2024-2025学年沪科版七年级数学上册期末冲刺复习：直线、射线与线段的五大类型（原卷版）

专题13直线、射线与线段的五大类型

目录

解题知识必备.....................................................................1

压轴题型讲练....................................................................5

类型一、直线、射线、线段的表示方法及基本作图...................................5

类型二、计数问题及其应用........................................................7

类型三、直线相交的交点个数问题..................................................8

类型四、线段的和与差的运算......................................................9

类型五、两点确定一条直线.......................................................10

压轴能力测评...................................................................11

8解题知识必备8

1.直线

(1)概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用"一根拉得紧

的细线"、"一张纸的折痕"等实际事物进行形象描述.

(2)表示方法：

1)可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA).

2)也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线/.

(3)基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单说成：两点确定一条直线.

(4)直线的特征：

1)直线没有长短，向两方无限延伸.

2)直线.没有粗细.

3)两点确定一条直线.

4)两条直线相交有唯一一个交点.

(5)点与直线的位置关系：

1)点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A.

2)点在直线外，如图4,点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B.

・3

图3图4

2线段

(1)线段概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段.

(2)线段表示方法：

1)线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA.

2)线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a.

AB

图5

(3)基本性质：两点的所有连线中，线段最短.简记为：两点之间，线段最短.

如图6所示，在A,B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的.

3射线

(1)概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点.

如图8所示，直线I上点0和它一旁的部分是一条射线，点。是端点.

OA-1

图8

(2)特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长.

(3)表示方法：

1)可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写

在前面，如图8所示，可记为射线0A.

2)也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线0A可记为射线/.

注意：

1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线.如图9中射线0A,射线0B是不同的射线.

-"B0

2)端点相同且舞伸方向也相同的射线，表示同一条射线.如图10中射线OA、射线OB、射线OC都表示

同一条射线.

OABC~

图10

4直线、射线、线段的区别与联系

(1)直线、射线、线段之间的联系

1)射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系.在直线上任取一点，则可将直线分成两条

射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线.

2)将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线，•将线段向两方延伸就得到直线.

(2)三者的区别如下表

类别、射线

黑形AB'AB1AB1

1

①两个大写字题薪①袅示两螭点的两

①两个大写字母；越点的字母在前）；

表示方法个大写字母;②一个

②一个小写字母②一个小写字母

小写字母

端点个数无1个2个

延伸性向两方无限延伸向一方无限延伸不可延伸

性质两点确定一条真筑两点之间，坎段最短

度・不可以不可以可以

作图叙述：过4、8作直线48以4为端点作射段48连接45

注意：

1）联系与区别可表示如下：

2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上"直,线""射线""线段"字样.

4线段的画法

1•尺规作图

在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图

2.画一条线段等于已知线段

（画法一：尺规作图）如图4-2-10,先用直尺画射线AC,再用圆规在射

线4c上截取48=a.

AaALaB'C

（画法二:妻■长度）先■出线段"的长度,可画一条线段等于这个长度

的线段.

5作线段的和与差

已知:线段a,b,如图

求作:线段叫b的和与线段a,b的差.

,a,,b

图

方法图例

作直线4匕先在直线AF上作线段AB=

明再在线段AB的延长线上作线段BC=_a丁b_

作线段a,b的和]

b,则线段4c的长就是线段的和，记ABCF

作4C=a+6

作酸"，先在直线AF上作线段〃=%

作线段的差再在线段BA上作线段BD=6,则线段AD的

ATDBF

长就是线段%6的差，记作加="6

6线段的比较

测量法和叠合法

7线段的基本事实及两点的距离

(1)两点之间，线段最短；

(2)两点的距离的定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。

线段是一个图形，两点的距离是指线段的长度，是一个数值，而小提醒不是线段本身，因此不能说"A,B

两点的距离是线段AB",而应说"A,B两点的距离是线段AB的长度"

“压轴题型讲练X

类型一、直线、射线、线段的表示方法及基本作图

例.如图，在平面内有A、3、C三点，根据下列语句画图:

AB

c

(1)画直线AC,线段8C,射线AB；

⑵在线段3c上任取一点D(不同于点8、C),连接线段AD；

⑶数数看，此时图中线段共有条.

【变式训练1］如图，己知A、B、C、。四点，请按要求作图，并解答.

