2024-2025学年江苏省常州市某中学八年级（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年常州市实验中学、二十四中学等学校八年级（上）期

中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形

的是（）

2.下列各组数据为勾股数的是（）

A.1,2,3B.1,炉，2C.9,40,41D.1,|

3.下列说法错误的是（）

A.±3是9的平方根B.四的平方根为士4

C.25的平方根为±5D.负数没有平方根

4如图,AC和BD相交于。点，若04=。。,不能证明"OBWADOC的是（)

A.AB=DCB.OB=OCC.ZX=ZDD.AB=ZC

5.如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段48、4c的垂直平分线,

若4B"=110°,贝此P4Q的度数是（）

A.40°B.50°

C.60°D,70°

6.如图，在4ABe中，已知CD是力B边上的高线，BE平分乙4BC,交CD于点E,BC=5,DE=2,贝布BCE

的面积等于（）

A.5B.6

C.8D.10

BC

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7.如图，A4BD和ABCD都是边长为2的等边三角形，点E,F分别在边力B,AD1.,将“EF沿直线EF折

叠，点2恰好落在边8c的中点G处，贝U4F的长度是（）

735

A.1B.—C.~D.—

8.如图，点4是射线。”上一个定点，点B是射线ON上的一个动点，0M工ON,以线段0B为边在ON右侧

作等边三角形，以线段为边在AB上方作等边三角形，连接CD,随点B的移动，下列说法中正确的是（）

①-BCMmABDC；@Z-ODC=150°；

③直线CD与射线0M所夹的锐角的度数不变；

④随点B的移动，线段CD的值逐渐增大.

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

9.G.

10.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”,他

们仅仅少走了血路，却踩伤了花草

11.如图，点C、D、E者B在NAOB上，OC=CD=DE,若乙BDE=75°,则乙4。8的度数是

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13.若一个三角形的三边长分别为5,12,13,则此三角形的最长边上的高为.

14.如图，在AZBC中，AB=AC,Z0是中线，若NC=72。，贝此840的度数为.

A

BDC

15.如图所示，在边长为1的正方形网格图中，点/、B、C、。均在正方形网格格点上.图中

乙B+乙D=

16.如图，在“BC中，△B=70°,AD1BC,垂足为D,E为48边上的动点，若NB是等腰人BDE的底角,

则乙4DE的大小为.

17.如图，平面中两条直线0和L相交于点。，对于平面上任意一点M,若点M到直线人、L的距离分别是

pcm,qcm,则称有序实数对(p,q)是点M的“距离坐标”.特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为

0.下列说法：①“距离坐标”是(0,0)的点只有点。；②“距离坐标”是(0,1)的点只有1个；③“距离坐

标”是(2,2)的点共有4个；正确的有(填序号).

18.如图，RSABC中，AACB=90°,^ABC=30°,AC=6,。是线段48上一个动点，以BD为边在-4BC

外作等边-BOE.若F是DE的中点，当CF取最小值时，入BDE的周长为.

CB

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三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题8分)

已知：如图，AB=AC,BD=CD,点E在2D上，EM1AB,垂足为M,EN1AC,垂足为N,求证:

(1)4。是NB4C的平分线；

(2)EM=EN.

20.(本小题8分)

如图，点4B、C都在方格纸的格点上，方格纸中每个小正方形的边长均为1,请仅用无刻度的直尺完成

下列画图，并保留画图痕迹.

(1)画出与-ABC关于直线m对称的A&B1C1；

(2)A2BC的面积为；

(3)在直线m上标出点。，使+DB最小，最小值=；

(4)在直线m上标出点E,使点E到84、BC的距离相等.

21.(本小题8分)

如图，在中，乙4cB=90。,AC=4,BC=3,将-4BC扩充为等腰三角形使扩充的部分是

以AC为直角边的直角三角形，请用尺规作图画出图形，并直接写出CD的长.

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AAA

备用图1备用图2备用图3

22.（本小题8分）

如图，在"BC中，^ABC=90°,点。在AC的右侧，BD的垂直平分线交4c于点E,交8。于点F,若点E是

4C中点.求证：^ADC=90°.

23.（本小题8分）

如图，"BC是等边三角形，点。在入ABC外部，且D4=DC,连接BD,交2C于点G.

（1）求证：BD垂直平分AC；

（2）在BC上取点E,连接DE,交4C于点尸，若EB=ED,试判断△CEF的形状，并说明理由.

24.（本小题8分）

勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明

勾股定理.

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(1)把两个全等的直角AABC和A。瓦4如图2放置，其三边长分别为a,b,c,AABC=^BDE=90°,可得

AC1BE.请用a,b,c分别写出梯形ABDE,四边形力BCE,-CDE的面积，再根据这三个图形面积之间的

关系，证明勾股定理。2+报=02.

