2024-2025学年沪科版九年级数学上册期末冲刺复习：四类母子型相似（解析版）

专题14四类母子型相似

目录

解题知识必备.......................................

压轴题型讲练.......................................

类型一、“母子”模型（斜射影模型）..........................

类型二、双垂直模型（射影模型）.............................

类型三、“母子”模型（变形）.................................

类型四、共边模型............................................

压轴能力测评（10题）...............................

“解题知识必备♦♦

母子相似证明题一般思路方法：

①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；

②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；

③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；

④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。

【模型解读与图示】"母子"模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形

寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角"，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成

比例就可以判定这两个三角形相似.

图1图2图3

1）“母子"模型（斜射影模型）

条件：如图1,NC=N/6。；结论：2仔=/1。/6：

2）双垂直模型（射影模型）

条件:如图2,NZ%=90。，CDVAB;

结论：“ACDsAABJCBD;C42=AD-AB,BO=BDBA,CU=DA-DB.

3）“母子"模型（变形）

条件:如图3,NO=NC4£,结论：;

4）共边模型

条件:如图1,在四边形ABC。中，对角线3。平分/ABC,ZADB=ZDCB,结论：BD2=BABC；

X压轴题型讲练2

类型一、，，母子，，模型（斜射影模型）

例.定义：如图，若点尸在三角形的一条边上，且满足N1=N2,则称点尸为这个三角形的"理想点".

AB

图②

（1）如图①，若点D是VABC的边的中点，AC=20，AB=4,试判断点。是不是VA3C的"理想点",

并说明理由；

（2）如图②，在咫AABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,若点。是VABC的"理想点”，求CD的长.

【答案】（1）。为VABC的理想点，理由见解析

【分析】（1）由已知可得会=n，从而AACZJSAABC,ZACD=ZB,可证点。是AABC的"理想点”；

ADAC

（2）由。是AABC的"理想点"，分三种情况：当。在A3上时，C。是A3边上的高，根据面积法可求C。长

度；当。在AC上时，ABDC-AABC,对应边成比例即可求C。长度；。不可能在上.

【详解】（1）解：点。是AABC的"理想点”，理由如下：

•.•。是中点，AB=4,

:.AD=BD=2,ADAB=8,

•・•AC=20，

AC2=8,

AC2=ADAB,

ACAB

：.——=一,

ADAC

,.,ZA=ZA,

:.\ACD^\ABC,

ZACD=/B,

.•.点。是AABC的"理想点"；

（2）①。在A3上时，如图：

C

/\•・,£>是A4BC的"理想点”,

ADB

ZACD=NB或ZBCD=ZA,

当NACD=N3时，

•/ZACD+ZBCD=90°,

ZBCD+ZB=90°,

:.ZCDB=90°,即CD是AB边上的高，

当4C£>=NA时，同理可证NCDB=90。，即CO是A3边上的高,

在RtAABC中，ZACB=90°,AB=5,AC、=4,

:.BC=-JAB2-AC2=3，

SMBC=~ABCD=^ACBC,

:.CD=—,

5

@vAC=4,BC=3,

AC>BC有ZB>ZA,

，"理想点"。不可能在BC边上，

③。在AC边上时，如图：

C

a•。是AABC的"理想点”,

AB

:.ZDBC=ZA,

又NC=NC,

:.ABDCs^ABC,

CDBCCD3

——=——，即an——=-

BCAC34

129

综上所述，点。是AABC的"理想点”，CD的长为二或二.

【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解"理想点”的定义.

【变式训练1】.如图，A5=16cm,AC=12cm,动点尸，。分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，

其中点P从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点。从点3出发沿54边一直运动到点A为止(点尸到

达点C后，点。继续运动)

⑴请直接用含/的代数式表示AP的长和AQ的长，并写出f的取值范围；

(2)当t等于何值时，尸。与AABC相似？

【答案】(1)AP=2化m(0<f<6),AQ=(16-t)cm(0</<16)

(2)f=言48或f=7

【分析】(1)根据题意求解即可；

(2)分两种情况：当ovr<6时，当6夕416时，利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】(1)解：由题可知：AP=2tcm(0<r<6),AQ=(16-f)cm(0<Z<16)

(2)解：当0?<6时

①若QP0BC,则有EAQPEBABC.

