2023年中考数学必刷题分类专练：四边形压轴综合问题【解析版】

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）

专题33四边形压轴综合问题

一、解答题

1.（2022•甘肃兰州•中考真题）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,

在正方形ABC。中，E是的中点，AE1EP,EP与正方形的外角△DCG的平分线交于尸点.试猜想AE

与EP的数量关系，并加以证明；

图1图2

图3

（1）【思考尝试】同学们发现，取A8的中点孔连接EF可以解决这个问题.请在图1中补全图形，解答老

师提出的问题.

（2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2,在正方形ABC。

中，E为BC边上一动点、（点E,8不重合），△力EP是等腰直角三角形，^AEP=90°,连接CP,可以求出

NDCP的大小，请你思考并解答这个问题.

（3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3,在正方形

ABCD^,E为BC边上一动点、（点E,B不重合），△4EP是等腰直角三角形，NAEP=90。，连接。P.知

道正方形的边长时，可以求出AADP周长的最小值.当力B=4时，请你求出AADP周长的最小值.

【答案】(1)答案见解析

(2)45°,理由见解析

(3)4+4V5，理由见解析

【解析】

【分析】

(1)取AB的中点R连接EF,利用同角的余角相等说明/PEC=/BAE,再根据ASA证明△AFE且AECP,

得AE=EP；

(2)在AB上取A/=EC,连接E-由(1)同理可得NCEP=/E4E,则△(SAS),再说明

△尸是等腰直角三角形即可得出答案；

(3)作。GLCP,交8c的延长线于G,交CP于。，连接AG,贝必。CG是等腰直角三角形，可知点。

与G关于CP对称，则AP+OP的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG,进而得出答案.

(1)

解：AE=EP,

理由如下：取的中点色连接所，

,:F、E分别为AB、BC的中点,

；.AF=BF=BE=CE,

：.ZBFE=45°,

：.ZAFE=135°,

平分/DCG,

：.ZDCP=45°,

：.ZECP=U5°,

：.ZAFE=ZECP,

'：AE±PE,

：.ZAEP=9Q°,

・・・ZAEB-^ZPEC=90°f

•.・ZAEB+ZBAE=90°,

；・NPEC=NBAE,

：.AAFE^AECP(ASA),

：.AE=EP；

(2)

解：在A3上取AF=EC,连接EF,

图2

由(1)同理可得NC£P=NM£;

u

：AF=ECfAE=EP,

：./\FAE^/\CEP(SAS),

：.ZECP=ZAFEf

•；AF=EC,AB=BC,

:・BF=BE,

：.ZBEF=NBFE=45。,

・•・NA尸£=135。，

AZECP=135°,

.,.ZDCP=45°；

(3)

解：作0GJ_CP交5c的延长线于G,交C尸于O,连接AG,

图3

由（2）知，/OCP=45°,

：.ZCDG=45°,

二ADCG是等腰直角三角形，

...点。与G关于CP对称，

：.AP+DP的最小值为AG的长，

：AB=4,

：.BG=S,

由勾股定理得AG=4V^，

...△A。尸周长的最小值为AZ）+AG=4+4V5.

【点睛】

本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等

腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

2.（2022.广东广州.中考真题）如图，在菱形ABC。中，ZBAD=120°,AB=6,连接.

⑴求8。的长；

（2）点E为线段8。上一动点（不与点8,。重合），点b在边AD上，且8£=百。凡

①当CELAB时，求四边形ABE尸的面积；

②当四边形A2EF的面积取得最小值时，CE+bb的值是否也最小？如果是，求CE+bCF的最小值；如

果不是，请说明理由.

【答案】（1）8。=6V3;

⑵①四边形A2E尸的面积为7遮；②最小值为12

【解析】

【分析】

（1）证明△ABC是等边三角形，可得80=3形，即可求解；

(2)过点石作的垂线，分别交4。和BC于点M,N,根据菱形的面积可求出MN=3百，设BE=x,则

EN=-x,从而得到EM=MN-EN=3次一。，再由8£=百。尸，可得。尸=如如从而得到四边形A8EF的面积

223

2

5=S^ABD-SADEF=Y!(%-3V3)+①当CELA2时，可得点E是△ABC重心，从而得到

BE=CE=|fiO=|X3V3=2V3,即可求解；②作C//LAA于"，可得当点E和尸分别到达点。和点”位置

时，C尸和CE分别达到最小值；再由s="(x—38)2+萼，可得当x=3W，即2E=3百时，s达到最

小值，从而得到此时点E恰好在点。的位置，而点尸也恰好在点〃位置，即可求解.

