2024-2025学年高一年级上册数学期末考复习：同角三角函数的基本关系、诱导公式（附答案解析）

题型1由同角三角函数的基本关系求值...............................5

题型2由同角三角函数的基本关系化简...............................7

题型3给角求值...................................................8

题型4给值（式）求值..............................................10

题型5由诱导公式进行化简........................................11

题型6三角函数的综合应用........................................12

♦♦

♦知识清单♦

1.同角三角函数的基本关系

2.由同角三角函数的基本关系求值、化简与证明

3.诱导公式二〜六

4.给角求值，给值（式）求值

5.由诱导公式进行化简、求值与证明

6.三角形中角的特点

7.由三角函数定义进行化简、求值、证明

如识归纳

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2a+cos2a=l.

(2)商数关系：‘in♦=tana(a邦兀+与k^z\.

(3)同一个角a的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角a的正切.

2.诱导公式二

(1)sin(7i+a)=­sina.

(2)cos(兀+a)=­cosa.

(3)tan(兀+a)=tana.

3.诱导公式三

(1)sin(—a)=—sinot.

(2)cos(—a)=cosa.

(3)tan(—«)=­tana.

4.诱导公式四

(1)sin(7i-a)=sina.

(2)cos(7i—«)=­cos«.

(3)tan(7i—a)=—tanot.

5.诱导公式五

(1)sin售-Q)=COSQ.

(2)cosl2—«l=sina.

6.诱导公式六

(1)sin(/+aJ=COSQ.

(2)cosg+aj=—sina.

技巧总结

1.由三角函数值求其他三角函数值的方法.

(1)若已知sina=m,先求cosa=±勺1-sin2s,再由公式tana=Sma

cosex.

向或+E,%£Z),求tana.

(2)若已知cosot=m,先求sina=±yj1—cos2a,再由公式tana=Sma

cosa

(a或+ku,%£Z),求tana.

…sina—

(3)若已矢口tana=m,贝U由tana=------=m,可得sin«=mcosa,结合sin2a

cosa

+cos2«=L通过方程组求解.

(4)注意要根据角的终边所在的象限，判断三角函数值的符号.

2.三角函数式的化简技巧.

(1)化切为弦，即把正切都化为正弦、余弦，从而减少函数名称，达到化

繁为简的目的.

(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号

达到化简的目的.

(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2a

+cos2«=L以降低函数次数，达到化简的目的.

3.证明三角恒等式的常用方法.

(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简.

(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子.

(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差

异.

(4)变更命题法，如要证明称=5，可证ad=6c,或证/='等.

(5)比较法，即设法证明“左边一右边=0"或‘霜=1”.

4.由诱导公式求任意角三角函数值的步骤.

(1)“负化正”——用公式一或三来转化.

(2)“大化小”——用公式一将角化为0到2兀间的角.

(3)“小化锐”——用公式二或四将大于今的角转化为锐角.

(4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值.

5.三角函数式化简的常用方法.

(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.

(2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数.

6.诱导公式综合应用要“三看”.

(1)一看角：化大为小；看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角

的关系.常见的互余的角：］一a与聿+a,彳+a与:一a等；常见的互补的

Hn..5717i,.2nn,3n生

用：%十a与7—a，w十a与1十a与彳-a寺.

(2)二看函数名称：一般是弦切互化.

(3)三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分

母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式.

拓屐程伸

1.和角差角公式.

(1)cos(a+0)=cosacos^-sinasin^.

(2)sin(a+0)—sinacos^+cosasin^.

_tana+tan/3

(3)tan(a+0)•

1-tanatanp

(4)cos(a-P)=cosacos^sinasin^.

(5)sin(a-p)=sinacos^-cosasin^

_tana-tanp

(6)tan(a-P)

l+tanatan/3

2.二倍角公式.

(1)sin2a=2sinacosa.

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos1a-1=1-2sin2a.

