2024-2025学年贵州省印江土家族苗族自治县高二年级上册12月联考数学试题（含解析）

2024-2025学年贵州省印江土家族苗族自治县高二上学期12月联考

数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.已知全集。={1,2,3,4,5,6},集合N={2,4},集合8={1,4,6},贝1]佝田门8=()

A.{3,6}B.{1,4,6}C.{1,6}D.{456}

2.已知复数z=（2+i）i,其中i为虚数单位，则丁的值为（）

A.V3B.V5C.3D.5

3.已知。=bg2().2,b=20-2,c=O.203,则有()

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.b<c<a

4.空间中有两个不同的平面a、尸和两条不同的直线机，",则下列说法中正确的

是（）

A.若a〃6，m||a,nlip,贝!JB.若a〃6，mlla,nL/3,则加_L〃

C.若aJ■夕，mlla,mlln,则"1■/D.若a〃/，mlla,mlln,则“〃万

5.命题“也«1,2],/-。40”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.tz<4B.a>4C.a<5D.a>5

6.已知sin[a+m；-sina=j,则cos(2a+m]=()

5151

A.—B.—C.-D.-

9999

7.已知某圆锥的底面半径和球的半径都为G，且它们的体积相等，则圆锥的侧面积

为（）

A.3A/17TIB.2后itC.3/nD.2岳n

8.已知函数〃芯）="[的图象与直线h7+44=0有两个交点（4,匕），（巧，人）

X-1

则尤1+尤2+必+%=（）

A.6B.8C.10D.12

二、多选题（本大题共3小题）

9.学校分别对高一学年和高二年学开展体育水平抽样测试，测试成绩数据处理后,

得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（）

B.样本中高二学年成绩在80分以上的人数高于高一学年成绩在80分以上的人

数

C.样本中高二学年成绩的方差高于高一学年成绩的方差

D.样本中高二学年成绩的中位数高于高一学年成绩的中位数

10.已知函数〃回=然皿3+?）1>0,。>0,闸苦］部分图象如图所示，则下列说法

B.的图象关于点对称

C.将函数y=2cos12x+mj的图象向右平移1个单位得到函数/（x）的图象

D.若方程［卜）=加在0,5上有且只有一个实数根，则加的取值范围是卜石,百）

11.如图是棱长为2的正方体/BCD-44GA，点?在侧面8CC£上运动，则下列结

论正确的有（）

G

B.若M为。2的中点，当/尸〃平面4GM时，4P长度的最小值是产

C.当直线AP与平面/。口4所成的角为60。时，点P的轨迹长度为侦

3

「拒

D.当户在线段3。上运动时，4P与8。所成角的正弦值取值范围是争1

三、填空题(本大题共3小题)

12.若直线4：2尤-町+2=0与直线公x-岛+a+l=0平行，则直线4与4之间的距

离为.

22

13.已知圆C|：x+j-2x+4y-4=0-^iac2：x2+j?+4x-2y-4=0的交点为A、

B,则|/刈=.

14.已知球。是棱长为3的正四面体5L48。的内切球，E77是球。的一条直径，P为该

正四面体的棱上的动点，则而.而的取值范围为.

四、解答题(本大题共5小题)

15.在某次学科知识竞赛的初赛中，共有两道试题，两道题都答对者才能进入决

2

赛.现有甲、乙、丙三名学生去参加初赛，他们答对第一题的概率分别是2，

答对第二题的概率分别是:，;，已知甲和丙都答对第一题的概率为:，且

他们三人是否答对各道题之间是互不影响的.

⑴求甲进入决赛的概率；

(2)求甲、乙、丙这三名学生中恰有两人进入决赛的概率.

16.已知圆M的圆心在＞轴上，且与直线x-y+7=0相切于点尸(-2,5).

⑴求圆M的方程；

⑵若直线/经过点。(2后,1)且与圆M相切，求直线/的方程.

