2024-2025学年度八年级数学下册平面图形的认识二《圆》提优训练（共100题含答案）

2024-2025学年度八年级数学下册平面图形的认识二《圆》提优训练100题

一、单选题

1.下列说法错误的是（）

A.对角线垂直且互相平分的四边形是菱形

B.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

C.平分弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧

D.对角线垂直且相等的平行四边形是正方形

2.在中，点4B,C,D在圆上，°B||OC,°D||BC,贝I］乙4为（）

A.45。B.50。C.60。D.65。

3.已知A4BC内接于。0,连接ZO并延长交5c于点D,若乙8=62。，ZC=5O°,则乙103的度数

是（）

A.68°B.72°C.78°D.82°

4.如图，已知ZB是。。的直径，弦CDLAB于点E,G是AB的中点，连结AC,AG,CD,则下列结

论不一定成立的是（）

A.CE=DEB./-ADG=Z.GABC.Z.AGD=Z.ADCD./-GDC=Z.BAD

5.如图，AABC是OO的内接三角形，若NBCA=60。，则乙4B。)

A

A.30。B.45。C.60。D.120。

I_I

6.在（DO中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧力C沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD.如

图，若点D与圆心0不重合，ZBAC=25°,贝吐DCA的度数（）

7.如图，为。。的直径，弦CD14B于点凡OF1BC于点F,过点。作。。的切线交的延长线

于点P,若ZEOF=110。，则ZPDC的度数为（）

8.三角形的两边长分别为6和8,第三边长是方程,-12久+2。=。一个实数根，则此三角形内切圆

的半径为（）

5

A.1B.2C.2D.3

9.如图，已知。0的直径AE=10cm,ZB=ZEAC,则AC的长为（）

A.5cmB.5但cmC.57^cmD.6cm

10.如图，。0中，弦AC=2点，沿AC折叠劣弧AC交直径AB于D,DB=2,则直径AB=（

)

15

A.4B.4C.3⑫D.2点

二'填空题

11.已知扇形半径是3cm,弧长为2Tlem,则扇形的圆心角为.

12.一条弦把圆分成1：2两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为.

13.如图，。0与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，贝吐AOC的度数为

14.如图，点P是四边形ABCD外接圆。0上任意一点，且不与四边形顶点重合，AD是OO的直

径，AB=BC=CD,连结PA,PB,PC.若PA=a,则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=.

15.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少.割

之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想

得到了圆周率兀的近似值为3.1416.如图，。。的半径为1,运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积

3百

近似估计。。的面积，可得兀的估计值为”",若用圆内接正十二边形作近似估计，可得兀的估计值为

16.如图，在△ABC中，乙4cB=90。，5A^BC=14>BC=4,p是4B边上的动点（不与点B重合）,

将ABCP沿CP所在的直线翻折，得至连接B'Z,贝胆”长度的最小值为.

17.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹为120。，AB长为25cm,则纸扇外

边缘弧BC长为cm.

18.如图，CD是。0的直径，弦ABJ_CD,连接OA,OB,BD,若4AOB=100。，贝叱ABD=

19.圆心角为90。的扇形如图所示，过履的中点作CD1OA、CE1OB,垂足分别为点D、E.若半

径OA=2,则图中阴影部分图形的面积和为

，DC分别切。。于4,BE点.若PA=10cm,则

21.如图，边AB是。0内接正六边形的一边，点C在AB上，且BC是©0内接正八边形的一

边，若AC是。0内接正n边形的一边，贝Un=.

22.如图，等腰AAOB中，顶角乙40B=40。，用尺规按①到④的步骤操作:

①以0为圆心，0A为半径画圆；

②在。。上任取一点P（不与点A,B重合），连接AP；

③作AB的垂直平分线与。。交于M,N；

④作AP的垂直平分线与O。交于E,F.

结论I：顺次连接M,E,N,F四点必能得到矩形；

结论n：。。上只有唯一的点P,使得$扇形FOM=S扇形40B.

对于结论I和n正确的是.

23.如图，四边形ABCD内接于。。，BC是。。的直径，AD//BC,AC与BD相交于

点P,若乙4PB=50°,则乙PBC=.

24.如图，AB是QO的直径，C、D为。0上的点，P为圆外一点，PC、PD均与圆相切，设

ZA+ZB=13O°,ZCPD=p,则［3=.

