2024-2025学年吉林省长春市高一年级上册期中考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年吉林省长春市高一上学期期中考试数学

检测试题

考生注意：

1.满分150分，考试时间120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答

题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

3.本卷命题范围：人教A版必修第一册第四章4.4.2结束.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.命题“”《（T1）,Y+2xWl”的否定是（）

A.1c任x2+2x<1B.任（一1,1）,x2+2x>l

22

C.Vxe（-l,l）,x+2x>1D.Vxe（-l,l）,x+2x>1

【答案】C

【解析】

【分析】由命题否定的定义即可得解.

【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，故命题“女4-1,1）,必+2%<1”的否定是

1,1）,x2+2x>1

故选：C.

2.已知集合M=x->l,xeN,则/的子集的个数是（）

x+

A.15B.8C.7D.16

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的性质，结合子集个数公式进行求解即可.

【详解】因为xeN+，所以由』>l=5>xnx<5nM={l,2,3,4},

所以"的子集的个数是24=16,

故选：D

3.若函数〃3x-1）的定义域为仁,1；则函数〃2x）的定义域为（

A.(0,1)B.(—1)C.(-1,1)

【答案】A

【解析】

【分析】根据抽象函数的定义域即可得到答案.

【详解】令f=3x-1,则/=3x-le（O,2）,

则0<2x<2,解得0<x<l,即定义域为（°」）.

故选：A.

4.设。=3°6/=1。8百6,。=111（1113）,则（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数与对数函数的单调性质将a,b,。分别与1与3比较即可.

blo6lo36lo

【详解】解：•♦•l<a=3°5<3，=gv3=§3>g327=3,

c=ln(ln3)<l,:.b>a>c.

故选：B.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的基本性质逐项排除即可.

【详解】因为/(X)的定义域为R,关于原点对称./(-x)=1~-=-/W-

3+3

所以函数/(x)是奇函数，即/(x)的图象关于原点对称，故B错误；

当x>0时，因为3x>0,3'+3-x>0-

所以/(切=三方7〉0,故C错误；

因为/(I)==—,/(2)=—=—</(I)，

3+3-1109+3941

所以/(X)在(0,+8)上并不单调递增，故D错误.

故选：A.

6.声强级(单位：dB)由公式乙=10怆［m\］给出，其中/为声强(单位：W/m2).某班级为规范同

学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，

每人的声强级不超过40dB.现已知3位同学课间交流时，每人的声强分别为SxlO/w/n?,

10-8W/m212xlO-9W/m2)则这3人中达到班级要求的人数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根据所给声强级公式计算声强级不超过40dB的声强，即可求解.

【详解】依题意，Z^lOlgf—|<40,

A/<10-8-

故声强为lOTw/m?，2xlO-9W/m2的两人达到要求，

故选：C

(l-2a)x+2a,x<0

7.已知/(x)=Jl*是xeR上的增函数，那么a的取值范围是()

-(a+1),x>0

A.(0,1)B.(1,1]C.(jl)D.叫

【答案】D

【解析】

【分析】利用函数的单调性，列出不等式组，转化求解。的范围即可.

(l-2a)x+2a,x<0

【详解】要使函数/(x)='l,z八是R上的增函数，

-(a+1),x...O

1—2a〉0

需《a+l>l解得0<a”-,

4

2。”~

I2

故选：D.

8.“高斯函数”为y=[x],其中[可表示不超过龙的最大整数，例如：[-2.1]=—3,[3』=3.已知函

数1|(3—[x]),xe[0,2),则不等式的解集为()

B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】先将/(%)=n一1(3-3),xe[0,2)转化为分段函数，然后分类解即可.

【详解】当xe[0,l)时，[x]=0,%<1,此时〃x)=3(l—x)=3—3x,

当xe[l,2)时，[x]=l,%>1,此时/(%)=2@-1)=2%一2,

若/(x)Wx,

33

当xe[0,l)时，/(x)=3-3x<x,得故xe—,1

当xe[l,2)时，f(x)=2x-2<x,得x<2,故xe[l,2),

所以/(x)〈x得解集为1,2j,

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知命题P：X2_4X+3<0,那么命题。成立的一个充分不必要条件是（）

A.x<-lB.1<x<2C.x>3D.2<x<3

【答案】BD

【解析】

【分析】解出不等式，再根据充分不必要的条件的判定即可得到答案.

【详解】X2-4X+3<0,解得1<X<3,设幺={刘1<%<3}

则命题P成立的充分不必要条件是集合A的真子集，则BD选项符合题意.

故选：BD.

10.下列说法正确的有（）

A.若x<,，则2x+—3—的最小值是3

22x-l

B若a>6>0,ab=1,则—<aH—

.rb

C.若一2<a+Z?<4,2<2a-b<8,贝!I—4<6<2

1114

D.若a>0,b>0,—+—=1,则——+——的最小值是4

aba-\b-\

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据基本不等式即可求解AD,根据不等式的性质即可求解BC.