AQAP

回---=---

ABAC

又0A3=16cm,AC=12cm,AP=2tcvc\f

解得：仁洋

解得：上6.4（不合题意，舍去）

当6夕416时，点P与点。重合，

回她二财，只有当她。。二胡。3,有0AQPIM1AC5.

AQAP

团-------

ACAB

解得：r=7

综上所述：/=方48或f=7.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解题的关键.

【变式训练2】.【基础巩固】（1）如图1,在0ABe中，。为上一点，0ACD=aB.求证：AC2=AD»AB.

【尝试应用】（2）如图2,在MBCZ）中，E为BC上一点,尸为C。延长线上一点，0BFE=EA.若BF=4,

BE=3,求的长.

图1图2

【答案】⑴见解析；(2)

【分析】(1)证明MDOafflACB,即可得出结论；

(2)证明EIBFEHaBCE得出2/=2E・BC,求出BC,则可求出AD

【详解】(1)证明：SSACD=SB,EA=EA,

0EL4DCH0ACB,

ADAC

回--------，

ACAB

^AC2=AD^AB.

(2)国四边形ABC。是平行四边形,

0AD=BC,EA=EIC,

又E0BFE=EIA,

EEIBFE=EIC,

y^EFBE^CBF,

^BFE^BCF,

BFBE

团---=----

BCBF

@BF^BETC,

回心竺」16

BE33

y.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角

形的判定方法是解题关键.

ADAT)

【变式训练3】.如图，在AABC中，。是BC上的点，E是A。上一点，＞—,SBAD^ECA.

ACCE

E

(1)求证：AC2=BC»CD；

CF

⑵若加是"C的中线，求前的直

【答案】⑴证明见解析；⑵与

【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出AR3AACEA,得NB=NEAC,进而求出再

利用相似三角形的性质得出答案即可;

（2）由ARWSAACE可证NCDE=NCED,进而得出CD=CE,再由（1）可证AC=0C。，由此即可得出

线段之间关系.

AfiAn

【详解】(1)证明：・・・色2=叱，ZBAD=/ECA,

ACCE

:.ABAD^MCE,

:.NB=NEAC,

・・・ZACB=ZDCA,

「.△ABCs△加。，

.ACBC

,~CD~~\C'

AC2=BC.CD.

(2)解：•・•△BAD^AACE,

.\ZBDA=ZAEC,

：.ZCDE=ZCED,

:.CD=CE,

•・・AO是aABC的中线，

:.BC=2BD=2CD,

AC2=BC.CD=2CD2,即：AC=®CD，

「CECDV2

AC0CD2'

【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出A&gAACE是解

题关键.

类型二、双垂直模型（射影模型）

AnAr

例.如图，在RtMBC中，0AC3=9O°,点。在AB上，且——=—

ACAB

(1)求证SACDSiSABC；

(2)若AZ)=3,BD=2,求CD的长.

【答案】（1）见解析；（2）«

【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出AACDFABC

（2）由44?£）“他。得加心=/46=90。，ZACD=ZB,推出AACD〜屋ED,由相似三角形的性质得

信器,即可求出CD的长.

，、ADAC

[^1(1)0—=—,XA=XA，

0i^ACD~AABC；

(2)0AACD-AABC,

EZADC=ZACB=90°,ZACD=ZB,

团ZCDB=180°-90°=90°=ZACD,

回AACD〜©BD,

CDBD口

回而=五’即59=ADBD=3x2=6

0CZ)=V6.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键.

【变式训练1】.在R/EL48c中，0ACB=9O。，点。为AB上一点.

C1)如图1,若CZMAB,求证：AC^AD-AB；

FH4AD

(2)如图2,若AC=5C,E理CD交CD于H,交AC于尸，且一=—,求——的值；

HE9BD

(3)如图3,若AC=BC,点H在CD上,0AHO=45。，CH=3DH,贝Utana4cH的值为

图1

【答案】（1）见解析；（2）（3）立

37

【分析】（1）证出NB=NACD,证明△C3D回AACD,得出累=黑，即可得出结论；

£1.L/

（2）设FH=4。，则"E=9a（。>0）,同（1）得方=昨FH=36a?,则C4=6a,在RtVCHF中,

tanZACD=^=^,过。作DP_LAC于P,易证AP=D尸，求出名=乌=言，再由平行线分线段成比例

Crz3PCPC3

定理即可得出答案；

（3）过点。作DMLAT/于M,设ZW=2x,贝!|CW=6尤（x>0）,CD=D"+CH=8x,证明△皿/EUCZM,

得出4MH=NACH,黑=缥，求出AD=4x,证明△印砌是等腰直角三角形，得出

DM=HM=—DH=4ix,由勾股定理得出AM二痴x，由三角函数定义即可得出答案.