25.某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高A0=8米，母线AB=10米，则该圆锥

的侧面积是平方米（结果保留兀）.

26.已知一个扇形的面积是15兀，圆心角为150。，则此扇形的弧长为0

27.一个正多边形的对称轴共有6条，则这个正多边形的边数是.

口

28.如图，已知点4B,C在。。上，C为4B的中点，若NB/C=30。，贝忆4OB=,

-4-xy//\LJ-

29.如图，四边形4BC0内接于4C是直径，AD=DC,~3,BE-BD^30,则

O。的直径等于.

30.如图，在RtAABC中，NC=90。，tan^BAC=73,BC=仃,将AABC绕点A逆时针

旋转30°得到△AB,C',则图中阴影部分的面积是

AB'

B

三'计算题

0为圆心，BC是直径，乙0=35。，求ZOAC的度数.

32.根据背景素材，探索解决问题.

测算石拱桥拱圈的半径

某数学兴趣小组测算一

座石拱桥拱圈的半径

（如图1）,石拱桥由矩

素

形的花岗岩叠砌而成,

材

上、下的花岗岩错缝连

1

接（花岗岩的各个顶点图1图2

落在上、下花岗岩各边

的中点，如图2所示）.

通过观察发现A,B,C

三个点都在拱圈上，A

素

是拱圈的最高点，且在

材

两块花岗岩的连接处,

2图3

B,C两个点都是花岗岩

的顶点（如图3）.

如果没有带测量工具,

素

那么可以用身体的“尺子”1肘

材

来测，比如前臂长（包

32肘

括手掌、手指）称为1图4图5

肘（如图4）,利用该方

法测得一块花岗岩的长

和宽（如图5）.

问题解决

任

通过观察、计算B,C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度

务获取数据

差）.

1

任

务分析计算通过观察、计算石拱桥拱圈的半径.

2

注：测量、计算时，都以“肘”为单位.

33.如图，正△ABC外接圆的半径为2,求正△4BC的边长，边心距，周长和面积.

34.如图，直径为1个单位长度的圆从原点出发沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点。’.

（1）数轴上点。’对应的数是;

（2）从上述事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是——对应的.有

理数中的相关概念、运算法则及运算律同样适合于实数.解决下列问题:

①我的相反数是.

②计算但（代一居）的结果是；

③若4+g的整数部分为a,小数部分为b,求a+S一廓产的值.

35.如图，。。的半径为1,B0为直径，点C在。。上，过点C的切线与的延长线交于点A,

且皿=。，

c

(1)求乙4的度数；

(2)通过计算比较O。的直径和劣弧前的长度哪个更长；

(3)点E在下方的圆上运动(不与点B,D重合)，过点C作的垂线，与EB的延长线交于

点F.在点E运动过程中，求CF的最大值.

36.小勇要帮助船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面4B宽度

16小时，拱顶高出水平面4加，货船宽12m,船舱顶部为矩形并高出水面3m.请你判断一下，此货船

能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由.

37.筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，如图所示，半径为4m的筒车。。按逆时针方向，每

秒旋转4度，筒车与水面分别交于4B,筒车的轴心。距离水面的高度℃长为2血，筒车上均匀分布

着若干个盛水筒，水筒P与4点重合时开始计算时间.

(1)3.5秒后，盛水筒P距离水面(即直线4B)的高是多少米?

(2)若接水槽MN所在直线是。。的切线，且与直线交于点M,M°=20m,求盛水筒P从最

高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上？(参考数据：si"16o=cos74。70.275,

sinl2°—cos78°«0.2,sin6°=cos84°«0.1)

38.如图，AB是圆O的直径，AD是弦，NDAB=22.5。，过点D作圆O的切线DC交AB的延长线

于点C.

(2)若AB=2隹，求BC的长度.

39.如图所示，4B为。。的直径，CC是。。的弦，AB,的延长线交于点E,已知

AB=2DE,Z-AEC=20°.求的度数.

40.我们知道，长方形绕着它的一边旋转形成圆柱体，圆柱体的侧面展开图为长方形，现将一个长、

宽分别为4cm和3cm的长方形绕着它的宽旋转一周，求形成的圆柱体的表面积.

41.如图是一名考古学家发现的一块古代车轮碎片.

(1)请你帮他找到这个车轮的圆心(保留作图痕迹)；

(2)若这个圆的半径为10cm,请求出弦心距为5cm的弦长.