17.如图，在直三棱柱NBC-44cl中，NC=8C=44i=3,AC1BC,M为线段48

上的一点，且3M=2/M,N为线段cq的中点.

⑴求证：/N〃平面4cM；

(2)求二面角B-B.C-M的余弦值.

18.在V/BC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,a=l,^二=四二£.

cosAcosC

(1)求角A；

(2)若。是线段8c的中点，且/。=1,求又公；

(3)若VA8C为锐角三角形，求V/BC的周长的取值范围.

19.如图①所示，四边形N8C。是直角梯形，AQ^BC,AQ±AB,且

AQ=2BC=2AB=4,。为线段/。的中点.现沿着CD将AQCD折起，使。点到达尸

点，如图②所示；连接尸2、PB,其中M为线段P4的中点.

(1)求证：DM"PB；

(2)若二面角/-CA-P的大小为60。，则在线段PC上是否存在一点N,使得直线尸8

与平面5ZJN所成角的正弦值为J?若存在，求三棱锥尸的体积；若不存在，请

4

说明理由；

⑶在(2)的条件下，求点A到平面8DN的距离.

答案

1.【正确答案】C

【详解】由题意自/={1,3,5,6},

所以(与/卜3={1,6},

故选：C

2.【正确答案】D

【详解】因为复数z=(2+i)i=-l+2i,

所以1=_l_2i，

贝I]zz=(-l+2i)(-l-2i)=5,

故选：D

3.【正确答案】A

03

【详解】因为a=bg20.2<log21=0,c=O.2,>0,所以

因为c=0.2°3<0.2°=1,b=20-2>2°=1,所以c<b,

综上所述，a<c<b.

故选：A.

4.【正确答案】B

【详解】对于选项A：若a〃a，mlla,nll13,则见〃可能异面，故A错误；

对于选项B：若all(3,n10,可知〃_La,

且〃z//a,所以机_L〃，故B正确；

对于选项C：若ml/a,则机与尸不一定垂直，

且加//”，所以〃与万不一定垂直，故C错误；

对于选项D：若all/3,mlla,mlln,则可能有"u£,故D错误；

故选：B.

5.【正确答案】D

【分析】求解命题“匕«1,2],/_〃40，，为真命题时心4,即可根据真子集求解.

【详解】命题“\^«1,2],/一。40，，为真命题,则6^/对\^€[1,2卜恒成立，所以

\/max,故°24,

所以命题“Vx--aWO”为真命题的充分不必要条件需要满足是何。“}的真子

集即可，由于同心5}是{而"}的真子集，故符合，

故选D.

6.【正确答案】B

【详解】因为

.「兀).1.61.(a2

sina+-—sma=—sina+—cosa-sina=-eoscr--sma=cosa+-\=—

{3)2222(613

故选：B.

7.【正确答案】A

【详解】设圆锥的高为〃，则母线长C=』2+(G『=后大.

根据已知条件有:兀(6b/?=,得〃=4百，所以公5+3=J48+3=百.

故圆锥的侧面积S=小万］=小与后=3&7兀.

故选：A.