2

【详解】（1）证明：BCD1AB,0ZAZ）C=ZCDB=9O°,

0ZACB=9O°,

⑦ZB+ZBCD=ZACD+ZBCD=90。,

田/B=ZACD,

B/\CBD^\^ACD,

CDBD

团---=---

ADCDf

^CEr=ADDB-,

(2)解：回四=：，

HE9

团设FH=4a,贝UHE=9a(a>0),

0ZACB=9O°,EF±CD,

同(1)得：CH2=HEFH=9ax4a=36a2,

0CH=6a,

PH4(72

在®VCHF中，tanZAC£>=—=,

CH6a3

过。作。尸，AC于P,如图2所示：

图2

则DP//BC,

np2

在Rt公DPC中，tanNACD-----——,

PC3

团AC=BC,ZACB=90°,

0ZA=45°,

回A4Z乃是等腰直角三角形，

⑦AP=DP,

0-AP=-D-P=—2,

PCPC3

田DP//BC,

0AD=AP=—2；

BDPC3

(3)解：过点。作于如图3所示:

*

图3

出CH=3DH,

回设。〃=2%,贝iJCH=6x(x>0),

国CD=DH+CH=8x,

^\AC=BC,ZACB=90°,

回NBAC=45。，

团NBAC=NAHD=45。

又回NAD"=NCZM,

^\AADH^\^CDA,

^\ZDAH=ZACH

^\AD2=DHCD=16x2,

回AD=4%,

^\DM±AH,

团NDMW=90。，

团NAHD=45。，

^\ZHDM=450=ZAHD,

回△RDM是等腰直角三角形，

DM=HM=—DH=y/2x,

2

回AM=yjAD2-DM5=J（4尤）之一（缶J=用x,

^tanZACH=tanZDAH=-=-^^=—；

AMV14.r7

故答案为：立.

7

【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角

三角形的性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,

证明三角形相似是解题的关键。

【变式训练2】.如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD,AD上，3E_LCF于点G,若BC=4,AF=1,则

CE的长为（）

【答案】A

【分析】过D做DH_LFC于点H,由正方形ABCD的性质，通过证明和△^0//^△0及3:计

算得到GC,再通过证明AECG^ACDF从而求得CE的长.

【详解】如下图，过D做。"_LPC于点H

0ZZ）HF=9OJ

回正方形ABCD

0ZFDC=90°且AD=CD=BC=4

0AF=1

^\FD=AD-AF=A-\=3

国FCTFif+CDZ=打+42=5

又回ZDHF=NFDC=90。

MFDCsAFHD

FHFD3

团---=----=一

FDFC5

团FD=3

9

团F"=一

5

又回正方形ABCD

ADIIBC

e/DFH=NBCG

团班_LCF于点G

0ZBGC=ZCGE=90°

^AFDH^ACBG

GCBC4

团==—

FHFD3

9

团F"=—

5

0GC=—

5

回ZFCD=ZECG且ZFDC=ZCGE=90°

国AECGSACDF

12

0EC=GC=y=3

~FCCD45

33

=-FC=-x5=3

55

故选:A.

方法二：

团团BEC+团FCD=90°,

0DFC+0FCD=9O°,

EO1BEC二团DFC,

又团团CDF二团BCE,

BC=CD,

团团BCE丽CDF,

[?]CE=DF=4-1=3;

【点睛】本题考查了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知识；求解的关键是熟练掌握正方形、相似

三角形的性质，从而完成求解.

94

【变式训练3】.如图，在R。48c中，I3ACB=90。，CZM48于点已知AD==不，那么BC=.

【分析】证明ELBC。瓯BAC,根据相似三角形的性质列式计算即可.

