2025年中考数学二轮复习：图形的对称 压轴解答题练习题（含答案解析）

第第页2025年中考数学二轮复习：图形的对称压轴解答题练习题一．解答题（共25小题）1．如图，在等边△ABC中，点D是BC边上一点（点D不与B，C重合）BD＜CD，连接AD，点D关于直线AB的对称点为点E，连接DE交AB于点N．在AD上取一点F，使∠EFD＝∠BAC，延长EF交AC于点G．（1）若∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；（2）用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明．2．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，AC的中垂线DE交AC于D，交BC于点E．（1）如图1，连接AE，则AE＝；（2）如图2，延长DE交AB的延长线于点F，连接CF，请求出CF的长；（3）如图3，点P为直线DE上一动点，点Q为直线AB上一动点，则BP+PQ的最小值为．3．（1）如图1，已知在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上运动，当∠EAF＝45°时，求证：DF+BE＝EF；（2）如图2，若将直角三角形ABC沿斜边翻折得到△ADC，且∠B＝∠D＝90°，点E、F分别在边BC、DC上运动，且∠EAF=14．在数学实验课上，李静同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1，将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为DE．（1）如果AC＝5cm，BC＝7cm，可得△ACD的周长为；（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，可得∠B的度数为；操作二：如图2，李静拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线CD折叠，使点A与点E重合，若AB＝10cm，BC＝8cm，请求出BE的长．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是．（2）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．6．根据以下素材，解决问题：因收纳需要，常常会准备一些无盖纸盒，现将长为8，宽为4的长方形彩纸进行裁剪，用来装饰竖式、横式的无盖纸盒．装饰竖式、横式的无盖纸盒．素材1彩纸的裁剪方案：素材21个竖式无盖纸盒所需彩纸1个横式无盖纸盒所需彩纸问题解决问题1现有彩纸17张，若只装饰竖式无盖纸盒，选用素材1中的两种裁剪方案，要求裁剪无余料，且17张彩纸裁剪所得的纸片恰好全部用完，则应选择的两种裁剪方案是，一共可以做成多少只竖式无盖纸盒？请写出你的解答过程．问题2若装饰竖式和横式两种无盖纸盒共2022个，选用素材1中的两种裁剪方案，要求裁剪后无余料，且裁剪所得的纸片恰好全部用完，则至少需要多少张彩纸？7．教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页的部分内容．（1）对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数．解：∵BP平分∠ABC（已知），∴∠PBC=1同理可得∠PCB＝°．∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（），∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质）＝180°﹣40°﹣＝．问题推广：（2）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝108°，求∠BPC的度数；（3）如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝84°，则∠PBH＝度．8．综合与实践．活动主题设计一款日常的多功能椅子素材1座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要座椅来提供舒适的工作和休息．图1是某折叠式靠背椅的实物图．图2是椅子合拢状态的侧图示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧面示意中分别对应CE，FG、BF和AD，椅腿AD，BC可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，靠背与椅腿的夹角∠GFB在转动过程中形状保持不变．此时椅面CE和靠背FG平行．注：三角形内角和为180°素材2图3是折叠椅打开状态的示意图，连杆HD与椅腿AD夹角∠HDA变小，使HD与椅面CE贴合，此时椅面CE与地图AB平行．素材3座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学期标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般在105°～120°，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背的要求．素材4通过将靠背GF与椅腿BF的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加2个卡档，在椅面CE下H点与E点之间设置成三个卡档，来调整靠育GF和椅面CE的角度以满足不同的需要，图4是舒适档．椅面倾角α为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角β为靠背GF的延长线与椅面EC的延长线的夹角．档位参数测量数据图示舒适档靠背倾角β105°椅面倾角α10°工作档靠背倾角β95°椅面倾角α﹣5°问题解决任务1根据素材1：回答问题：当折叠椅在合拢状态时，测得∠ECB＝150°，∠OBA＝70°，延长GF，与地面BA的夹角为α，求α．任务2根据素材1，2，回答问题：当折叠椅打开状态时，延长GF交AB于点I，探究∠FIB与∠FCE的数量关系．任务3根据素材3，4，回答问题：从舒适档调整为工作档时，椅腿FB与地面AB的夹角始终为θ．①请用θ表示舒适档时靠背GF与椅腿BF的夹角∠GFB＝．②求从舒适档调整为工作档调整过程中，靠背GF需要转过多少度？9．如图1，有一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF、CE和AC（如图2）．（1）求证：①△AOE≌△COF；②四边形AFCE是菱形；（2）当AE＝4，ED＝3时，求折痕EF的长．10．（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点，求证：△BFG≌△BCG．（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，直接写出AE的长．11．如图，为探究一类矩形ABCD的性质，小明在BC边上取一点E，连接DE，经探究发现：当DE平分∠ADC时，将△ABE沿AE折叠至△AFE，点F恰好落在DE上，据此解决下列问题：（1）求证：△AFD≌△DCE；（2）如图，延长CF交AE于点G，交AB于点H．求证：EF•DF＝GF•CF．12．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出这个最小值．（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式x213．如图1，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，EF与HC交于点O．（1）求证：四边形CFHE是菱形；（2）如图2，AB＝4，BC＝8，点H与点A重合时，求OF的长．14．如果两个角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为等差角，即若|∠α﹣∠β|＝60°，则称∠α和∠β互为等差角．（本题中所有角都是指大于0°，且小于180°的角）（1）若∠1和∠2互为等差角．当∠1＝40°，则∠2＝.当∠1＝90°，则∠2＝；（2）如图1，将一长方形纸片沿着EP对折（点P在线段BC上，点E在线段AB上）使点B落在点B′．若∠EPB′与∠B′PC互为等差角，求∠BPE的度数；（3）再将纸片沿着FP对折（点F在线段CD或AD上）使点C落在点C′．如图2，若点E，C′，P在同一直线上，且∠B′PC′与∠EPF互为等差角，求∠EPF的度数（对折时，线段PB′落在∠EPF内部）．