2025年湘师大新版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘师大新版高二数学上册月考试卷70考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，顶点B1到对角线BD1和到平面A1BCD1的距离分别为h和d；则下列命题中正确的是（）

A.若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为（0；1）

B.若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为

C.若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为

D.若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为

2、已知集合A={x|x=a+(a2－1)i，a∈R，i是虚数单位}，若AÍR，则a=A.0B.1C.－1D.±13、已知数列{}的前项和=（≥2），而=1，通过计算猜想等于（）A.B.C.D.4、“”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件5、关于实数x

的不等式鈭�x2+bx+c<0

的解集是{x|x<鈭�3

或x>2}

则关于x

的不等式cx2鈭�bx鈭�1>0

的解集是(

)

A.(鈭�12,13)

B.(鈭�2,3)

C.(鈭�隆脼,鈭�12)隆脠(13,+隆脼)

D.(鈭�隆脼,鈭�2)隆脠(3,+隆脼)

评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)6、设{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令bn=an+1（n=1，2，），若数列{bn}有连续四项在集合{-53，-23，19，37，82}中，则q=____．7、【题文】在△中，角的对边分别为若则等于8、【题文】已知与之间具有很强的线性相关关系，现观测得到的四组观测值并制作了右边的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为其中的值没有写上．当不小于时，预测最大为____.

。

9、若函数f(x)=x2(x鈭�a)

在(2,3)

上不单调，则实数a

的取值范围是______．10、已知F

是曲线{x=22cos娄脠y=1+cos2娄脠(娄脠隆脢R)

的焦点，A(1,0)

则|AF|

的值等于______．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)11、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）12、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）13、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

14、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）15、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）评卷人得分四、解答题(共2题，共20分)16、设命题p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足＜0．

（1）若a=1且p∧q为真；求实数x的取值范围；

（2）若¬q是¬p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．17、已知A

点坐标为(鈭�1,0)B

点坐标为(1,0)

且动点M

到A

点的距离是4

线段MB

的垂直平分线l

交线段MA

于点P.

求动点P

的轨迹C

方程．评卷人得分五、计算题(共1题，共10分)18、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．评卷人得分六、综合题(共3题，共18分)19、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．20、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．21、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】

设底面边长为1；侧棱长为λ（λ＞0）；

过B1作B1H⊥BD1，B1G⊥A1B．

在Rt△BB1D1中，

由三角形面积关系得：

设在正四棱柱中，由于BC⊥AB，BC⊥BB1；

所以BC⊥平面AA1B1B，于是BC⊥B1G；

所以B1G⊥平面AB1CD1；

故B1G为点到平面A1BCD1的距离；

在Rt△A1B1B中，又由三角形面积关系得

于是

于是当λ＞1，所以

所以

故选C．

【解析】【答案】设底面边长为1，侧棱长为λ，过B1作B1H⊥BD1，B1G⊥A1B，Rt△BB1D1中可知B1D1和B1D，进而利用三角形面积公式求得h，设在正四棱柱中，由于BC⊥AB，BC⊥BB1，进而可推断BC⊥平面AA1B1B，BC⊥B1G，B1G⊥平面AB1CD1，可知B1G为点到平面A1BCD1的距离，Rt△A1B1B中，又由三角形面积关系得d，进而可知的表达式；根据λ来确定其范围．

2、D【分析】试题分析：由题意可得是实数，∴∴考点：复数的基本概念；集合的包含关系判断及应用．点评:本题考查复数的基本概念，集合间的包含关系，得到是解题的关键．【解析】【答案】D3、B【分析】同理可求出故可以猜想应选B.【解析】【答案】B4、B【分析】【解答】由可解得则可推出反之不能推出，则“”是“”的必要非充分条件，即选B．5、C【分析】解：关于x

的不等式鈭�x2+bx+c<0

的解集是{x|x<鈭�3

或x>2}

隆脿

对应方程鈭�x2+bx+c=0

的两个实数根为鈭�3

和2

由根与系数的关系；得。

{鈭�3脳2=c鈭�1鈭�3+2=鈭�b鈭�1

解得b=鈭�1c=6

隆脿

关于x

的不等式cx2鈭�bx鈭�1>0

可化为。

6x2+x鈭�1>0

解得x<鈭�12

或x>13

隆脿

该不等式的解集是(鈭�隆脼,鈭�12)隆脠(13,+隆脼)

