2024-2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词课时分层作业含解析新人教A版必修第一册

PAGE1-课时分层作业(七)全称量词与存在量词(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的另一种表述方式的是()A．有一个x∈R，使得x2＞3B．对有些x∈R，使得x2＞3C．任选一个x∈R，使得x2＞3D．至少有一个x∈R，使得x2＞3C[“∀”和“任选一个”都是全称量词．]2．下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，|x|＝0B．∃x∈R,2x－10＝1C．∀x∈R，x3>0D．∀x∈R，x2＋1>0C[当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题．]3．下列命题中是存在量词命题的是()A．∀x∈R，x2＞0B．∃x∈R，x2≤0C．平行四边形的对边平行D．矩形的任一组对边相等B[A含有全称量词∀，为全称量词命题；B含有存在量词∃，为存在量词命题，满意条件；C省略了全称量词全部，为全称量词命题；D省略了全称量词全部，为全称量词命题，故选B.]4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使eq\f(1,x)>2B[A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为eq\r(3)＋(－eq\r(3))＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有eq\f(1,x)<0，所以D是假命题．]5．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是()A．对随意实数x，都有x＞1B．不存在实数x，使x≤1C．对随意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1C[“存在实数x，使x＞1”的否定是“对随意实数x，都有x≤1”．故选C.]二、填空题6．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用符号表示为________．存在量词命题∃x，y∈R，x＋y＞1[命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是存在量词命题，用符号表示为：“∃x，y∈R，x＋y＞1”．]7．命题“随意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是______．存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0[原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要否定量词又要否定结论，所以其否定为：存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0.]8．若“∀x∈R，x2＋4x≥m”是真命题，则实数m的取值范围为________．{m|m≤－4}[由题意，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4的最小值为－4，所以m≤－4.]三、解答题9．推断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．[解](1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形的内角和不等于180°.(2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是存在量词命题且为真命题．命题的否定：全部的四边形都是平行四边形．10．写出下列命题的否定，并推断其真假：(1)p：∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根；(2)q：有些梯形的对角线相等．[解](1)p：∃m∈R，方程x2＋x－m＝0无实数根．由于当m＝－1时，方程x2＋x－m＝0的根的判别式Δ＜0，∴方程x2＋x－m＝0无实数根，故其是真命题．(2)q：∀x∈{梯形}，x的对角线不相等，如等腰梯形对角线相等，故其是假命题．11．下列命题的否定是真命题的为()A．p1：每一个合数都是偶数B．p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等C．p3：有些实数的肯定值是正数D．p4：某些平行四边形是菱形A[若推断某命题的否定的真假，只要推断出原命题的真假即可得解，它们的真假性始终相反．因p1为全称量词命题，且是假命题，则p1是真命题．命题p2，p3，p4均为真命题，即p2，p3，p4均为假命题．]12．(多选题)下列四个命题：①一切实数均有相反数；②∃a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根；③梯形的对角线相等；④有些三角形不是等腰三角形．其中，是真命题的是()A．① B．②C．③ D．④ABD[①为真命题；对于②，当a＝0时，方程ax＋1＝0无实数根；对于③，等腰梯形的对角线相等，故③错误；④为真命题．]13．下列命题中正确的有________．(填序号)①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．①②③[①∃x∈R，x≤0，正确；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满意条件；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，正确，例如x＝π.综上可得①②③都正确．]14．(一题两空)已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.(1)命题p的否定为：________；(2)若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________．(1)∀x∈R，x2＋2x＋a≠0(2){a|a≤1}[(1)命题“存在x∈R，x2＋2x＋a＝0是存在量词命题，其否定为：∀x∈R，x2＋2x＋a≠0.(2)存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，∴Δ＝4－4a≥0，∴a15．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，命题q：∃x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，若命题p为真命题，q为假命题，求实数m的取值范围．[解]由题意知命题p，q都是真命题．由∀x∈