(1)

解：连接AC,设AC与8。的交点为O,如图，

:四边形ABC。是菱形，

：.AC±BD,OA=OC,AB//CD,AC平分

VZBAD=120°,

ZCAB=60°,

AABC是等边三角形，

BO=AB,sin60°=6x^=3V3>

BD=2BO=6y/3;

(2)

解：如图，过点E作4。的垂线，分别交4。和BC于点M,N,

•・・△A3C是等边三角形，

.\AC=AB=6f

由(1)得：B£>=6A/3;

菱形ABC。中，对角线3。平分NA8C,AB//CD,BC=AB=6,

：.MN±BC,

'：ZBAD=120°,

：.ZABC=60°,

：.NEBN=3。。；

1

：.EN=-BE

2

.・8/B8=|/C,BD=MN,BC,

:・MN=3W，

-1

设BE=x,则EN=",

/.EM=MN-EN=36-jx,

,:S菱形ABCD=AD・MN=6X3V3=18A

：.SAABD=争菱形ABCD=9W，

'：BE=yf3DF,

•八厂BEV3

..DF=-==—%,

V33

•••SADEF=：DF・里久=_遗产+.,

223k27122

记四边形ABE尸的面积为s,

22

：.s=SAABD-SADEF=9y/3-(-^x+-%)=(x-3A/3)+—，

12212v74

•；点E在BD上,且不在端点，即0<%<6值;

①当CE_LAB时，

\'OB±AC,

...点£是AABC重心，

：.BE=CE=-BO=-x3V3=2A

33

此时S=(2V3-3⑹2+竽=7百，

当CE±AB时，四边形ABEF的面积为7旧;

②作于H,如图，

VCO±BD,CH±AD,而点E和尸分别在8。和AD上，

当点E和尸分别到达点。和点》位置时，C尸和CE分别达到最小值；

在菱形4BCQ中，AB//CD,AD=CD,

'：ZBAD=nO°,

：.ZADC=6Q°,

：.△AC。是等边三角形，

：.AH=DH=3,

cs

•.飞=1(%一3可+等,

二当久=3b，即BE=3百时，s达到最小值，

•：BE=^DF,

：.DF=3,

此时点E恰好在点。的位置，而点尸也恰好在点H位置，

...当四边形面积取得最小值时，CE和C尸也恰好同时达到最小值,

CE+V3CF的值达到最小，

其最小值为CO+V3CH=3+V3x3次=12.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形

等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角

形等知识是解题的关键.

3.(2022・上海・中考真题)平行四边形4BCD,若P为BC中点，4P交BD于点E,连接CE.

(1)若AE=CE,

①证明4BCD为菱形；

②若力B=5,AE=3,求BD的长.

(2)以4为圆心，4E为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F,且CE=&4E.若尸在直线

CE上，求蓼的值.

【答案】(1)①见解析；②6位

⑵当

【解析】

【分析】

(1)①连接AC交2。于。，ffiAAOE^ACOE(SSS),得/AOE=/COE,从而得NCOE=90。，则ACL2。，

即可由菱形的判定定理得出结论；

②先证点石是AABC的重心，由重心性质得BE=2OE然后设OE=无，则BE=2无，在心及4。£中，由勾股定

理，得。42=4后2一0£2=32_/=9一尤2,在川心4。8中，由勾股定理，得。42=AB2_0B2=52_(3尤)2=25-9/,从而得

9-N=25-9N,解得：户VI即可得OB=3x=3位,再由平行四边形性质即可得出BD长；

(2)由OA与03相交于E、F,得点E是的重心，又F在直线CE上，则CG是AASC的中

线，贝IJAG=BG=UB,根据重心性质得GE,CE=3E,CG=CE+GE"AE,在&AAGE中，由勾股定理,

2222

得AG^AEZ-GEE^AE2一（率£）2=/£2,则AG=¥A£1，所以AB=2AG=&AE,在RfABGC中，由勾股定理，得

B^BC^+C^-AE^（吗E）2=5AE2,则BC=®E,代入即可求得四的值.

