2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.4.2正弦函数余弦函数的性质一课时素养评价含解析新人教A版必修第一册

PAGE8-正弦函数、余弦函数的性质(一)(15分钟35分)1.函数f(x)=cosQUOTE的周期为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.π D.2π【解析】选C.(方法一：定义法)因为f(x)=cosQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTE=f(x+π)，即f(x+π)=f(x)，所以函数f(x)=cosQUOTE的周期T=π.(方法二：公式法)因为y=cosQUOTE，所以ω=2.又T=QUOTE=QUOTE=π.所以函数f(x)=cosQUOTE的周期T=π.【补偿训练】函数y=sinQUOTE，x∈R的周期为_______.

【解析】因为sinQUOTE=sinQUOTE=sinQUOTE，由周期函数的定义知，y=sinQUOTE的周期为6π.答案：6π2.函数f(x)=sin(-x)是 ()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数【解析】选A.由于x∈R，且f(-x)=sinx=-sin(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.3.函数y=sinQUOTE(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是 ()A.0 B.QUOTE C.QUOTE D.π【解析】选C.由题意得sinφ=±1.因为φ∈[0，π]，所以φ=QUOTE.故选C.4.函数f(x)=xsinQUOTE ()A.是奇函数 B.是非奇非偶函数C.是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数【解析】选A.由题意得函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)=xsinQUOTE=xcosx，所以f(-x)=(-x)·cos(-x)=-xcosx=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数.5.已知函数f(x)对于随意x∈R满意条件f(x+3)=QUOTE，且f(1)=QUOTE，则f(2020)=_______.

【解析】因为f(x+6)=QUOTE=f(x)，所以函数f(x)的周期为6，故f(2020)=f(4)=QUOTE=2.答案：26.推断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=-2cos3x；(2)f(x)=xsin(x+π).【解析】(1)函数的定义域为R，且f(-x)=-2cos3(-x)=-2cos3x=f(x)，所以f(x)=-2cos3x为偶函数.(2)函数的定义域为R，且f(x)=xsin(x+π)=-xsinx，所以f(-x)=xsin(-x)=-xsinx=f(x).故为偶函数.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.下列函数中最小正周期为π的偶函数是 ()A.y=sinQUOTE B.y=cosQUOTEC.y=cosx D.y=cos2x【解析】选D.A中函数是奇函数，B、C中函数的最小正周期不是π，只有D符合题目要求.2.设函数f(x)(x∈R)满意f(-x)=f(x)，f(x+2)=f(x)，则函数y=f(x)的图象可能是()【解析】选B.由x∈R，f(-x)=f(x)，得f(x)是偶函数，图象关于y轴对称.由f(x+2)=f(x)，得f(x)的周期为2.3.设函数f(x)=sinQUOTEx，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)+f(2020)= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.0【解析】选A.因为f(x)=sinQUOTEx的周期T=QUOTE=6，所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)+f(2020)=336[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)=336sinQUOTE+sinQUOTEπ+sinπ+sinQUOTEπ+sinQUOTEπ+sin2π+f(336×6+1)+f(336×6+2)+f(336×6+3)+f(336×6+4)=336×0+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=sinQUOTE+sinQUOTEπ+sinQUOTEπ+sinQUOTEπ=QUOTE.4.函数y=xcosx-sinx的部分图象大致为 ()【解析】选C.函数y=f(x)=xcosx-sinx满意f(-x)=-f(x)，又x∈R，则该函数为奇函数，图象关于原点对称，故解除B；当x=π时，y=f(π)=πcosπ-sinπ=-π<0，故解除A；又因为f(QUOTE)=QUOTEcosQUOTE-sinQUOTE=QUOTE<0，故解除D.【误区警示】解决此类问题时，留意不要看过题目后，就自己干脆画图，那样难度是很大的，要想方法利用特别值、奇偶性，依据题目的选择项等找寻答案.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.关于x的函数f(x)=sin(x+φ)以下说法中，正确的是 ()A.对随意的φ，f(x)都是非奇非偶函数B.存在φ，使f(x)是偶函数C.存在φ，使f(x)是奇函数D.对随意的φ，f(x)都不是偶函数【解析】选BC.因为f(x)=sin(x+φ)，所以当φ=0时，f(x)=sinx，是奇函数，当φ=QUOTE时，f(x)=cosx是偶函数.6.下列函数中，周期为π的是 ()A.y=sin2x B.y=cos(-3x)C.y=|sinx| D.y=|cos2x|【解析】选AC.对于选项A，依据公式T=QUOTE=π，A正确；对于选项B，依据公式T=QUOTE=QUOTEπ，B错误；对于选项C，D，画出函数的图象，即可立刻得到选项C是正确的，D是不正确的.三、填空题(每小题5分，共10分)7.若f(x)=cosx，则f(1+QUOTE)-fQUOTE=_______.

【解题指南】依据f(x)的解析式推断函数的奇偶性，再依据函数的奇偶性化简.【解析】因为f(x)为偶函数，所以fQUOTE=fQUOTE=fQUOTE=f(-(1+QUOTE))=f(1+QUOTE)，所以f(1+QUOTE)-fQUOTE=f(1+QUOTE)-f(1+QUOTE)=0.答案：0【补偿训练】f(x)=sinxcosx是_______(填“奇”或“偶”)函数.

【解析】因为f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx=-f(x)，即f(x)是奇函数.答案：奇8.已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，且f(1)=1，则f(-35)=_______，f(5)=_______.

【解析】由于函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，则f(-35)=f(-35+6×6)=f(1)=1，f(5)=f(5-6)=f(-1)=-f(1)=-1.答案：1-1四、解答题(每小题10分，共20分)9.已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈QUOTE时，f(x)=1-sinx，求当x∈QUOTE时，f(x)的解析式.【解析】x∈QUOTE时，3π-x∈QUOTE，因为x∈QUOTE时，f(x)=1-sinx，所以f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sinx.又因为f(x)是以π为周期的偶函数，所以f(3π-x)=f(-x)=f(x)，所以f(x)的解析式为f(x)=1-sinx，x∈QUOTE.10.已知函数y=QUOTEsinx+QUOTE|sinx|.(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？假如是，求出它的最小正周期.【解析】(1)y=QUOTEsinx+QUOTE|sinx|=QUOTE函数图象如图所示.(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的最小正周期是2π.1.方程cosQUOTE=QUOTE在区间(0，100π]内解的个数是 ()A.98 B.100 C.102 D.200【解析】选B.由于y=cosQUOTE=-sinx，所以在同一平面直角坐标系中作出函数y=-sinx和y=QUOTE的图象，由图象知两函数在一个周期内的交点个数为2，因此所求交点个数为2×QUOTE=100，故选B.【补偿训练】设定义在R上的函数f(x)满意f(x)·f(x+2)=13.若f(1)=2，则f(99)=_______.

【解析】因为f(x)·f(x+2)=13，所以f(x+2)=QUOTE，所以f(x+4)=QUOTE=QUOTE=f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(99)=f(3+4×24)=f(3)=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE2.推断函数f(x)=lg(s