2024-2025学年沪科版七年级数学上册期末冲刺复习：一元一次方程实际问题十大类型（解析版）

专题11一元一次方程实际问题十大类型

目录

解题知识必备.....................................................................1

压轴题型讲练....................................................................2

类型一、配套问题.................................................................2

类型二、工程问题.................................................................3

类型三、销售盈亏问题............................................................7

类型四、比赛积分问题............................................................9

类型五、方案选择问题...........................................................12

类型六、行程问题................................................................15

类型七、和差倍分................................................................19

类型八、水费电费...............................................................21

类型九、日历问题...............................................................25

类型十、古代问题...............................................................28

压轴能力测评...................................................................29

“解题知识必备”

一元一次方程实际应用的解题思路

一元一次方程解决实际问题的一般步骤：

列方程解应用题的基本思路为：问题胃粘方程普粘解答.由此可得解决此类题的一般步骤为：审、

设、歹人解、检验、答.

备注：

(1)"审"是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等

量关系；

(2)"设"就是设未知数，一般求什么就设什么为x,但有时也可以间接设未知数；

(3)"列"就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量,

单位要统一；

(4)"解"就是解方程，求出未知数的值.

(5)"检验"就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；

(6)"答"就是写出答案，注意单位要写清楚.

♦♦压轴题型讲练”

类型一、配套问题

弄清实际问题中的实际意义，配比，比如一个桌面配四条腿，一件衣服配两个衣袖等。

例.用150张铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底45个,1个盒身与2个盒底配成一套罐头盒.问：

用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套？

【答案】用90张铁皮制盒身，60张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套.

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程成为解题的关键

设用x张铁皮制盒身，制盒底的铁皮数是(150-x)张，利用盒底的数量是盒身数量的2倍列出方程求解即可.

【详解】解：设用x张铁皮制盒身，则制盒底的铁皮数是。50-x)张，

由题意可得：2x15^=45(150-%),解得：x=90,

015O-x=6O.

答：用90张铁皮制盒身，60张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套.

【变式训练某家具厂有60名工人，加工某种由一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工3个

桌面或6个桌腿.怎么分配加工桌面和桌腿的人数，才能使每天生产的桌面和桌腿配套.

【答案】应分配20人生产桌面，40人生产桌腿.

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应分配无人生产桌面，则(60-尤)人生产桌腿，

根据题意列出方程即可求解，正确列出方程是解题的关键.

【详解】解：设应分配x人生产桌面，贝匹60-力人生产桌腿，

由题意得，3xx4=6(60-x),

解得x=20,

60-x=40,

答：应分配20人生产桌面，40人生产桌腿.

【变式训练2】.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮

和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？

【答案】安排25名工人加工大齿轮，则安排60名工人生产小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套

【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，

设安排x名工人加工大齿轮，则安排（85-力名工人生产小齿轮，共生产16x个大齿轮，10（85-力个小齿轮，

根据"2个大齿轮和3个小齿轮配成一套”列出方程，求解即可.

【详解】解：设安排x名工人加工大齿轮，则安排（85-力名工人生产小齿轮.根据题意，得

3xl6x=2xl0（85-x）

解得：x=25,

团85—%=60.

答：安排25名工人加工大齿轮，则安排60名工人生产小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套.

【变式训练3】.某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装3块大月饼和5块小月饼.制作一块大

月饼要用0.3像面粉，一块小月饼要用0.15依面粉，现在共有面粉6600依，制做这两种月饼应各用多少面

粉，才能生产最多的盒装月饼？

【答案】用3600必面粉生产大月饼，30004面粉生产小月饼，才能生产最多的盒装月饼

【分析】本题考查一元一次方程的应用，设用Mg面粉生产大月饼，（6600-“依面粉生产小月饼，根据“每

盒中装3块大月饼和5块小月饼”列方程求解即可.

【详解】解：设用Mg面粉生产大月饼，（6600-“依面粉生产小月饼，

x16600-x1

由题意得,—X—=-------x—,

0.330.155

解得x=3600,

贝U6600-3600=3000（依），

答：用3600处面粉生产大月饼，3000依面粉生产小月饼，才能生产最多的盒装月饼.

类型二、工程问题

如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1.

基本关系式：

(1)总工作量=工作效率X工作时间；

(2)总工作量=各单位工作量之和.

例.某厂家接到生产一批口罩的紧急任务，如果每小时生产240盒，可按时完成，实际每小时多生产40盒，

结果提前2小时完成任务.问此任务共生产口罩共多少盒？

【答案】3360盒

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键，设计划x小时完成，则实际

(x-2)小时完成，根据前后完成的任务量相同求得》,代入240尤求解即可.