42.如图1,一个圆球放置在V型架中.图2是它的平面示意图，CA、CB都是。。的切线，切点

分别是A、B,如果。0的半径为2版cm,且AB=6cm,求zACB.

43.如图，已知。4OB,OC都是。。的半径，乙4cB=24笈4c.

(0二。

ATB

(1)若ZBOC=46。，求乙40B的度数.

(2)若ZB=4,BC=把，求O0的半径.

44.如图1,OO的半径为r(r>0),若点P在射线OP上，满足OP'OP=r2,则称点P是点P关于

OO的“反演点

如图2,。0的半径为4,点B在Q0上，乙BOA=60。，0A=8,若点A，，B，分别是点A,B关于

。。的反演点，求AB，的长.

45.如图，AB与。。相切于点C,0A=OB,AB=10cm.

(1)若。。的直径为8cm,求0A的长；

1

sinA=-匚」

(2)若2,求MC.

46.如图，AB是O0的弦，C是上一点，乙40c=90。，04=4,0C=3,求弦AB的长.

47.如图，已知。0的弦AB垂直平分半径0C,连接AO并延长交。0于点E,连接DE,若

AB=4也请完成下列计算

(1)求。0的半径长;

(2)求DE的长.

48.如图，AB、CD是OO的直径，弦CEIIAB,AC的度数为70。.求ZEOC的度数.

49.如图，在。0中，半径OA1OB,过OA的中点C作FDIIOB交。。于D、F两点，且

CD=但，以O为圆心，OC为半径作CE,交OB于E点.

(1)求。0的半径OA的长;

(2)计算阴影部分的面积.

50.一条盘水管的截面如图所示，水面宽4B垂直平分半径0D.

(1)求N0DB的度数；

(2)若。。的半径为6,求弦2B的长.

(3)若连结4。，请判断四边形AOB。的形状，并给出证明.

四'解答题

51.将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，现在有一个长为4cm、

宽为3cm的长方形，分别绕它的长、宽所在的直线旋转一周，得到不同的圆柱体，它们的体积分别

是多大？(结果保留兀)

52.如图所示，PA,PB是。0的两条切线，A,B为切点，连接P0,交。0于点D,交AB于点

C,根据以上条件，请写出三个你认为正确的结论，并对其中的一个结论给予证明.

53.如图，在O0的内接四边形/BCD中，AB^AD,/BCD=110。，点E在4)上.

A

(2)求NAED的度数.

54.在。。中，延长直径4B至点C,以4c为一边的等腰三角形△。4。，CA=CD,底边D4与。。交

于点凡直线EF是。。的切线，交CD于点F.

(1)如图①，当/。=40。时，求乙4和NEF。的大小；

(2)如图②，当NC=60°且直线FB恰与。。相切.若。A=3,求F。的长.

55.如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm,截面中有水部分弓形的高为6cm.

(1)求截面中弦的长;

(2)求截面中有水部分弓形的面积.

56.如图，AB为。。的直径，点P为BA延长线上一点，以点P为圆心，P0为半径画弧，以点O

为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点C,连结OC交。。于点D,连结PD.

c

D

PA0B

(1)求证：PD与。。相切；

1

(2)若PD=48A乙POC〉,求°。的半径.

57.如图，是。。的直径，弦CD1/B于点H,"=30。，CD=26求。。的半径的长.

58.如图，AB与OO相切于点B,AO及AO的延长线分别交OO于D、C两点，若ZA=4O。，求

59.如图，AB是。。的直径，E是。。上一点，AC平分ZBAE,过点C作CD1AE交AE的延长线于

点。

D

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)若ZB=6/B4C=30°,求阴影部分的面积.

60.如图，AB是。0的直径，E为。。上一点，EFLAB于E,连接OE,AC||OE,OD_LAC于D,

若BF=2,EF=4,求线段AC长.

E

61.如图：在等腰aABC中，AB=AC,AD上BC,垂足为D,以AD为直径作。0,。0分别交

AB、AC于E、F.

(1)求证：BE=CF；

(2)设AD、EF相交于G,若EF=8,BC=10,求。。的半径.

62.如图4BCD为O。上的四点，点E为CB延长线上的一点，且71B1AD,点C为弧BD的中点.

(1)若乙4BE=82。，求乙4DB的度数.

(2)若BC=5点,AB=6,求AD的长.

