2024-2025学年北师大版九年级数学上学期专项复习：图形的相似 解答题（含基础+重点+压轴九大题型）解析版

图形的相似解答题(基础+重点+压轴，九大题型)

目录：

题型1:成比例线段

题型2：平行线分线段成比例及其几何应用

题型3：图形的位似

题型4：相似三角形的证明

题型5：作图证明题综合

题型6：相似三角形的判定与性质

题型7：相似三角形的判定与性质的实际应用

题型8：相似三角形在特殊平行四边形的应用

题型9：相似三角形难点分析

题型1：成比例线段

/、_，心abc4Q+b卫生

1.(1)已知：-=-=求—的值.

234b+c

(2)已知〃:b:c=2:3:4,a+b-c=6,求〃+6的值.

【答案】(1)(2)54.

【分析】(1)设。=2后，b=3k,c=4左，代入^即可求解，

b+c

(2)设q=2左，b=3k,c=4k,代入a+b-c=6,求出左值，代入a+6+c,即可求解,

本题考查了，比的基本性质，熟练掌握设未知数法表示比值是解题的关键.

【解析】解：(1)设|=:=(=左任#0)，

贝Uq=2左，b=3k,c=4k,

n.a+b2左+3左5

b+c3左+4左7'

(2)由。：6:。=2:3:4可设。=2左，b=3k,c=4k,

a+b-c=6f

:.2k+3k—4k=6,

解得：k=6,

.•.〃+b+c=2左+3左+4左=9左=9x6=54.

ace1

2-已知厂2=7=，'且

a+c+e

(i)的值为

b+d+f

(2)若a+c-e=4,求人+"-/的值.

【答案】（I）:

(2)8

【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键.

（1）根据等比性质求解即可；

（2）根据给出的条件得出6=2°,d=2c,/=2e,再代入“+c-e=4,然后进行整理即可得出答案.

ace1

【解析】⑴解：,:工=7=7=7,

baf2

a_c_e_a+c+e_1

b+d+f~^9

故答案为：—；

ace1

（2）v-=j=y=-,且b+d+/wO,

b=2a,d=2c,f-2e,

vtz+c-e=4,

贝+=2Q+2c-2e=2（〃+c-e）=8,

.・.b+d-f的值为8.

3.（1）点尸是线段群的黄金分割点，AP>BP,45=6厘米，求5尸的长；

（2）己知点P是线段M的黄金分割点，AB=y/5+1,求加5的值.

【答案】（1）8P=（9-3方）厘米；（2）4P=2或4P=百一1.

【分析】（1）根据条件建立等式/尸=好匚42,求解即可；

2

（2）利用分类讨论的思想讨论出黄金分割点，得出与原线段比例分别为避二1.和三区，然后建立等式求

22

解.

【解析】解：（1）根据黄金分割点定义，且

可知/尸=叵口48,此时

2

8尸=三38=三反6=（9一34）厘米；

（2）线段的黄金分割点有两个，与原线段比例分别为1二L和上立，

22

ikAP=^^-AB=2^AP=^^-AB=y/5-l.

22

【点睛】本题考查了黄金分割点，解题的关键是注意黄金分割点和黄金分割的区别，一条线段的黄金分割

点有两个，满足黄金分割黄金比的只有一个.

4.若实数a,b,c满足-------=-------=---,求——」——U——的值.

cababc

【答案】8或-1.

【分析】观察如2="0=色兽与（a+6）（”c）（c+a）发现,后者是通过前者相乘得来，那么只要找

cababc

（a+b）（6+c）（c+a）e”、n（。+6）（b+c）（c+a）,、工八/、/,小八

出It1——-=-——=的值解出，因此设1——-=-——L=^-L=k,通过变换化为（。+67+c）（左—2）=0

cabcab

那么可能是。+6+。=0或左=2对这两种情况分别讨论求解即可.

a+bb+cc+a

'~^=下=~^’

、a+bb+cc+a

设n----=----=——=k7,

cab

贝！Ja+b=h,b+c=ka,c+a=kb,

(a+6)+(6+c)+(c+a)=kc+ka+kb,

2(a+6+c)=k(a+b+c),

艮[J(Q+6+c)(k-2)=0,

所以a+b+c=0或左=2,

当〃+b+c=0时，贝!]〃+b=-c,

a+bb+cc+a

=-l,同理=-1,――=-1,

c------------------a---------------b

所以("+»,伍+°>S+c)

abc

：(“+叽伍+c)Jc+°)

cab

二(—1)x(—1)x(—1)

=-1;

当左=2时,

a+bb+cc+a_

----=----=----=2

cab

所以（a+»，（6+c）M+c）

abc

r（.+叽伍+c）上+“）

cab

=2x2x2

=8，

综上，值为8或-1.