22BC

（1）

①证明：如图，连接AC交8。于O,

•.•平行四边形28C0,

OA=OC,

\'AE=CE,OE=OE,

.../XAOE^ACOE(SSS),

...ZAOE^ZCOE,

'：ZAOE+ZCOE=180°,

ZCOE=9Q°,

：.AC±BD,

:平行四边形4BCD,

/.四边形2BCD是菱形；

@'：OA=OC,

是AABC的中线，

•.•尸为BC中点,

；.AP是AABC的中线，

二点E是AABC的重心,

：.BE=2OE,

设OE=x,贝!]8E=2x,

在R/AAOE中，由勾股定理，得。42=AE2-OE2=32-X2=9-N,

在心44。2中，由勾股定理，得OA2=AB2_OB2=52_（3X）2=25-9N,

9-x2=25-9x2,

解得：

OB=3X=3A/2>

:平行四边形4BCD,

:.BD=2OB=6近;

⑵

解:如图，

与。8相交于E、F,

：.AB±EF,

由(1)②知点E是“BC的重心,

又尸在直线CE上，

；.CG是AABC的中线，

：.AG=BG=-AB,GE^CE,

22

CE=V2AE,

Z.GE=^AE,CG=CE+GE=^AE,

22

在及AAGE中，由勾股定理，得

AG2=AE2-GEE=AE2-(^AE)2=^AE2,

：.AG=^AE,

2

：.AB=2AG=y/2AE,

在放A2GC中，由勾股定理，得

BC^BC?+C^-AE^（逋AE）2=5AE2,

22

：.BC=^AE,

・AB__五AE_V10

・.BC一y[5AE_5,

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，本题属圆

与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目.

4.（2022•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）综合与实践

数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学.数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中

去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的

乐趣.

如图①，在矩形ABC。中，点£、F、G分别为边BC、AB、的中点，连接斯、DF,X为。尸的中点，

连接GH.将aBEF绕点B旋转,线段DF,GH和CE的位置和长度也随之变化.当^8EF绕点8顺时针旋

转90。时，请解决下列问题：

⑴图②中，AB=BC,此时点E落在AB的延长线上，点厂落在线段BC上，连接AE猜想G8与CE之间的

数量关系，并证明你的猜想；

(2)图③中，AB=2,BC=3,贝|瞿=；

⑶当时.—=

CE

(4)在(2)的条件下，连接图③中矩形的对角线AC,并沿对角线AC剪开，得△ABC(如图④).点M、N

分别在AC、BC上，连接MN,将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点尸落在的延长线上，若平

分/APN,则CM长为.

【答案】(1)G"=1CE,证明见解析

(2)—=-

'‘CE3

G、GHm

(3)—=——

一CE2n

(4)2

5

【解析】

【分析】

(1)先证明△A/WACBE,得AF=CE,再根据中位线性质得GH=：m等量代换即可；

(2)连接AR先证明△AB/SACBE,得到ARCE的比值，再根据中位线性质得G8=|力F,等量代换即

可；

(3)连接AR先证明△AB/SACBE,用含加、”的代数式表达出ARCE的比值，再根据中位线性质得

GH^AF,等量代换即可；

(4)过M作MHLAB于H,根据折叠性质得NC=/MPN,根据角平分线证明出NC=NPMH,设CM=PM=x,

HM=y,根据三角函数定义找到x、y之间的关系，再利用得到器=真，代入解方程即可.

(1)

解:GH=^CE,理由如下：

•：AB=BC,四边形ABC。为矩形，

四边形ABCD为正方形，

ZABC=ZCBE=90°,

•：E、F为BC,AB中点,

:・BE=BF,

：.AABFMACBE,

：.AF=CE,

TH为。尸中点，G为AD中点,

：.GH=-AF

2f

：.GH=-CE.

2

⑵

GH1

解：还.，

连接AR如图所示，

-1-1q

由题意知，BF=^AB=\,BE=：BC=]

.AB_BF_2

・.BC-BE一3’

由矩形A5CD性质及旋转知，ZABC=ZCBE=90°f

/.AABFSACBE,

：.AF：CE=2:3,

：G为AD中点，H为DF中点,

：.GH=-AF,

2

,GH_1

••——•

CE3

故答案为：

(3)

解.生=

用牛・CE2n

连接AR如图所示,

由题意知，3,BE^BC^,

,AB_BF_m

.・BC-BE-n'

由矩形ABC。性质及旋转知，ZABC=ZCBE=90°,

/.bABFsbCBE,

•\AF：CE=m：n,

：G为A。中点，H为。尸中点，

1

：.GH=-AF

2f

・GH_m

・.CE-2n.