．

故选：C

．

根据根与系数的关系，求出b

与c

的值；再求不等式cx2鈭�bx鈭�1>0

的解集即可．

本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题目．【解析】C

二、填空题(共5题，共10分)6、略

【分析】

由题意知，{an}是公比为q的等比数列；

由数列{bn}有连续四项在集合{-53，-23，19，37，82}中，可得{an}有连续四项在集合{-54；-24，18，36，81}中；

由于集合中仅有三个正数，两个负数，故{an}各项中必有两个为负数；所以公比为负即q＜0

由于两个负数分别为-54，-24，故q2=或解得q=-或-

又|q|＞1，故q=-

故答案为-

【解析】【答案】由题设条件可先得出，{an}公比为q的等比数列；它有连续四项在集合{-54，-24，18，36，81}中，即可判断出两个负数-54，-24是数列中的两项，且序号相差2，由此即可得到公比的方程，求解即可得到答案。

7、略

【分析】【解析】

试题分析：因为，所以，

由正弦定理得，

考点：，三角函数同角公式，正弦定理.【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】

试题分析：由已知，

所以当时，预测最大为

考点：回归直线方程及其应用【解析】【答案】709、略

【分析】解：f隆盲(x)=3x2鈭�2ax=x(3x鈭�2a)

令f隆盲(x)=0

解得：x=0

或x=2a3

(1)a>0

时，。x(鈭�隆脼,0)0(0,2a3)2a3(2a3,+隆脼)f隆盲(x)+0鈭�0+f(x)递增递减递增(2)a<0

时；

。x(鈭�隆脼,2a3)2a3(2a3,0)0(0,+隆脼)f隆盲(x)+0鈭�0+f(x)递增递减递增若函数f(x)=x2(x鈭�a)

在(2,3)

上不单调；

则2<2a3<3

解得：3<a<92

故答案为：(3,92).

求出函数的导数；通过讨论a

的范围，求出函数f(x)

的单调区间，根据f(x)

在(2,3)

不单调，得到关于a

的不等式，解出即可．

本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．【解析】(3,92)

10、略

【分析】解：隆脽

曲线{x=22cos娄脠y=1+cos2娄脠(娄脠隆脢R)

隆脿y=1+2cos2娄脠鈭�1=2cos2娄脠

又x2=8cos2娄脠

隆脿

曲线的普通方程为x2=4y

隆脿

曲线的焦点F(0,1)

隆脽A(1,0)隆脿|AF|=1+1=2

．

故答案为：2

．

求出曲线的普通方程为x2=4y

从而求出曲线的焦点F(0,1)

由此利用两点间距离公式能求出|AF|

的值．

本题考查线段长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．【解析】2

三、作图题(共5题，共10分)11、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．12、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．13、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

14、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．15、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．四、解答题(共2题，共20分)16、略

【分析】

（1）分别求出关于p；q的不等式，根据p真且q真取交集即可；（2）由p是q的充分不必要条件，得到关于a的不等式，解出即可．

本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道中档题．【解析】解：（1）由x2-4ax+3a2＜0得（x-3a）（x-a）＜0；

又a＞0；所以a＜x＜3a；

当a=1时；1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．

由实数x满足

得-2＜x＜3；即q为真时实数x的取值范围是-2＜x＜3．

若p∧q为真；则p真且q真，所以实数x的取值范围是1＜x＜3．（5分）

（2）¬q是¬p的充分不必要条件；即p是q的充分不必要条件。

由a＞0，及3a≤3得0＜a≤1，所以实数a的取值范围是0＜a≤1．（10分）17、略

【分析】

利用已知条件判断P

的轨迹是椭圆；然后转化求解即可．

本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力．【解析】解：隆脽|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=4

又|AB|=2

隆脿P

的轨迹是以AB

为焦点的椭圆；

隆脽2a=42c=2隆脿b2=a2鈭�c2=3

所求轨迹方程为：x24+y23=1

．五、计算题(共1题，共10分)18、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．六、综合题(共3题，共18分)19、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．20、解：（1）设{an}的公差为d；

由a1=1，S3=0，

可得3a1+3d=0，

解得d=﹣1，

从而an=2﹣n；

（2）b1=2a1=2，b2=a6=﹣4，

可得公