【点睛】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，做好本题的关键是找出〃、6、。三个变量间的关系,

E,,nr、门b+CC+a7/口hl八一X,c

因而假设----=----=—7—=左得至U〃+bT+c=O或左=2.

cab

题型2：平行线分线段成比例及其几何应用

AC3

5.如图，AB//CD//EF,——=—,8尸=20,求。尸的长.

CE5

【答案】12.5

【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据45〃。。〃虾，得出三=、，根据5尸=20,

CEDF

AC4

求出结果即可.

【解析】辘..•：AB/ICD//EF,

ACBD

CE~DF

AC_3

-BF=20,

~CE~5

320-DF

5-DF

解得二12.5,

经检验，。尸=12.5是分式方程的解.

・・・。江的长为12.5.

6.如图，直线4,4,4分别交直线乙于点AB、C,交直线4于点。、E、F,且4〃，2〃/3.

（2）如果42=6,8。=8,。尸=12,求郎的长.

32

【答案】（1）不

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键.

（1）利用平行线分线段成比例定理求F得F芸=R令C=；5,可求得BC的长，进一步可求得NC的长.

DEAB3

（2）利用平行线分线段成比例定理求得F等F=勺R三C，代入数值可求得即的长.

DEAB

【解析】（1）解•・•：/'〃、〃qEF:DE=5.3,43=4,

EF_BC_5

法一花—3

BC_5

-4__3

","SC=T

2032

AC=AB+BC=4A+——=——

33

（2）解：•・・/]〃乙〃4,

EFBC

AB=6,BC=8,DF=12,

EF_8

，'n-EF~6,

厂厂48

EF=——.

7

7.如图，已知点。，E分别在边48,AC±,BE,CD交于点O,—=—=43=7,DB=4,

ABBCCO

BC=9,CD=10.求DE,CO的长.

先求得4D=4B-DB=7-4=3,再根据段=当=：求得。£=§；由%=当=］求得

nCAn77COAn7

7

CO=——CD=1.

3+7

【解析】•・,Z5=7,DB=4,BC=9,CD=10

AD=AB-DB=l-4=3

..DEAD_3

•5C-IF-7

3327

:.DE=-BC=-x9=—

777

..DOAD_3

.co7

77

CO=——CD=—xl0=7

3+710

27

:.DE,CO的长分别为7；

8.如图，在矩形ABC。中，£是边延长线上的点，且EB=AB,QE与初相交于点RAD=2,

CD=1,求4E及QF的长.

【答案1AE=>/2，DF=2^^

【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，以及勾股定理的应用，由矩形的性质得出

BC=AD=2,AB=CD=1,ZABC=ZC=90°,AB//DC,由勾股定理求出4E,DE,由平行线分线段

成比例可得出宅=第=1,设EF=x,则。尸=2x,代入EF+DF=DE,得出x的值，即可得出。E

DFCB2

【解析】解：,•・四边形是矩形，且/。=2,CD=1,

BC=AD=2,AB=CD=\,NABC=NC=90。，AB//DC,

EB=AB-1,

在RtZUH石中，AE=yjAB2+BE2=Vl2+12=V2，

在RtZ\OCE中，DE=yJCD2+CE2=Vl2+32=V10

•・•AB//DC,

EF_EB

"^F~~CB~29

设EF=x,贝QDF-2x,

EF+DF=DE,

*',x+2x=Jl0,

Vio

x=-----，

3

3=2.亚

3

BD3

9.如图，在△Z5C中刀、E、尸分别是48、3C上的点，且。石〃/C,AE〃DF,——=-,BF=9cm,

AD2

求斯和FC的长.

【答案】EF=6cm,FC=16cm

【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，注意对应线段是解答的关键.利

用平行线分线段成比例得至嗤一笔BE_BD

进而求解即可.