故答案为：亲

(4)

解：过/作于X,如图所示,

A

由折叠知，CM=PM,ZC=ZMPNf

■:PM平分/APN,

：.NAPM=NMPN,

：.ZC=ZAPMf

9：AB=2,BC=3,

:•AC=72?+32—^23,

设CM=PM=x,HM=y,

由sinzlC=sinZJlPM知，—=—,

ACPM

即言=3、=急

9：HM//BC,

：.AAHMS2ABC,

,HM__AM

••—，

BCAC

即^=浮二，半二义3,

3V13zV13

•V13-X02x

••RX3y

解得：产亚豆，

5

故答案为：苑1

5

【点睛】

本题考查了正方形性质、三角形中位线性质、折叠性质、全等三角形判定与性质、相似三角形的性质与判

定、三角函数定义等知识点，找到相似三角形是解题关键.

5.(2022•吉林长春.中考真题)【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩

形4BCD为它的示意图.他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中=他先将A4纸

沿过点A的直线折叠，使点8落在4D上，点8的对应点为点E,折痕为4F；再沿过点尸的直线折叠，使点

C落在EF上，点C的对应点为点反，折痕为FG；然后连结4G,沿2G所在的直线再次折叠，发现点D与点

尸重合，进而猜想△4DG三△AFG.

【问题解决】

(1)小亮对上面AADG三AAFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：

证明：四边形48co是矩形，

/.ABAD=NB=NC=ND=90°.

由折叠可知，/-BAF=^Z.BAD=45°,/.BFA=^EFA.

：.^EFA=4BFA=45°.

--AF=V2AB=AD.

请你补全余下的证明过程.

【结论应用】

(2)ND4G的度数为________度，募的值为_________;

AF

(3)在图①的条件下，点尸在线段4F上，且4P点。在线段力G上，连结FQ、PQ,如图②，设4B=a,

则FQ+PQ的最小值为.(用含a的代数式表示)

【答案】(1)见解析

(2)22.5°,V2-1.

(3)渔a

【解析】

【分析】

(1)根据折叠的性质可得^AFG=AD=90°,由乩可证明结论；

(2)根据折叠的性质可得ND4G=(AD2F=22.5。；证明AGCF是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而

可得结论；

(3)根据题意可知点尸与点。关于AG对称，连接尸。，则尸。为尸Q+FQ的最小值，过点尸作PRLA。，

求出PR=AR=0a,求出。R,根据勾腰定理可得结论.

4

(1)

证明：四边形/BCD是矩形，

C.^BAD=AB=AC=AD=90°.

-1

由折叠可知，4BAF=-ABAD=45°,Z.BFA=/.EFA.

：.AEFA=乙BFA=45°.

-'-AF=V2AB=AD.

由折叠得，MFG=乙GFH=45°,

：.^AFG=ZAFE+乙GFE=45°+45°=90°

：.^AFG=ND=90°

XAD^AF,AG^AG

：.AADG=AAFG

(2)

由折叠得，/BAF=LEAF,

又/BAF+^EAF=90°

ZEAF=-^BAE=-x90°=45°,

22

由△4DG=△AFG得，ZDAG=4FAG=^FAD=|X45°=22.5°,

ZAFG=AADG=90",

又NAFB=45°

/.ZGFC=45",

ZFGC=45",

GC=FC.

设48=x,则BF=x,AF=V2x=AD=BC,

FC=BC-BF=缶-x=陋-l)x

GF=V2FC=(2-V2)x

.•.处=与业=&_1.

AFy/2x

(3)

如图，连接FD,

"：DG=FG

；.AG是FD的垂直平分线，即点尸与点。关于AG轴对称,

连接PD交AG于点。，则PQ+FQ的最小值为PD的长；

过点尸作PRJ.4D交AD于点R,

ZDAF=ABAF=45°

ZAPR=45°.

：.AR=PR

2

又AR2+PR2=AP2=©)2=£,

'-AR=PR=—4a,

DRAD-ARV2a--4a=4-&a

在RtADPR中，DP2=AR2+PR2

-DP=7AR2+PR2=1(—a)2+(—a)2"a

N44N

；.PQ+FQ的最小值为日a

【点睛】

本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识,

正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键.

6.(2022・吉林长春・中考真题)如图，在回A8CD中，AB=4,力。=BD=同，点M为边4B的中点，动点

尸从点A出发，沿折线2D-DB以每秒旧个单位长度的速度向终点B运动，连结PM.作点A关于直线PM

的对称点A,连结AP、A'M.设点P的运动时间为/秒.

