2024-2025学年新教材高中数学第9章平面向量9.1向量概念课时分层作业含解析苏教版必修第二册

PAGE课时分层作业(一)向量概念(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列各量中是向量的是()A．密度B．电流C．浮力D．面积C[只有浮力既有大小又有方向．]2．若向量a与向量b不相等，则下列关于a与b的说法肯定正确的是()A．不共线 B．长度不相等C．不都是单位向量 D．不都是零向量D[若向量a与向量b不相等，则说明向量a与向量b的方向或长度至少有一个不同，所以a与b有可能共线，有可能长度相等，也可能都是单位向量，故A，B，C都错误，但a与b肯定不都是零向量．]3．若eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→))且|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(AD,\s\up8(→))|，则四边形ABCD的形态为()A．正方形 B．菱形C．矩形 D．平行四边形B[由eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→))知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形，又因为|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(AD,\s\up8(→))|，所以四边形ABCD为菱形．]4．下列命题中，正确的是()A．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量B．a，b是两个单位向量，则a与b相等C．两个相等的向量，起点、方向、长度必需都相同D．共线的单位向量必是相等向量A[若a与b中有一个是零向量，则a与b共线．]5．给出以下条件，不能使a与b共线的是()A．a＝bB．|a|＝|b|C．a与b的方向相反D．|a|＝0或|b|＝0B[依据相等向量肯定是共线向量知A成立；|a|＝|b|但方向可以随意，∴B不成立；a与b反向必平行或重合，∴C成立；由|a|＝0或|b|＝0，得a＝0或b＝0.依据0与任何向量共线，∴D成立．]二、填空题6．已知a，b是不共线的向量，eq\o(AB,\s\up8(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up8(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λμ＝________.1[∵eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(AC,\s\up8(→))有公共点A，∴若A，B，C三点共线，则存在一个实数t使eq\o(AB,\s\up8(→))＝teq\o(AC,\s\up8(→))，即λa＋b＝ta＋μtb，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,μt＝1，))消去参数t得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,μ)a＋b，此时存在实数eq\f(1,μ)使eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,μ)eq\o(AC,\s\up8(→))，故eq\o(AB,\s\up8(→))和eq\o(AC,\s\up8(→))共线．∵eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(AC,\s\up8(→))有公共点A，∴A，B，C三点共线．]7．如图所示，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有________．eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(DB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(DA,\s\up8(→))[满意条件的向量有以下几类：模长为2的向量有：eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(DB,\s\up8(→))；模长为3的向量有：eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(DA,\s\up8(→)).]8．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，f分别是AD与BC的中点，则在以A，B，C，D四点中的随意两点为始点和终点的全部向量中，与向量eq\o(EF,\s\up8(→))方向相反的向量为________．eq\o(FE,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))[∵AB∥Ef，CD∥Ef，∴与eq\o(EF,\s\up8(→))方向相反的向量为eq\o(FE,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→)).]三、解答题9．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)在如图所示的坐标系中画出eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))；(2)求B地相对于A地的方位．[解](1)向量eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))如图所示．(2)由题意知eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))，∴ADBC，则四边形ABCD为平行四边形，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，则B地相对于A地的方位是“北偏东60°距A地6千米”．10．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCfB都是正方形．(1)写出与eq\o(AO,\s\up8(→))相等的向量；(2)写出与eq\o(AO,\s\up8(→))共线的向量；(3)向量eq\o(AO,\s\up8(→))与eq\o(CO,\s\up8(→))是否相等？[解](1)与eq\o(AO,\s\up8(→))相等的向量有：eq\o(OC,\s\up8(→))，eq\o(BF,\s\up8(→))，eq\o(ED,\s\up8(→)).(2)与eq\o(AO,\s\up8(→))共线的向量有：eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))，eq\o(CO,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(ED,\s\up8(→))，eq\o(DE,\s\up8(→))，eq\o(BF,\s\up8(→))，eq\o(FB,\s\up8(→)).(3)向量eq\o(AO,\s\up8(→))与eq\o(CO,\s\up8(→))不相等，因为eq\o(AO,\s\up8(→))与eq\o(CO,\s\up8(→))的方向相反，所以它们不相等．1．(多选题)下列说法错误的是()A．若a与b平行，b与c平行，则a与c肯定平行B．终点相同的两个向量不共线C．若|a|＞|b|，则a＞bD．向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反ABCD[A中，因为零向量与随意向量平行，若b＝0，则a与c不肯定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不行以比较大小．D中，因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定.D不正确．故选ABCD.]2．把平面内全部长度不小于1且不大于2的向量的起点平移到同一点O，则这些向量的终点所构成的图形的面积为()A．4πB．3πC．2πD．πB[图形是半径为1和2的同心圆对应的圆环，故S圆环＝π(22－12)＝3π.]3．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|eq\o(BD,\s\up8(→))|＝________.2eq\r(3)[结合菱形的性质可知|eq\o(BD,\s\up8(→))|＝eq\r(3)×2＝2eq\r(3).]4．如图所示，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，若eq\o(AC,\s\up8(→))的模为2，eq\o(BC,\s\up8(→))的模为3，eq\o(AD,\s\up8(→))的模为1，则eq\o(DB,\s\up8(→))的模为________．eq\f(3,2)[如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.所以∠ACD＝∠BCD＝∠AED，所以|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝|eq\o(AE,\s\up8(→))|.因为AE∥BC，所以△ADE∽△BDC，所以eq\f(|\o(AD,\s\up8(→))|,|\o(DB,\s\up8(→))|)＝eq\f(|\o(AE,\s\up8(→))|,|\o(BC,\s\up8(→))|)＝eq\f(|\o(AC,\s\up8(→))|,|\o(BC,\s\up8(→))|)，故|eq\o(DB,\s\up8(→))|＝eq\f(3,2).]5．一位模型赛车手遥控一辆赛车，沿正东方向前行1m，逆时针方向转变α度，接着按直线向前行进1m，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1m，按此方法接着操作下去．(1)按适当的比例作图说明当α＝45°时，至少需操作几次时赛车的位移为0；(2)按此法操作使赛车能回到动身点，α应满意什么条件？请写出其中两个．[解](1)如图可知操作8次可使赛车的位移为零，此时α＝eq\f(360°,8)＝45°.(2)若使赛车能回到动身点，则赛车的位移为零，由第(1)问作图可知，所作图形需是内角为(180°－α)的正多边形，故n(180°－α)＝(n－2)180°，得α＝eq\f(360°,n)，又n是不小于3的整数，所以当n＝10，即α＝36°时需操作10次可回到动身点；当n＝12，即α＝30°时需操作12次可回到动身点．6．如图所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))且eq\o(CN,\s\up8(→))＝eq\o(MA,\s\up8(→))，求证：eq\o(DN,\s\up8(→))＝eq\o(MB,\s\up8(→)).[证明]因为eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，所以|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(DC,\s\up8(→))|且AB∥DC.所以四边形ABCD是平行四边形，所以|eq\o(DA,\s\up8(→))|＝|eq\o(CB,\s\up8(→))|且DA∥CB，又因为eq\o(DA,\s\up8(→))与eq\o(CB,\s\up8(→))的方向相同，所以eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→)).同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以eq\o(CM,\s\up8(→))＝eq