EC~AD

BD_3

【解析】解：•・・/石〃。尸，BF=9cm,

14D~2

BF处，即2=3

~EFADEF2

解得：EF=6,

.-.BE=BF+EF=9+6=15（cm）.

•・•DE//AC,

BEBD口口153

・•・——=——，即——=-,

ECADEC2

解得：EC=10,

・•./C=Eb+EC=6+10=16（cm）,

EF=6cm,FC=16cm.

10.如图，正方形458的边长为1.对角线4。、5。相交于点。，尸是延长线上的一点，AP交BD于

点、E,交CD于点、H,。尸交CD于点尸，且EF与/C平行.

⑴求证：EFLBD.

⑵求证：四边形/CPD为平行四边形.

⑶求OF的长度.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

⑶包

6

【分析】（1）由正方形的性质得出ZC15。，结合环〃ZC即可得证;

⑵由斯〃/C得出管磊，器由正方形的性质得出3"，—从而浮器,

PFDF

即莅推出"。〃也即可得证;

（3）求出OE和斯的长，再由勾股定理计算即可得出答案.

【解析】（1）证明：•・•四边形是正方形,

AC.LBD,

-EF//AC,

••,EF1BD；

(2)证明：・・・M〃4C,

PE_EFDE_EF

''~PA~~OA'~DO~~OC'

•・•四边形ABCD是正方形，

AD//CP,OA^OC,

PEDE

••西一防’

PEDE

AO//DP,

・•・四边形ZCPQ为平行四边形；

(3)解：•・•四边形458是正方形,

•••BD=AC=Vl2+12=V2，

•・•四边形ZC尸。为平行四边形,

：.CP=AD=BC,

AD_1

PB~2

vAD//BP,

DEAD

"BE~BP~2f

.八万1Dr.V2V2V2V2

33236

DO=-BD=—,NDEF=ZDOC=90°-ZEDF=45°,

22

:"DFE=45°,

■.EF=DE=—

3

•••由勾股定理可得:

【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理，熟

练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

题型3：图形的位似

11.如图，。为原点，B,C两点坐标分别为（3,-1）,（2,1）.

⑴以。为位似中心在V轴左侧将△O3C放大两倍，并画出图形；

(2)已知初(。，b)为△08C内部一点，写出〃的对应点/'的坐标.

【答案】⑴见解析

(2)(~2a,—26)

【分析】本题主要考查作图-位似变换、坐标规律等知识点，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键.

(1)先根据位似的性质作出8,C两点的对应点夕、C,然后顺次连接即可；

(2)观察点的变化规律，并运用规律即可解答.

【解析】(1)解：如图，即为所求.

(2)解：由图可得，点8,(-6,2)，C(-4,-2),即对应点的是原点横、纵坐标的-2倍.

所以点M(a,b)的对应点Af的坐标为(-2a,-26).

12.如图，BD,/C相交于点P,连接BC,CD,DA,ZDAP=Z.CBP.

⑴求证：AADPSABCP,并判断△血用与ABC尸是不是位似图形？(不必说明理由)

(2)若48=8,CD=4,DP=3,求心的长.

【答案】尸，△MP与尸不是位似图形；

(2)6

【分析】本题主要考查了位似图形的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质

定理是解题的关键.

（1）根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明"DPs^BCP即可；再根据位似图形的概念判断即可；

PDPC

（2）根据相似三角形对应边成比例推出；丁进而证明△DPCSZXN尸再根据相似三角形的性质列

PAPB

出比例式求解即可.

【解析】（1）证明：•・•//〃r=NCBP,ZDPA=ZCPB,

"DPs^BCP；

••・如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这

个点叫做位似中心.△的与的对应点的连线不交于一个点，

・•.△ADP与ABCP不是位似图形；

（2）解：•："DPs^BCP,

PDPA

,•正一诟’

PDPC

•同一访‘

又:/DPC=/APB,

ADPCsAAPB,

PAABPA8

——=——,即nn——=-,

PDCD34

・•.PA=6.

13.在正方形网格中，每个小正方形的边长为1,△ZBC在平面直角坐标系中的位置如图所示.

(I)以点。为位似中心，作出a/BC的位似图形△44G,且△ABC与△4耳。|的位似比为1:2；

(2)做出MBC绕点0逆时针旋转90°后的图形与G.