(1)点。到边4B的距离为；

(2)用含t的代数式表示线段DP的长；

(3)连结AD,当线段4D最短时，求△口「小的面积；

(4)当M、A、C三点共线时，直接写出f的值.

【答案】⑴3

(2)当时，DP=V13-V13t；当1</2时，PD=V13t-V13;

【解析】

【分析】

(1)连接。M,根据等腰三角形的性质可得。再由勾股定理，即可求解；

(2)分两种情况讨论：当时，点尸在AD边上；当1<瓦2时，点P在边上，即可求解；

(3)过点P作于点E,根据题意可得点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，可得

到当点。、4、M三点共线时，线段4。最短，此时点P在AD上，再证明△可得DE=3-

3t,PE=2-2t,从而得到4E=0E—4D=2—3t,在Rt^APE中，由勾股定理可得t=|,即可求解；

(4)分两种情况讨论：当点A位于M、C之间时，此时点P在A。上；当点4(A")位于CM的延长线上

时，此时点尸在2£)上，即可求解.

(1)

解：如图，连接DM,

D

VAB=4,AD=BD=V13,点M为边48的中点,

：.AM=BM=2,DMLAB,

>"-DM=>JAD2-AM2=3,

即点。到边4B的距离为3；

故答案为：3

⑵

解:根据题意得：当0SV1时，点尸在边上，

DP=V13-V13t;

当1<仁2时，点P在2。边上，PD=gt—g；

综上所述，当0SV1时，DP=V13-V13t;当1〈区2时，PD=V13t-V13:

(3)

解：如图，过点尸作于点E,

••,作点A关于直线PM的对称点A,

：.A'M=AM^2,

二点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，

.,.当点。、A'、M三点共线时，线段4D最短，此时点尸在上,

：.A'D=1,

根据题意得：A'P=AP=V13t,DP=V13-V13t,

由(1)得：DMLAB,

9：PE±DM,

：.PE//AB,

：./\PDE^AADM,

,PDDEPE

••=-

ADDMAMf

・>/i3-V13tDEPE

•・====,

71332

解得：DE=3-3t,PE=2-2t,

J.A'E=DE-A'D=2-3t,

在RtA&PE中，A'P2=PE2+A'E2,

•"•(V13t)2=(2-2t)2+(2-3t)2-解得：t=|,

•••SAOPH=•PE=]xlx£=|；

(4)

当点M、4、C三点共线时，且点力'位于M、C之间时，此时点尸在A。上，

连接A4,A'B,过点P作PfUAB于点忆过点4作4GLA2于点G,^\AA'LPM,

：AB为直径，

AZA=90°,即AA'_L4'B,

：.PM//A'B,

：.ZPMF=ZABA',

过点C作CNLAB交AB延长线于点N,

在回48co中，AB//DC,

VDMXAB,

：.DM//CN,

J四边形CDMN为平行四边形,

：.CN=DM=3,MN=CD=4,

：.CM=5,

CN3

AsinzCM/V

CM5

・「AM=2f

：.A'G=2x-=-,

55

：.MG=I，

2

：.BG=BM—MG=：,

**•tanZ-ArBA=——=3,

BG

tanzPMF=tanZ-ArBA=3,

PF

:•丽=3,即*3小

••一…DMPF3…AMAF2

•tan/ZMM=-=-=coszD/lM=-=-=

3

・•.PF=W

Z.3FM=^AF,即AF=2FM,

VAM=2,

4

•・•川.,

4

・i_2WW：t=|；

•.而y

如图，当点A(")位于CM的延长线上时，此时点P在5。上，PB=2V13-V13t,

过点4"作A'G'14B于点G,则乙4M&'=NCMN,取44”的中点H,则点M、P、，三点共线，过点”作

HKLAB于点K,过点P作P7UAB于点T,

同理：A"G'=l，AG'=1，

：HK±AB,A"G'LAB,

\HK//A"G',

\△AHK〜

.•点”是44"的中点,

,HKAKAH_1

~AG^AA"-2

3

•・HK=(,AKi

5’

9

-S=?即MT=3PT,

PT3BT_BM_2

，,

tan"*=器BTW3BTPB-BD~V13

2

\BT=-PT,

3

Q

\MT=-BT,

2

；MT+BT=BM=2,

4

BT=—

li

4

五20

--------=29解得:

2V13-V13t-----V1311

综上所述，f的值为I或等

【点睛】

本题主要考查了四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，圆的基本性质，相似三角形的判定和性质,

解直角三角形，根据题意得到点4的运动轨迹是解题的关键，是中考的压轴题.