【详解】解：设计划x小时完成，则实际(x-2)小时完成，根据题意得：

240x=(240+40)(x-2),

解得：x=14,

240x14=3360(盒),

答：此任务共生产口罩3360盒.

【变式训练整理一批图书，若由一个人独做需要80个小时完成，假设每人的工作效率相同.

(1)若限定32小时完成，一个人先做8小时，再需增加多少人帮忙才能在规定的时间内完成？

(2)计划由一部分人先做4小时，然后增加3人与他们一起做4小时，正好完成这项工作的;，应该安排多

4

少人先工作？

【答案】(1)再需增加2人帮忙才能在规定的时间内完成

⑵应该安排6人先工作

【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键；

(1)设再需增加x人帮忙才能在规定的时间内完成，根据各部分的工作量之和等于1,再建立方程求解即

可；

(2)设应该安排尤人先工作，根据各部分的工作量之和等于再建立方程求解即可；

【详解】(1)解：设再需增加x人帮忙才能在规定的时间内完成，可得：

解得：x=2

答：再需增加2人帮忙才能在规定的时间内完成;

(2)解：设应该安排x人先工作，可得：

4x4（^+3）_3

80804

解得：x=6,

答：应该安排6人先工作.

【变式训练2】.学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工

这种校服80件，且乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂每天加工这种校服的件数多1.

⑴若甲单独加工这批校服比乙工厂单独加工这批校服多用20天，求这批校服共有多少件？

（2）在（1）的条件下，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂提高加工速

度后继续完成剩余部分，乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的3倍还少8天，若在加工过程中，

甲工厂每天所需费用400元，乙工厂每天所需费用500元，学校共需支付甲乙两工厂18800元，求乙工厂

提高加工速度后每天加工这种校服多少件？

【答案】（1）这批校服共有4800件

⑵乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服150件

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键.

（1）首先求得乙工厂每天加工这种校服的件数，设这批校服共有x件，根据题意列出一元一次方程并求解，

即可获得答案；

（2）首先设甲工厂全部工作时间是V天，则乙工厂的全部工作时间是（3丁-8）天，

根据题意，列方程并求解，即可确定甲工厂全部工作时间；再设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服z

件，列方程并求解，即可获得答案.

【详解】（1）解：根据题意得，乙工厂每天加工这种校服80x（l+gJ=12。（件），

设这批校服共有x件，

根据题意，可得白-三=2。，

oO120

解得*=4800（件）.

答：这批校服共有4800件；

（2）设甲工厂全部工作时间是V天，则乙工厂的全部工作时间是（3y-8）天，

根据题意，可得400y+500（3,-8）=18800,

解得尸12（天），

回甲工厂全部工作时间是12天；

设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服z件，

根据题意，可得（80+120）x12+（12x3—8-12”=4800,

解得z=150（件）.

答：乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服150件.

【变式训练3】.为打造安全环保的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每个治理点需安装相同长

度的排污治理管道）.一天，甲队3名工人去完成5个治理点的管道铺设，但还有60米管道没有完成；同

一天，乙队4名工人完成5个治理点的管道铺设后，仍多铺设了40米管道.已知每名甲队工人比每名乙队

工人每天多铺设20米管道.

（1）求每个排污治理点需铺设的管道长度；

（2）已知每名甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市某处共设立27个排污

治理点，现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道，方案一：全部由甲队安装；方案二：全部由乙队

安装；（不到一天需按一天费用算）.请通过计算说明选择哪种方案可使总费用最少？

【答案】⑴每个排污治理点需铺设的管道长度为120米

⑵应选择方案一

【分析】本题考查了一元一次方程的应用、解一元一次方程等知识点，明确题意、正确的列出一元一次方

程是解答本题的关键.

（1）设每个排污治理点需铺设的管道长度为X米，然后根据题意列方程解答即可;

（2）先分别求出甲、乙队工人一天可铺设管道的长度，再分别按两种方案求得总费用，最后比较即可解答.

【详解】（1）解：设每个排污治理点需铺设的管道长度为x米,

5x—605x+40

根据题意,得zn--------------=20,

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解这个方程，得x=120.

所以，每个排污治理点需铺设的管道长度为120米.

（2）解：每名甲队工人每天铺设管道米数：5x12,60MO

方案一需要天数:发发=6.

3x180

方案一需要费用：500x3x6=9000.

每名乙队工人每天铺设管道米数：180-20=160.

方案二需要费用天数：芝修=*6.

方案二需要费用：400x4x6=9600.