15．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），则AB之间的距离为(x（1）若已知点A（﹣1，1），B（1，0），求线段AB的长；（2）在（1）的条件下，若存在点C(12，（3）若y=x2−2x+5+x16．如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点D（0，2），点F（1，0），线段DE和EF构成一个“L”形，另有点A（﹣1，5），点B（﹣1，﹣1），点C（6，﹣1），连AD，BE，CF．若将这个“L”形沿y轴上下平移，当AD+DE+BE的值最小时，E点坐标为；若将这个“L”形沿x轴左右平移，当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为．17．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（﹣1，5）．（1）①画出线段AB关于y轴对称的线段CD；②在y轴上找一点P使PA+PB的值最小（保留作图痕迹）；（2）按下列步骤，用不带刻度的直尺在线段CD找一点Q使∠BAQ＝45°．①在图中取点E，使得BE＝BA，且BE⊥BA，则点E的坐标为；②连接AE交CD于点Q，则点Q即为所求．18．对于特殊四边形，通常从定义、性质、判定、应用等方面进行研究，我们借助于这种研究的过程与方法来研究一种新的四边形﹣﹣﹣﹣﹣筝形．定义：在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝CD，我们把这样四边形ABCD称为筝形性质：按下列分类用文字语言填写相应的性质：从对称性看：筝形是一个轴对称图形，它的对称轴是；从边看：筝形有两组邻边分别相等；从角看：；从对角线看：．判定：按要求用文字语言填写相应的判定方法，补全图形，并完成方法2的证明．方法1：从边看：运用筝形的定义；方法2：从对角线看：；如图，四边形ABCD中，．求证：四边形ABCD是筝形应用：如图，探索筝形ABCD的面积公式（直接写出结论）．19．如图1，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形．（1）拼成的正方形的面积是，边长是；（2）仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝16，点E在射线BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使得点B的对应点落在点B'处．（1）若点E为BC的中点，连接CB'，判断AE与CB'的位置关系，并说明理由；（2）若点B落在矩形ABCD内，且在矩形的对称轴上，求BE的长；（3）连接DB'，若以点A、B'、D为顶点的三角形是直角三角形，直接写出BE的长．21．在平面直角坐标系中，经过点M（0，m）且平行于x轴的直线记作直线y＝m．给出如下定义：①把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段②将点P（x，y）关于y轴的对称点记作点P1，再将点P1关于直线y＝m的对称点记作点P2，则称点P2为点P（x，y）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”．例如：点P（3，1）关于y轴和直线y＝3的“青一对称点”为点P2（﹣3，5）．（1）点A（3，4）关于y轴和直线y＝1的“青一对称点”A2的坐标是；（2）点B（3m+n，m﹣n）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”B2的坐标是（﹣9，5），求m和n的值；（3）若点C（6x﹣5，2x+1）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”C2在第二象限，且满足条件的x的整数解有且只有一个，求m的取值范围．22．如图，在正方形ABCD中，F为边AB上一点，E为边BC延长线上一点，且CE＝AF，连接EF，与对角线AC相交于点G．（I）求证：FG＝EG；（Ⅱ）求证：AF+AD=2（Ⅲ）连接BG，点P，M，N分别是△BGE三条边BE，BG，EG上的动点，若AD＝6，AF＝2，求PM+PN的最小值（直接写出结果即可）．23．如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝∠ABC，D是AB边上一动点，连接CD，将△ACD沿CD翻折后得到△A'CD，射线CA'与射线AB相交于点E．（1）若△A'DE是直角三角形，求∠ACD的度数；（2）若△A′DE中有两个角相等，求∠ACD的度数．24．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC和AB上，DF＝AE．求证：DF⊥AE；（2）如图2，在矩形ABCD中，将四边形AFGD折叠，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，点A落在BC边上的点E处，折痕交边AB于F，交边CD于G，连接AE交GF于点O．若ADAB=34，且tan∠CGP=43，25．如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝10，AD＝6，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．（2）当射线PE与边AB交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析一．解答题（共25小题）1．如图，在等边△ABC中，点D是BC边上一点（点D不与B，C重合）BD＜CD，连接AD，点D关于直线AB的对称点为点E，连接DE交AB于点N．在AD上取一点F，使∠EFD＝∠BAC，延长EF交AC于点G．（1）若∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；（2）用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明．【考点】轴对称的性质；等边三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】（1）60°+α；（2）CG=23【分析】（1）由三角形内角和定理及外角定理结合∠EFD＝∠BAC即可求解；（2）在CG上截取CM＝BD，连接BM，BE，BM交AD于点H，连接BE，AE，再证明四边形EBMG是平行四边形，可得CG＝2BD，记AB与DE的交点为点N，则由轴对称可知：DE⊥AB，NE＝ND，再解Rt△BND即可．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°∵∠EFD＝∠BAC，∴∠EFD＝60°，∵∠EFD＝∠1+∠BAD＝∠1+α，∴∠1＝60°﹣α，∵∠AGE+∠1+∠BAC＝180°，∴∠AGE＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1，∴∠AGE＝120°﹣（60°﹣α）＝60°+α；（2）CG=23如图2中，在CG上截取CM＝BD，连接BM，BE，AE，BM交AD于点H，∵△BCA为等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，BC＝AB，∴△ABD≌△BCM（SAS），∴∠3＝∠4，∵∠AHM＝∠3+∠5，∴∠AHM＝∠4+∠5＝60°，∵∠EFD＝∠BAC＝60°，∴∠AHM＝∠EFD，∴EG∥BM，∵点D关于直线AB的对称点为点E，∴AE＝AD，BE＝BD，∠ABE＝∠ABC＝60°，∴∠EBC＝120°，∴∠EBC+∠C＝180°，∴EB∥AC，∴四边形EBMG是平行四边形，∴BE＝GM，∴BE＝GM＝BD＝CM，∴CG＝2BD，记AB与DE的交点为点N，则由轴对称可知：DE⊥AB，NE＝ND，在Rt△DNB中，DN＝BD•sin∠ABC=32∴DE＝2DN=3BD∴CGDE∴CG=23【点评】本题考查了三角形的内角和，外角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键2．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，AC的中垂线DE交AC于D，交BC于点E．（1）如图1，连接AE，则AE＝52（2）如图2，延长DE交AB的延长线于点F，连接CF，请求出CF的长；（3）如图3，点P为直线DE上一动点，点Q为直线AB上一动点，则BP+PQ的最小值为125【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；勾股定理．