7.(2022•山东临沂•中考真题)已知AABC是等边三角形，点8,。关于直线AC对称，连接A。，CD.

(1)求证：四边形A8CD是菱形；

(2)在线段AC上任取一点尸(端点除外)，连接PD将线段尸。绕点P逆时针旋转，使点。落在8A延长线

上的点。处.请探究：当点尸在线段AC上的位置发生变化时，NDPQ的大小是否发生变化？说明理由.

(3)在满足(2)的条件下，探究线段A。与CP之间的数量关系，并加以证明.

【答案】(1)见解析

(2)NDPQ大小不变，理由见解析

(3)CP=4Q,证明见解析

【解析】

【分析】

(1)连接2D,由等边三角形的性质可得AC垂直平分3，继而得出4B==CD=4。，便可证明；

(2)连接尸8,过点尸作PE||CB交于点E,尸/UAB于点凡可证明△力PE是等边三角形，由等腰三角形

三线合一证明乙4PF=4EPF,4QPF=乙BPF,即可求解；

(3)由等腰三角形三线合一的性质可得4尸=尸E,QF=BF,即可证明.

(1)

连接BD,

△ABC是等边三角形,

・•.AB=BC=AC,

•:点B,。关于直线AC对称，

・・・AC垂直平分BD,

・•.DC=BC,AD=AB,

・•.AB=BC=CD=AD,

・•・四边形ABC。是菱形；

(2)

当点尸在线段AC上的位置发生变化时，NDPQ的大小不发生变化，始终等于60。，理由如下:

•••将线段PO绕点。逆时针旋转，使点。落在3A延长线上的点。处，

PQ=PD,

•・•△A8C是等边三角形，

.・.AB=BC=AC,^BAC=乙ABC=乙ACB=60°,

连接尸5,过点尸作PE||CB交A5于点尸尸，A3于点尸，

贝iJ4ZPE=AACB=60°,^AEP=乙ABC=60°,

・•・/.APE=/.BAC=60°=NZEP,

ZPE是等边三角形，

•••AP=EP=AE,

•・•PFLAB,

・••Z-APF=乙EPF,

,:点B,。关于直线AC对称，点尸在线段AC上,

：.PB=PD,ZDPA=ZBPA,

:・PQ=PD,

•・•PFLAB,

••Z-QPF=Z-BPF,

ZQPF-ZAPF=ZBPF-ZEPF,

即NQE4=NBPE,

.-.ZDPQ=ADPA-ZQPA=ZBPA-ZBPE=NAPE=60°；

⑶

AQ=CP,证明如下:

■■■AC=AB,AP=AE,

■.AC-AP=AB-AE,即CP=BE,

■.AP=EP,PF±AB,

■：PQ=PD,PF±AB,

：.QF=BF,

：.QF-AF=BF-EF,BPAQ=BE,

：.AQ=CP.

【点睛】

本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等，熟练掌握知识点

是解题的关键.

8.(2022•内蒙古通辽•中考真题)已知点E在正方形2BCD的对角线力C上，正方形4FEG与正方形4BCD有公

(1)如图1,当点G在4。上，尸在48上，求嬴的值为多少；

(2)将正方形4FEG绕4点逆时针方向旋转a((T<a<90。)，如图2,求：会的值为多少；

UG

(3)4B=8应，AG=^-AD,将正方形2FEG绕4逆时针方向旋转a(0。<a<360。)，当C,G,E三点共线时,

请直接写出DG的长度.

【答案】(1)2

⑵夜

(3)4(76-V2)

【解析】

【分析】

(1)根据题意可得GE||DC,根据平行线分线段成比例即可求解；

(2)根据(1)的结论，可得翌=%=%根据旋转的性质可得NZMG=NC4E,进而证明小GADEAC,

AEACV2

根据相似三角形的性质即可求解；

(3)勾股定理求得CG,EC,进而根据AGAD“△E4C,由相似三角形的性质即可求解.

(1)

•.•正方形4FEG与正方形4BCD有公共点力，点G在4。上，尸在4B上，

**.

AG_AE

：'~DG=~EC

EC_AE

''1DG=AG

•••四边形4FEG是正方形

AE=y[2AG

...募=^=^=V2XV2=2

V2DGDGAG

(2)

如图，连接AE,

・.•正方形4FEG绕4点逆时针方向旋转a(0。<a<90°),

•••乙DAG=Z-CAE

AG_AD_1

'AE=AC

•••△GAD〜匕EAC

•.•生—_丝—_v乙&，

DGAD

(3)

如图，

AB

AB=8&,AG^—AD,

2

：.ADAB8^2,AG=亨X8/=8,AC=近AB=16，

•••G,G,C三点共线,

Rt△4GC中，GC=AC2—AG2=V162-82=8V3，

.­.CE=GC-GE=8V3-8，

由(2)可矢口AGa。sAEAC,

.阻_处_e

••DG—DA—V乙，

...DG=喂=8电詈8)=4(乃_吟.