【详解】解：0EACB=90°,CDSiAB,

^BiACB=SCDB=90°,

00B=0B,

EOBCD0EIBAC,

BC

BDBC4

0一二一，即5=49,

BCBA—+—

BC55

八||,

EBC>0

故答案为：当

【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键.

类型三、，，母子，，模型（变形）

例.如图，点尸是/力BC的边A8上的一点，若添加一个条件，使与ACBP相似，则下列所添加的条件

错误的是（）

A.ZBPC=ZACBB.ZA=ZBCPC.AB:BC=BC:PBD.AC.CPAB.BC

【答案】D

【分析】在与ACB尸中，已知有一对公共角团B,只需再添加一组对应角相等，或夹已知等角的两组对

应边成比例，即可判断正误.

【详解】A.己知回B=®B,若N3PC=NACB,则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；

B.已知EIB=I3B,若NA=N3CP,则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；

C.已知回B=^B,若AB:BC=BC:PB,则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；

D.若AC:CP=M:3C,但夹的角不是公共等角回B,则不能证明两三角形相似，错误，符合题意，

故选：D.

【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答的关键.

【变式训练1】.如图1，在四边形ABDE中，ZABC=/BDE,点C在边BD上,且AC〃DE,AB//CE,

点厂在边AC上，且AF=CE,连接班;小，。尸交CE于点G.

图3

(1)求证：BF=DF；

⑵如图2,若ZACE=NCDF,求证：CECF=BFDG；

(3)如图3,若延长BF恰好经过点E,求筹的值.

【答案】①见解析

(2)见解析

⑶

2

【分析】(1)证明△钻尸父△©!£1,得出5尸=钻，证明四边形AFDE为平行四边形，得出AE=Db，则可得

出结论；(2)证明△FCGs△月℃,得出-,证明△FCGs^DEG,得=，则得出结论；(3)

DFCFDGDE

4D4F

证明△ABbsac即，得出—=—,设AB=x,Ab=CE=m,解方程求出x,则可得出答案.

CECF

【详解】(1)AC\\DE,AB\\CE

ZBDE=ZACB,ZABC=ZDCE,ABAC=NACE

•/ZABC=ZBDE

:.ZABC=ZBDE=ZACB=ZDCE

:.AB=AC,CE=DE

在厂和中，

AF=CE

^AABAC=ZACE

AB=AC

.^ABF^^CAE(SAS)

:.BF=AE

・.・CE=DE,AF=CE

AF=DE

•・•AF=DE,AC\\DE

，四边形ATO石为平行四边形

:.AE=DF

:.BF=DF

fZCFG=ZCFD

(2)・.y

[ZACE=ZCDF

:AFCG^FDC

CFGF

'DF~CF

又•：AC“DE

:.AFCG^ADEG

GFCFGFDG

---=---,即nn---=----

DGDECFDE

.CFDG

DE'

又・.,DE=CE,DF=BF

CFDG

---=----,即anCE,CF=BF,DG

BFCE

[ZABC=NDCE

(3)・.Y

[ZACB=ZEDC

:AABCsAECD

.BCAB

•.而―定

・・•ABIICE,

.△ABFSACEF

.ABAF

,^CE~^F

:.ABCF=AFCE.

设AB=x,AF=CE=m,则有x(x-m)=m2

解得x=1+"m(负值舍去)

2

.BCAB1+召

''CD~~CE~2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似

三角形的判定和性质是本题解题的关键.

4

【变式训练2].如图1,ZC=90,BC=6,tanB=j,点M从点8出发以每秒1个单位长度的速度向点C运

动，点N同时从点C出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动.

图1

⑴求的长.

⑵当以点M、C、N为顶点的三角形与AABC相似时，求t的值.

⑶如图2,将本题改为点M从点B出发以每秒3个单位长度的速度在班上向点A运动，点N同时从点A出

发向点C运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当f为何值时，附为等腰三角形.

【答案】⑴10

121Q

(2)f=W或f=时，以点M、C、N为顶点的三角形与AMC相似

⑶，=2或"当或f=当时，为等腰三角形

【分析】(1)根据三角函数解得即可；

(2)分①当AMQVS△皮”时和②当AMQVSAACB时，两种情况利用相似三角形的性质解答即可；

⑶分①当=时，②当=时，③当MN=AN时，三种情况，利用等腰三角形的性质得出比

例解答即可.