(2)若图1中a=3,b=4,图3中方格纸中的小正方形的边长为1,请你用两种不同的方式将图1中两个全

等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3(1)中空白部分的面积为,图3(2)

中空白部分的面积为,从而得到a?+=©2.

(3)用(2)中4个全等的直角三角形Q4”=a=3,BH=b=4)拼成如图4中的形状，则这个图形外围轮廓(实

线)的周长为.

25.(本小题8分)

【问题1】在A48C中，乙4cB=90。，。为-4BC内一点，连接BD,DC,延长DC到点E,使得CE=DC.

(1)如图1,延长BC到点F,使得CF=BC,连接4F,ER若4F1EF,求证：BD1AF,

(2)依题意补全图2,连接4E,交BD的延长线于点H,连接CH.若=4。+8。2,用等式表示线段CD与

C”的数量关系，并证明.

⑶【问题2】如图3,在“8C中，^ACB=90°,如果点尸为线段BC上一动点，点G为线段4c上一动点，且

AG=CF,连接AF、BG,且BC=1,AC=3,请直接写出BG+4F的最小值为.

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参考答案

l.D

2.C

3.5

4.2

5.4

6.A

7.5

8.B

9.3

-2

10.4

11.25

12.±述

13瑞/哈

14.18°/18度

15.45

16.20°或50°

17.①③/③①

18.18

19.【小题1】

解：在"BD和"CD中,

(AB=AC

BD=CD,

AD=2。

•••"BD三"CD(SSS),

・.・乙BAD=Z.CAD,

AD是ABAC的平分线；

【小题2】

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解：由(1)得40是Nb4c的平分线,

・

••EM1AB,EN1ACf

・•.EM=EN.

20.【小题1】

13

T

【小题3】

・・•点/与点4关于直线m对称，

DA=1M1，

DA+DB=DAr+DB24/,根据两点之间线段最短，即可得到ZM+DB的最小值为力道.

此时=，32+62=3居即口4+DB的最小值为3G.

故答案为：3把；

【小题4】

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解：如图，点E即为所求.

AB-BC=CM—MA——^/22+32=^/13,

MB是4C的垂直平分线，

BM平分N4BC,

.•.点E至IJ/1B、BC的距离相等.

21.解:分三种情况:

①如图1所示：

图1

当4D=AB时，

由AC1BD,可得CD=BC=3；

②如图2所示：

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A

图2

当4D=BD时，

设CD=x,则4D=x+3,

在RS2DC中，由勾股定理得:

(%+3)2=%2+42,

解得：x6

7

CD=不

③如图3所示：

当BD=45时，

在Rt"BC中，AB=^BC2+AC2=y/32+42=5,

BD=5,

.・.CD=5-3=2；

综上所述：CD的长为3或、或2.

22.解:连接OE、BE,如图，

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・・・乙ABC=90°,点E是AC中点.

1

...BE=CE=AE=2AC>

・••EF垂直平分线BD,

.・.BE=DE=CE=AE,

Z.EAD=Z.EDA,乙EDC=Z-ECD,

•••Z.EAD+Z,EDA+乙EDC+乙ECD=180°,

・••乙ADC=/-EDA+Z.EDC=90°.

23.【小题1】

证明：•••aABC是等边三角形，

・•.AB=BC,

•••DA=DC,

•••点B、D在线段AC的垂直平分线上，

•••BD垂直平分AC；

【小题2】

解：△CEF为等边三角形，理由如下：

・••-ABC是等边三角形，

.­./.ABC=^ACB=60°,

BG1AC,

.­.4DBE=^ABC=30°,

DE—BE,

・•・乙BDE=^DBE=30°,

・•.Z,CEF=乙BDE+乙DBE=60°,

・•・(CFE=180°-60°-60°=60°,

・•・乙CEF=Z.CFE=乙ECF,

CEF为等边三角形.

24.【小题1】

证明：由题意可知ZB=BD=b,BC=DE=a,AC=BE=c,CD=b—a,

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S梯形/BOE=SADCE+SA四边形/BCE，

・•・+DE)•BD=1cD•DE+-BE,

•••|b(a+b)=^a(h-a)+1c2,

22

•••豺+^ab=iah-a+^c,

■,■a2+b2=c2；

【小题2】

解：如图所示，

•­•a=3,b=4,

图3(1)中空白面积=c2=a2+b2=32+42=25；

图3(2)中空白面积=a2+h2=32+42=25.

a2+b2=c2；

【小题3】

20

25.【小题1】

证明：如图，延长B