63.已知线段AB=3cm,用图形表示到点A的距离小于2cm,且到点B的距离大于2cm的所有点的

集合.

64.如图，已知AB为。。的直径，PA,PC是。。的切线，A,C为切点，ZBAC=3O°.

(I)求ZP的大小；

(II)若AB=2,求PA的长(结果保留根号).

p

65.古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上

畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵

州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史,是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝肩石拱桥,

赵州桥的主桥拱便是圆弧形.

（1）某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中2BC）,已知跨度4C=40TH,拱高BD=10m,则这条桥

主桥拱的半径是m.

（2）某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽MN=l（hn,拱顶p（抛物线顶点）距离

水面4加，求桥拱抛物线的解析式;

（3）如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2m，求此时两桥的水面宽度.

66.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一段圆弧经过格点A,B,C（网格中每个小正方

形的边长为1）.

（1）该图中圆弧所在圆的圆心D的坐标为;

（2）根据（1）中的结论，

①填空：的半径是,NADC的度数是

②求齐的长.

67.已知a,b,c是△ABC的三边长，且a?+/+c2-6a-8b-10c+5。=。

（1）求a,b,c的值；

（2）求△ABC外接圆的半径.

68.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90。的扇形，求此扇形的最大面积.

69.根据以下实践活动项目提供的材料，完成相关任务.

E

图1图2

【活动主题】怎样确定隧道口车辆通过限行高度？

【活动过程】素材1：长沙附近有一条两车道隧道，隧道口有4.5血限高标志，如图1,表示车辆顶

部最高处到地面的距离不超过4.5m，否则禁止通行.

素材2：李明通过实地测量和查阅有关资料，获得以下信息，如图2：

①隧道口上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的长和半圆的直径相等

②矩形的长为10小，高为2m,车道两侧各有1小人行道；

③设计部门要求车辆顶部（约定为平顶）与隧道圆拱内部在竖直方向至少有八加的距离.

【问题解决】

（1）试求隧道口上半圆中点E到路面4B的距离EF；

（2）求九的最小值.

70.如图，AB是。。的直径，过点人作。。的切线AC,P是射线AC上的动点，连结OP.过点B作

BD//OP,交O。于点连结PD.

备用图

（1）求证：PD是。。的切线.

（2）当四边形POBD是平行四边形时，求乙4P。的度数.

五'作图题

71.如图，点A（3,1）,B（9,7）,C为AB中点，点0（8,0）.

（1）将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AP,画出线段AP的位置，并直接写出

AP

PB的值；

（2）将点B绕点C逆时针旋转180°,用直尺或圆规画出点B所经过的路径L；

（3）延长4P交（2）中路径L于点E,用无刻度的直尺在（2）中的路径上找点F,使

EF//AB，保留作图痕迹.

72.如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点

（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）;

（2）求（1）中所作圆的半径.

73.如图，在RtZkABC中，ZA=9O°

（1）用直尺和圆规求作RtAABC的外接圆。0.（只需作出图形，保留作图痕迹）

□

（2）若乙B=60。，BC=6,则AC的长度=

74.尺规作图.试将已知圆的面积四等分.(保留作图痕迹，不写作法)

75.创新作图

如图是由小正方形构成的7义7网格，每个小正方形的顶点叫做格点.。0经过A、B、C三个格

点，连接AB,AC,BC,仅用无刻度直尺在给定网格中按要求画图.(不写作法)

(1)在圆上找点D,使得ZBAD=9O。；

(2)在劣弧BC上找点D,使得/CBD=45。.

六'综合题

76.如图，AB是。0的直径，弦CD1AB于点E,G是弧AC上的点，AG,DC延长线交于点F.

(1)求证：ZFGC=ZAGD.

(2)若BE=2,CD=8,求AD的长.

77.已知是。。的直径，点C,。是。。上两点，*=亮，连接AC,BC,DB.

(1)如图①，若AB=10,BD=5,求乙4BC和乙4BD的大小；

(2)如图②，过点C作。。的切线，与DB的延长线交于点凡若CE=CB,求乙4B。的大小.

78.如图，在山△ABC中，NC=90。，点o在4B上，以点。为圆心，。4长为半径的圆与AC、AB分

别交于点D、E,且NCBO=NA.

(1)求证：BD是。。的切线；

(2)若40：40=5：3,BC=4,贝ijBD的长为.

79.如图，点D在。0的直径AB的延长线上，点C在。0上，AC=CD,zACD=120°.