【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】（1）52（2）5；（3）125【分析】（1）先由线段垂直平分线的性质得AE＝CE，设AE＝CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）先由线段垂直平分线的性质得AF＝CF，设AF＝CF＝y，则BF＝y﹣2，在Rt△BCF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）连接CF，过B作BM⊥CF于M，交直线DE于P'，如图3所示：【解答】解：（1）∵DE是AC的中垂线，∴AE＝CE，设AE＝CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理得：22+（4﹣x）2＝x2，解得：x=5即AE=5故答案为：52（2）∵DE是AC的中垂线，∴AF＝CF，设AF＝CF＝y，则BF＝y﹣2，在Rt△BCF中，由勾股定理得：（y﹣2）2+42＝y2，解得：y＝5，即CF的长为5；（3）方法一：连接CF，过B作BM⊥CF于M，交直线DE于P'，过P'作P'Q'⊥BF于Q'，如图3所示：∵DE是AC的中垂线，∴AF＝CF，∴∠AFD＝∠CFD，∵P'M⊥CF，P'Q'⊥BF，∴P'M＝P'Q'，则点M与Q'关于DE对称，此时BM＝BP'+P'M＝BP'+P'Q'，即BP+PQ的值最小＝BM，由（2）得：AF＝CF＝5，AB＝2，∴BF＝AF﹣AB＝3，∵∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°，∴△BCF的面积=12CF×BM=1∴BM=BF×BC即BP+PQ的最小值为125故答案为：125方法二：作点B关于DE的对称点H，交DF于G，过点H作HQ⊥AB于Q，交DE于点P，如图4所示：则点P、Q就是使BP+PQ最小的点，由对称得：∠AFD＝∠CFD，∠AFD＝∠HFD，BP＝HP，FB＝FH，∴∠CFD＝∠HFD，∴点C、H、F三点共线．BP+PQ＝HP+PQ＝HQ，由“垂线段最短”得：BP+PQ的最小值为HQ．在等腰△BFH中，∵FB＝FH，HQ⊥BF过B作BM⊥CF于M，∴HQ＝BM（等腰三角形两腰上的高相等）．由方法一得：BM=12∴BP+PQ的最小值为125故答案为：125【点评】本题是三角形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、轴对称的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键．3．（1）如图1，已知在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上运动，当∠EAF＝45°时，求证：DF+BE＝EF；（2）如图2，若将直角三角形ABC沿斜边翻折得到△ADC，且∠B＝∠D＝90°，点E、F分别在边BC、DC上运动，且∠EAF=1【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】证明题；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】（1）证明过程见解答；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解答．【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，然后推出∠AFG＝∠AFE＝45°，判定△AFG≌△AFE，得到FG＝EF，然后等量代换即可解决问题；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，然后推出∠AFG＝∠AFE＝∠BAD，判定△AFG≌△AFE，得到FG＝EF，然后等量代换即可推出上面的结论仍然成立．【解答】（1）证明：如图1，把△ABE绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，得到△ADG，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠ABE＝∠ADF＝∠BAD＝90°，∴点C、D、G三点共线，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝90°﹣45°＝45°，又∵∠DAG＝∠BAE，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG＝∠FAE，又∵AG＝AE，AF＝AF，∴△AFG≌△AFE（SAS），∴FG＝FE，又∵FG＝FD+DG，DG＝BE，∴DF+BE＝EF；（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，得到△ADG，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵∠B＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠ABE＝∠ADF＝90°，∴点C、D、G三点共线，∵∠EAF=12∠∴∠BAE+∠DAF=12∠又∵∠DAG＝∠BAE，∴∠DAG+∠DAF=12∠即∠FAG＝∠FAE，又∵AG＝AE，AF＝AF，∴△AFG≌△AFE（SAS），∴FG＝FE，又∵FG＝FD+DG，DG＝BE，∴DF+BE＝EF．【点评】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的周长，等边三角形的性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．4．在数学实验课上，李静同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1，将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为DE．（1）如果AC＝5cm，BC＝7cm，可得△ACD的周长为12cm；（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，可得∠B的度数为36°；操作二：如图2，李静拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线CD折叠，使点A与点E重合，若AB＝10cm，BC＝8cm，请求出BE的长．【考点】翻折变换（折叠问题）．【答案】见试题解答内容【分析】操作一：（1）由翻折的性质可知：BD＝AD，于是AD+DC＝BC，从而可知△ACD的周长＝BC+AC；（2）设∠CAD＝x，则∠BAD＝2x，由翻折的性质可知∠CBA＝2x，然后根据直角三角形两锐角互余可知：x+2x+2x＝90°．操作二：先利用勾股定理求得AC的长，然后利用面积法求得DC的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求得AD的长，由翻折的性质可知：DE＝DA，最后根据BE＝AB﹣DE﹣AD计算即可．【解答】解：操作一：（1）翻折的性质可知：BD＝AD，∴AD+DC＝BC＝7．∴△ACD的周长＝CD+AD+AC＝BC+AC＝7+5＝12cm．故答案为：12cm．（2）设∠CAD＝x，则∠BAD＝2x．由翻折的性质可知：∠BAD＝∠CBA＝2x，∵∠B+∠BAC＝90°，∴x+2x+2x＝90°．解得；x＝18°．∴2x＝2×18°＝36°．∴∠B＝36°．故答案为：36°．操作二：在Rt△ABC中，AC=A由翻折的性质可知：ED＝AD，DC⊥AB．∵S△ABC∴10CD＝6×8．∴CD＝4.8．在Rt△ADC中，AD=A∴EA＝3.6×2＝7.2．∴BE＝10﹣7.2＝2.8．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用面积法求得CD的长度是解题的关键．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是50°．（2）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；（2）根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；根据两点之间线段最短，可得P点与M点的关系，可得PB+PC与AC的关系．