⑶求A/3C的面积.

【答案】(1)见解析

⑵见解析

(3)3

【分析】本题考查了作图一位似变换，作图一一旋转变换，熟练掌握作图方法是解题关键.

(1)连接49,并延长到点4,使04=204；连接30,并延长到点4,使。4=2。3；连接C0,并延长

到点G，使0G=2。。，依次连接44，BG,G4,即可得到△44G；

(2)利用网格特点和旋转的性质作出点/、B、c的对应点4、与、3、依次连接4鸟，昆G，C2A2,

即可得到△4生。2；

(3)利用网格求三角形面积即可.

【解析】(1)解：如图，△N£G为所求.

(2)如图，△H&C?为所求.

题型4：相似三角形的证明

14.如图，。是AZ5C的边3C上的一点，42=2,BD=1,DC=3,求证：^ABD^^CBA.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了相似三角形的证明，根据相似三角形的判定方法，两边对应成比例和夹角相等即

可得出结论.

【解析】证明：•.•AD=1,DC=3,

BC=BD+CD=l+3=4,

12

,2-4；

.BDAB

…商一葭’

•.•ZB为公共角，

:."BDs公CBA.

15.如图，已知N1=N2,ZAED=ZC,求证：/\ABCS/^ADE.

A

【答案】证明见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键，已经有一角相等，只

需再证一角相等即可；由等式的性质得出=即可得出结论.

【解析】证明：r/l=N2,

■•.Zl+ZBAE=Z2+/BAE,

即NDAE=ABAC,

•••ZAED=ZC,

Z^ABC^Z\ADE.

16.如图，在△4BC中，4B=/C,点P为8C边上一动点（不与点8,C重合），连接NP,过点尸作射线

交/C于点使乙4PAf=NB.求证：AABPsgCM.

【答案】见解析

【分析】本题考查相似三角形的判定，等边对等角，得到/8=/C,三角形的外角得到=

即可得证.

【解析】证明：•••4B=/C,

；.NB=NC.

在AARP中，ZAPC=ZB+ZBAP,

又ZAPM=ZB,ZAPC=ZAPM+ZCPM,

ZBAP=ZCPM.

.•.△48尸s△尸CAI.

17.如图，四边形48。。中，EF//AB,交BC于F,交4c于E,EG//AD,交CD于G,连接尸G,求证:

△CFGSKBD.

【答案】证明见解析.

【分析】本题考查相似三角形的判定，根据平行线分线段成比例，得到其=畀，再根据/FCG=/8CD,

即可得证.

【解析】解：・・・斯5,

CFCE

•••EG//AD,

CGCE

"cF"C4，

CFCG

''~CB~~CD9

又・・・/FCG=/BCD,

ACFGSKBD.

18.如图，在3c中，N84C=90。.请用尺规作图法，在3C边上求作一点。，使得

△ZUCsaZBC.（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】本题考查了作垂线，相似三角形的性质判定，过点A作3。的垂线交5c于点。，即可求解.

【解析】解：如图所示，点。即为所求.

X

VAD.LBC,ABAC=90°.

/ADC=ABAC,ADAC=90°—/C=/B

・•・ADAC^^ABC.

19.图1、图2均是5x5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,其顶点称为格点，A/BC的顶点均在

格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.

图1图2

⑴在图①中△48。的边BC上确定一点E,连接/E,使

(2)在图②中△ABC的边48上确定一点P,在边8C上确定一点0,连接P。，使APBQSA4BC,且相似比

为1:2.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定:

(1)作NEL8C于E,一个公共角以及另一组对应角为90。，即可作答;

(2)作出4B,2C的中点P,。即可.

【解析】(1)解：如图所示，点E即为所求；

题型5：作图证明题综合

20.如图，在△4BC中，乙4=2NC.

⑴在图中作出28/C的平分线功，交8c于点。.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，求证：/XABDs^CBA.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题考查了角的平分线尺规作图，三角形相似的判定.

（1）根据角平分线的尺规作图的基本要求画图即可.

（2）根据三角形相似的判定解答即可.

【解析】（1）根据基本步骤作图如下：

则/D即为所求.

(2)一瓦1C的平分线4D,

ABAC=2NBAD=2ZCAD,

•••ABAC=2ZC,

ABAD=NC,

•••ZABD=ZCBA,

题型6：相似三角形的判定与性质

21.如图，在△4BC中，点。，E,尸分别在N8,BC,/C边上，DE//AC,EF//AB.