因为9000<9600,

所以，应选择方案一.

类型三、销售盈亏问题

(1)利润率=鬻r00%

进价

⑵标价=成本(或进价)x(1+利润率)

(3)实际售价=标价x打折率

(4)利润=售价-成本(或进价)=成本x利润率

"商品利润=售价-成本"中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分

之几或百分之几十销售.

例.某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬

衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售.每件

衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40%的预期目标？

【答案】每件衬衫降价40元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40%的预期目标

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用.设每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40%

的预期目标，根据题意列出关于尤的一元一次方程求解即可得出答案.

【详解】解：设每件衬衫降价尤元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40%的预期目标.

根据题意，得120x400+(120—x)x(500—400)—80x500=80x500x40%,

解得：x=40

答:每件衬衫降价40元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40%的预期目标

【变式训练1】.某水果销售点用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售

价如表所示：

进价(元/千克)售价(元/千克)

甲种58

乙种913

⑴这两种水果各购进多少千克？

⑵若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元?

【答案】⑴甲种65千克，乙种75千克

(2)495元

【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，有理数的混合运算的实际应用，确定相等关系是解本题的关

键；

（1）设甲种水果购进x千克，则乙种水果购进（140-6千克.根据"用1000元购进甲、乙两种新出产的水

果共140千克"建立方程求解即可；

（2）由两种水果的利润之和等于总利润可得答案.

【详解】（1）解：设甲种水果购进尤千克，则乙种水果购进-力千克.依题意得：.

5x+9（140-x）=1000.

解得：x=65,

E140-%=140-65=75.

答：甲种水果购进65千克，乙种水果购进75千克；

（2）解：（8—5）x65+03—9）x75.

=3x65+4x75

=195+300

=495（元）.

答：该水果店按销售价销售完这批水果,获得的利润是495元.

【变式训练2】.情景：试根据图中信息，解答下列问题:

（1）购买8根跳绳需元，购买20根跳绳需元.

（2）小红比小明多买2根跳绳，付款时小红反而比小明少付5元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购

买跳绳的根数；若没有，请说明理由.

【答案】⑴200；400

（2）有这种可能，小红购买跳绳11根

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，

（1）根据总钱数=单价x购买数量（或总钱数=单价x0.8*购买数量），代入数据即可得出结论；

（2）设小红购买跳绳x根，则小明购买了（X-2）根，根据"总钱数=单价x购买数量（或总钱数=单价x0.8x

购买数量），小红比小明少花5元”即可得出关于尤的一元一次方程，解之即可得出结论；

解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据数量关系列出关于x的一元一次方程.

【详解】（1）解：25x8=200（元），

25x0.8x20=400（元），

团购买8根跳绳需200元，购买20根跳绳需400元，

故答案为：200；400；

（2）有这种可能

设小红购买跳绳x根，则小明购买了（x-2）根，

根据题意得：25x0.8x=25（x-2）-5,

解得：x=ll,

团有这种可能，小红购买跳绳11根.

【变式训练3]2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物"冰墩墩"和"雪容融"深受国内外广大朋友的喜爱，

北京奥组委官方也推出了许多与吉祥物相关的商品，其中有A型冰墩墩和8型雪容融两种商品.已知购买1

个A型商品和1个B型商品共需要220元，购买3个A型商品和2个B型商品共需要560元，求每个A型

商品的售价.

【答案】每个A型商品的售价为120元

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设每个A型商品的售价为x元，则每个8型商品的售价为（220-幻

元，根据购买3个A型商品和2个3型商品共需要560元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出

结论.找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

【详解】解：设每个A型商品的售价为x元，则每个8型商品的售价为（220-x）元，

依题意得：3x+2（22。-无）=56。，

解得：x—120.

答：每个A型商品的售价为120元.

类型四、比赛积分问题

一般用胜分+平分+负分=总积分，列出方程求助即可。

例.某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加

分，答错一道题减分，下表中记录了A、3、C三名学生的得分情况：

参赛学生答对题数答错题数得分

A200100

B18286

C15565

请结合表白」所给数据，回答下列问题：

⑴本次知识问答中，每答对一题加分，每答错一题减分；

⑵若小明同学答对16题，请计算小明的得分；

⑶若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分（填写选项）;

A.75；B.63；C.56；D.44

并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题）

【答案】⑴5,2

（2）72

（3）D,答对了12道题

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件,

找出合适的等量关系列出方程，再求解.