2tana

(3)tan2归

l-tan2a

题型1由同角三角函数的基本关系求值

【典例1】(2023秋•邢台期末)若sina=-多且a为第三象限角，则tana=()

A.一等B.叵C.一孚D.叵

131344

【答案】B

【分析】根据同角三角函数的关系求解.

【解答】解：由题意，cosa=-(-空尸=-冬^,故

\1,1UC/〉vv-L。

故选：B.

【典例2】（多选）（2023秋•广州期末）已知ee（0,n）,sine+cose=则

下列结论正确的是（）

A.e为第二象限角

B.cosd=—q

C.tanO=一百

D.4sin0cos0—2cos20=一当

【答案】ABD

【分析】利用同角三角函数的基本关系计算求解即可判断各选项.

【解答】解：由同角三角函数平分关系可得，

sine+cos”-弓,因为ee(0,n),所以sine>0,解得sM"|,cose=~l，

sin29+cos29=1'°

因为cos。=4<0,所以e是第二象限角，故选项A,3正确，

有同角三角函数商数关系可得，山加=舞=-1故选项C错误，

因为4sin%os8-2cos2。=4s能氏—2妥2。=等需=_竽，故选项。正确.

sin"+cosetan^G+15

故选：ABD.

【典例3】（2023秋•唐县校级期末）化简求值：

（1）已知COS8=3且6为第四象限的角，求tan。的值.

ji

、13cos(-a)-2cos(--a)

(2)已知tcma二5,的值.

cosa-3sina

【答案】（1）

（2）-24.

【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式即可求解；

（2）利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解.

【解答】解：⑴'Jcose^l，且e为第四象限的角，...s讥8=4

/.tand=—7；

13cosa—2sina13—2tana_

（2）原式=

cosa—3sina1—3tana—,

题型2由同角三角函数的基本关系化简

【典例4】(2023秋•衡水期末)已知2sin6-cos0=O,则--~—=()

cosu-sinU

3

A.1B.-C.2D.3

2

【答案】D

【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系，先求出tan6=g可得要求

式子的值.

【解答】解：由2sin0-cos0=O可得tan6=

„cos3+sin01+tanO1+5

贝I」t--------=------=—7=3.

cosO-sinO1-tanO1一一

2

故选：D.

【典例5】(2023秋•嘉定区期末)已知sina=：并且a是第二象限角.

(1)求tana的值;

2sina+3cosa,,

(2)求-------:—的值.

cosa-sina

【答案】(1)一2

⑵?

【分析】(1)由题意，利用同角三角函数的基本关系，先求出cosa的值，可

得tana的值.

(2)由题意，利用同角三角函数的基本关系，把要求的式子用tana来表示,

从而求得结果.

【解答】解：⑴因为a是第二象限角，sina="

贝Ucosa=—Vl—sin2a=—^

44八sina3,5、

故rtana=-----=x(―y)=—

cosaF5'4，

(2)解：由题意可得tana=-彳,

3

,,2sina+3cosa2tana+32x(-7)+36

故------：—=-------

cosa-sina1-tana=—1-(S--—)=-7

【典例6】（2024春•大荔县期末）⑴化简：:累

/、_,乙3>r^3sina+2cosa

(2)已知=・计算一--------

斗sina-4cosa

【答案】⑴1;（2）

【分析】（1）利用同角三角函数关系求解即可;

（2）利用弦切互化求解即可.

-Vl-2sinl90°cosl90°

【解答】解：⑴

COS170°+V1-COS2170°

-J(sinl90°-cosl900)2

cosl700+sml70°

_cosl90°—sinl900

-cosl70°+s讥170°

_—cosl0°+sinl0°

——cosl0°+sinl0°

3sina”3

7^77+23tana+23X-+217

tana-4--413*

cosa4

题型3给角求值

【典例7】（2023秋•连云港期末）sin210°=（）

A.B.-C.-印D.—

2222

【答案】A

【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果.