【详解】对于A,由题设2x—1<0,则

2x+—^=-++l<-2.（l-2x）x^^+l=-l,当且仅当1—2x=l,即x=0时等

2x-lLl-2xjVv'l-2x

号成立，A错误；

对于B,因为ab=1,a>6>0,所以a>l>6>0,贝—=2a>2,—=------<—,所以

b2"a-2a2

b1

—<«+->B正确；

2"b

对于C,'：2<2a-b<S,A-8<b-1a<-2,,：-2<a+b<4,：.-4<2a+2b<8,

-S<b-2a<-2

・•・一12<36<6：.-4<b<2,故C正确;

—4<2Q+2b<8

14b+4a-57,

对于D,由题设=〃+而7+T―7=-7~~7~~^=6+4yl。—5,

a-1b-1ab-ya+bj^X

f11Ah4〃f/iQ

又6+4Q=0+4Q)X-+-=-+—+5>2J-----+5=9,当且仅当b=2〃=3时等号成立，

yab)abNab

14

所以——+——>4,D正确.

a-1b-1

故选:BCD.

11.已知函数/(x)=log〃(l-x)+log“(3+x)(a>0且a/l)在定义域内存在最大值，且最大值为

m21

2,g(x)='x'~,若对任意再6,存在乙式-1』，使得〃芭)泊色)，则实数加的取值

可以是()

A.-1B.0C.log27D.3

【答案】ABC

【解析】

【分析】先求出/(x)=log21(x+l)2+4,得到—l,g时，y(x)e[log27-2,2].

再由题意得到log27-2…机-2,即可求出加的范围，对照四个选项即可得到正确答案.

【详解】/(x)定义域为(—3,1).

22

/(X)=log。(1—x)+log0(3+X)=logfl(-X-2x+3)=logfl-(x+l)+4

由题意知x=-l时，/(x)=2,即log“4=2,.,.a=2.

此时/(x)=log2-(x+1)2+4,

XG-l,g时，/(x)e[log27-2,2].

•」g(x)=掰一菽，：.xe[-1,1]时，g(x)min=m-2,由log?7—2..机一2得相,，log?7

对照四个选项，可以选:ABC.

故答案为：ABC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数/(》)=/-2+1(0＜。＜1)的图象恒过定点尸，则点尸坐标为.

【答案】(2,2)

【解析】

【分析】根据X-2=0,即可求解x=2,代入即可得纵坐标.

【详解】令X—2=0,则x=2,故〃2)=a°+l=2,因此尸(2,2),

故答案为：(2,2)

13.若塞函数的图象过点1-4,-；］,则它在［1,4］上的最小值为.

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】先求出解析式/(x)=L利用单调性求出/(X)在［1,4］上的最小值.

【详解】设幕函数=

因为塞函数的图像过点1—4,—；］,所以/(_"=(—4『=—；,解得：«=-1.

所以/(力=广1=’.

所以/(x)在［1,4］上单调递减，

所以/⑴在［1,4］上的最小值为/(4)=；.

故答案为：—

4

14.若集合｛xlx>0J(x)=/(f)｝中恰有左个元素，则称函数/(x)是“左阶准偶函数”.已知函数

/、-3x+2,xVa

/(x)=｛c2.是“2阶准偶函数”，则°的取值范围是

2x+3,X>(2

恪案】陷

【解析】

【分析】根据题意分类讨论，。<0时，其中/(x)=2x2+3(x〉a)有部分具有偶函数性质，不符合题意;

a20时，根据分段函数的解析式通过方程/(》)=/(一x)(x>0)的解，确定a的范围.

/、-3x+2,xVa

【详解】根据题意，函数/(》)=｛、2,是“2阶准偶函数”，

2x+3,x>a

则集合｛x|x〉OJ(x)=/(-x)｝中恰有2个元素，

八/、f-3x+2,x<a.

当a<0时，函数/(x)=L2.一段部分为v=2x2+3,x〉a,

2x+3,x>a'

注意到函数y=2/+3本身具有偶函数性质,

故集合｛x|x〉OJ(x)=/(-x)｝中不止有两个元素；

当Q>0时，根据“2阶准偶函数”的定义得/(')的可能取值为212+3或-3x+2,

/(一%)为3x+2,3x+2=-3x+2,故x=0,方程无解，

当2/+3=3%+2,解得％=工或x=1,

2

故要使得集合同»0J⑴=/(-%)｝中恰有2个元素,

则需要满足ci<—，即0<。<一,

22

-3x+2,x<0

当。=0时，函数/(》)=</(x)的取值为2/+3,/(-x)为3x+2,

2x2+3,x〉0'

根据题意得：2/+3=3x+2,

解得或x=l,满足恰有两个元素，故a=0满足条件.

2

综上，实数。的取值范围是0,1j.

故答案为：0,—.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(1)若3"=5'=15，求—1■丁的值；

ab

2

(2)求值：(27,+(炮5)2+炮2火炮50—|3-兀|+6%

【答案】⑴5；(2)14-71

【解析】

【分析】(1)由指对互化求出。和6,再结合换底公式即可求解；

(2)考虑将lg2xlg50转化为(1-Ig5)x(l+lg5),进而得解.