A

B

D

C

(1)画直线AB；

⑵画射线DB；

⑶连接AC与射线03交于点P-,

⑷若点M是线段的中点，BP=3,DP=1,则MP=_.

【变式训练21.如图，在平面上有A,B,C,。四点，请按照下列语句画出图形.

D*

A*

*C

R

(1)画直线AB；

⑵画射线8。；

⑶连接3，C；

⑷线段AC和线段相交于点O.

【变式训练3】.已知A,B,C,。四点(如图):

C

D.

**B

A

(1)画线段AB,射线AD,直线AC；

⑵连BD,BD与直线AC交于点E；

(3)连接3C,并延长线段3c与射线AD交于点尸；

⑷连接CD,并延长线段CD与线段AB的反向延长线交于点G.

类型二、计数问题及其应用

例.已知火车从苏州火车站到南京火车站，途中要停靠两个站点，如果任意两个站点间的票价都不同，那

么请你想一想：

⑴在这些站点之中，要制作多少种不同的车票？

⑵一共有多少种不同的票价？

【变式训练1】.往返于A,8两地的客车，中途停靠三个车站.假设站点与站点之间的路程及站点与A,B

两地之间的路程都不相等，请问：

⑴一共有多少种不同的票价？

(2)一共要准备多少种不同的车票？

【变式训练2】.如图，在平面内有A,B,C三点，按要求完成下列任务.

•C

A.

-B

(1)画直线AC,射线43；

⑵在线段2c上任取一点。(不同于点2,C),连接AD；

⑶数一数此时图中线段的条数，并写出来.

【变式训练3】.观察图形，并回答下列问题：

I]III

ABCDE

⑴【观察思考】图中共有条线段；

⑵【模型构建】若线段上有"个点(包括端点)，则该线段中共有条线段.

⑶【拓展应用】请你用上述模型构建来解决以下问题：

①十五个同学聚会，每个人都与其他人握一次手，共握手多少次？

②十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张?

类型三、直线相交的交点个数问题

例.我们知道，两条直线相交最多有一个交点，三条直线相交最多有三个交点，四条直线相交最多有6个

交点，…，如图所示.

⑴五条直线相交最多有个交点，六条直线相交最多有个交点;

⑵若有〃条直线相交，求最多交点的个数.(用含力的代数式表示)

【变式训练按要求完成作图及作答:

A

•B

D*c*

图1

(1)如图1,平面上有四个点A,B,C,D,作射线BC；

(2)如图1,取一点P,使点P既在直线A3上又在直线CD上；

(3)如图1,若点/到A,B,C,。四点距离之和最短.画出点M的位置；

⑷如图2,平面内三条直线交于E、F、G三点，点/、N是平面内另外两点，若分别过点加、N各作

一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增个交点.

【变式训练2】.先阅读，然后解答.

问题：两条直线将平面分成几部分？

II

III

图①图②

解：如图①，两条直线平行时，它们将平面分成三部分;

如图②，两条直线不平行时，它们将平面分成四部分.

根据上述内容，解答下面的问题.

⑴上面问题的解题过程应用了的数学思想(填"转化”"分类讨论”"整体处理"或"数形结合");

⑵三条直线将平面分成几部分？

【变式训练3】.请按要求完成下列问题；

图1图2

⑴在图1中作线段BC；

(2)在图1中作射线ZM；

⑶在图1中找一点P,使得点P到点A、点8、点C、点D四个点的距离之和最小;

⑷为探索平面内相交直线的交点个数，小方进行了如下研究：如图2,直线4和4相交于点4两条线交点

个数为1;过点B和点C作直线心与直线乙和/2相交，新增2个交点；过点。作直线小与直线乙、4和4

相交，新增3个交点......按照此规律，若平面内有10条直线，则最多共有个交点.

类型四、线段的和与差的运算

例.如图，点。在线段AC上.

IIII

ADBC

⑴填空：AB=DB+=AC-.

(2)若。是线段AC中点，BD=-AD,AC=16cm,求线段的长.

4

【变式训练1】.如图，直线上有A,B,C,。四个点，且AB+CD=30,AC=30.

IIII

ABCD

(1)填空：AC=_+BC,BD=BC+_；

⑵BC与CD相等吗？为什么？

⑶若应＞=20,求4B.

【变式训练2】.广州地铁8号线，线路起于潜心站，途经白云区、荔湾区、海珠区，贯穿广州国际会议展

览中心、新港路沿线，止于万胜围站，如图，点A、B、C、。分别表示8号线四个车站的位置.