A

⑴求证：ABDEsAEFC.

AF1

⑵若一二一，Bc=n,求EC的长.

FC2

【答案】(1)见解析

(2)8

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定:

(1)由平行线的性质得到NC=NDE8,NB=NCEF,再由相似三角形的判定定理证明即可；

Ar3

(2)先得到一=-,再证明ACERSACB/,据此根据相似三角形对应边成比例进行求解即可.

FC2

【解析】(1)证明：TDE〃/C,EF//AB,

■.ZC=ZDEB,ZB=ZCEF,

•.ABDEs4EFC；

(2)解：v—=-,

FC2

AC3

,FC"2?

-EF//AB,

ACEFSACBA,

CECF_2

,,就一就一1，

.-.CE=~BC=S.

3

22.如图，已知在四边形48co中，AD//BC.E为边CB延长线上一点，连接DE交边于点尸，连接

4c交DE于点G,且总=券

DCrCA

求证：AB//CD.

AD

【答案】见解析

【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，根据可证

AADGSACEG，可得名=当，结合g=冬，可得当=g，可证ANG尸S^CGO,可得

CECGGDCECGGD

ZAFG=ZCDG,根据内错角相等，两直线平行即可求证.

【解析】证明：・・・4。〃3。，

：^ADGs"G,

ADAG

~CE~~CG

FGAD

~GD~~CE

AGFG

S.ZAGF=ZCGD,

~CG~~GD

・•・/\AGFs/\CGD,

：.NAFG=/CDG,

AB//CD.

23.如图，在“3。中，CD145于点。，正方形EFGH的四个顶点都在△Z3C的边上.求证:

---1---——

ABCDEF

【答案】见解析

【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，先根据正方形的性质得到斯||CD,

EH\\AB,进而得到A/EFSA/CD,ACEHSKAB,利用对应边成比例解题即可.

证明：•••四边形EFGH是正方形，

EFVAB,

•・•CDVAB,

EF||CD,

・•.AAEFS^ACD.

.史一丝①

CDAC°

•・•EH\\AB,

^CEH^^CAB,

EH_CE

"~AB~^4C

•・•EH=EF,

.三里②

ABACJ

三曰EFEFAECE1

O3寸，CDABACAC

111

,---1---=---

••ABCDEF'

题型7：相似三角形的判定与性质的实际应用

24.如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板OE尸测量树的高度他调整自己的位置，设法使斜边。尸

保持水平，并且边DE与树顶8在同一直线上，已知纸板的两条边跖=30cm,Z)E=40cm,延长Z)厂交4B

于点C,测得边OR离地面的高度4C=L5m,C£>=12m,求树高居.

【答案】10.5m

【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明△。访得至！］基=二与，代入数值求出

JDCDC

5C=9m,根据线段的和即可得到答案.

【解析】解：・・・/0跖=/DCB=90。，ZEDF=ZCDB,

/\DEFs/\DCB,

EFDE

''~BC~~DC"

在RtADEF中，

32

vEF=30cm=——m,DE=40cm=—m,CD=12m,

105

32

历=3，

BC~n

BC=9m,

・•・43=ZC+5C=1.5+9=10.5m.

答：树高48是10.5m.

25.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板。环来测量操场旗杆48的高度，他们通过调

整测量位置,使斜边DF与地面保持平行,并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，斯=0.4

米，测点。到地面的距离。G=2米，到旗杆的水平距离。。=15米，求旗杆的高度.

【答案】旗杆的高度为14米.

【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，主要利用了相似三角形对应边成比例.求出

△ACDs^FED,根据相似三角形对应边成比例列式求出/C,再求出3C=DG,然后根据旗杆的高度

AB=ZC+5C代入数据计算即可得解.

【解析】解：•；/ADC=NFDE,ZACD=ZFED=90°,

:.AACDS^FED,

•AC_EF

一~CD~^E"

AC0.4

n即n——=——,

150.5

解得AC=12,

ABLBG,DGLBG,DCLAB,

AABG=ABGD=ADCB=90°,

1•四边形是矩形，

BC=DG=2,

AB=AC+BC=12+2=14（米）.

答：旗杆的高度为14米.

