2024-2025学年上海市嘉定区高三上册10月月考数学阶段性检测试卷（含解析）

2024-2025学年上海市嘉定区高三上学期10月月考数学阶段性检测试卷一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知集合，，则________.2.不等式的解集为______．3.双曲线的离心率为______．4.某校学生志愿者协会共有200名成员，其中高一学生100名，高二学生60名，高三学生40名.为了解志愿者的服务意愿，需要用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则高三学生应抽取_________名.5.抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为______．6.已知向量，，且满足，则________.7.已知扇形圆心角为，半径为，则由它围成的圆锥的母线与底面所成角的余弦值等于________.8.设实数､满足，则的最大值是___________．9.已知展开式的二项式系数之和为，则该展开式中的系数为________.10.已知和的图像的连续三个交点，，构成，则的面积为________.11.在矩形中，边，的长分别为，，若，分别是边，上的点（不包括端点），且满，则的取值范围是________.12.设集合A是由所有满足下面两个条件有序数组构成：①；②；则集合A中的元素共有________个.二、选择题（本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）13.设，则“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件14.如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（）A.全等 B.相似C.相似但不全等 D.不相似15.若实数a使得，则（）A. B.C.且 D.a可以是任意实数16.已知函数是定义在上的严格单调减函数且为奇函数，数列是等差数列，若其前项和小于零，则的值（）A.恒正数 B.恒为负数 C.恒为0 D.可正可负三、解答题（本大题共有5题，满分76分，解答下列各题必须写出必要的步骤）17.如图，在四面体中，，，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上，（1）若的面积为3，求四面体的体积；（2）若，且与重合，求二面角的大小.18.设函数，.（1）求方程的实数解；（2）若不等式对于一切都成立，求实数b的取值范围.19.甲乙两人轮流投掷骰子（正方体型，六个面分别标记有1，2，3，4，5，6点），每人每次投掷两颗，（1）甲投掷一次，求两颗骰子点数相同的概率；（2）甲乙各投掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大点的概率；（3）若第一个使两颗骰子点数和大于者为胜，否则轮由另一人投掷.求先投掷人的获胜概率.20.如图，椭圆：的左右焦点分别为、，设Px0,y0是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点，（1）若轴，求的面积；（2）若，求点的坐标；（3）求的最小值.21.设函数，直线是曲线在点处的切线.（1）当时，求的单调区间.（2）求证：不经过点.（3）当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积.是否存在点使得成立?若存在，这样的点有几个?（参考数据：，，）2024-2025学年上海市嘉定区高三上学期10月月考数学阶段性检测试卷一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知集合，，则________.【正确答案】【分析】通过列举表示集合，再根据交集的定义计算即可.【详解】因为，所以.故答案为.2.不等式的解集为______．【正确答案】【分析】由不等式，可得，即可解得不等式的解集．【详解】由不等式可得，

