2024-2025学年新教材高中数学第5章函数应用2实际问题中的函数模型2.2用函数模型解决实际问题学案含解析北师大版必修第一册

PAGE8-2.2用函数模型解决实际问题学习目标核心素养1.能利用已知函数模型求解实际问题．(重点)2．能自建确定性函数模型解决实际问题．(重点、难点)1.通过把实际应用问题转化为数学问题，培育数学抽象素养．2．通过利用函数模型解决实际问题，培育数学建模素养．1．常见的函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝eq\f(k,x)(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1).2．应用函数模型解决问题的基本过程用函数模型解应用题的四个步骤：(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学学问建立相应的数学模型；(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；(4)还原——将数学结论还原为实际问题．思索：1.对于解决实际应用问题时得到的函数，如何确定其定义域？提示：在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人必需为自然数等．2．求函数最大值或最小值的方法一般有哪些？提示：利用函数的单调性，利用基本不等式，利用基本初等函数的值域等．1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，其次个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100xC[当x＝4时，A中，y＝400；B中，y＝700；C中，y＝800；D中，y＝1004.故选C.]2．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满意关系y＝alog3(x＋2)，观测发觉2013年冬(作为第1年)有越冬白鹤3000只，估计到2024年冬有越冬白鹤()A．4000只 B．5000只C．6000只 D．7000只C[当x＝1时，由3000＝alog3(1＋2)，得a＝3000，所以到2024年冬，即第7年，y＝3000×log3(7＋2)＝6000.故选C.]3．新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车、其他新能源汽车等．它是将来汽车的发展方向．一个新能源汽车制造厂引进了一条新能源汽车整车装配流水线，这条流水线生产的新能源汽车数量x(辆)与创建的价值y(万元)之间满意二次函数关系．已知产量为0时，创建的价值也为0；当产量为40000辆时，创建的价值达到最大6000万元．若这家工厂希望利用这条流水线创收达到5625万元，则它可能生产的新能源汽车数量是________辆．30000或50000[设二次函数关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)则依据题意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝0,－\f(b,2a)＝40000,\f(4ac－b2,4a)＝6000))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(3,8)×10－5,b＝\f(3,10),c＝0))故y＝－eq\f(3,8)×10－5·x2＋eq\f(3,10)x，令y＝5625，解得x＝30000或x＝50000.故答案为30000或50000.]利用二次函数模型解决实际问题【例1】已知某种商品涨价x成(1成＝10%)时，每天的销售量削减eq\f(4,5)x(其中x>0)成．(1)应当涨价多少，才能使每天的营业额(售出的总金额)最大？(2)假如适当涨价，能使每天的营业额增加，求x的取值范围．[解]设商品原价格为m，每天的原销售量为n，则每天的原营业额为m·n，涨价后每天的营业额为y＝m·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,10)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)·\f(x,10)))·n，(1)y＝m·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,10)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)·\f(x,10)))·n＝[－eq\f(1,125)(x－eq\f(5,4))2＋eq\f(81,80)]·m·n.当x＝eq\f(5,4)，即涨价12.5%时，每天的营业额最大．(2)要使涨价后每天的营业额比原来增加，则需m·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,10)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)·\f(x,10)))·n＞m·n，即2x2－5x＜0，变形得x(2x－5)<0.又x>0，故0＜x＜eq\f(5,2).∴x的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2))).利用二次函数求最值的方法及留意点(1)方法：依据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．(2)留意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点起先由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100eq\r(6t)(0≤t≤24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少．[解]设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100eq\r(6t)(0≤t≤24).设u＝eq\r(t)，则u∈[0，2eq\r(6)]，y＝60u2－100eq\r(6)u＋400＝60eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u－\f(5\r(6),6)))eq\s\up8(2)＋150，∴当u＝eq\f(5\r(6),6)即t＝eq\f(25,6)小时时，蓄水池中的存水量最少．利用指数、对数型函数模型解决实际问题【例2】一片森林原来面积为a，安排每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年削减p%，10年后森林面积变为eq\f(a,2).为爱护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的eq\f(1,4).已知到今年为止，森林面积为eq\f(\r(2),2)a.(1)求p%的值；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)该森林今后最多还能砍伐多少年？