题型8：相似三角形在特殊平行四边形的应用

26.如图，四边形48c。是正方形，点G为边CD上一点，连接/G并延长，交的延长线于点尸，连接3。

交AF于点E,连接EC.求证:

(1)NDAE=NDCE；

(2)AEGCS^ECF.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定.

(1)证明之△CDE,即可；

(2)根据平行得到/尸=/D4E=/DCE,再根据/CEG=/CEF,即可得证.

掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键.

【解析】(1)证明：•正方形/8CO,

AD=CD,ZADB=ZCDE=45°,

又DE=DE,

•••AADE注/\CDE,

ZDAE=ZDCE；

(2)•.•正方形/BCD,

AD//BC,

.-.ZF=ZDAE=ZDCE,

又2CEG=/CEF,

AEGCsAECF.

27.如图，在口4BCD中，对角线/C与3。相交于点O,NCAB=ZACB,过点3作_L28交/C于点E.

D,C

E.

A

⑴求证："BOSABEO；

(2)若/3=10,AC=16,求OE的长.

【答案】⑴见解析

呜

【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角

形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键.

(1)证4B=C8,得口4BCD是菱形，再由菱形的性质得/C23D,可得N/O8=N8OE=90。，再由

BE工AB,可得/EB4=90。,从而得出ZBEO=//3O,

然后证AZBOSABE。即可；

(2)由勾股定理得02=6,由得空=空，即可得出结论.

OBOA

【解析】(1)证明：・•・NC/5=N4C8,

AB=CB,

.•QZBCQ是菱形，

1.AC1BD,

NAOB=ZBOE=90°,

•・•BEVAB,

ZEBA=90°,

ZBEO+ZBAO=/ABO+/BAO=90°,

ZBEO=/ABO,

:AABOSABEO；

(2)解：•.F/BCD是菱形,

:.OA=OC=-AC=i,ACJ.BD,

2

.\ZAOB=ZBOE=90°,

:.0B=JAB?-OA?=A/102-82=6，

ABOES^AOB,

.OEOB

,~OB~~OA，

OE6

n即n——=-，

68

9

解得：OE=Q

即OE的长为1.

28.如图，正方形/BCD中，/为3c上一点，尸是W的中点，EF±AM,垂足为尸，交/D的延长线于

点E,交DC于点N.

⑴求证：4ABMs^EFA;

(2)若48=8,BA/=6,求/E的长.

【答案】⑴见解析

(2)f

【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进

行推理计算是解题的关键.

(1)由正方形的性质得出N6=AD,ZB=90°,AD//BC,得出乙4MB=NE4F,再由=即

可得出结论；

(2)由勾股定理求出4W,可求出,，由得出比例式，即可求出NE的长.

【解析】(1)证明：,•・四边形/8CO是正方形，

；.AB=AD,/B=9Q°,AD//BC,

AAMB=ZEAF,

又•：EFLAM,

NAFE=90°,

・•.ZB=AAFE，

・•・^ABMS^EFA；

(2)解：・・・四边形45s是正方形，4B=8,BM=6,

:./B=90°,AD-AB=8,

•••AM=^AB2+BM-=10，

•••尸是村的中点,

：.AF=-AM=5,

2

^ABM^^EFA,

BMMA

FA~AE

BP-=—,

5AE

AE=—

3

29.如图，在△4BC中，NO是BC边上的中线，点£是40的中点，过点A作么尸〃8c交班的延长线于

F,BF交4c于G,连接CF.

⑴求证：EF=EB；

(2)若NA4c=90。，试判断四边形/DCF的形状，并证明你的结论;

⑶若48=8,BD=5,求线段/G的长.

【答案】⑴证明见解析

(2)四边形/DCF是菱形，理由见解析

(3)AG=2

【分析】本题考查了菱形的证明，三角形全等和相似的应用，解题关键是先推导出△诋四△DM.

(1)由平行线证明三角形全等所缺少的条件，再根据三角形全等的判定方法证明三角形全等即可证明结论;

(2)先证四边形/DC尸是平行四边形，再证明邻边相等，便可得出结论；

(3)证明AZ尸GSACBG,得出/G与NC的比例关系，进而由直角三角形的性质求得4C,便可得/G.