，

故不等式的解集为，

故答案为．本题考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解．3.双曲线的离心率为______．【正确答案】【分析】由双曲线的标准方程求得，从而求得双曲线的离心率.【详解】因为双曲线，所以，则，所以双曲线的离心率为.故4.某校学生志愿者协会共有200名成员，其中高一学生100名，高二学生60名，高三学生40名.为了解志愿者的服务意愿，需要用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则高三学生应抽取_________名.【正确答案】10分析】根据分层抽样定义及性质计算即可.【详解】根据分层抽样定义及性质,设高三学生应抽取名，.故10.5.抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为______．【正确答案】【分析】将已知点代入抛物线方程求得，结合抛物线定义求解即可.【详解】由题意，解得，所以抛物线的准线为，故所求为.故答案为.6.已知向量，，且满足，则________.【正确答案】【分析】将平方转化，再由即可求得.【详解】因为，所以，所以，则，又因为，，所以，所以.故答案为.7.已知扇形的圆心角为，半径为，则由它围成的圆锥的母线与底面所成角的余弦值等于________.【正确答案】【分析】首先得到圆锥的母线，再求出圆锥的底面半径，即可得解.【详解】依题意可得圆锥的母线，设圆锥的底面半径为，则，解得，所以扇形围成的圆锥的母线与底面所成角的余弦值为.故8.设实数､满足，则的最大值是___________．【正确答案】【分析】根据基本不等式求得正确答案.【详解】依题意，当且仅当或时等号成立.故9.已知展开式的二项式系数之和为，则该展开式中的系数为________.【正确答案】【分析】由二项式系数和为求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】依题意可得，所以，则展开式的通项为，，令，解得，所以展开式中的系数为.故10.已知和的图像的连续三个交点，，构成，则的面积为________.【正确答案】.【分析】根据函数和的图象，可知为等腰三角形，即可求的面积.【详解】作出函数和的图象，可知为等腰三角形，且的底边长为π，高为，则的面积为.故答案为.11.在矩形中，边，的长分别为，，若，分别是边，上的点（不包括端点），且满，则的取值范围是________.【正确答案】【分析】根据题意，建立坐标系，设，根据条件，求得、的关系，代入数量积公式，即可求得答案.详解】如图，建立平面直角坐标系，所以，设，，其中，，因为，所以，即，又，，所以，即的取值范围是1,4.故1,4.12.设集合A是由所有满足下面两个条件的有序数组构成：①；②；则集合A中的元素共有________个.【正确答案】232【分析】从条件②入手分类讨论，应用排列组合知识即可得到有序数组的个数即可.【详解】当时，有五个数是0，另一个数为1或，这样有个；当时，中有四个数是0，另两个数为两个1或两个或一个1和一个，这样有个；当时，中有三个数是0，另三个数为三个1或三个或一个1和两个或两个1和一个，这样有个；综上集合A中的元素共有232个.故232二、选择题（本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）13.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】由可得或，即可判断.【详解】由可得或，又或所以“”是“”的充分不必要条件.故选:14.如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（）A.全等 B.相似C.相似但不全等 D.不相似【正确答案】B【分析】根据等角定理进行判断.【详解】根据等角定理：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.两个三角形的两边分别平行，那么这两个三角形的三个角可能出现以下情况：（1）三组角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）三组角中有一组对应角互补，如，，，又，则，所以，此时两个三角形相似；（3）三组角中有两组对应角互补，如，，，由，则，这与矛盾，故这种情况不会出现.（4）三组对应角都互补，即，，，这与，矛盾，所以该情况也不会出现.综上可知，两个三角形相似.故选：B15.若实数a使得，则（）A. B.C.且 D.a可以是任意实数【正确答案】D【分析】先求时范围，再求其补集即可.【详解】设，则，所以，此方程组无解，所以使的实数不存在，即对任意的实数，总有，故选：D.16.已知函数是定义在上的严格单调减函数且为奇函数，数列是等差数列，若其前项和小于零，则的值（）A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为0 D.可正可负【正确答案】A【分析】设等差数列前项和为，由题可知，则，再根据下标和性质得到，，即可得到，，再结合函数的单调性与奇偶性得到，，从而得解.【详解】函数是定义在上的严格单调减函数且为奇函数，，且当，；当，．设等差数列前项和为，由题可知，则，即，则，．所以，，结合函数在上的单调递减和奇函数性质，可得，所以，，∴；综上，的值恒为正数．故选：A．三、解答题（本大题共有5题，满分76分，解答下列各题必须写出必要的步骤）17.如图，在四面体中，，，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上，（1）若的面积为3，求四面体的体积；（2）若，且与重合，求二面角的大小.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由图可得平面，从而，求出及，再由的面积求出，最后由锥体的体积公式计算可得；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】依题意可得平面，平面，所以，又，，所以，，又为的中线，所以，又，所以，所以；【小问2详解】依题意可得平面，又，如图建立空间直角坐标系，因为，所以，则，A2,0,0，，，所以，，设平面的法向量为m=x,y,z，则，取，又平面的一个法向量为，显然二面角为锐二面角，设为，则，所以，即二面角的大小为.18.设函数，.（1）求方程的实数解；（2）若不等式对于一切都成立，求实数b的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）转化为关于的一元二次方程进行求解.（2）分离参数，构造函数，求导得到的最小值即可求解.【小问1详解】由，代入方程得：，即，解得，即.【小问2详解】不等式即，原不等式可化为对都成立，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在0,+∞上单调递增，故当时，，所以，即，解得：19.甲乙两人轮流投掷骰子（正方体型，六个面分别标记有1，2，3，4，5，6点），每人每次投掷两颗，（1）甲投掷一次，求两颗骰子点数相同的概率；（2）甲乙各投掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大点的概率；（3）若第一个使两颗骰子点数和大于者为胜，否则轮由另一人投掷.求先投掷人的获胜概率.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得；（2）记投掷一次两颗骰子点数为，则的可能取值为，，，，，求出所对应的概率，再由相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（3）由（2）可知同时投掷两颗骰子点数和大于的概率为，分析可得先投掷的人第（且）轮获胜，其概率为，再由无穷等比数列求和公式计算可得，【小问1详解】记两颗骰子点数相同为事件，则；【小问2详解】记投掷一次两颗骰子点数为，则的可能取值为，，，，，所以，，，，，，记甲的点数和恰好比乙的点数和大点为事件，则；【小问3详解】由（2）可知同时投掷两颗骰子点数和大于的概率为，若先投掷的人第一轮获胜，其概率为；若先投掷的人第二轮获胜，即第一轮两人的点数之和都小于或等于，则其概率为；若先投掷的人第三轮获胜，即前两轮两人的点数之和都小于或等于，则其概率为；若先投掷的人第四轮获胜，即前三轮两人的点数之和都小于或等于，则其概率为；，分析可得，若先投掷的人第（且）轮获胜，其概率为；所以、、、组成以为首项，为公比的无穷等比数列，所以，从而，先投掷人的获胜概率为.20.如图，椭圆：的左右焦点分别为、，设Px0,y0是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点，（1）若轴，求的面积；（2）若，求点的坐标；（3）求的最小值.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由椭圆方程求出，从而可得坐标，将其横坐标代入椭圆方程中可求出的值，进而可求出的面积;（2）设点的坐标为，则直线的方程为，代入椭圆方程中求出得，因为，可得，计算即可得出坐标；（3）由（2）同理可求得，从而可得化简后结合基本不等式可得答案【小问1详解】设椭圆半长轴长为，短半轴长为，半焦距为，由椭圆，得，则，所以，当时，，得，所以所以的面积为;【小问2详解】设点的坐标为（），则直线的方程为，将其代入椭圆方程中可得，整理得，所以，得，所以，因为，所以，可得，化简得，解得，代入得出所以点的坐标为【小问3详解】由（2）得同理可求得，所以当且仅当，即时取等号，所以的最大值为关键点点睛：的最大值得关键是结合韦达定理得出,再转换未知量,最后应用基本不等式求解即可.21.设函数，直线是曲线在点处的切线.（1）当时，求的单调区间.（2）求证：不经过点.（3）当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积.是否存在点使得成立?若存在，这样的点有几个?（参考数据：，，）【正确答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为.（2）证明见解析（3）2【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可.【小问1详解】当时，定义域为，则，当时，；当，；在上单调递减，在上单调递增.即的单调递减区间为