8.【正确答案】C

4r-31

【详解】/(%)=—丁=4+1，所以/⑶的对称中心为。，4),

x-1x-1

直线履7+4-左=0可化为歹-4=左(％-1),所以直线经过定点(1,4),

所以点(%1，丫1)和点(%2，丫2)关于点。4)对称，

22

所以国+工2+必+%=2+8=10,

故选：C

9.【正确答案】ABD

【详解】对于A中，由高二年级学生成绩的频率分布直方图，高二年级学生成绩的

众数位于区间［80,90］的中点横坐标，所以众数为85,所以A正确；

对于B中，由样本中高二学年成绩在80分以上的人数的频率为

(0.04+0.015)x10=0.45,

高一学年成绩在80分以上的人数的频率为(0.022+0.010)x10=0.32,

所以高二学年成绩在80分以上的人数高于高一学年成绩在80分以上的人数，所以B

正确；

对于C中，由频率分布直方图，可得高一学生成绩的平均数为：

(45x0.004+55x0.011+65x0.018+75x0.035+85x0.022+95x0.010)x10=74,

则高一学生成绩的方差为：

S；=(45-74)2X0.04+(55-74)2x0.11+(65-74)2x0.18+(75-74)2x0.35

+(85-74)2x0.22+(95-74)2x0.10=l57

高二学生成绩的平均数为：

(45x0.0025+55x0.0025+65x0.005+75x0.035+85x0.04+95x0.015)x10=80.25,

可得高二学生成绩的方差为：

s；=(45-80.25)2x0.025+(55-80.25)2x0.025+(65-80.25)2x0.05

+(75-80.25)2X0.35+(85-80.25)2x0.4+(95-80.25)2x0.15^110,

所以样本中高二学年成绩的方差低于高一学年成绩的方差，所以C不正确;

对于D中，由高一学生成绩的频率分布直方图，

可得其中前3个矩形的面积和为(0.004+0.011+0.018)x10=0.33,

前4个矩形的面积和为(0.004+0.011+0.018+0.035)x10=0.68,

所以高一学生成绩的中位数位于[70,80]之间，设中位数为七，

贝!|X,=70+--xlO»74.86；

10.35

由高二学生成绩的频率分布直方图，

可得其中前4个矩形的面积和为(0.0025+0.0025+0.005+0.035)x10=0.45,

前5个矩形的面积和为(0.0025+0.0025+0.005+0.035+0.04)x10=0.85,

所以高二学生成绩的中位数位于［70,80］之间，设中位数为马，

贝(］乙=80+些xl0=81.25,其中74.86<81.25,

0.4

所以样本中高二学年成绩的中位数高于高一学年成绩的中位数，所以D正确.

故选：ABD.

10.【正确答案】AB

【详解】由函数图象可得62,由:刍子朝解得。=2,故A正确;

所以/(x)=2sin(2x+°),

所以已+9=2祈+],keZ,即。=2依+],左EZ,又所以"二g,

丁・/(x)=2sin,

对于B：当x=-1时，=2sin^7i>0,

所以/（X）的图象关于点卜了,0）对称，故B正确;

对于C：将函数y=2cos（2x+gj的图象向右平移T个单位得到:

7T71714兀

对于D：当xe0,-时,2Cx+—G

33,3

令上2》+上£解得04x4j所以〃x）在0,白上单调递增，

33212'"L12」

令+2，解得=Vxw],所以〃x）在「白，。上单调递减，

233122L122J

又/⑼=2sing=6,

故方程/（尤）=加在"盘上有且只有一个实数根时，则〃2的取值范围是

[-V3,V3）u{2},故D错误.

故选：AB.

11.【正确答案】ABD

【详解】底面三角形形44。的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长,

故三棱锥/-4尸D的体积不变，故A正确；

取夕月的中点N,连接4C,AN,NC,在正方法体中易证平面/CN//平面4cl

可知，CN//平面4cl故尸点轨迹为线段CN,

所以4P长度的最小值即为A到CN的距离，

又AN=NC=EAC=242,所以NC边上的高为=拒,

设A到CN的距离为〃，由等面积可知：2邑担=回，解得：介=2等，B正确;

ac,

设P在平面ZD24的射影为P,点P的轨迹长度即为点尸的轨迹长度,

连接PP',NP,易知PP_L平面PP'=2，

由线面角的定义可知：ZP'AP=60°,

所以k=「空

tan603

所以尸'的轨迹是以A为圆心，半径为友的四分之一圆周,

所以轨迹长度为Lx27rx也=也兀，C错误;