4a-b£2a-bWD

I

2

(1)用关于。、b的代数式表示A、C两站之间的距离是二(最后结果需化简)

(2)若已知A、C两站之间的距离是14km,求C、。两站之间的距离.

【变式训练3】.已知2、C在线段AD上.如图，若AB:BD=2:5.AC:CD^4:1.且BC=18,求AD的

长度.

IlII

ABCD

类型五、两点确定一条直线

例.小刚和小强在争论一道几何问题，问题是射击时为什么枪管上有准星.小刚说："过两点有且只有一条

直线，所以枪管上才有准星."小强说：”过两点有且只有一条直线我当然知道，可是若将人眼看成一点，准

星看成一点，目标看成一点，这样不是有三点了吗？既然过两点有且只有一条直线，那弄出第三点是为什

么呢？"聪明的你能回答小强的疑问吗？

【变式训练1】.探究归纳题：

(1)试验分析：如图1,经过A点与8、C两点分别作直线，可以作条；同样，经过8点与A、C

两点分别作直线，可以作条；经过C点与A、8两点分别作直线，可以作条.通过以上分析

和总结，图1共有条直线.

4**/?

图1

(2)拓展延伸：运用(1)的分析方法，可得：图2共有条直线；图3共有条直线;

图2图3

(3)探索归纳：如果平面上有〃(应3)个点，且每3个点均不在同一直线上，经过其中两点共有条直

线.(用含〃的式子表示)

(4)解决问题：中职篮(CBA)2017一一2018赛季作出重大改革，比赛队伍数扩充为20支，截止2017年

12月21日赛程过半，即每两队之间都赛了一场，请你帮助计算一下一共进行了多少场比赛？

【变式训练2】.木工检验木条的边线是否是直的，常常用眼睛从木条的一端向另一端望去，如果看到两个

端点及这条边线中的各点都重合于一点，那么这条边线就是直的，你可以同伙伴试一试这个方法，并说一

说其中的道理.

【变式训练3】.观察图形，并回答下列问题：

111I1

ABCDE

(1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路；

(2)请你用上面的思路来解决"十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次"这个问题；

⑶十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？

♦♦压轴能力测评”

L根据下列语句画图：

⑴画直线。，与线段b交于点E;

⑵过直线/外一点M和直线上一点F画射线MF;

⑶反向延长线段时V至尸点，使线段=

2.若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定一条线段.请仔细观察图形，解决下列问题：

]_I_____I_______1]_____I_____I_____]1

ABC1ABCD1

①②

试验观察：

(1)如图①所示，直线/上有3个点A,B,C,则可以确定一条线段.

(2)如图②所示，直线/上有4个点A,B,C,D,则可以确定一条线段.

探索归纳：

(3)若直线上有"个点，一共可以确定多少条线段？

(4)如图③所示，由泰山始发终点至青岛的某次列车，运行途中停靠的车站依次是泰山、济南、淄博、潍

坊、青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票有()

泰山济南淄博潍坊青岛

③

A.5种B.10种C.15种D.20种

3.如图，在平面上有四个点A,B,C,D,按要求完成下列问题：

A

.B

bC

（1）画射线r>8；

（2）连结AC,与射线03相交于点。.

4.（1）如图，线段AE上有三个点2,C,D,图中共有一条线段；

|IIII

ABCDE

（2）如果线段上有"个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段?

（3）〃边形共有一条对角线.

5.如图，已知8、C在线段AD上.

ABCD

\11I

⑴图中共有一条线段.

（2）^AB=CD.

①比较线段的长短：AC_BD（填">"、"<"或

②若AB:3D=1:4,3c=12,求AC的长度.

6.我们知道，两条直线相交，最多有1个交点（如图①）；三条直线两两相交，最多有3个交点（如图②）；

四条直线两两相交，最多有6个交点（如图③）；五条直线两两相交，最多有多少个交点（如图④）；六条

直线两两相交，最多有多少个交点......〃条直线两两相交，最多有多少个交点呢（用含"的代数式表示）：

⑴完成下表

⑵在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第

一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有12个班，则这一轮共要进行多少场比赛？

7.如图，已知A,B,C,。四个点，请按下列要求作图.

A

•D

(1)画线段AB,CD；