4

【详解】(1)vZC=90°,BC=6,tanB=-

.\AC=8

AB=VBC2+AC2=V62+82=10

(2)解：解：①当△MCNs^OL时,

MCCN

,BC"G4?

即曰0

68

解得：，=?12，

②当△MCNs^ACB时,

MC_CN

•AC-BC?

即〜二

86

1Q

解得：

综上所述，f=M或f=n时，以点M、c、N为顶点的三角形与AABC相似,

(3)解：①如图3,当AM=A7V时，10-3?=2?,

图3

解得：t=2,

②如图4,当=时，过点M作MDLAC于£>,

图4

则回ADN=90°,AM=MN=10-3t,AD=-AN=t,

2

ZACB=90°,

:.MD//BC,

..^AMD^^ABC,

AMAD

~AB~~AC

10—3%t

即

10-8

40

解得：

③如图5,当MN=AN时，过点N作NDLAB于。,

图5

则NADN=NACB=90。，AD=DM=AM=1(10-3f),

•.•ZA=ZA,

“ADNSAACB,

ADAN

*AC-

即1（03f）_2t,

8-io

解得：f=。,

综上所述，t=2或f=¥或/时，为等腰三角形

【点睛】本题考查考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，已知正切求边长，解题的关键是

掌握辅助线的作法，数形结合，分类讨论思想的应用.

【变式训练3】.如图，直线48经过回。上的点C,并且。4=。2,CA=CB,直线02交回。于点£、D,连

接EC、CD.

Cl）试判断直线AB与回。的位置关系，并加以证明;

（2）求证：BC2=BDBE;

（3）若tanE=2，团。的半径为3,求0A的长.

2

【答案】（1）相切，见解析；（2）见解析；（3）5.

【分析】（1）连接0C,由等腰三角形"三线合一"性质证明OCBAB,据此解题；

（2）连接0C,90。圆周角所对的弦是直径，证明DE为回。的直径，再证明SBCL幽BEC,最后根据相似三

角形的对应边成比例解题；

CD1

（3）根据正切定义得到*=彳，解得。C=OE=3,再由aBCDmBEC,设BC=x,根据相似三角形对应边成

EC2

比例，及勾股定理得到9+N=（2x-3）2,解此一元二次方程，验根即可解题.

【详解】解：（1）A3与回。相切，连接OC,

回。4=03,CA=CB,

团OCWAB,

团点C在团。上，

她3与团O相切;

（2）连接OC,

团OCEA3,

团团008=90°即回1+回3=90°,

又团DE为回。的直径，

^ECD=90°BP回2+回3=90°,

001=02,

回。6二OC,

团团石二团2,

团团1二团E,

团团3二团3,

团团团团8EC,

BCBD

团-------，

BEBC

⑦BC2=BD・BE；

(3)EtanZE=-,回EC£)=90°,

2

CD1

0---二—

EC2

瓯。的半径为3,

^\OC=OE=3f

团回3cD回团BEC,

BCCD、儿”

0---=----，设BC=x，

BEEC

x1

0------=一,

05+32

团03=2x3

团团005=90°,

0OC2+BC2=OB2,

团9+N=(2x-3)2,

0X7=0(舍去)，X2=4,

团04=03=5.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质等知识，切线的证明方法有两种：1、有

点连接此点与圆心，证明夹角为直角；2、无点作垂线，证明垂线段等于圆的半径，利用方程思想解题是关

键.

类型四、共边模型

例.如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系,则称这两个相似三角形互为母子三角形.

(1)如果ADEF与VABC互为母子三角形，则二的值可能为()

1f1

A.2B.-C.2或一

22

(2)已知：如图1,VABC中，AD是—54C的角平分线，AB=2AD,ZADE=NB.

求证：△ABD与VADE互为母子三角形.

(3)如图2,VABC中，AD是中线，过射线C4上点石作EG//BC,交射线D4于点G,连结BE,射线BE

与射线交于点/，若AAGE与△ADC互为母子三角形.求笑的值.

GF

4G1

【答案】(1)C；(2)见解析；(3)大7==彳或3.

