q)=0.02Q^2+0.1Q，其中Q为运营的月票数量。

求：

（1）求出月票价格P与运营成本C(Q)之间的关系式。

（2）为了确保公司的运营成本不超过200万元，月票价格P的最大可能值是多少？

七、应用题

1.应用题：

某工厂生产一种产品，其生产函数为Q=100L^0.5K^0.5，其中L为劳动力，K为资本。已知每单位劳动力的成本为100元，每单位资本的成本为200元。如果工厂希望以最低的成本生产1000单位的产品，应该如何分配劳动力与资本？

2.应用题：

一个投资者在股票市场上有两种投资选择：A和B。股票A的预期回报率为15%，股票B的预期回报率为10%。投资者的风险偏好系数为1.2。请计算投资者应该将多少资金投资于股票A，多少资金投资于股票B，以使投资组合的预期回报率达到12%。

3.应用题：

一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(2,-3)，且通过点(0,5)。请写出这个二次函数的解析式。

4.应用题：

一个正方形的周长为16cm，如果正方形的一边增加了2cm，那么新正方形的面积与原正方形的面积之比是多少？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案

1.A

2.A

3.A

4.A

5.C

6.B

7.A

8.A

9.C

10.B

二、判断题答案

1.×

2.√

3.√

4.×

5.×

三、填空题答案

1.6x^2-6x

2.a>0

3.x=1

4.(2,-1)

5.x=-1/3

四、简答题答案

1.函数的奇偶性是指函数在x轴关于原点对称的性质。如果对于函数f(x)，有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。例如，f(x)=x^2是偶函数，因为(-x)^2=x^2；而f(x)=x是奇函数，因为(-x)=-x。

2.函数的单调性是指函数在某区间内是递增还是递减的性质。如果对于区间内的任意两个点x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则称函数在区间内是递增的；如果当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则称函数在区间内是递减的。例如，函数f(x)=x在实数域上是递增的。

3.二次函数的图象是抛物线，开口方向由二次项系数决定。如果二次项系数大于0，则抛物线开口向上；如果二次项系数小于0，则抛物线开口向下。抛物线的对称轴是垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/(2a)，其中b是一次项系数，a是二次项系数。抛物线的顶点是抛物线上的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时），其坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)，其中c是常数项。

4.函数导数的概念是函数在某一点的变化率。如果函数f(x)在点x0处的导数存在，则称f(x)在x0处可导，导数的值记为f'(x0)。导数可以用来判断函数在某一点的局部变化率。如果导数大于0，则函数在该点处递增；如果导数小于0，则函数在该点处递减。

5.通过导数判断函数的极值点的方法是：首先求出函数的导数，然后令导数等于0，求出导数为0的点，这些点称为函数的驻点。接下来，检查这些驻点两侧导数的符号，如果导数从正变负，则该点为极大值点；如果导数从负变正，则该点为极小值点。例如，对于函数f(x)=x^2，导数f'(x)=2x，令f'(x)=0得x=0，检查x=0两侧的导数符号，发现导数从负变正，因此x=0是函数的极小值点。

五、计算题答案

1.(limx→0)(sinx/x)=1

2.f'(x)=3x^2-6x，f'(2)=6

3.对称轴方程为x=2，函数值为f(1)=1^2+2*1-3=0

4.∫f(x)dx=∫(x^2-1)dx=(1/3)x^3-x+C，C为常数

5.f'(x)=e^x+e^-x，f'(0)=2

六、案例分析题答案

1.（1）通过比较劳动力成本与资本成本，可以得出劳动力成本较低，因此应多分配劳动力。设劳动力为L，资本为K，则C(L,K)=100L+200K，Q(L,K)=100L^0.5K^0.5。利润函数为P(L,K)=(100L^0.5K^0.5)(200-2*100L^0.5K^0.5)-(100L+200K)。求P(L,K)的最大值，得到L:K=1:2。

（2）最大利润为P(20,40)=1000。

2.（1）C(Q)=0.02Q^2+0.1Q，Q(P)=-0.01P^2+0.3P。通过解方程C(Q)=0.02(-0.01P^2+0.3P)^2+0.1(-0.01P^2+0.3P)=200，得到P的值。

（2）通过解方程C(Q)≤200，得到P的最大可能值。

七、应用题答案

1.生产函数Q=100L^0.5K^0.5，成本函数C(L,K)=100L+200K。利润函数P(L,K)=Q(L,K)(200-2Q(L,K))-C(L,K)。求P(L,K)的最大值，得到L:K=1:2。

2.投资组合的预期回报率为12%，设投资于A的资金为x，则投资于B的资金为(1-x)。解方程15%x+10%(1-x)=12%，得到x的值。

3.顶点坐标为(2,-3)，通过点(0,5)，设函数为f(x)=a(x-2)^2-3，代入点(0,5)得a=2，所以函数为f(x)=2(x-2)^2-3。

4.原正方形边长为4cm，面积为16cm^2。新正方形边长为6cm，面积为36cm^2。面积之比为36:16，即9:4。

知识点总结：

本试卷涵盖的知识点包括：

1.集合与函数的基本概念，如集合的运算、函数的定义、奇偶性、单调性等。

2.二次函数的性质，包括图象特征、对称轴、顶点等。

3.导数的概念及其应用，如导数的计算、极值点的判断等。

4.极限的计算，包括直接计算和运用基本极限公式。

5.应用题的解决方法，包括成本函数、需求函数、投资组合等实际问题的数学建模与求解。

各题型所考察学生的知识点详解及示例：

1.选择题：考察学生对基础概念的理解和运用，如集合的运算、函数的性质等。

示例：选择集合A={x|x≥1}与集合B={x|x<3}的交集，答案为A。

2.判断题：考察学生对基础概念的掌握程度，如奇偶性、单调性等。

示例：判断函数y=|x|在x=0处取得极小值，答案为错误。

3.填空题：考察学生对基本概念和公式的记忆和应用，如导数的计算、函数的图象等。

示例：填写函数f(x)=2x^3-3x^2+4的导数f'(x)，答案为6x^2-6x。

4.简答题：考察学生对基本概念的理解和应用，如函数的单调性、导数的概念等。

示例：解释函数的单调性，并说明如何判断一个函数在某个区间