【解答】解：sin210°=sin（180°+30°）=-sin30°=

故选：A.

1

【典例8】（多选）（2023秋•海林市校级期末）下列各式中，值为5的是（）

A-57r

A.sin-^-B.sin245°

_1V3

C.22D.一tan210°

2

【答案】ABD

【分析】利用诱导公式、指数募的运算以及特殊角的三角函数值计算各选项

中代数式的值，可得出合适的选项.

【解答】解：对于A选项，s讥患=sin（兀一看）=}

对于3选项，s讥?45。=（孝）2=表

对于C选项，24=言=强

4丁…H仃V3V3V3V31

对于D选项，—tan2.10°=—tan（180°+30°）=—tan30°=—x—=

故选：ABD.

【典例9】（多选）（2024春•西湖区校级期末）下列说法正确的是（）

A.若a的终边经过P（5左，12k）,k*0,则s讥a=

B.t<27i（—210。）=一

C.若cosa>0,则a为第一或第四象限角

D.若角a和角F的终边关于y轴对称，则s讥&+a）=-cos0

【答案】BD

【分析】根据左的正负判断A,根据诱导公式判断3,根据三角函数在坐标轴

上的符号判断C,由对称及三角函数的定义判断D

【解答】解：当左<0时;sina=,12fc=故A选项错误；

J25fc2+144fc213

tan（—210。）=—t<zn210°=—tan30°———B正确；

cosa>0时，a的终边在第一或第四象限或x轴非负半轴，C错误；

因为s讥g+a）=cosa,角a和角0的终边关于y轴对称，

结合三角函数定义可知cosa=-cos0,BPstn（^+a）=-cos/3,故。选项正确.

故选：BD.

题型4给值（式）求值

【典例10]（2023秋•莆田期末）若5讥（1+仇）=称，则sin（患—a）—cos（等+a）=

()

21+2V21-2V2

A.0B.-D.-----

333

【答案】B

【分析】由已知利用诱导公式即可化简求解.

【解答】解：因为s讥（）+a）=寺,

则s讥(第一a)-cos(咨+a)=sin[n-(―+a)]-cosg+(-+a)]=sin(—+a)

7t117

-[-sin（—+a）]=F—（-4）-

6333

故选：B.

4

-

【典例11】（多选）（2024春•上饶期中）若tcma3则sina的值可以取（）

【答案】AC

【分析】根据a所在的象限，结合同角三角函数基本关系式即可求解.

4

-

【解答】解：若tcma3则a为第一或第三象限角,

rsina_4.

当a第一1象限时，卜osa—3,得sina=E，cosa—

^sin2a+cos2a=10

sina_4.

当a第三象限时,cosa-3,得sina=一耳，cosa=—

sE2a+cos2a=1

故选：AC.

【典例12]（2024春•海淀区校级期中）已知a是第四象限角，且位曲=-2，

则cosacosg+a)=

12s

【答案】百百

【分析】由已知结合同角基本关系及诱导公式进行化简即可求解.

【解答】解：因为a是第四象限角，且加四二-9，

12-------5

贝ljcosa=sin,a=—v1—cos乙a二一"1"^，

故cos(]+a)=-sina=月.

12S

故答案为：—;—.

题型5由诱导公式进行化简

【典例13]（2023秋•和平区期末）已知角6的终边经过点（-1,-3）,则

s讥（-e）+2cos（7r-。）

---------------------=（）

3sizi（-7T-e）+4cos（37r+e）

11

A.-B.-4C.-1D.1

55

【答案】C

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式以及诱导公式即可求解.

【解答】解：因为角6的终边经过点（-1,-3）,所以tan0=3,

sin(—e)+2COS(7T-6)-sin6-2cos3-tCLTiO—2—3—2

则

3sin(-7r-8)+4cos(37r+e)3sin0-4cos33tCL7i0—43x3—4

故选：c.