GF3

【分析】(1)根据互为母子三角形的定义即可得出结论；

(2)根据两角对应相等两三角形相似得出△ABDSAADE,再根据AB=2AD从而得出结论；

⑶根据题意画出图形，分当G,E分别在线段A£>,AC上时和当G,E分别在射线上时两种情况加以

讨论；

【详解】(1)回ADEF与VA2C互为母子三角形，

DE1„

回=—或2

AB2

故选：C

(2)是ZBAC的角平分线，

ABAD=ACAD,

­rZADE=NB,

:.AABD^AADE.

X-.-AB=2AD,

.•.△ABD与VADE互为母子三角形.

(3)如图，当G,E分别在线段AD,AC上时，

AAGE与AADC互为母子三角形,

CDADc

,,—=2,

GEAG

:.AG=DG,

•.•AD是中线，

:.BD=CD,

又•:GEIIBC,

:./\GEF^/XDBF.

DFDBCD

,~GF~~GE~~GE~'

:.DG=3GF,

上3.

GF

如图，当G,E分别在射线D4,C4上时,

・・・AAGE与AADC互为母子三角形，

CDAD

..——2,

GEAG

AG=-AD=-DG,

23

•.•AD是中线，

/.BD=CD,

又・・・GE/ABC,

:.AGEFsADBF.

DFDBCD。

••===2,

GFGEGE

:.DG=GF,

AG1

*_______—___

"GF~3'

A(Z1

综上所述，筹=：或3

GF3

BDC

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能

力.准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要

考虑全面，进行分类讨论，避免漏解.

【变式训练11.如图，PA,尸8为。。的两条切线，A,8为切点，8。的延长线交。。于点。,交丛的

延长线于点C,连接。P,AD.

(1)求证：AD//OP；

(2)若AP=2AC,求tan/OPB的值.

【答案】(1)见解析；(2)tan/OP8=@.

5

【分析】(1)如图，作辅助线，证明EIAPO=EIBPO得OP_LM,再由3D为。。的直径可得ABI3AD,从而可

得结论；

(2)设AC=。，则AP=2a,由勾股定理得Q4=后二7，再证明尸可求出.=如从而通

过解直角三角形可得结论.

【详解】(1)证明：连接A3交。尸于点E,

BPA,尸3为。。的两条切线，

^AP=BP,NBPO=ZAPO,

EOP±AB.

回3。为。。的直径，

fflZZMB=90°=ZOEA,

OPIIAD.

(2)BAP=2AC,

回设AC=a,贝UAP=2a.

OPHAD,

CDAC1

团==—.

DOAP2

不妨设C£>=1,则OD=2CZ)=2.在放人。。中，OA^ylo^-CA2^^9-a2-

SAP,8P为的切线,

0Z<MC=ZOBP=90°.

回△CZOs^CBP,

OABP

回---=----

ACBC

回的―/=生,解得°=布.

a5

肌an“叫型=2=3=互

BP2a2V55

【点睛】此题考查了切线的性质、解直角三角形以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理与

判定定理是解答此题的关键.

【变式训练2】.如图，是。。的直径，AD,3D是。。的弦，BC是。。的切线，切点为8,OC//AD,

BA、CD的延长线相交于点E.

（1）求证：CD是。。的切线;

（2）若。。的半径为4,ED=3AE,求AE的长.

【答案】（1）见解析；（2）AE=1.

【分析】（1）连接OD,由题意易证回CDO酿CBO,然后根据三角形全等的性质可求证;

（2）由题意易得E1EDAEBEBD,然后根据相似三角形的性质及£D=3AE可求解.

【详解】（1）证明：连接OD,如图所示:

,/AD0OC,

••.团DAO二团COB,回ADO二回COD,

又••,OA=OD,

团DAO二回ADO,

厂.团COD二回COB,

VOD=OB,OC=OC,

团CDO团团CBO,

团CDO二团CBO,

•••BC是。。的切线，

•••EICBO=EICDO=90°,

•.・点D在。。上，

CD是。。的切线；

(2)由(1)图可得：

0ADO+EEDA=9O0,0ODB=0DBO,

1•,AB是O。的直径，

.,•EIADB=90o,gP0ADO+0ODB=9O",

.,.0EDA=0ODB=0DBO,

又既=耻，

•,.0EDA00EBD,

ED?=AE-EB，

••・OO的半径为4,ED=3AE,

，AB=8,EB=AE+8,

9AE2=AE\AE+8),

解得：AE-1.