[解](1)由题意得a(1－p%)10＝eq\f(a,2)，即(1－p%)10＝eq\f(1,2)，解得p%＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(\f(1,10))．(2)设经过m年森林面积为eq\f(\r(2),2)a，则a(1－p%)m＝eq\f(\r(2),2)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(\f(m,10))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(\f(1,2))，eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年起先，n年后森林面积为eq\f(\r(2),2)a·(1－p%)n.令eq\f(\r(2),2)a(1－p%)n≥eq\f(1,4)a，即(1－p%)n≥eq\f(\r(2),4)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(\f(m,10))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(\f(3,2))，得eq\f(n,10)≤eq\f(3,2)，解得n≤15，故今后最多还能砍伐15年．指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若最初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量削减eq\f(1,3)，问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)[解]依题意，得eq\f(2,100)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up8(n)≤eq\f(1,1000)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up8(n)≤eq\f(1,20).则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥eq\f(1＋lg2,lg3－lg2)≈7.4，考虑到n∈N，即至少要过滤8次才能达到市场要求．利用分段函数模型解决实际问题[探究问题]1．在解决实际问题时，对于自变量x的不同的取值范围，不能用一个统一的解析式来表达，应当如何解决？提示：写成分段函数的形式．2．如何求分段函数的定义域和值域？提示：把分段函数中各段函数的定义域求并集，就是分段函数的定义域，先求出各段函数的值域，分段函数的值域就是各段函数值域的并集．【例3】某车间生产一种仪器的固定成本为10000元，每生产一台该仪器须要增加投入100元，已知总收入满意函数：H(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－x2，0≤x≤200，x∈N，,40000，x>200，x∈N，))其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)[思路点拨](1)依据“利润＝收入－成本”求解，因为收入为月产量x的分段函数，所以利润也应为月产量x的分段函数；(2)由(1)中得到的函数，分别求出各段函数的最大值，其中的最大值就是分段函数的最大值．[解](1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋300x－10000，0≤x≤200，x∈N，,30000－100x，x>200，x∈N.))(2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12500，所以当x＝150时，有最大值12500；当x>200时，f(x)＝30000－100x是减函数，f(x)<30000－100×200<12500.所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12500.所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12500元．在本例中，若总收入满意函数：H(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(99x－\f(100,x)＋11000，0≤x＜200，x∈N，,90000，x≥200，x∈N，))其中x是仪器的月产量，其余条件不变，(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)[解](1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，所以f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))＋1000，0≤x＜200，x∈N，,80000－100x，x≥200，x∈N.))(2)当0≤x＜200时，f(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))＋1000，因为x＋eq\f(100,x)≥2eq\r(x×\f(100,x))＝20，所以f(x)≤－20＋1000＝980，当x＝10时等号成立；当x≥200时，f(x)＝80000－100x是减函数，f(x)≤80000－100×200＝60000，所以当x＝200时，f(x)取最大值，最大值为60000.所以每月生产200台仪器时，利润最大，最大利润为60000元．应用分段函数时的三个留意点(1)分段函数的“段”肯定要分得合理，不重不漏．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最终比较再下结论．1．利用函数模型解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要留意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分运用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)实际问题中两个变量之间肯定有确定的函数关系． ()(2)函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义． ()(3)用函数模型预料的结果和实际结果必需相等，否则函数模型就无存在意义了． ()[提示](1)错误．实际问题中的两个变量之间不肯定有确定的函数关系．(2)错误．在函数模型中，函数的定义域除了使函数式有意义，还要满意实际问题的要求．(3)错误．用函数模型预料结果和实际结果可能不完全相等，但是函数模型也有意义．[答案](1)×(2)×(3)×2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A．200副 B．400副C．600副 D．800副D[由5x＋4000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．]3．随着我国经济的不断发展，2024年年