【解答】解：（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是50°，故答案为：50°；（2）如图：①∵MN垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周长是14cm，∴AC+BC＝14cm，∴BC＝6cm．②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，△BPM周长的最小值是8+6＝14cm，【点评】本题考查了轴对称，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出PB＝PA．6．根据以下素材，解决问题：因收纳需要，常常会准备一些无盖纸盒，现将长为8，宽为4的长方形彩纸进行裁剪，用来装饰竖式、横式的无盖纸盒．装饰竖式、横式的无盖纸盒．素材1彩纸的裁剪方案：素材21个竖式无盖纸盒所需彩纸1个横式无盖纸盒所需彩纸问题解决问题1现有彩纸17张，若只装饰竖式无盖纸盒，选用素材1中的两种裁剪方案，要求裁剪无余料，且17张彩纸裁剪所得的纸片恰好全部用完，则应选择的两种裁剪方案是A、D，一共可以做成多少只竖式无盖纸盒？请写出你的解答过程．问题2若装饰竖式和横式两种无盖纸盒共2022个，选用素材1中的两种裁剪方案，要求裁剪后无余料，且裁剪所得的纸片恰好全部用完，则至少需要多少张彩纸？【考点】剪纸问题；一元一次方程的应用．【专题】数形结合；分类讨论；运算能力．【答案】问题1、A、D，一共可以做成32只竖式无盖纸盒；问题2、至少需要1011张彩纸．【分析】问题1、易得应选择A、D方案，设A方案的彩纸a张，则D方案的彩纸（17﹣a）张，进而根据4×4的正方形的个数和1×1的正方形的个数相等列出方程求解即可；问题2、设装饰竖式无盖纸盒x个，则装饰横式无盖纸盒（2022﹣x）个．得到可能的方案选择，根据所给图形判断出两种类型的方案分别需要的彩纸的张数，进而根据两种方案得到的小正方形的个数等于需要的小正方形的个数，判断所得解是否符合即可．【解答】解：问题1、∵只有A方案和D方案中没有4×3的长方形，∴应选择的两种裁剪方案是A、D．设A方案的彩纸a张，则D方案的彩纸（17﹣a）张．∴4×4的正方形有2a+17﹣a＝（a+17）个，1×1的正方形有16（17﹣a）个．∴a+17＝16（17﹣a）．解得：a＝15．∴17﹣a＝2（张）．故答案为：A、D．答：一共可以做成32只竖式无盖纸盒；问题2、设装饰竖式无盖纸盒x个，则装饰横式无盖纸盒（2022﹣x）个．∴竖式纸盒需要4×4的正方形x个，1×1的正方形x个；横式纸盒需要4×3的长方形（2022﹣x）个，1×1的正方形2（2022﹣x）个．∴一共需要4×4的正方形x个，4×3的长方形（2022﹣x）个，1×1的正方形（4044﹣x）个．①选择A、B两种方案．需要用A方案的彩纸x2张，B方案的彩纸2022−x2022−x2×8＝4044﹣解得：x＝1348．∴彩纸的张数为：13482②选择A、C两种方案．需要用C方案的彩纸（2022﹣x）张，A方案的彩纸x−(2022−x)2=（4×（2022﹣x）＝4044﹣x．解得：x＝1348．∴彩纸的张数为：（2022﹣1348）+1348−674③选择B、C两种方案．需要C方案的彩纸x张，B方案的彩纸2022−x−x2=（1011﹣4x+8（1011﹣x）＝4044﹣x．解得：x＝1348．∴彩纸的张数为1011张．④选择B、D两种方案．需要D方案的彩纸x张，B方案的彩纸2022−x216x+8×2022−x2=13x＝﹣4044．不合题意，舍去．⑤选择C、D两种方案．需要C方案的彩纸（2022﹣x）张，D方案的彩纸[x﹣（2022﹣x）]＝（2x﹣2022）张．4（2022﹣x）+16（2x﹣2022）＝4044﹣x．29x＝28308x=28308不合题意，舍去．答：至少需要1011张彩纸．【点评】本题考查一元一次方程的应用．根据题意判断出两种方案组合下分别需要的彩纸的张数是解决本题的易错点；找到能解决问题的相等关系是解决本题的关键．7．教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页的部分内容．（1）对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数．解：∵BP平分∠ABC（已知），∴∠PBC=1同理可得∠PCB＝25°．∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质）＝180°﹣40°﹣25°＝115°．问题推广：（2）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝108°，求∠BPC的度数；（3）如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝84°，则∠PBH＝48度．【考点】翻折变换（折叠问题）；角平分线的定义；三角形内角和定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【答案】（1）25，（三角形内角和定理），25°，115°；（2）117°，（3）48．【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；（2）先由折叠的性质和平角的定义得到∠AED+∠ADE＝126°，进而求出∠A＝54°，同（1）即可得到答案；（3）先由角平分线的定义得到∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP，再由三角形外角的性质得到∠CBP＝∠BAP+42°，根据三角形外角的定理推出∠P＝42°，再由垂线的定义得到∠BHP＝90°，则∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝48°．【解答】解：（1）∵BP平分∠ABC（已知），∴∠PBC=12∠ABC同理可得∠PCB＝25°．∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质）＝180°﹣40°﹣25°＝115°．故答案为：25，（三角形内角和定理），25°，115°；（2）由折叠的性质可得∠AED＝∠PED，∠ADE＝∠PDE，∵∠1+∠AEP＝180°，∠2+∠ADP＝180°，∠1+∠2＝108°，∴2∠AED+2∠ADE＝252°，∴∠AED+∠ADE＝126°，∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝54°，∵∠A＝54°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝126°，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB，∴2∠PBC+2∠PCB＝126°，即∠PBC+∠PCB＝63°，∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝117°，（3）∵AP平分∠BAC，BP平分∠CBM，∴∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP，∵∠CBM＝∠BAC+∠ACB，∴2∠CBP＝2∠BAP+84°，即∠CBP＝∠PBM＝∠BAP+41°；∵∠PBM是△ABP的外角，∴∠PBM＝∠BAP+∠P，∴∠P＝42°，∵BH⊥AP，即∠BHP＝90°，∴∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝48°；故答案为：48．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键．8．综合与实践．活动主题设计一款日常的多功能椅子素材1座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要座椅来提供舒适的工作和休息．图1是某折叠式靠背椅的实物图．图2是椅子合拢状态的侧图示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧面示意中分别对应CE，FG、BF和AD，椅腿AD，BC可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，靠背与椅腿的夹角∠GFB在转动过程中形状保持不变．此时椅面CE和靠背FG平行．注：三角形内角和为180°素材2图3是折叠椅打开状态的示意图，连杆HD与椅腿AD夹角∠HDA变小，使HD与椅面CE贴合，此时椅面CE与地图AB平行．素材3座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学期标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般在105°～120°，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背的要求．