2024-2025学年新教材高中数学第三章函数3.1.2第2课时函数的平均变化率课时作业含解析新人教B版必修第一册

PAGE1-第三章3.13.1.2第2课时请同学们仔细完成[练案21]A级基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分)1．已知函数f(x)为R上的减函数，则满意feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))))＜f(1)的实数x的取值范围是(C)A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由已知得：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＞1，∴－1＜x＜0或0＜x＜1，故选C．2．下列四个函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是(A)A．f(x)＝eq\f(x,x＋1) B．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝3－x D．f(x)＝－|x|解析：因为f(x)＝eq\f(x,x＋1)＝1－eq\f(1,x＋1)，函数y＝－eq\f(1,x＋1)在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)＝eq\f(x,x＋1)在(0，＋∞)上是增函数，故A符合题意．函数f(x)＝x2－3x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上单调递增，故B不符合题意．函数f(x)＝3－x在(0，＋∞)上是减函数，故C不符合题意．函数f(x)＝－|x|在(0，＋∞)上是减函数，故D不符合题意．故选A．3．已知函数f(x)在R上是增函数，若a＋b>0，则下列结果中正确的是(A)A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)>f(－a)－f(－b)C．f(a)＋f(－a)>f(b)－f(－b)D．f(a)－f(－a)>f(b)＋f(－b)解析：∵f(x)在R上为增函数，又a＋b>0，∴a>－b，b>－a，∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．4．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是(B)A．10,5 B．10,1C．5,1 D．12,5解析：因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，所以当x＝1时，ymin＝1；当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选B．5．函数f(x)在区间[－3，－1]上是增函数，且最小值为－2，最大值为1，那么|f(x)|在[－3，－1]上(C)A．最小值为－2，最大值为1B．最小值为0，最大值为1C．最小值为0，最大值为2D．最小值为－2，最大值为0解析：可用解除法去掉A，D，再利用肯定值的性质解除B．二、填空题(每小题5分，共15分)6．对于随意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2)，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是__2__.解析：由eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2)－(－x＋3)＞0得：x＞1.由x2－4x＋3－(－x＋3)＞0得：x＞3或x＜0.由x2－4x＋3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋\f(1,2)))＞0得：x＞5或x＜eq\f(1,2).则f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3，x≤0或x＞5，,－x＋3，0＜x≤1，,\f(3,2)x＋\f(1,2)，1＜x≤5.))结合图像得：f(x)min＝f(1)＝－1＋3＝2.7．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，若f(a2＋2a－2)≤f(a2－3a＋3)，则实数a的取值范围是__解析：本题考查利用函数的单调性解不等式．因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，且f(a2＋2a－2)≤f(a2－3a＋3)，所以a2＋2a－2≥a2－3a＋3，解得8．已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在[1,5]上的最大值为f(1)，则a的取值范围是__(－∞，－2]__.解析：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝(x＋a－1)2－(a－1)2＋2，函数图像是对称轴为直线x＝1－a，开口向上的抛物线．当1≤1－a<3，即－2<a≤0时，当x＝5时，取得最大值f(5)，不符合题意；当3≤1－a≤5，即－4≤a≤－2时，当x＝1时，取得最大值f(1)，符合题意；当1－a<1，即a>0时，函数在[1,5]上为增函数，当x＝5时取得最大值f(5)，不符合题意；当1－a>5，即a<－4时，函数在[1,5]上为减函数，当x＝1时取得最大值f(1)，符合题意．综上可知，a的取值范围是(－∞，－2]．三、解答题(共20分)9．(10分)已知函数f(x)＝eq\f(x－1,x＋2)，x∈[3,5]．(1)推断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值．解：(1)f(x)在[3,5]上为增函数，证明如下：设任取x1，x2∈[3,5]且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1－1,x1＋2)－eq\f(x2－1,x2＋2)＝eq\f(3x1－x2,x1＋2x2＋2).∵3≤x1<x2≤5，∴x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在[3,5]上为增函数．