【点睛】本题主要考查圆的切线定理与判定定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线定理及判

定定理是解题的关键.

【变式训练3].如图，VABC中，AB=AC,A6，AC,点。、E分别是BC、AC的中点，与点F.

(1)求证：AE2=FEBE;

(2)求NABC的大小；

(3)若£＞尸=1,求AIB尸的面积.

【答案】(1)证明见解析；(2)135°；(3)2.

【分析】(1)先根据相似三角形的判定可得AAEF~3K4,再根据相似三角形的性质即可得证；

(2)先根据等腰直角三角形的判定与性质可得/ACB=45。，再根据相似三角形的判定可得ACEF〜必EC,

然后根据相似三角形的性质可得NCFE=NBCE=45。,最后根据角的和差即可得；

(3)设AB=AC=2a,从而可得AB=2。，再根据相似三角形的性质、勾股定理可得

FA=^a^BF=^aa,从而可得整=翌，然后根据相似三角形的判定与性质可得翌=罢，从而可

55BDBEBEEC

求出a的值，最后根据直角三角形的面积公式即可得.

【详解】(1)-.-AF±BE,AB±AC,

ZAFE=ZBAE=90°,

ZAFE=NBAE

在尸和△3EA中,

ZAEF=ZBEA

.,./^AEF〜ABE4.,

.AEFE

.定一法’

;.AE1=FEBE\

(2)\AB=AC,AB±AC,

「.△ABC是等腰直角三角形,

:.ZABC=ZACB=45°,

AEFE

由（1）可知,

^E~~AE

.AEBE

*FE-AE?

,・•点E是AC的中点，

/.AE=CE,

CEBE

'~FE~~CE'

CEBE

在△CEF和V5£C中，^FE~~CE

ZCEF=/BEC

:.&EF〜山EC,

:.ZCFE=ZBCE=45°f

又,.A尸_L3石，

:.ZAFE=90°,

NAFC=Z4FE+NCEE=90。+45。=135。；

(3)AB=AC=2a(a>0),

•.,△ABC是等腰直角三角形，

/.BC=y[2AB=，

・・・点D、E分别是BC、AC的中点，

/.AE=CE=a,BD=CD=\f2a,

在RSABE中，BE7AB'AE?=岛，

BC20a29

BEy[5a5

由(1)知，AAEF〜ABEA,

AEFAaFA

/.---=---,即Bn/-—――,

BEABY5a2a

解得FA=a，

25'

在咫AABP中，BFUJAB^-FA2=苧。,

475

.BF亍〃_2M_BC,

BDy（2a5BE

BFBC

在V9）方和VB石。中，VBD~^E,

/DBF=ZEBC

."./sBDF~#EC,

BDDF叵aDF

：.——=——，即nn一^=——，

BEEC小aa

解得DF=,

5

又TDF=1,

.Vio-

5

解得a=如，

2

，/毡X巫迪x包=2夜，

5252

则AAB尸的面积为忘*20=2.

22

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练

掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.

”压轴能力测评”

1.如图，RQABC中，ZC=90°,AB=15,BC=9,点P,。分别在BC,AC上，CP=3x,

CQ=4K0<x<3）.把△PC。绕点p旋转，得到点。落在线段尸。上.若点。在一瓦1C的平分线

上，则CP的长为（）

A.5B.5.5C.6D.6.5

【答案】C

【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据计算可知§=[=空，结合定理两边成比例且夹角相等的

BC3AC

三角形相似证明△PQCHSBAC，再根据相似三角形的性质得出回CP2=SB,由此可得出尸Q0A&连接A。，根

据PQ//AB和点。在SBAC的平分线上可证0ADQ=aDA。，由此可得AQ=£＞。，分别表示A。和。。由此可

得方程12-4x=2x,解出无，即可求出CP.

【详解】解：团在R/EL48c中，AB=15,BC=9,

a4C=7AB2-BC2=V152-92=12.

PC3xxQC4xx

团---——=-，-----=—=—,

BC93AC123

PCQC

团---=----.