素材4通过将靠背GF与椅腿BF的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加2个卡档，在椅面CE下H点与E点之间设置成三个卡档，来调整靠育GF和椅面CE的角度以满足不同的需要，图4是舒适档．椅面倾角α为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角β为靠背GF的延长线与椅面EC的延长线的夹角．档位参数测量数据图示舒适档靠背倾角β105°椅面倾角α10°工作档靠背倾角β95°椅面倾角α﹣5°问题解决任务1根据素材1：回答问题：当折叠椅在合拢状态时，测得∠ECB＝150°，∠OBA＝70°，延长GF，与地面BA的夹角为α，求α．任务2根据素材1，2，回答问题：当折叠椅打开状态时，延长GF交AB于点I，探究∠FIB与∠FCE的数量关系．任务3根据素材3，4，回答问题：从舒适档调整为工作档时，椅腿FB与地面AB的夹角始终为θ．①请用θ表示舒适档时靠背GF与椅腿BF的夹角∠GFB＝θ+115°．②求从舒适档调整为工作档调整过程中，靠背GF需要转过多少度？【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质；三角形内角和定理．【专题】三角形；推理能力．【答案】任务1：80°；任务2：30°；任务3：①θ+115°；②从舒适档调整为工作档调整过程中，靠背GF需要转过25度．【分析】任务1：利用平行线的性质和三角形的内角和定理求解即可；任务2：过F作FQ∥CE，则FQ∥AB，根据平行线的性质得到∠GFQ＝∠FIB，∠CFQ+∠FCE＝180°，进而可由∠GFC＝150°推导出∠FCE﹣∠FIB＝30°；任务3：①根据平行线的性质得到∠FCP＝θ+10°，再根据三角形的内角和定理求解即可；②求出工作档时的∠GFC，进而作差即可得答案．【解答】解：任务1：∵CE∥FG，∠ECB＝150°，∴∠GFC＝∠ECB＝150°，∵α+∠OBA+（180°﹣∠GFC）＝180°，∠OBA＝70°，∴α＝150°﹣70°＝80°；任务2：由题意，∠GFC＝150°，CE∥AB，如图3，过F作FQ∥CE，则FQ∥AB，∴∠GFQ＝∠FIB，∠CFQ+∠FCE＝180°，∴∠GFC＝∠GFQ+∠CFQ＝∠FIB+180°﹣∠FCE＝150°，∴∠FCE﹣∠FIB＝30°；任务3：①如图4，β＝105°，α＝10°，∠B＝θ，CK∥AB，∴∠BCK＝∠B＝θ，∴∠FCP＝∠BCE＝θ+α＝θ+10°，∵β+∠FCP+180°﹣∠GFB＝180°，∴105°+θ+10°+180°﹣∠GFB＝180°，∴∠GFB＝θ+115°，故答案为：θ+115°；②工作档时如图，已知∠FPC＝β＝95°，∠KCE＝5°，∠B＝θ，CK∥AB，∴∠BCK＝∠B＝θ，∴∠FCP＝∠BCE＝∠BCK﹣∠ECK＝θ﹣5°，∵∠FPC+∠FCP+180°﹣∠GFB＝180°，∴95°+θ﹣5°+180°﹣∠GFB＝180°，∴∠GFB＝θ+90°，∵θ+115°﹣（θ+90°）＝115°﹣90°＝25°，∴从舒适档调整为工作档调整过程中，靠背GF需要转过25度．【点评】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理，理解题意，看懂角度前后的变化是解答的关键．9．如图1，有一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF、CE和AC（如图2）．（1）求证：①△AOE≌△COF；②四边形AFCE是菱形；（2）当AE＝4，ED＝3时，求折痕EF的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】（1）①见解答；②见解答；（2）22【分析】（1）①根据折叠的性质推出EF垂直平分AC，则OA＝OC，根据矩形的性质得出AD∥BC，则∠AEO＝∠CFO，利用AAS证明△AOE≌△COF即可；②根据全等三角形的性质得出AE＝CF，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”求出四边形AFCE是平行四边形，再根据“邻边相等的平行四边形是菱形”即可得解；（2）根据矩形的性质、折叠的性质求出ED′＝ED＝3，∠D′＝∠D＝90°，AD′＝CD，根据勾股定理求出CD=7，AC＝214，则OA=12AC=14，根据菱形的性质求出AC⊥EF，【解答】（1）证明：①根据折叠的性质得，AF＝CF，EF垂直平分AC，∴OA＝OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，在△AOE和△COF中，∠AEO=∠CFO∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF（AAS）；②由①得，△AOE≌△COF，∴AE＝CF，∵AD∥BC，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵AF＝CF，∴四边形AFCE是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，根据折叠的性质得ED'＝ED＝3，∠D'＝∠D＝90°，AD′＝CD，在Rt△AED′中，AD'=A∴CD=7在Rt△ADC中，∵AD＝AE+ED＝4+3＝7，∴AC=A∴OA=1∵四边形AFCE是菱形，∴AC⊥EF，OE＝OF，在Rt△AOE中，OE=A∴EF=2OE=22【点评】本题考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练运用相关图形的判定和性质是解题的关键．10．（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点，求证：△BFG≌△BCG．（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，直接写出AE的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质．【专题】证明题；图形的全等；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】（1）证明过程见解答；（2）92【分析】（1）利用HL证明△BFG≌△BCG即可；（2）延长BH，AD交于点Q，设FH＝HC＝x，根据勾股定理求出x，证明△BFG∽△BCH，设AE＝EF＝m，则DE＝8﹣m，然后对应边成比例即可求出结果．【解答】（1）证明：∵将△AEB沿BE翻折到△BEF处，四边形ABCD是正方形，∴AB＝BF，∠BFE＝∠A＝90°，∠BFG＝90°＝∠C，∴AB＝BC＝BF，在Rt△BFG和Rt△BCG中，BG=BGBF=BC∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL）；（2）解：如图，延长BH，AD交于点Q，设FH＝HC＝x，在Rt△BCH中，BC2+CH2＝BH2，∴82+x2＝（6+x）2，解得x=7∴DH＝DC﹣HC=11∵∠BFG＝∠BCH＝90°，∠HBC＝∠FBG，∴△BFG∽△BCH，∴BFBC∴68∴BG=254，FG∵EQ∥GB，DQ∥CB，∴△EFQ∽△GFB，△DHQ∽△CHB，∴BCDQ∴8DQ∴DQ=88设AE＝EF＝m，则DE＝8﹣m，∴EQ＝DE+DQ＝8﹣m+887∵△EFQ∽△GFB，∴EQBG∴1447∴m=9∴AE的长为92【点评】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，解决本题的关键是得到△EFQ∽△GFB，△DHQ∽△CHB．11．如图，为探究一类矩形ABCD的性质，小明在BC边上取一点E，连接DE，经探究发现：当DE平分∠ADC时，将△ABE沿AE折叠至△AFE，点F恰好落在DE上，据此解决下列问题：（1）求证：△AFD≌△DCE；（2）如图，延长CF交AE于点G，交AB于点H．求证：EF•DF＝GF•CF．【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】三角形；图形的全等；矩形菱形正方形；展开与折叠；推理能力．