2024-2025学年四川省成都市高三上册9月月考数学教学检测试题（含解析）

2024-2025学年四川省成都市高三上学期9月月考数学教学检测试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，集合，则（

）A． B． C． D．2．函数是定义在上的奇函数，当时，，则（

）A． B．2 C． D．3．展开式中第6项的二项式系数是（

）A． B． C． D．4.已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（

）A．B． C． D．5．体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为()A．0.38B．0.24 C．0.14 D．0.56．函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A．B． C． D．7．函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（

）A．4B．C． D．88．已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题：①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在上为严格减函数；④方程在上有4个根；其中正确的命题个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数有（

）A．B．C．D．10．已知函数，则（

）A．在单调递增B．有两个零点C．的最小值为D．在点处切线为11.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（

）A．开口向上的抛物线的方程为B．ABC．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为D．阴影区域的面积大于4三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12．.13．已知二次函数满足，则与的大小关系是．14．在棱长为的正方体中，点分别为棱的中点.点为正方体表面上的动点，满足.给出下列四个结论：①线段长度的最大值为；②存在点，使得；③存在点，使得；④是等腰三角形.

其中，所有正确结论的序号是．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和．16．(本小题满分15分)如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点(1)证明：平面;(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.17.（本小题15分）为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的列联表：喜欢跑步不喜欢跑步合计男生80女生20合计已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6．(1)判断：是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？(2)从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布及数学期望．附：，其中．18．(本小题满分17分)已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，19．(本小题满分17分)已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为．(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为，证明：；(3)求二元二次方程的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，所以；因为，所以；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以．若方程的正整数解为，且初始解，则的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由．数学答案一、单选题12345678CDCDABDD8．已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题：①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在上为严格减函数；④方程在上有4个根；其中正确的命题个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【详解】①：对于任意，都有成立，令，则，解得，又因为是R上的偶函数，所以f3=0所以，所以函数的周期为6，所以，又由，故；故①正确；②：由（1）知的周期为6，又因为是R上的偶函数，所以，而的周期为6，所以，，所以：，所以直线是函数y=fx的图象的一条对称轴．故②正确；③：当，且时，都有．所以函数y=fx在上为严格增函数，因为是R上的偶函数，所以函数y=fx在上为严格减函数，而的周期为6，所以函数y=fx在上为严格减函数．故③正确；④：f3=0，的周期为6，所以，又在先严格递减后严格递增，所以在上除端点外不存在其他零点，所以在和上各有一个零点，所以函数y=fx在上有四个零点．故④正确；故选：D．二、多选题91011BCACDABD11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（

）A．开口向上的抛物线的方程为B．ABC．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为D．阴影区域的面积大于4【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为,将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故A正确；对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得，由图象对称性，可得,故，即B正确；对于C，如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点,由解得，由解得，,即得,则弦长为：，由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0，即在第一象限部分满足，不妨设，则，且，代入得，，（）由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即C错误；对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值.如图，在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行，由可得切点坐标为,因,则点到直线的距离为，于是,由图知，半个花瓣的面积必大于，故原图中的阴影部分面积必大于，故D正确.故选：ABD.三、填空题12．12.13．已知二次函数满足，则与的大小关系是．【正确答案】14．在棱长为的正方体中，点分别为棱的中点.点为正方体表面上的动点，满足.给出下列四个结论：①线段长度的最大值为；②存在点，使得；③存在点，使得；④是等腰三角形.

其中，所有正确结论的序号是．【正确答案】①③④【详解】如图，建立空间直角坐标系，

则，对①，由正方体性质知当P在时，线段长度的最大值为，此时，，所以，即满足，故①正确；对②，取正方形的中心M，连接，易知，所以四边形为平行四边形，所以，故运动到处时，，此时，，，即不满足，综上不存在点，使得，故②错误；对③，设，则，，若存在，由，可得方程组，化简可得，解得，显然当时满足题意，即存在点，使得，故③正确；对④，设，若，则，化简可得，由③知时可得，所以不妨取，此时在正方体表面上，满足题意，故④正确.四、解答题15．（本小题13分）已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和．【详解】（1）因为an为等差数列，设公差为d由，得，即，…………2分由，，成等比数列得，，化简得，因为，所以．…………5分所以．…………6分（2）由知，，…………7分又为公比是3的等比数列，，所以，即，…………8分所以，…………9分，…………10分所以…………12分.…………13分16.(本小题满分15分)如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点(1)证明：平面;(2)若，求直线与平面所成角的正弦值【详解】（1）分别为的中点为正方形…………3分平面平面平面.…………7分（2）由题知平面建立如图所示的空间直角坚标系，，则,…………9分,,,设平面的一个法向量为n=则,令则,…………12分设直线与平面所或的角为,，所以直线与平面所成角的正弦值为.…………15分17.（本小题15分）为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的列联表：喜欢跑步不喜欢跑步合计男生80女生20合计已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6．(1)判断：是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？(2)从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布及数学期望．附：，其中．【详解】（1）由题可知，从200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6，故喜欢跑步的人有（人），不喜欢跑步的人有（人）．…………3分喜欢跑步不喜欢跑步合计男生8060140女生402060合计12080200∴，，，，……5分，故无90%把握认为喜欢跑步与性别有关．…………7分（2）按分层抽样，设女生名，男生名，，解得，，∴从不喜欢跑步的学生中抽取女生2名，男生6名，故，1，2．…………9分，，，…………12分故X的分布为：012∴．…………15分18.(本小题满分17分)已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.【详解】（1）由题函数定义域为，，…………1分故当时，恒成立，所以函数在上单调递减；…………3分当时，在上单调递减，令，则时，；时，，…………5分所以函数在上单调递增，在上单调递减，综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.…………7分（2）由（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，故在上恒成立，…………9分故证证，…………10分即，…………13分令，…………15分则，故当时，；时，，所以在上单调递增，在上单调递减，…………16分所以在上恒成立，故，所以当时，.…………17分19．(本小题满分17分)已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为．(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为，证明：；(3)求二元二次方程的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，所以；因为，所以；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以．