(1)求证：CD是。0的切线；

(2)若。0的半径为2,求图中阴影部分面积

80.如图，已知。。是以AB为直径的圆，C为。。上一点，D为OC延长线上一点，BC的延长线

交AD于E,乙DAC=ADCE.

D

(1)求证：直线AD为。。的切线；

(2)求证：DC2=ED-DA,

81.如图，D为。0上一点，点C在直径BA的延长线上，且ZCDA=NCBD.

(1)求证：CD2=CA«CB；

(2)求证：CD是OO的切线；

2

(3)过点B作。0的切线交CD的延长线于点E,若BCT2,tan4CDA-W,求BE的长.

82.如图，在△ABC中，=点o在4B上，以。B为半径的。。分别与BC、相交于点

D、F,与AC相切于点E,过点D作。G1AC,垂足为G.

(1)求证：0G是。。的切线.

(2)若CG=2,CD=8,求BD的长.

83.已知AABC的内切圆OO与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F,若EF=DE,如图1,.

(1)判断AABC的形状，并证明你的结论；

(2)设AE与DF相交于点M,如图2,AF=2FC=4,求AM的长.

84.如图，在。O中，直径AB与弦CD相交于点P,ZCAB=4O°,ZAPD=65°.

D

(1)求ZB的大小;

(2)已知圆心0到BD的距离为3,求AD的长.

85.如图，AB是OO的直径，直线CD与。0相切于点C,且与AB的延长线交于点E.点C是弧

BF的中点.

(1)求证：AD1CD；

(2)若NCAD=30。.。。的半径为3,一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--EC-弧CB爬回至点B,

求蚂蚁爬过的路程(g3.14,值句.73,结果保留一位小数.)

86.已知：如图，在半径为4的。。中，AB,CD是两条直径，M为0B的中点，CM的延

长线交O0于点E,且EM>MC,连接DE,DE=^

D

(1)求证：AAMCSAEMB；

(2)求EM的长；

87.如图，在Rt^ABC中，ZC=9O°,ZBAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点0为圆

心作。O,使。0经过点A和点D.

(1)判断直线BC与。0的位置关系，并说明理由.

(2)若AC=3,ZB=30°,①求。。的半径；②设。。与AB边的另一个交点为E,求线段

BD,BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积.(结果保留根号和兀)

88.如图，在AABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的。O经过点A,且NCAD=NABC.

(1)请判断直线AC是否是。。的切线，并说明理由;

(2)若CD=2,CA=4,求弦AB的长.

89.已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且ZA：ZB：ZC=2：3：4.

(1)求NA、ZB的度数；

(2)若D为ADC的中点，AB=4,BC=3,求四边形ABCD的面积.

90.如图，四边形ABCD内接于。0,BD是。O的直径，点A为焉的中点，切线AE交CB的延

长线于点Eo

(1)求证：AEHBDo

(2)若。0的半径为2.5,CD=4,求AE的长。

七'实践探究题

91.山西晋城景德桥，又名沁阳桥、西关大桥，是山西晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道，是

继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一，其主拱的结构近似为圆弧形，某校“综合与实

践”小组的同学为测量景德桥的主拱所在圆的半径，撰写了如下不完整的实践报告：

测量

景德桥的主拱所在圆的半径

对象

成员组长：XXX.组员：XXX,XXX,XXX

测量

测量角度的仪器，皮尺等

工具

将主桥拱记为京，弦AB为水平面，设主拱所在圆的半径为r,在实地勘测拱桥后,“综合

测量

^CAB=20°,z^BC=50MC=16.4m,求半径r(结果精确到参考数据

测量

sin20°»0.34,cos20°0.94,tan20°«0.36,s讥50°右0.77,cos50°«0.64,

数据

tan50°«1.19,

反思

92.探究：用边长相等的正八边形和正方形能镶嵌平面吗？请说明理由.如果能，画出镶嵌图（只

要求画出示意图）.

93.如图

图①图②

Q）【课本再现】如图①，PA,PB是O。的两条切线，切点分别为4B,则图中的PA与PB,

乙4P。与NBP。有什么关系？请说明理由；

（2）【知识应用】如图②，PN,PD,DE分别与。。相切于点A,B,C,且DEIIPN,连接。

0P,延长00交。。于点“，交DE于点E,过点"作“'||交PN于点N.