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【分析】（1）利用矩形的性质和翻折的性质可得AF＝CD，从而利用AAS证明结论；（2）利用等腰三角形两个底角相等，通过计算角度，可证明△GEF∽△DCF，由相似三角形的性质得GFDF【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD＝90°，AB＝CD，AD＝BC，∵ED平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC＝45°，∴∠DEC＝90°﹣∠EDC＝45°，∵将△ABE沿AE折叠至△AFE，∴△ABE≌△AFE，∴AB＝AF，∠AFD＝∠B＝90°，∴AF＝AB＝DC，在△AFD与△DCE中，∠AFD=∠C∠ADF=∠DEC∴△AFD≌△DCE（AAS）；（2）证明：∵△AFD≌△DCE，∴AD＝DE，AF＝DF＝DC＝CE，∴∠DCF＝∠DFC=12（180°﹣∠EDC）由折叠知：△ABE≌△AFE，∴∠BEA＝∠FEA=12（180°﹣∠DEC）即∠GEF＝∠EFG＝∠DCF＝∠DFC，∴△GEF∽△DCF，∴GFDF∴EF•DF＝GF•CF．【点评】本题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，翻折的性质以及全等三角形的判定与性质，是解题的关键．12．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出这个最小值．（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式x2【考点】轴对称﹣最短路线问题；二次根式的性质与化简；勾股定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；（3）由（1）（2）的结果可作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式x2+4+(12−x)2+9的最小值，然后构造矩形【解答】解：（1）∵AC=ACE=C∴AC+CE=x（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，过A作AF⊥DE交ED的延长线于F，∴DF＝AB＝5，∴AE=6∴AC+CE的最小值是10；（3）如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为代数式x2过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，所以AE=A即x2【点评】此题主要考查了轴对称求最短路径，本题利用了数形结合的思想，求形如x213．如图1，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，EF与HC交于点O．（1）求证：四边形CFHE是菱形；（2）如图2，AB＝4，BC＝8，点H与点A重合时，求OF的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的判定与性质；矩形的性质．【专题】证明题；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】（1）证明过程见解答；（2）OF=5【分析】（1）先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；（2）过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，即可求出OF的长．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，即HE∥CF，∴∠HEF＝∠EFC，由翻折可知：∠EFC＝∠HFE，∴∠HEF＝∠HFE，∴HE＝HF，∵FC＝FH，∴HE＝CF，∵EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，∵CF＝FH，∴四边形CFHE是菱形；（2）解：点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝BC﹣BF＝8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CE＝AF＝8﹣x＝5，∵CD＝AB＝4，∴DE=C如图，过点F作FM⊥AD于M，得矩形ABFM，矩形CDMF，∴AM＝BF，DM＝CF，MF＝AB＝4，∴ME＝8﹣3﹣3＝2，由勾股定理得，EF=MF2∴OF=12EF【点评】此题考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．14．如果两个角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为等差角，即若|∠α﹣∠β|＝60°，则称∠α和∠β互为等差角．（本题中所有角都是指大于0°，且小于180°的角）（1）若∠1和∠2互为等差角．当∠1＝40°，则∠2＝100°.当∠1＝90°，则∠2＝30°或150°；（2）如图1，将一长方形纸片沿着EP对折（点P在线段BC上，点E在线段AB上）使点B落在点B′．若∠EPB′与∠B′PC互为等差角，求∠BPE的度数；（3）再将纸片沿着FP对折（点F在线段CD或AD上）使点C落在点C′．如图2，若点E，C′，P在同一直线上，且∠B′PC′与∠EPF互为等差角，求∠EPF的度数（对折时，线段PB′落在∠EPF内部）．【考点】翻折变换（折叠问题）；绝对值；角的计算．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】（1）100°，30°或150°；（2）∠EPB的值为40°或80°；（3）∠EPF＝80°．【分析】（1）按照“等差角”的定义写出式子，解方程即可；（2）由∠EPB'+∠EPB'+∠EPB′+60°＝180°即可求；（3）由∠BPE+∠EPB′+∠B′PF+∠FPC＝180°，即可求．【解答】解：（1）∵∠1和∠2互为等差角，∠1＝40°，∴|∠1﹣∠2|＝60°，∴40°﹣∠2＝60°或40°﹣∠2＝﹣60°，解得：∠2＝﹣20°（舍去）或100°，∵∠1和∠2互为等差角，∠1＝90°，∴|∠1﹣∠2|＝60°，∴90°﹣∠2＝60°或90°﹣∠2＝﹣60°，解得：∠2＝30°或150°，故答案为：100°，30°或150°；（2）∵∠EPB′与∠B′PC互为等差角，当∠EPB′＜∠B′PC时，∠B′PC﹣∠EPB′＝60°，∴∠B′PC＝∠EPB′+60°，∵△BEP翻折得△B'EP，∴∠EPB＝∠EPB'，∵∠EPB+∠EPB'+∠B′PC＝180°，∴∠EPB'+∠EPB'+∠EPB′+60°＝180°，解得：∠EPB′＝40°，当∠EPB′＞∠B′PC时，∠B′PC﹣∠EPB′＝60°，可得∠EPB′＝80°．综上所述，∠EPB的值为40°或80°；（3）∵点E、C′、P在同一直线上，且∠B′PC′与∠EPF互为等差角，∴∠B′PC＜∠EPF，∠EPF﹣∠B′PC＝60°＝∠B′PF，∵∠BPE＝∠B′PE＝∠EPF﹣60°，∠FPC＝∠EPF，∴∠BPE+∠EPB′+∠B′PF+∠FPC＝180°，∴∠EPF﹣60°+∠EPF+∠EPF＝180°，∴∠EPF＝80°．【点评】此题考查了通过翻折计算角的度数，关键在于翻折后两个角相等．15．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），则AB之间的距离为(x（1）若已知点A（﹣1，1），B（1，0），求线段AB的长；（2）在（1）的条件下，若存在点C(12，（3）若y=x2−2x+5+x【考点】轴对称﹣最短路线问题；两点间的距离公式；勾股定理；勾股定理的逆定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】（1）5；（2）△ABC是等腰直角三角形，理由见解析；（3）当x为32时，y【分析】（1）根据AB之间的距离公式即可得到AB=(−1−1（2）根据勾股定理和勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定定理即可得到结论（3）根据配方法得到y=x2−2x+5+x2−6x+45=(x−1)2+22+(x−3)2+62，于是得到代数式(x−1)2+22+(x−3)2+62的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，2）、点B（3，6）（2，3）的距离之和，求y的最小值，相当于在x轴上找一点P（x，0），使得P到点A（1，2）、点B（3，6）（2，3）的距离之和的最小值，设点A关于x轴的对称点为A′，则PA＝PA【解答】解：（1）∵点A（﹣1，1），B（1，0），∴AB=(−1−1故线段AB的长为5；（2）△ABC是等腰直角三角形，理由：∵AC=(−1−12)∴AC＝BC，AC2+BC2=52+5∴∠ACB＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形；（3）∵y=x∴代数式(x−1)2+22+(x−3)2求y的最小值，相当于在x轴上找一点P（x，0），使得P到点A（1，2）、点B（3，6）（2，3）的距离之和的最小值，设点A关于x轴的对称点为A′，则PA＝PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，由两点之间，线段最短可得，PA′+PB的最小值为线段A′B的长度；∵A（1，2），∴A′（1，﹣2），过B作BH∥y轴交A′H于H，交x轴于C，∴△BCP的面积+四边形A′HCP的面积＝S△A′HB，∴12×（3﹣x）×6+12×解得x=3答：当x为32时，y【点评】本题考查了对称点﹣最短路径问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，正确地作出图形是解题的关键．