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综

合运用以上知识是解题的关键.

9.(2022・广西•中考真题)已知NMON=a，点A,8分别在射线OM,ON上运动，AB=6.

图①图②图③

⑴如图①,若a=90°,取AB中点D,点A,B运动时，点D也随之运动，点A,2,。的对应点分别为

连接。D,。。'.判断。。与。£>'有什么数量关系?证明你的结论：

(2)如图②，若a=60。，以A8为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,求点。与点C的最大距离：

(3)如图③，若a=45。，当点A,B运动到什么位置时，△40B的面积最大?请说明理由，并求出AdOB面积

的最大值.

【答案】(1)。。=OD',证明见解析

(2)3百+3

(3)当。4=OB时，AAOB的面积最大；理由见解析，△力。8面积的最大值为9/+9

【解析】

【分析】

(1)根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半''可得OD'^A'B',进而得出结论；

(2)作AAOB的外接圆/,连接C/并延长，分别交。/于。'和。，当。运动到。'时，0C最大，求出CZ)和

等边三角形AO'B上的高。'。，进而求得结果；

(3)作等腰直角三角形A/8,以/为圆心，4/为半径作。/,取AB的中点C,连接C/并延长交。/于0,

此时AAOB的面积最大，进一步求得结果.

(3)以A2为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,连接0C交A3于点T,在。7上取点E,使OE=BE,

连接BE,由(2)可知，当。C时，0c最大，当。4=0B时，此时。7最大，即AHOB的面积最大，

由勾股定理等进行求解即可.

(1)

解：0D=0D',证明如下：

•••/.AOB=a=90。，AB中点为D,

1

・•.0D=-AB,

2

。为48'的中点，Z.AOB1=a=90°,

1

0D'

2

■：AB=A'B',

0D=0D'；

⑵

解:如图1,

作AAOB的外接圆/,连接C/并延长，分别交。/于。，和£>,

当O运动到。'时，OC最大,

此时AAOB是等边三角形,

：.BO'=AB=6,

OC^CO'=CD+DO'=^AB+^-BO'=3+3y/3;

22

⑶

。解占：如图2,作等腰直角三角形A/2,以/为圆心，4/为半径作。/,

图2

：.AI=^AB=3y/2,ZAOB=-ZAIB=45°,

22

则点。在。/上，取AB的中点C,连接C/并延长交。/于0,

此时ZkAOB的面积最大，

-1

OC=CI+OI=5B+3a=3+3位,

：.SLAOB^^=|X6X(3+3V2)=9+9V2.

【点睛】

本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，确定圆的条件等知识,解决问题的关键是熟练掌握“定弦对

定角''的模型.

10.(2022•辽宁・中考真题)如图，在△力BC中，AB=AC=2®BC=4,D,E,F分别为4C,4B,8C的中

点，连接DE,DF.

AAAA2A

上

BC

BF°Q/NF歹厂

图1图2图3

⑴如图I,求证：DF』E;

(2)如图2,将NEDF绕点。顺时针旋转一定角度，得到NPDQ,当射线DP交4B于点G,射线。Q交8c于点N

时，连接FE并延长交射线DP于点判断FN与EM的数量关系，并说明理由;

(3)如图3,在(2)的条件下，当DPI2B时，求DN的长.

【答案】(1)见解析

⑵FN=—EM,理由见解析

2

⑶?

【解析】

【分析】

(1)连接4F,可得4F18C,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得遮，根据中

位线定理可得DE=\BC=2,即可得证；

(2)证明ADNF-ADME,根据(1)的结论即可得FN=

2

(3)连接4F,过点C作CH_L2B于H,证明AAGDfAHC,可得GD=^HC=延，勾股定理求得GE,4G,

25

根据tanzSDG="=三，乙EMG=Z.ADG,可得tan/EMG=%=三，进而求得MG,根据MD=MG+GD求

GD4MG4

得MD,根据(2)的结论DN=隹DM，即可求解.