BCAC

团团。=团。，

mPQC^lBACf

团回C尸。=团3,

团尸Q//A3；

连接AD,

回PQ//A5,

回她。。=回。A3.

回点。在回A4C的平分线上，

^\DAQ=^\DABf

回她。°=团DAQ,

她。=。。.

回尸D=PC=3x,QC=^x

国在Rt^CPQ中，根据勾股定理PQ=5x.

^\DQ=2x.

朋。=12-4x,

012-4x=2x,解得x=2,

团。尸=3x=6.

故选C.

【点睛】本题考查几何变换一一旋转综合题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定,

熟练掌握定理并能灵活运用是解决此题的关键.

2.如图，正方形ABCD中，回ABC绕点A逆时针转到AAB'C,AB',AC'分别交对角线BD于点E,F,若

AE=4,则的值为（）

A.8B.12C.16D.20

【答案】C

【分析】根据正方形性质和旋转性质得到田BAC和团EAF和回ADB都等于45。，再加上公共角得到国AEF与团DEA

相似，得到对应边成比例即可得到结果.

【详解】解：回四边形ABCD是正方形，

E0BAC=0ADB=45°,

回把EIABC绕点A逆时针旋转到AAB'C',

EHEAF=EIBAC=45°,

[fflEAF=EIADB=45°,

H3AEF=I3DEA,

EBAEFEHDEA,

AEEF

0-----------,

DEAE

SEF-ED=AE2,

0AE=4,

HEF-ED=16,

故选：c.

【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题

的关键.

3.如图，菱形ABC。和菱形ECG尸的边长分别为4拓和20，05=120°,则图中阴影部分的面积是（）

A.3B.273C.4D.373

【答案】D

【分析】设AG交CE于点X,通过AGC"〜AGBA得出C8=g后，即可得出EH的长，将阴影部分的面积

分为△GEH和△>!£?/的和，分别求出两个菱形的高即可.

【详解】如图，设AG交CE于点X,

回菱形ABCD的边AB^CD,

回AGC"〜屐盅4,

SCH：AB=GC：GB,

即C4:46=:6折

解得CH=gG,

42

所以，EH=CE-CH=273——上=—g

33

团团8=120°,

00BCD=0FEC=180°-120°=60°,

团点5到CO的距离为4gx且=6,

2

点尸到CE的距离为2百x无=3,

2

回阴影部分的面积=S&AEH+S4EH

=J_x友x(6+3)=3指

23

故选：D.

【点睛】本题考查菱形与相似三角形的性质，将阴影部分的面积拆分成两部分来解是解题的关键，属于中

考常考题型.

4.如图，正方形ABCD的边长为2,BE平分/DBC交DC于E,尸是BC延长线上一点，且CF=CE,BE

延长线交。尸于G,则BG-EG的值是.

【答案】4-20

【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的有关知识.由等腰三角形的判定与性质知BM是等腰三角形

BDF的中垂线.根据相似三角形ABGVSSGE的对应边成比例、等腰三角形的性质列出比例式整=笠,

DGCJE

即GEGB=GU,最后在直角ADCV中利用勾股定理来求GO?的值.

【详解】＜BC=2,四边形ABCD是正方形，

BD=2及，

又⑦BE平分NDBC交DF于G,BG±DF,

:.BD=BF,DG=FG,

:.CF=2垃-2,

在ABGF和ADGE中，

ZGBF=ZGDE,ZBGF=ZDGE=90°,

:ABGFSADGE,

BGGF

~DG~~GE

BGDG目2

灰rGGEGB=GD-,

•••DC2+FC2=（2DG）2,即22+（2V2-2『=4DG2,

...DG2=4-272,BPGE-GB=4-2近,

故答案为：4-25/2.

5.如图，VABC中，点。在A3上，/B=2/BCD,若BD=2,BC=5,则线段CD的长为

【答案】V14

【分析】延长CB至UE,使BE=BD,连接DE,可得等腰ABED和等腰江ED,CD=ED,再证明AEDB~AECD,

利用相似三角形对应边成比例即可求出ED.

【详解】解：如图所示，延长至UE,使BE=BD,连接DE,

ME=NEDB

^\ZDBC=2ZBCD,NDBC=