16．如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点D（0，2），点F（1，0），线段DE和EF构成一个“L”形，另有点A（﹣1，5），点B（﹣1，﹣1），点C（6，﹣1），连AD，BE，CF．若将这个“L”形沿y轴上下平移，当AD+DE+BE的值最小时，E点坐标为（0，1）；若将这个“L”形沿x轴左右平移，当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为（3.5，0）．【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形变化﹣平移．【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．【答案】（1）E（0，1）；（2）E（3.5，0）．【分析】将AD向下平移2个单位，得线段A'E，作点B关于y轴的对称点B'，连接EB'，A'B'，A'B'与y轴交于点E'，可以推出当AD+DE+BE的值最小时，E点位于E'处，再求出A'B'的解析式即可求出E'的坐标；将AD向下平移2个单位得到A''E，将CF向左平移1个单位得到C''E，连接A''C''交x轴于点E''，可以推出当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点位于E''处，再求出A''C''的解析式即可求出E''的坐标．【解答】解：将AD向下平移2个单位，得线段A'E，作点B关于y轴的对称点B'，连接EB'，A'B'，A'B'与y轴交于点E'，则A'E＝AD，BE＝B'E，∵点E在原点，点D（0，2），∴DE＝2，∴AD+DE+BE＝A'E+2+B'E≥2+A'B'，即AD+DE+BE的值最小时，点E位于点E'位置，设A'B'的解析式为y＝kx+b，∵点A（﹣1，5），点B（﹣1，﹣1），∴A'B'的图象过点A'（﹣1，3），B'（1，﹣1），∴3=−k+b−1=k+b解得k=−2b=1∴A'B'的解析式为y＝﹣2x+1，当x＝0时，y＝1，∴E'（0，1），∴当AD+DE+BE的值最小时，E点坐标为（0，1），故答案为：（0，1）；将AD向下平移2个单位得到A''E，将CF向左平移1个单位得到C''E，连接A''C''交x轴于点E''，则A''E＝AD，C''E＝CF，∵点E在原点，点D（0，2），点F（1，0），∴DE＝2，EF＝1，∴AD+DE+EF+CF＝A''E+2+1+C''E≥3+A''C''，即当AD+DE+EF+CF的值最小时，点E位于E''处，设A''C''的解析式为y＝mx+n，∵点A（﹣1，5），点C（6，﹣1），∴A''C''图象过点A''（﹣1，3），C''（5，﹣1），∴3=−m+n−1=5m+n解得m=−2∴A''C''的解析式为y=−23x当y＝0时，0=−23x解得x＝3.5，∴E''（3.5，0），∴当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为（3.5，0），故答案为：（3.5，0）．【点评】本题考查最短路线问题，解答时涉及轴对称，平移，三角形两边之和大于第三边，能用一条线段表示两线段和的最小值是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（﹣1，5）．（1）①画出线段AB关于y轴对称的线段CD；②在y轴上找一点P使PA+PB的值最小（保留作图痕迹）；（2）按下列步骤，用不带刻度的直尺在线段CD找一点Q使∠BAQ＝45°．①在图中取点E，使得BE＝BA，且BE⊥BA，则点E的坐标为（4，3）；②连接AE交CD于点Q，则点Q即为所求．【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观．【答案】见试题解答内容【分析】（1）①由轴对称的性质可作出线段CD；②连接BD，交y轴于点P，连接AP，则此时点P使PA+PB的值最小；（2）①由垂直的定义可作出线段BE，可写出点E的坐标；②连接AE交CD于点Q，由等腰直角三角形的性质可知∠BAQ＝45°，点Q即为所求．【解答】解：（1）①如图1所示；②如图1，连接BD，交y轴于点P，连接AP，则此时点P使PA+PB的值最小，理由是：两点之间，线段最短；（2）①由垂直的定义可作出线段BE，点E坐标为（4，3），故答案为：（4，3）；②如图2，点Q即为所求．【点评】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，等腰直角三角形的性质等，解题关键是能够将最短路径问题转化为两点之间线段最短的问题及灵活运用等腰直角三角形的性质等．18．对于特殊四边形，通常从定义、性质、判定、应用等方面进行研究，我们借助于这种研究的过程与方法来研究一种新的四边形﹣﹣﹣﹣﹣筝形．定义：在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝CD，我们把这样四边形ABCD称为筝形性质：按下列分类用文字语言填写相应的性质：从对称性看：筝形是一个轴对称图形，它的对称轴是其中一条对角线所在直线；从边看：筝形有两组邻边分别相等；从角看：筝形只有一组对角相等；从对角线看：有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．判定：按要求用文字语言填写相应的判定方法，补全图形，并完成方法2的证明．方法1：从边看：运用筝形的定义；方法2：从对角线看：有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分；如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于O点，且AO≠CO．求证：四边形ABCD是筝形应用：如图，探索筝形ABCD的面积公式（直接写出结论）．【考点】轴对称图形．【专题】新定义．【答案】见试题解答内容【分析】性质：根据图形及定义可以得出结论；判定：结合图形与筝形的性质，可得出判定定理；应用：拆分筝形成两个三角形即可得出结论．【解答】解：性质：从对称性看：筝形是轴对称图形，它的对称轴是其中一条对角线所在直线．从角看：筝形只有一组对角相等；从对角线看：有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．判定：结合性质定理，可得出：方法二：从对角线看：有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．结合方法二可知缺少的条件为：AC垂直平分BD于O点，且AO≠CO．证明：按照题意，画出图形1．∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，CB＝CD．又∵AB=AO2+BO2，BC∴AB≠BC，∴由筝形定义得，四边形ABCD是筝形．应用：筝形面积为对角线乘积的一半；∵S筝形ABCD＝S△ABD+S△CBD=12BD•AO+12BD•CO=12BD（AO+CO∴筝形面积为对角线乘积的一半．故答案为：其中一条对角线所在直线；筝形只有一组对角相等；有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分；AC垂直平分BD于O点，且AO≠CO．【点评】本题考查了新概念中的筝形的性质及判定，解题的关键是：读懂题意理清关系，用数学的语言合理的叙述．本题属于中档题型，难度不大，对应以前接触过筝形的同学来说本题不难，对于没接触过的同学来说有点难度，失分点是性质和判定定理的叙述，结合我们学过的知识，选用合适的数学语言来叙述是得分的关键，此处体现出了数学的严谨性．19．