①求证：MN是。。的切线；

②当。°=6cm,0P=8cm时，求。。的半径及图中阴影部分的面积.

94.小学阶段，我们了解到圆：平面上到定点的距离等于定长的所有的点组成的图形叫做圆。在一

节数学实践活动课上，老师手拿着三个正方形硬纸板和几个不同的圆形的盘子，他向同学们提出了

这样一个问题：已知手中圆盘的直径为13cm,手中的三个正方形硬纸板的边长均为5cm,若将三个

正方形纸板不重叠地放在桌面上，能否用这个圆盘将其盖住？问题提出后，同学们七嘴八舌，经过

讨论，大家得出了一致性的结论是：本题实际上是求在不同情况下将三个正方形硬纸板无重叠地适

当放置，圆盘能盖住时的最小直径.然后将各种情形下的直径值与13cm进行比较，若小于或等于

13cm就能盖住，反之，则不能盖住.老师把同学们探索性画出的四类图形画在黑板上，如图所示.

（1）通过计算，在图1中圆盘刚好能盖住正方形纸板的最小直径应为。叫（填准确数

（2）图2能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为cm,图3能盖住三个正方形

硬纸板所需的圆盘最小直径为CW（填准确数）

（3）拓展：按图4中的放置，三个正方形放置后为轴对称图形，当圆心。落在GH边上时，圆的

直径是多少，请你写出该种情况下求圆盘最小直径的过程，并判断是否能盖住.（计算中可能用到的

数据，为了计算方便，本问在计算过程中，根据实际情况最后的结果可对个别数据取整数）

95.综合与实践

定义：能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.

探索发现：用大小不同的圆形纸片去覆盖一张三角形纸片，经过多次操作发现:

①锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆，

②钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆.

如图1,以斜边为直径作圆，刚好是可以把RtA48c覆盖的面积最小的圆，称之为该直角三

角形的最小覆盖圆.

（1）实践与操作：如图2.在A4BC中，乙4=105。，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖

圆（不写作法，保留作图痕迹）.

（2）应用与计算：如图3,在A4BC中，乙4=80。，乙B=40。，AB=2®请求出”3C的最小

覆盖圆的半径.

96.综合题

（1）【问题发现】

如图1,AACB和4DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE,

填空：①ZAEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系是.

（2）【拓展探究】

如图2,AACB和4DCE均为等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=9O°,点A、D、E在同一直线上,

CM为4DCE中DE边上的高，连接BE.请判断NAEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关

系，并说明理由.

c

E

图2

(3)【解决问题】

如图3,在正方形ABCD中，CD=g.若点P满足PD=1,且乙BPD=90。，请直接写出点A到BP

的距离.

97.【实际情境】

手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具.同学们认真观察后,

组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞.

图1图2图3

(1)【模型建立】

如图1,从花折伞中抽象出“伞形图”=DM=ON.求证：乙AMD="ND.

(2)【模型应用】

如图2,△4MC中，NM4C的平分线40交MC于点n请你从以下两个条件：

①乙4MC=2ZC；②AC=AM+MD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成

立的证明过程.（注：只需选择一种情况作答）

（3）【拓展提升】

如图3,ZC为。。的直径，S=NB2C的平分线4。交BC于点区交。。于点。，连接CD.求

证：AE=2CD

98.定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”.

（1）如图1,AB是。0的一条弦（非直径），若。0在上找一点C,使得AABC是“圆等三角形”,

则这样的点C能找到个.

（2）如图2,四边形ABCD是。0的内接四边形，连结对角线BD,4ABD和4BCD均为“圆等

三角形“，且AB=AD.

①当ZA=14O。时，求ZADC的度数；

②如图3,当NA=120。，AB=6时，求阴影部分的面积.

99.综合与实践

主题任

我的校园我做主”草坪设计

务

任学校举办“迎五一，爱劳动”主题实践活动，九（2）班参加校园美化设计任务:

务校园内有一块宽为31米，长为40米的矩形草坪，在草坪上设计两条小路，具体要

背求：（1）矩形草坪每条边上必须有一个口宽相等的路口；（2）两条小路必须设计成

入

景平行四边形；

项

九（2）班各个实践小组的设计方案汇总后，主要有甲、乙、丙三种不同的方案（如

探

驱图1）：

究

环

节

S丙;（请填“相等”或“不相等”）

驱验证猜想：各个实践小组用以下表格进行研究:

动方案纵向小路面积横向小路面积纵横交叉面积小路总面积

甲方案3lx40x

任

乙方案3lx40x

深务丙方案3lx4Qx

入⑵请用含X的代数式表示甲方案中小路总面积:

探驱

究动

⑶如果甲种方案除小路后草坪总面积约为1170平方米.请计算两条小路的宽度是多

任

少？

务

为了深入研究，各个小组选择丙方案（如图）进行研究.若两条小路与矩形两组对边

所夹锐角45Gb

AD

驱K

拓

动H

展

任

探

务

究丙

四

⑷若A60。时，用含x的代数式表示四边形FHPQ的边长FH.