1111

【详解】(1)因为3"=5,=15，所以。=logs15/=logs15,-=----=1----K，

alog315blog515

55(11)

则—+[=5177+177=5(logi53+logi55)=5logi5(3X5)=5；

ab^log315logs15J

22710

(2)(27)3+(lg5y+lg2xlg50-|3-7i|+l=(33)3+(lg5)-+lgyxlg(10x5)-7i+3+l

=32+(lg5)2+(l-lg5)x(l+lg5)-7r+4=13-7r+(lg5)2+l-(lg5)2=14-7r.

16.已知集合/={xIgWx<2},B={x\2m-l<x<m+l1.

(I)若〃z=g,求zn(«8)；

(2)若“xwZ”是“xeB”的必要条件，求实数切的取值范围.

【答案】(1)|x||<x<2!

(2)]祖耳三加(1或机)21

【解析】

【分析】(1)根据题意，直接由集合的运算，即可得到结果；

(2)根据题意，由条件可得然后分8=0与3/0讨论，即可得到结果.

【小问1详解】

当机=g时，B=|x|0<x<-|j,

Q8={》|》<0或》〉"1},

则An(Q5)={xI<x<2].

【小问2详解】

因为"xe是“xe8”的必要条件，则87/,

当8=0时，则加+1<2m-1,即加〉2；

m+1>2m—1

13

当时，,解得一W加<1,

24

m+l<2

综上所述，加的取值范围为卜i机(i或机

17.已知/(x)=ln(e*+1)-"是偶函数，g(x)=er-e-x

(1)求a的值；

(2)若不等式g(/(x))〉g(a-x)在［1,+⑹上恒成立，求实数加的取值范围.

【答案】(1)

2

(2)m<ln(e+l)+^

【解析】

【分析】(1)根据函数奇偶性的性质即可求a的值；

(2)根据函数的单调性将不等式g(/(x))>g(m-x)在［l,+oo)上恒成立，转化为加</(x)+x在

［1,+R)上恒成立，设〃(x)=/(x)+x,求出其最小值，从而得出结果.

【小问1详解】

/(x)的定义域是R,因为/(x)是偶函数，所以=恒成立，

所以ln(eT+l)+ax=ln(e*+1)—ax,

即In(e*+1)-x+ax=In(e*+1)—ax,

所以(2a—l)x=O恒成立，

所以a=一；

2

【小问2详解】

g(x)=ex-e-x=ex--\,xeR,

因为y=e，是增函数，y=±是减函数，所以g(x)=e*—々是增函数，

ee

所以不等式g(/(x))〉g(机-X)等价于/(X)〉加一X,

所以加<y(x)+x在［i,+oo)上恒成立,

设〃(%)=f(x)+x=ln(el+l)+-xXGR,

)2

因为歹=ln(e*+l)是增函数，y=是增函数,

所以力⑴=仙⑹+l)+gx是增函数，

所以当x2l时，A(x)mjn=/?(l)=ln(e+l)+^-,

所以机<ln(e+l)+；.

18.2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对

符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘

用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大

生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产x(xeN*)百件，

需另投入成本%(x)万元，且0<x<45时，沙(%)=3炉+260x；当x»45时，

4900

FF(x)=501x+----------4950,由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当

x+20

年能全部销售完.

(1)分别写出04x<45与x»45时，年利润y(万元)与年产量x(百件)的关系式(利润=销售收入-

成本)；

(2)当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？

【答案】(1)答案见解析；

(2)年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元

【解析】

【分析】(1)结合题意，分04x<45和45时利用利润=销售收入-成本求出关系式即可；

(2)当0<x<45时，由二次函数求出最值，当x»45时，由基本不等式求出最值，再确定结果即可；

【小问1详解】

由题意可得当0Wx<45时，j=500x-3x2-260%-2000=-3x2+240x-2000，

49004900

当x245时，y=500x-(50lx+-4950)-2000=2950一(x+,

-x+20x+20

【小问2详解】

由（1）得04x<45时，j=-3x2+240x-2000=-3（x-40）2+2800,

此时x=40（百件）时，jmax=2800（万元），

当x245时,

49004900I4900

y=2950—（x+-^）=2970—（x+20+上生）W2970—2J（x+20）义上生=2970—2x70=2830

x+20x+20Vx+20

4900

当且仅当x+20=--,即x=50时等号成立，J=2800（万元），

x+20max

而2800<2830,故x=50（百件）时，利润最大，

综上所述，年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元.

19.已知函数/（x）满足如下条件：①对任意x>0,/（x）>0；②=③对任意x>0,y>0,

总有/（x）+/（y）W/（x+>）.

（1）写出一个符合上述条件的函数（写出即可，无需证明）；

（2）证明：满足题干条件的函数/（x）在（0,+。）上单调递增；

（3）①证明：对任意的s>0,\J>2k,其中左eN*;

②证明：对任意的》€（2"，21（丘4）,都有/（0_/（口〉.