如图1，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形．（1）拼成的正方形的面积是5，边长是5；（2）仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由．【考点】图形的剪拼；算术平方根．【答案】见试题解答内容【分析】（1）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为5的算术平方根；（2）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10，边长为10的算术平方根，在所给图形中截取两条长为10的且互相垂直的线段，进而拼合即可．【解答】解：（1）拼成的正方形的面积是：5，边长为：5．故答案为：5，5；（2）如图2所示，能，正方形的边长为10．【点评】本题考查了图形的剪拼、勾股定理、正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键20．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝16，点E在射线BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使得点B的对应点落在点B'处．（1）若点E为BC的中点，连接CB'，判断AE与CB'的位置关系，并说明理由；（2）若点B落在矩形ABCD内，且在矩形的对称轴上，求BE的长；（3）连接DB'，若以点A、B'、D为顶点的三角形是直角三角形，直接写出BE的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（1）AE∥CB′；（2）BE＝5或103（3）BE＝16﹣239或16+239．【分析】（1）根据折叠得出∠AEB＝∠AEB′，EB′＝BE＝8，根据等腰三角形的性质得出∠EB′C＝∠ECB′，根据三角形外角的性质得出∠BEB′＝∠EB′C+∠ECB′，证明∠AEB＝∠AEB′＝∠EB′C＝∠ECB′，即可证明结论；（2）分两种情况进行讨论：当点B′在矩形的对称轴MN上时，当点B′在矩形的对称轴PQ上时，分别画出图形，进行求解即可；（3）分两种情况进行讨论：当点B′在矩形ABCD的内部，∠AB′D＝90°时，当点B′在矩形ABCD的外部，∠AB′D＝90°时，分别画出图形，由勾股定理，矩形的性质求出结果即可．【解答】解：（1）AE∥CB′，理由如下：如图：∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝16，∠ABC＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°，AD∥BC，∵点E为BC的中点，∴BE＝CE=12根据折叠可知：∠AEB＝∠AEB′，EB′＝BE＝8，∴EB′＝EC，∴∠EB′C＝∠ECB′，∵∠BEB′＝∠EB′C+∠ECB′，∴∠AEB＝∠AEB′＝∠EB′C＝∠ECB′，∴AE∥CB′；（2）当点B′在矩形的对称轴MN上时，如图所示：则AM＝DM＝BN＝CN=1∵AM∥BN，∴四边形ABNM为平行四边形，∵∠ABN＝90°，∴四边形ABNM为矩形，∴MN＝AB＝10，∠AMN＝∠ANM＝90°，根据折叠可知：AB′＝AB＝10，BE＝B′E，∴MB′=AB∴NB′＝10﹣6＝4，设BE＝B′E＝x，则EN＝8﹣x，∵EB′2＝EN2+B′N2，∴x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5，∴BE＝5；当点B′在矩形的对称轴PQ上时，过点B′作GH⊥BC于点H，交AD于点G，如图所示：则AP＝PB=1∵∠ABH＝∠BAG＝∠BHG＝90°，∴四边形ABHG为矩形，∴AG＝BH，GH＝AB＝10，∠AGH＝90°，同理得：四边形APB′G为矩形，四边形PBHB′为矩形，∴GB′＝AP＝5，B′H＝PB＝5，根据勾股定理得：AG＝53，∴BH＝AG＝53，设BE＝EB′＝x，则EH＝53−x根据勾股定理得：EB′2＝EH2+B′H2，∴x2＝（53−x）2+52解得：x=1033，即综上分析可知：BE＝5或103（3）当点B′在矩形ABCD的内部，∠AB′D＝90°时，如图所示：根据折叠可知：∠AB′E＝∠B＝90°，BE＝B′E，AB′＝AB＝10，∵∠AB′E+∠AB′D＝90°+90°＝180°，∴点E、B′、D在同一直线上，根据勾股定理得：B′D＝239，设BE＝B′E＝x，则CE＝16﹣x，DE＝x+239，根据勾股定理得：DE2＝CE2+CD2，即（x+239）2＝（16﹣x）2+102，解得：x＝16﹣239，即BE＝16﹣239；当点B′在矩形ABCD的外部，∠AB′D＝90°时，如图所示：根据折叠可知：∠AB′E＝∠B＝90°，BE＝B′E，AB′＝AB＝10，此时点E、B′、D在同一直线上，根据勾股定理得：B′D＝239，设BE＝B′E＝x，则CE＝x﹣16，DE＝x﹣239，根据勾股定理得：DE2＝CE2+CD2，即（x﹣239）2＝（x﹣16）2+102，解得：x＝16+239，即BE＝16+239；综上分析可知：BE＝16﹣239或16+239．【点评】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．21．在平面直角坐标系中，经过点M（0，m）且平行于x轴的直线记作直线y＝m．给出如下定义：①把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段②将点P（x，y）关于y轴的对称点记作点P1，再将点P1关于直线y＝m的对称点记作点P2，则称点P2为点P（x，y）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”．例如：点P（3，1）关于y轴和直线y＝3的“青一对称点”为点P2（﹣3，5）．（1）点A（3，4）关于y轴和直线y＝1的“青一对称点”A2的坐标是（﹣3，﹣2）；（2）点B（3m+n，m﹣n）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”B2的坐标是（﹣9，5），求m和n的值；（3）若点C（6x﹣5，2x+1）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”C2在第二象限，且满足条件的x的整数解有且只有一个，求m的取值范围．【考点】坐标与图形变化﹣对称；一元一次不等式组的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．【答案】（1）（﹣3，﹣2）；（2）m=2n=3（3）32＜m【分析】（1）根据定义可知P2（﹣x，2m﹣y），结合所给的点代入即可求解；（2）根据题意可得3m+n=92m−m+n=5（3）先求C2（5﹣6x，2m﹣2x﹣1），再由C2在第二象限，可得5﹣6x＜0，2m﹣2x﹣1＞0，则x＞56，x＜m−12，根据满足条件的x的整数解有且只有一个，得到1＜m−1【解答】解：（1）P（x，y）关于y轴的对称点P1（﹣x，y），P1（﹣x，y）关于直线y＝m的对称点P2（﹣x，2m﹣y），∵A（3，4），∴点A（3，4）关于y轴和直线y＝1的“青一对称点”A2的坐标是（﹣3，﹣2），故答案为：（﹣3，﹣2）；（2）∵点B（3m+n，m﹣n）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”B2的坐标是（﹣9，5），∴3m+n=92m−m+n=5解得m=2n=3（3）点C（6x﹣5，2x+1）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”C2为（5﹣6x，2m﹣2x﹣1），∵C2在第二象限，∴5﹣6x＜0，2m﹣2x﹣1＞0，∴x＞56，x＜m∵满足条件的x的整数解有且只有一个，∴1＜m−1解得32＜m【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，平面内点的对称性，熟练掌握点的坐标特点，点的对称性是解题的关键．22．如图，在正方形ABCD中，F为边AB上一点，E为边BC延长线上一点，且CE＝AF，连接EF，与对角线AC相交于点G．（I）求证：FG＝EG；（Ⅱ）求证：AF+AD=2（Ⅲ）连接BG，点P，M，N分别是△BGE三条边BE，BG，EG上的动点，若AD＝6，AF＝2，求PM+PN的最小值（直接写出结果即可）．【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】（I）见解答；（Ⅱ）见解答；（Ⅲ）85【分析】（I）过点F作FH⊥AB，与AC相交于点H．证明△FH