【解析】(1)证明：•・•/尸〃2C,

•­.AAFE=NDBE,

•••点E是力。的中点，

AE=DE

在Z\AEF和6EB中，

ZFE=/DBE

<AAEF=/DEB,

AE=DE

「.△ZE/丝△£)匹(AAS),

・•.EF=EB；

(2)解：四边形NOW是菱形，理由如下:

XAEF空/\DEB,

AF=BD，

•・弘。是BC边上的中线

:.BD=DC,

...AF=DC=-BC,

2

又AF〃BC,

・•・四边形NOW是平行四边形，

-ABAC=90°,ZQ是BC边上的中线，

・•.AD=DC,

・•・四边形ZQW是菱形；

(3)vAFBC,

/FAG=/BCG,ZAFG=/CBG

・•."FG〜ACBG,

AFAG

,^C~~GC

AG1

：t'GC~2

：.AG=-AC,

3

BD=5,ND是8C边上的中线，

:.BC=2BD=10,

■•■ZBAC=90°,AB=8,

■,­AC=y/BC2-AB2=6，

.-.AG=-AC=2.

3

30.如图，在矩形4BCD中，点£为NO边上不与端点重合的一动点，点厂是对角线3。上一点，连接BE,AF

交于点O,且ZABE=ZDAF.

------------------------*

(1)求证：AF±BE；

(2)若奶=2,/D=3,DF=^BF,求DE的长.

【答案】⑴见解析

(2)-

3

【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构

造相似三角形是解题的关键.

(1)根据矩形的性质，结合同角的余角，求出乙4。£=90。，即可得证；

(2)延长册交CD于点G,证明A/ESSAG即，得至1」空=当=[,再证明A/BESAQ/G,求出4E的

ABBF2

长，进而求出DE的长.

【解析】(1)证明：•・•四边形/5S是矩形，

ABAD=90°,

•・•/ABE=ZDAF,

・•・NAOE=ZBAF+ZABE=ZBAF+ZDAF=/BAD=90°,

・•・AF1.BE；

(2)解：延长肝交CQ于点G,

图1

・・•矩形458,

AB//CD,/BAD=/ADG=90°,

,•"FBs^GFD,

DGDF

••布一薪―5'

・•・DG=-AB=\,

2

•・•ABAD=/ADG=90°,/ABE=ZDAF,

MABES八DAG,

AB_AE2

••茄一丽一

22

：.AE=-DG=~,

33

27

：.DE=AD-AE=3——=一.

33

题型9：相似三角形难点分析

31.如图1,直线y=3+3交坐标轴于4,2两点，点C在x轴的正半轴上，△4BC的面积邑纳=9.

(2)求直线8C的解析式;

(3)如图2,点。，E分别是边NC上的动点，将△/£)£沿。E折叠，使得点/落在2C边上的尸处，当

△C7而与△C48相似时，求点£的坐标.

【答案】⑴(2,0)

【分析】本题考查了一次函数，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是:

(1)先求出N、8的坐标，然后利用三角形面积公式求出2C,即可求出点C的坐标；

(2)设直线3c的解析式为y=Ax+b,然后把8、C坐标代入求解即可；

(3)分4CFES4CAB,两种情况讨论即可.

【解析】(1)解：当x=0时，y=3,

3

当＞=0时，-x+3=0,解得x=-4,

4

','X(—4,0),

解得/C=6,

.••C(2,0),

故答案为：(2,0)

(2)解：设直线BC的解析式为y=h+

k——

解得2,

6=3

3、

y=—x+3；

2

(3)解：・・弘(一4,0),8(0,3),C(2,0),

AO-4,BO=3,CO=2,

AB=yjAO2+BO2=5»BC=^BO2+CO2=V13，

设第e,0),

由折叠知：AE=EF=e+4,

根据题意，得NECF=ZACB,

则当△CEE与△C48相似时，有两种情况：

①ACFES^CAB,

EFCE„e+4_2-e

"15"C5；「n5一屈’

解得八丁

J17-5V137

:,E---,0；

V27

@/\CFE^/\CBA

EFCEe+42-e

・•・——=——,即---=----

ABCA56

解得八一1卞4

32.(1)如图1,△XBC和△。石。均为等腰直角三角形，/胡。=/瓦元=90。，连接3,屈，则

(2)如图2,正方形438的边长为8m,E为边4B上一动点、,以为斜边在正方形45CQ内部作等腰

直角三角形AC",ZCFE=90°,连接QF,求NC。歹的度数.

