2024-2025学年高中数学第2章推理与证明2.3数学归纳法练习新人教A版选修2-2

PAGEPAGE1§2.3数学归纳法[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4解析由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．答案C2．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n－1)＝2(eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋4)＋…＋eq\f(1,2n))时，若已假设n＝k(k≥2为偶数)时命题为真，则还须要用归纳假设再证A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立解析因为已知n为正偶数，故当n＝k时，下一个偶数为k＋2.答案B3．某个命题与正整数n有关，假如当n＝k(k∈N)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立解析反证法．若n＝4时成立，则n＝4＋1也成立，与已知冲突，故n＝4不成立．答案C4．用数学归纳法证明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n)＞eq\f(13,24)(n∈N＋)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边的改变状况为A．增加eq\f(1,2（k＋1）)B．增加eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2（k＋1）)C．增加eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)，削减eq\f(1,k＋1)D．增加eq\f(1,2（k＋1）)，削减eq\f(1,k＋1)答案C5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝eq\f(an,3an＋1)(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4归纳推想出{an}的通项表达式为A.eq\f(2,4n－3) B.eq\f(2,6n－5)C.eq\f(2,4n＋3) D.eq\f(2,2n－1)解析a1＝2，a2＝eq\f(2,7)，a3＝eq\f(2,13)，a4＝eq\f(2,19)，…，可推想an＝eq\f(2,6n－5)，故选B.答案B6．对于不等式eq\r(n2＋n)＜n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，eq\r(12＋1)＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即eq\r(k2＋k)＜k＋1，则当n＝k＋1时，eq\r(（k＋1）2＋（k＋1）)＝eq\r(k2＋3k＋2)＜eq\r(（k2＋3k＋2）＋k＋2)＝eq\r(（k＋2）2)＝(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法．答案D二、填空题(每小题5分，共15分)7．设f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于________．解析留意末项与首项，所以f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2).答案eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2)8．已知Sn＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＋…＋eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)，依次计算出S1，S2，S3，S4后可猜想Sn的表达式为________．解析S1＝eq\f(1,3)，S2＝eq\f(2,5)，S3＝eq\f(3,7)，S4＝eq\f(4,9)，猜想Sn＝eq\f(n,2n＋1).答案eq\f(n,2n＋1)9．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝eq\f(1－2k＋1,1－2)＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N＋，等式都成立．上述证明的错误是________．解析本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．答案未用归纳假设三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)证明：eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n－1)＋eq\f(1,2n)＝1－eq\f(1,2n)(其中n∈N＋)．证明(1)当n＝1时，左边＝eq\f(1,2)，右边＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k)＝1－eq\f(1,2k)，那么当n＝k＋1时，左边＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＝1－eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＝1－eq\f(2－1,2k＋1)＝1－eq\f(1,2k＋1)＝右边．所以当n＝k＋1时，等式也成立．依据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立．11．(12分)求证：eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n)＞eq\f(5,6)(n≥2，n∈N＋)．证明(1)当n＝2时，左边＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＝eq\f(57,60)＞eq\f(5,6)，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,3k)＞eq\f(5,6).则当n＝k＋1时，eq\f(1,（k＋1）＋1)＋eq\f(1,（k＋1）＋2)＋…＋eq\f(1,3k)＋eq\f(1,3k＋1)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋3)＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,3k)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3k＋1)＋\f(1,3k＋2)＋\f(1,3k＋3)－\f(1,k＋1)))＞eq\f(5,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3k＋1)＋\f(1,3k＋2)＋\f(1,3k＋3)－\f(1,k＋1)))＞eq\f(5,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(1,3k＋3)－\f(1,k＋1)))＝eq\f(5,6).所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)、(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋都成立．12．(13分)已知集合X＝{1，2，3}，Yn＝{1，2，3，…，n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数．(1)写出f(6)的值；(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．解析(1)Y6＝{1，2，3，4，5，6}，S6中的元素(a，b)满意：若a＝1，则b＝1，2，3，4，5，6；若a＝2，则b＝1，2，4，6；若a＝3，则b＝1，3，6.所以f(6)＝13.(2)当n≥6时，f(n)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＋2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)＋\f(n,3)))，n＝6t，,n＋2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,2)＋\f(n－1,3)))，n＝6t＋1，,n＋2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)＋\f(n－2,3)))，n＝6t＋2，,n＋2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,2)＋\f(n,3)))，n＝6t＋3，,n＋2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)＋\f(n－1,3)))，n＝6t＋4，,n＋2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,2)＋\f(n－2,3)))，n＝6t＋5))(t∈N*)．下面用数学归纳法证明：①当n＝6时，f(6)＝6＋2＋eq\f(6,2)＋eq\f(6,3)＝13，结论成立．②假设n＝k(k≥6)时结论成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形探讨：a．若k＋1＝6t，则k＝6(t－1)＋5，此时有f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋eq\f(k－1,2)＋eq\f(k－2,3)＋3＝(k＋1)＋2＋eq\f(k＋1,2)＋eq\f(k＋1,3)，结论成立；b．若k＋1＝6t＋1，则k＝6t，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋eq\f(k,2)＋eq\f(k,3)＋1＝(k＋1)＋2＋eq\f(（k＋1）－1,2)＋eq\f(（k＋1）－1,3)，结论成立；c．若k＋1＝6t＋2，则k＝6t＋1，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋eq\f(k－1,2)＋eq\f(k－1,3)＋2＝(k＋1)＋2＋eq\f(k＋1,2)＋eq\f(（k＋1）－2,3)，结论成立；d．若k＋1＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋eq\f(k,2)＋eq\f(k－2,3)＋2＝(k＋1)＋2＋eq\f(（k＋1）－1,2)＋eq\f(k＋1,3)，结论成立；e．若k＋1＝6t＋4，则k＝6