(2)由(1)可知f(x)max＝f(5)＝eq\f(4,7)，f(x)min＝f(3)＝eq\f(2,5).10．(10分)已知函数f(x)＝x2－2x＋2.(1)求f(x)在区间[eq\f(1,2)，3]上的最大值和最小值；(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．解：(1)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，∴f(x)的最小值是f(1)＝1，又因为f(eq\f(1,2))＝eq\f(5,4)，f(3)＝5，所以f(x)的最大值是f(3)＝5，即f(x)在区间[eq\f(1,2)，3]上的最大值是5，最小值是1.(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2在[2,4]上是单调函数，∴eq\f(m＋2,2)≤2或eq\f(m＋2,2)≥4，即m≤2或m≥6.故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．B级素养提升一、选择题(每小题5分，共10分)1．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x＜1))的最大值是(B)A．1 B．2C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)解析：当x≥1时，函数f(x)＝eq\f(1,x)为减函数，此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1；当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2.综上可得，f(x)的最大值为2.故选B．2．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(C)A．2 B．－2C．2或－2 D．0解析：当a＞0时，函数y＝ax＋1在[1,2]上单调递增，∴ymin＝a＋1，ymax＝2a∴2a＋1－a∴a＝2.当a＜0时，函数y＝ax＋1在[1,2]上单调递减，∴ymin＝2aymax＝a＋1，∴a＋1－2a∴a＝－2.综上可知a＝±2.二、多选题(每小题5分，共10分)3．设c＜0，f(x)是区间[a，b]上的减函数，下列命题中正确的是(CD)A．f(x)在区间[a，b]上有最小值f(a)B．eq\f(1,fx)在[a，b]上有最小值f(a)C．f(x)－c在[a，b]上有最小值f(b)－cD．cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)解析：A中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，在区间[a，b]上有最小值f(b)，A错误；B中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，而函数eq\f(1,fx)在[a，b]上单调性无法确定，其最小值无法确定，B错误；C中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，f(x)－c在区间[a，b]上也是减函数，其最小值f(b)－c，C正确；D中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，且c＜0，则cf(x)在区间[a，b]上是增函数，则在[a，b]上有最小值cf(a)，D正确．4．狄利克雷是德国闻名数学家，函数D(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x为有理数，,0，x为无理数))被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数D(x)的结论中正确的是(CD)A．若x是无理数，则D[D(x)]＝0B．函数D(x)的值域是[0,1]C．D(－x)＝D(x)D．若T≠0且T为有理数，则D(x＋T)＝D(x)对随意的x∈R恒成立解析：对于A，∵当x为有理数时，D(x)＝1；当x为无理数时，D(x)＝0，∴当x为有理数时，D[D(x)]＝D(1)＝1；当x为无理数时，D[D(x)]＝D(0)＝1，即不管x是有理数还是无理数，均有D[D(x)]＝1，故A不正确；对于B，函数D(x)的值域为{0,1}不是[0,1]，故B不正确；对于C，∵有理数的相反数还是有理数、无理数的相反数还是无理数，∴对随意x∈R，都有D(－x)＝D(x)，故C正确；对于D，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数，∴依据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，D(x＋T)＝D(x)对随意的x∈R恒成立，故D正确．三、填空题(每小题5分，共10分)5．函数f(x)＝eq\r(6－x)－3x在区间[2,4]上的最大值为__－4__.解析：因为y＝eq\r(6－x)在区间[2,4]上是减函数，y＝－3x在区间[2,4]上是减函数，所以函数f(x)＝eq\r(6－x)－3x在区间[2,4]上是减函数，所以f(x)max＝f(2)＝eq\r(6－2)－3×2＝－4.6．函数f(x)＝eq\f(3x,x2＋x＋1)(x＞0)的值域为__(0,1]__.解析：f(x)＝eq\f(3x,x2＋x＋1)＝eq\f(3,x＋\f(1,x)＋1)≤eq\f(3,2\r(x·\f(1,x))＋1)＝1，当且仅当x＝eq\f(1,x)＝1时取等号．又f(x)＞0，所以0＜f(x)≤1，故函数f(x)的值域为(0,1]．四、解答题(共10分)7．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求a(3)若x∈[t，t＋2]，试求y＝f(x)的最小值．解析：(1)∵f(x)是二次函数，且f(0)＝f(2)，∴f(x)图像的对称轴是直线x＝1.又f(x)的最小值为1，则可设f(x)＝k(x－1)2＋1.∵f(0)＝3，∴k＝2.∴f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.(2)要使f(x)在区间[2a，a则2a＜1＜a＋1，解得0＜a＜eq\f(1,2)