(3)在(2)的条件下，如图3,连接DE,求尸面积的最大值.

BC

图3

【答案】(1)V2;(2)45°；(3)4

【分析】(1)证明△NCOS^BCE,可得到变=0£=也；

ADAC

(2)连接4C,证明△4£Cs△。尸。，可得到/8/=/£4。=45。；

(3)作尸HJ_CD,设FH=a,那么。H=a,那么C〃=8-a,因为邑的=3。。磁=32,

2

S.cDF=^CD-FH=Aa,S^CEF=^-CF=,那么

乙LL

S®EF=S£ED一SACEF—S.CDF=32-4°-巴―，最后利用配方法求得/\DEF的最值•

【解析】解：(1)・••△ABC和AOEC均为等腰直角三角形,ZBAC=ZEDC=90°

ACCD1

.-.ZACB=ZECD=45°,年=再=下

:ABCES公ACD

，匹士也

ADAC

故答案为：V2;

(2)连接/C,如图所示

4D

.••四边形是正方形

BC

―CD1

.e.Z.EAC=45°=Z.ACD,――=—j=

ACV2

・「△CE尸为等腰直角三角形，/CFE=90。

cCF1

3=45。，而=正

NACF+ZDCF=ZACF+ZACE=45°

/.ZACE=ZDCF

AACEsLDCF

...ZCDF=ZCAE=45°

(3)作FHLCD交CD于H,不妨设切=〃，如图所示:

AD

由(2)可知，/FDC=45。

那么xDFH为等腰直角三角形

：.FH=DH=a

那么C〃=8-a

2222

CF=FH+CH="+(8-a)

2

:.SAUCXDZCE=-2DC-CB=32,SCDF=-2CD-FH=4a,SAC/S/'=-2CF=2

snFF=SCFn-SrFF-SrnF=32-4"a+(8/=+牝=_(“_2了+4

t^ULr7-匕D4nJt2x7

，4=2时，S&DEF最大,此时最大值为4

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的的判定与性质，正方形的性质，配方法的应用,

熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键.

33.如图1,在正方形4BCD中，E是对角线C/延长线上的一点，线段成绕点3顺时针旋转90。至2G,

连接CG.

图1图2

⑴求证：AE=CG；

⑵如图2,连接EG交4D于点尸，并延长与8C的延长线相交于点H,若FD=CG,

①求证：FD2=AD-AF;

②直接写出胃的值.

~BE

【答案】⑴见解析

(2)①见解析；②2=上也

BE2

【分析】（1）利用SAS证明AEg/会△G8C,即可得出结论；

（2）①根据正方形的性质，证明得当=当=§|,

AEAFEF

BPAE2=ABAF.由（1）证得/E=CG=尸D,即可得到即2=40.4^

②设£D=x,AD=m（x>0,m>0）,贝lj4F=冽—x,根据FlP=.4/‘列出方程’解得

进而解决问题.

【解析】（1）证明：如图L由旋转的性质，得BE=BG,ZEBG=90°,

ZEBA+ZABG=90°,

•・•四边形488是正方形，

AB=BC=AD,NABC=90°,

ZABG+ZGBC=90°,

ZEBA=ZGBC,

在△EA4和△G5C中，

BE=BG

<AEBA=NGBC,

AB=BC

:AEBA知GBC（SAS）,

/.AE=CG；

（2）解：①由旋转的性质可得NMG=90。，BE=BG,

△匹G是等腰直角三角形，

/./BEF=45。,

ZBEA+ZAEF=45°,

在正方形NBC。中，vZDAC=ABAC=45°,

/EAB=ZEAF=135°,ZAFE+ZAEF=45°,

:.ZBEA=ZAFE,

.△BAESAEAF,

.ABAE_BE

…AE-AF-EF'

即AE2=AB-AF,

由（1）证得/E=CG,

又♦:FD=CG,

:.AE=FD,

z.FD2=ADAF,

②设FD=x,AD=m(x>0,m>0),贝Q4F=加一x,

二.x2=m(m-x),

整理得x2+mx—加之=o，

解得土=土后（负值舍去），

m2

即处=-1+班,

AB2

,AE-1+V5

••--