以BC,BA,BBl为x,%z轴建系，

则/（0,2,0）,3（0,0,0）,。（2,2,0）,

又点尸在坐标平面xOz内，同时在正方形对角线上，可设尸（"7,0,〃。,（04“Z42）,

则》=（网-2,m），丽=（2,2,0）,

设/尸与所成角为。，

则cos0=IcosAP,5Z)|=2m-4

12加2+4x2A/2

因为/（加）=2一刃，g（优）='在04皿42都单调递减，且/W"0,g（m”0,

小、1

所以，=（2-切）/,,在04皿42都单调递减，

V4m+8

故当修时,c能取得最大值争当…时’c斓取得最小值。,

所以OVcosev，^,所以D正确.

22

故选：ABD.

12.【正确答案】6

【详解】由两直线平行可得°=26,

所以直线4：2x-2岳+2=0,也即x-®+l=0,

又直线，2：x—+2A/3+1=0,

因此直线4与，2之间的距离为d」2"+lT=百.

V1+3

故白

13.【正确答案】372

【详角星】圆C|：x2+y~—2x+4y—4=0,即（x—1）+（y+2）=9,

则圆心G（l「2）,半径13；

圆C2：x2+y2+4x-2y-4=0,BP（x+2）2+（y-l）2=9,

则圆心。2(-2,1),半径々=3；

所以|CC卜J(-2-1『+(1+2)2=3&,所以|「引<|GG|<n+r2,

所以两圆相交，贝U两圆公共弦方程为一+/一2苫+4了一4一（尤2+/+4苫-2了一4）=0,

即x-y=09

d”(-2)|.3行

则圆心G（l,-2）到直线x-y=0的距离

"1)22

所以公共弦|4同=257=2{32：殍1=3/2.

故3逝

「31

14.【正确答案】-53

4

【详解】如下图所示:

正四面体9C的棱长为3,设其内切球的球心为O,连接SO并延长交底面于点G,

易知点G为V/2C的中心，且SGL平面N8C；

连接/G并延长交3c于点。，则点。为3C的中点；且ND13C；

则/。=履2一破=迈,AG=1AD=^-

23

因为SGL平面/BC,4Du平面/3C,所以SGL4D；

可得SG=s/SA2~AG2=46，

易知VABC的面积为SJBC=：BC.AD=3x^~~=;

正四面体体积为—BC=gS-c-SG=Tx&>=岑；

设正四面体西。的内切球的半径为K,则

K-ABC=—O-ABC+^O-SAB+^O-SBC^O-SAC=^O-ABC；

即逑=4』递院解得八逅;

4344

可知SO=SG-OG=H^,

4

易知万.丽=（而+国•（而+西，又E尸是球0的一条直径，所以历+砺=G；

因止匕而.而=（而+词•（而+西=用-OE=用

易知当尸为该正四面体的顶点时，止匕时尸O=SO=W1,而•丽=折一.二一|_=3取

4888

得最大值；

当P为该正四面体棱的中点时，此时尸。=而谟二^=生旦，

4

PEPF=PO2-l=l-'I■取得最小值;

8884

3

因此而•丽的取值范围为-3

故P3

4

2

15.【正确答案】（1）§

⑵二

-108

112

【详解】（1）由题知：甲和丙都答对第一题的概率为0义5=§,则P=§；

71?

记“甲进入决赛”为事件A,由题知：尸（4）=§><§=,；

（2）记“乙进入决赛”为事件5,记“丙进入决赛”为事件C,

由题知：P（S）=|x|=l;P（C）=|xi=l；

则甲、乙、丙三位学生中恰有两人进入决赛的概率为

尸⑷尸⑷尸（0+尸⑷尸（与尸（C）+P⑷P（2）尸（c）=|xgx；+；xgx；+gx；x；=2.

16.【正确答案】（1>2+（”3）2=8；

（2）x=2A/2或x—2y[^y=0.