2

(1)

证明：如图，连接4F,

图1

AB=AC=2y/5,BC=4,D,E,尸分别为的中点,

•••DE=-BC=2,AF1BC,

2

DF=-AC=V5,

2

•••DF=—DE,

2

⑵

FN=—EM，理由如下，

2

连接4尸,如图,

1•,AB=AC=2V5,BC=4,D,E,尸分别为4C,4B,BC的中点,

EF=^AC=CD.EF^DC,

••・四边形CDEF是平行四边形，

•••乙DEF=Z-C,

1

•・・DF=-AC=DC,

2

Z.DFC=Z-C,

•••Z-DEF=Z.DFC,

・•・180°-乙DEF=180°-Z.DFC,

・•・乙DEM=乙DFN,

图2

•.■将NEDF绕点Q顺时针旋转一定角度，得到NPDQ,

•••Z.EDF=乙PDQ,

•・•乙FDN+乙NDE=乙EDM+乙NDE,

・•.Z.FDN=乙EDM,

•••△DNFDME,

.NF_DF_y[5

"EM~DE~2’

•••FN=—EM，

2

(3)

如图，连接4F，过点C作CH14B于H,

A

-1

口△”(:中，FC=-BC=2,

AF=yjAC2-FC2=4,

11

-S^ABC=1BC-AF=^AB-CH,

,BCAF4X48^5

・r•・rzHC=---=—7==——,

AB2V55

•・•OPJ.g

•••△4G。~AAHC,

.GD_AD_1

*'HC~AC~2’

•••GD=-WC>

25

Rt△GED中，

GE=yjED2-GD2=J22一(誓j=当，

Rt△AGD中，

AG-y/AD2—GD2=^(A/5)2—'=~~

3-/5

mAG~r~3

tSLYlZ-ADG=---=A"~=一，

GD^/54

■:EF^AD,

•••Z-EMG=Z-ADG9

3

•••tanzEMG=一

4’

442A/5875

・•・MG=-GE―X----=-----

33515

8V54V5475

・•.MD=MG+GD---1---

1553

ADNF-ADME,

.DN_DF_

"DM-DE~2’

…丁遥…"V547510

.・.DN=—DM=—x—=—.

2233

【点睛】

本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质

与判定，求角的正确，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

11.(2022•贵州贵阳・中考真题)小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.

如图，在口486中，2N为BC边上的高，当=m,点M在4D边上，且84=8M,点E是线段4M上任意一点，

连接BE,将4ABE沿BE翻折得△FBE.

(1)问题解决：

如图①，当NBHD=60。，将△48E沿BE翻折后，使点F与点M重合，则普=______;

AN

(2)问题探究：

如图②，当AB2D=45。，将△力BE沿BE翻折后，使求/ABE的度数，并求出此时小的最小值；

(3)拓展延伸：

当48ao=30。，将△ABE沿BE翻折后，若EF120,且2E="0,根据题意在备用图中画出图形，并求出

zn的值.

【答案】⑴*

3

(2)〃BE=22.5°,m=2

(3)作图见解析，3次一1

【解析】

【分析】

(1)根据等边三角形的性质，平行四边形的性质可得煞=*=一三，根据特殊角的三角函数值即可求

ANANCOSZ.BAN

解;

(2)根据折叠的性质即可求得“EB=NFEB=4180°+45。)=112.5°,由三角形内角和定理可得乙48E=

180°-AAEB-^BAE=22.5°,根据点M在力。边上，当时，机取得最小值，最小值为%=2；

AN

(3)连接FM,设4N=a,则4B=2a,NB==43a,itRtAFBM^,FB=AB=BM,延长FE交

NC于点G,在Rt^EFM中，EM=VFM2-EF2=J8a2一(百—1)2a2=(V3+l)a,进而根据4D=4E+

EM+MD,即可求解.

(1)

BA=BM,乙BAD=60°

.•.△ABM是等边三角形，

AB=AM=BM

•••四边形4BCD是平行四边形，

*'•AD,

・••乙ABN=/-BAM=60°,

•••AN为BC边上的高，

tAM_AB_1_1_2V3

••AN-AN一COSZ.BAN'=逅一=，

2

(2)

•・•Z.BAD=45°,BA=BM,

.・.△AMB是等腰直角三角形，

・•・乙MBC=LAMB=45°,

•・•EF^BM,

・•.Z.FEM=乙AMB=45°,

・•・乙AEB=乙FEB=|(180°+45°)=112.5°,

•••明呼，

・•・^BAE=乙ABN