⑸若x=l时，请用含。的三角函数表示两条路重叠部分四边形的面积，并写出

sind取值范围.

100.综合与实践

利用正方形纸片的折叠开展数学活动，探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴

含的数学思想方法.

如图①，E为正方形4BCD的边上的一个动点，AB=6,将正方形4BCD对折，使点4与点

B重合，点C与点0重合，折痕为MN.

图①图②

思考探索

（1）将正方形ABC。展平后沿过点C的直线CE折叠，使点B的对应点B‘落在MN上，折痕为EC,

连接DB；如图②，请根据以上条件填空.

①点B'在以点E为圆心，的长为半径的圆上（填线段）；

②B'M的长为；

拓展延伸

（2）当2E=2时，正方形4BCC沿过点E的直线I（不过点B）折叠后，点B的对应点B,落在正方

形&BCD的内部或边上.

①求面积的最大值；

②连接加，P为AE的中点，点Q在加上，连接PQ/AQP=ZAB'E求B'C+2PQ的最小值.

答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】B

10.【答案】A

11.【答案】120°

12.【答案】60。或120°

13.【答案】144

1+73

­«-a

14.【答案】2

15.【答案】3

16.【答案】3

75兀

17.【答案】3

18.【答案】25。

19.【答案】7T-2

20.【答案】20cm

21.【答案】24

22.【答案】结论I

23.【答案】25°

24.【答案】100°

25.【答案】60兀

26.【答案】5兀

27.【答案】6

28.【答案】120

29.【答案】2内

7T—J3

30.【答案】?一

31.【答案】解法一:

解:VZD=35°,

."B=Z_D=35。，

VBC是直径，

.,.ZBAC=9O°.

二ZACB=9O°DZABC=55°,

VOA=OC,

.,.ZOAC=ZOCA=55°.

解法二：

解:VzD=35°,

."AOC=2ZD=70。，

VOA=OC,

AzOAC=Z.OCA,

,/zOAC+zOCA+zAOC=l80°,

.".zOAC=55°.

32.【答案】任务1：根据素材3,观察图形可知一块花岗岩的长为2肘、宽为1肘，

根据素材1、素材2,观察图形，B,C两点之间的水平距离有2.5块花岗岩的长，贝|J2.5><2=5（肘）,

B,C两点之间的铅垂距离（高度差）有5块花岗岩的宽，贝lj5xl=5（肘），

答：B,C两点之间的水平距离为5肘，铅垂距离（高度差）为5肘；

任务2：作过点C的水平线，过点A作该水平线的垂线，垂足为E,作BC14E于D,记圆心为O,

连接C。、BO,如图所示：

6

根据题意可得：CF=6.5X2=13（肘），DB=8（肘），DE=5（肘），

设°七=则0。=DE+0E=5+a,

\-0B2=DB2+0D2,0C2=0E2+EC2,0B=0C,

/,（5+a）?+82=a：+13?,

解得：a=8,

...0C=^CE2+OE2=J132+82=A/233,

石拱桥拱圈的半径为后肘.

答：石拱桥拱圈的半径为河肘.

故答案为：任务1：B,C两点之间的水平距离为5肘，铅垂距离（高度差）为5肘；任务2：石拱桥

拱圈的半径为河肘.

33.【答案】正4ABC的边长为2$,边心距为1,周长为6点，面积为3点

34.【答案】（1）兀；

⑵①-但；②2；③16.