【详解】（1）方法1：由题意，设圆心加（0力），半径「，

:圆M经过点尸（-2,5）,厂=\MP\=+（5-6）2,

・・,圆M与直线x-y+7=0相切,

圆心M到直线x-y+7=0的距离为〃=匹曰=

V2

_|0-/?+7|

,化简得：6?-66+9=0,解得b=3；

6

则圆心为M（0,3）,半径q==J（-2）2+（5-3[=2五,

所以圆"的方程为x2+（y-3『=8.

方法2：由题意，设圆心M（0,6）,半径r；

••,圆M与直线x-y+7=0相切于点P（-2,5）,

7b—5

贝U怎M=0_（_2）=_1,解得6=3；

22

则圆心为M（0,3）,r^\MP\=,J（-2）+（5-3）-241,

所以圆M的方程为/+5-3『=8.

（2）由题意，圆心”（0,3）到直线/的距离为1=2收，且/经过点（2行,1）,

①若直线/的斜率不存在，其方程为x=2行，

圆心M（0,3）到直线/的距离为1=2后，显然符合题意；

②若直线/的斜率存在，设直线/的方程为>-1=左1-2亚'），即日-y+l_2j，=0,

/、_I-3+1-2网「、历

圆心M（0,3）到直线/的距离为d=।~।=2也，解得左=上，

VPZ14

贝U止匕时直线/的方程为了一1=孝卜一2后），即x-2y/2y=0.

综上，直线/的方程为无=2啦或》-2岳=0.

17.【正确答案】（1）证明见解析

（2）1

【详解】（1）证明：连接BN,记m口耳。=£,连接ME,

由题意知：四边形BCG4正方形，且N为CG的中点，

BBX=2CN,则ABB'ESANCE,且BE=2NE；

又BM=2AM,:.ME//AN-,

又NN<Z平面BiCM,MEu平面

所以/N〃平面4cM；

（2）由题可知，AC、BC、cq两两垂直，

以C为原点，以C4,C3,CG所在的直线分别为x）,z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系，

z」

：CX

By

因为NC=3C=/4=3,BM=2AM,则有C（0,0,0）,M（2,l,0）,吕（0,3,3）,

则两=（2,1,0）、西=（0,3,3）,

设平面BXCM的一个法向量为记=（%,y,z）,

m-CM=2x+y=0,、

则一，令％=1,贝I」丽=（1,—2,2）,

丽•CHi=3y+3z=0

由题易知平面防。的一个法向量为方=（1,0,0）,

记二面角5-与。-M的平面角为凡由图可知：。为锐角，

贝Ucos^=|cosm,=

lxJl+4+4

18.【正确答案】（1）N=]

sirU2sin5-sinC

【详解】由题及正弦定理可知:

/.siib4cosC=2sinScos4-sinCcos力

/.siiL4cosC+sinCcos/=sin（力+C）=2sin5cos/,

XA+B+C=TI,sinB=2sin5cos/,

sinB>0,cosA=—

2

4£（0,兀），

222

（2）由（1）及余弦定理得：a=b+c-2bccosAf即1=〃十/一曲，①

又因为/。=—/B+7ZC,贝I=\LLC\,

22（2AB+2AJ

所以1=/2+502+/0,②

444

3

由②x4-①得：bc=~,

所以工皿=LcsiM=

2

(3)由(1)得4=*,则3+。=空，gpsinC=sin|-5^|=—^cos5+^sinS,

33L3)22

22

由正弦定理可知b=用sin5,c=-^=sinC,

I、

所以6+c=sinS+sinC)=2sin5+—cosB=2sinl5+^j.

2J

TT7jrjr

因为V为锐角三角形，所以。。<7-

即聿<2苦，y<S+^<y>则sin,+1；号,1,即2sin/+小（6,2],

则a+b+cE^1+■飞],故VABC的周长的取值范围为（1+64].

19.【正确答案】（1）证明见解析

⑵存在，%皿=平

⑶正

【详解