【典例14】（2024春•广西期末）对于aWR,下列等式恒成立的是（）

A.tan(7i+a)=tan(2TI-a)B.cos(^--a)=sina

C.cos(-a)=-cosaD.sin(3TI-a)=sina

【答案】D

【分析】根据诱导公式进行化简即可.

【解答】解：对于A,tan(n+a)=tana,tan(2TI-a)=tan(-«)=-tana,

故A错误；

对于_B,cos(^2——a)=COS(2TT——a)=cos(一々一a)=cosg+a)=—sina,故B

错误；

对于C,cos(-a)=cosa,故C错误；

对于£),sin(3TT-a)=sin(n-a)=sina,故。正确.

故选：D.

【典例15】（多选）（2024春•沈阳期中）下列等式恒成立的是（）

A.sin（n+a）=sinceB.cos{a_=sina

C.sE（—2—I-a）=cosccD.tan（Tr+a）==~tana

【答案】BC

【分析】直接利用三角函数的诱导公式分析四个选项得答案.

【解答】解：sin（n+a）=-sina,故A错误；

cos（a-^）=cos（一一a）=sina,故5正确；

22

sin（一手+a）=cosa,故C正确；

tan（n+a）=tana,故。错误.

故选：BC.

题型6三角函数的综合应用

【典例16】（多选）（2023秋•武汉期末）下列命题中正确的是（）

A.若tanaVO且sina>0,则a为第二象限角

B.cos（岑—a）—cos（竽+a）=0

C.若sina=sin0,则a=0+2E:（依Z）

si.na-cosa-.tana-

D.若a的终边在第一象限，则E+f一^~^的取值集合为{-3,1}

\sin-\\cos-\\tan-\

【答案】ABD

【分析】对于A,由tana<0,得Na是第二象限或第四象限角，由sina>0,

得Na是第一象限或第二象限角；对于B,利用诱导公式判断；对于C,若sina

=sin0,则a=p+2Kr（ZrGZ）或a+B=7T+2Kr,左CZ；对于£）,角a的终边在

第一象限，则5是第一象限或第三象限角，由此能求出结果.

【解答】解：对于A,由tana<0,得Na是第二象限或第四象限角，由sina

>0,得Na是第一象限或第二象限角，综上，a为第二象限角，故A正确；

对于3,cos（--a）-cos（—+a）=-sina+sina=O,故3正确；

22

对于C,若sina=sin0,则a=B+2hr（左CZ）或a+B=n+2/nr,kEZ,故C错

误；

对于D,角a的终边在第一象限，则£是第一象限或第三象限角，当l是第一

.aaa.a

sin-cos-tan-°sin-

象限时,—新+—新——新=1+1-1=1,当巴是第三象限时，一新+

\sin-\\cos-\\tan-\2|sin-|

〃.a〃

cosa-tan-asin-cos-atan-a

——^=-l-l-l=-3,则一k+—k--的取值集合为｛-3,

\cos-\|tan-1|sin-|\cos-\\tan-\

1},故。正确.

故选：ABD.

【典例17】（2024春•大连期中）已知超（-IT,0）,且sin6,cos。为方程5f-

x+m=0的两根.

（I）求机的值；

si"2（兀-8）si唁-6）cos（2兀-8）

'sin（37r-0）-sin（y+0）sin（弓一6）+cos（e+?）'

z22

【答案】（I）爪=—圣（II）-f.

【分析】（I）由一元二次方程根与系数的关系求解加值；

（II）由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值.

【解答】解：（I）由题意得，sine+cos6=<，则1+2sin0cos8=

sindcosd=可得sin6cose=g=一差，得巾=-导；

（1I）sm2（7r-0）+sm（：-8）cos（27r—e）sin23+-cosOcosO

sin（37T-0）-sin（^+0）sin（工一6）+cos（6+史）sinO-cosOcosO-sinO

N22

_sinz0+cos20_1

―sinO—cos