35.【答案】（1）乙4=30°

（2）艮的长度更长

（3）CF的最大值是2点

36.【答案】解：此货船不能顺利通过这座拱桥，

理由是：设船舱顶部为矩形EFGH,EH交0C于M,连接OE,0A,如图所示：

设O。的半径为rzn,贝!J。。-(r-4)m,0M—(r-l)m,

■四边形EFGH是矩形，

：EH||FG,

OCLAB,

：.OCVEH,

.•,OC过圆心。，AB=16m,

AD=BD=8m9FD=GD,EM=HM,

在RtAAD。中，由勾股定理得：AO2=AD2+OD2,

2

即/=g+（r一4）2,

解得：r=10,

即。4=OE=10m,OM=9m,

2222

在Rt△EMO中，EM=y）0E-0M=J10-9=廓（小），

EH=2^/19（m）<12叫

二此货船不能顺利通过这座拱桥.

37.【答案】（1）3.5秒后，盛水筒P距离水面（即直线AB）的高是0.9m

（2）盛水筒P从最高点开始，至少经过4.5s恰好在直线MN上

38.【答案】（1）解：连接°。，

贝I」OD1DC,ZODC=90°,OA=OD,

:•乙DOB=2乙DAB=2X22.5°=45°,

ZC=90°-45°=45°,

（2）解.AB=2y[2,OA=OB=OD=y[2,

由（1）可知，△°BC为等腰直角三角形，

OC=y[2OD=^2Xy[2=2,

BC=OC-OB=2-但

39.【答案】"OC=60°

40.【答案]【解答】解：圆柱体的表面积=2兀rh+2兀「2=2无'3x4+2兀'42=24兀+32兀=56兀.

41.【答案】（1）解：作出圆的两条弦的垂直平分线的交点°,

如图所示:

(2)解：由题意得下图：

其中。。二10,0D—5,

在RtAOCD中根据勾股定理得；

CD=^OC2-CD2=^102-52=5^/3,

••圆的半径为10cm,弦心距为5cm的弦长为：2CD—10yj3cm.

\r

42.【答案】解：如图，图1图2连接OC交AB于点

D：CA、CB分别是OO的切线，CA=CB,OC平分NACB；.OC1AB：AB=6；.BD=3在RtAOBD中

BD3J3

-.....=-----=---

2305

VOB=V二sinzBOD=2和2二ZBOD=60°:B是切点/.0B1BC/.zOCB=30°/.zACB=60°.

43.【答案】（1）92。

5

⑵2

44.【答案］【解答】解：设0A交。0于C,连结BC,如图2,OA^OAM2,而

1=4,OA=8,.-.0^=2,VOB^OBM2,/.OBM,即点B和B，重合，•.VBOA=60°,OB=OC,；.△

OBC为等边三角形，而点A，为OC的中点，ABWIOC,在RtaOAB，中,

A'B'

sinNA'OB'=°B',AB=4sin60°=2亚

45.【答案】（1）阿

5^371

（2）

32

46.【答案】5

47.【答案】（1）4；（2）2"

48.【答案】解：连接OE,

・・・尼的度数为70。，

.•.ZAOC=ZBOD=70°,

VCEHAB,

.,.ZBOD=ZC=70°,

VOC-OE,

・"C=NE=70。，

「・Z_EOC=180oD70°D70°=40°

71

(2)阴影部分的面积为近十2

49.【答案】(1)。0的半径OA的长为2；

50.【答案】(1)60。

(2)6P

(3)菱形

51.【答案】解：绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：兀'32x4=36兀cnP.

绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积：兀*42x3=48兀co?

52.【答案】解：如图所示，

结论：①乙3=24；或27=N8；或zl=z5；或N2=N6；

②0P1AB；③AC=BC.

证明②：：PA、PB是。0的切线，

AOAIPA,0B1PB,

.•.ZOAP=ZOBP=90°.

在RtAOAP与RtAOBP中，

(0A=0B

•:\OP=OP,

.,.△OAP=AOBP(HL),

；.PA=PB,N3=Z_4,

AOP1AB.

53.【答案】(1)70

(2)125。

54.【答案】(1)乙4=70。,Z.EFD=90°

(2)3

55.【答案】(1)1273cm

(2)(48兀-36点)c/

56.【答案】(1)证明：由题意，•.•℃=AB,

CD=OC-OD=AB-OD=OD,

又...pc=po,

,\PD1OC.

•.•点D在。。上,

；.PD与O0相切.

(2)解：设。。的半径为r,

...cos"OC=；phoc,

0D_1

:.PO3,即P。=3。。=3丁，

­;PD2+OD2=PO2,PD=4也,

.-.(4V2)2+r2=(3r)2,

解得r=±2(舍去-2),