（1）根据A的得分可求出每答对一题的加分，根据8或C的得分可求出每打错一题的减分；

（2）按照（1）中的答题得分计算即可；

（3）设小刚答对无道题，则答错道题，列方程对每个选项分析即可；

【详解】（1）解：答对一题加：100+20=5分，

答错一题减：（18x5-8可+2=2分，

故答案为：5,2；

（2）小明的得分：5xl6+（-2）x（2。—16）=72分，

（3）D,答对了12道题.

设他答对x道题，则答错（20-力道题.

A.若5%-2(20-%)=75,解得元=亍，故不符合题意;

103

B.若5%-2(20—%)=63,解得X=寸，故不符合题意;

96

C.若5%—2(20-x)=56,解得冗=],故不符合题意；

D.若5%—2(20—%)=44,解得％=12,符合题意；

答：小刚同学答对了12道题.

【变式训练11某中学组织足球比赛，比赛规定：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得。分.勇士队

共参加8场比赛，在保持不败的情况下，共得13分.问此次比赛中勇士队胜了几场？

【答案】胜了5场

【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列

出方程求解.

设此次比赛中勇士队胜了x场，则平了（8-x）场，根据胜一场得2分，平一场得1分，共得13分，列出方

程求解即可.

【详解】解：设此次比赛中勇士队胜了了场，则平了（8-力场，

根据题意，得2x+（8-尤）=13

解这个方程，得x=5.

答：此次比赛中勇士队胜了5场.

【变式训练2】.某市中考体育测试中包含一分钟排球垫球项目，考试规则为：学生垫球一分钟，若垫球次

数达到某一标准及以上，则记为满分.在一次班会中，小明得知以下信息：若每秒钟垫球若干次，则一分

钟后垫球次数比满分标准多出10次；若每秒钟垫球次数是原来的1.5倍，则一分钟后垫球次数是满分标准的

2倍少10个.求垫球满分的标准是每分钟多少个？

【答案】50个

【分析】本题考查一元一次方程的应用，设每秒钟垫球z次，则一分钟后垫球次数比满分标准多出10次，

则垫球满分要求的每分钟的标准次数为（60x-10）次，列方程得60xl.5x=2（60x-10）-10,解方程求出x的

值，再求出代数式60x-10的值即得到问题的答案.正确理解题意，找出等量关系列出方程是解题的关键.

【详解】解：设每秒钟垫球x次，则垫球满分的标准是每分钟（60xT0）次，

根据题意，得：60xl.5x=2（60%-10）-10,

解得：x=l,

060%-10=60-10=50（个），

答：垫球满分的标准是每分钟50个.

【变式训练31.2023-2024全国甲A篮球赛（CA4）共进行了52轮常规赛，最后辽宁队和新疆队进入总决

赛.常规赛中，规定胜一场积2分，负一场积1分，每场比赛均分胜负，常规赛结束时，辽宁队积分为95

分，求辽宁队在常规赛中负了几场.

【答案】9场

【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据积分等于胜场积分+负场积分列方程解题即可.

【详解】解：设辽宁队在常规赛中负了x场，

2（52-尤）+x=95

x=9

答：辽宁队在常规赛中负了9场.

类型五、方案选择问题

（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况.

（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结

论.

例.中小学生研学旅行是由教育部门和学校有计划地组织安排，通过集体旅行、集中食宿方式开展的研究

性学习和旅行体验相结合的校外教育活动.红星学校组织七年级学生参加研学旅行，便与秦城汽车租赁有

限公司商议，单独租用45座A型客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座8型客车，可少租1辆，并

且还有15个空位.

⑴该校参加这次研学旅行有多少人？

（2）45座A型客车每天的租金600元，60座8型客车每天的租金700元，该校租那种车型更划算？

【答案】⑴该校参加这次研学旅行有225人

⑵该校租2型客车更划算

【分析】本题考查了一元一次方程的应用和实数的混合运算，找准相等关系列出方程是解题的关键.

（1）设该校参加这次研学旅行有x人，根据题意可得咚=与空+1,求解方程即可解题；

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（2）分别求出两种方案的费用，选择划算的方案即可.

【详解】（1）解：设该校参加这次研学旅行有x人，依题意得：

4x=3（x+15）+180

4%=3%+45+180

x=225,

该校参加这次研学旅行有225人.

（2）解：租A型客车需225+45=5辆，租8型客车（225+15）+60=4辆，

A型客车每天租金：5x600=3000元；B型客车每天租金：4x700=2800元.

即：A型客车每天租金〉B型客车每天租金，

•••该校租8型客车更划算.

【变式训练11某校五年级学生举行春游，若租用45座客车，则有15人没有座位，若租用同样数目的60

座客车，刚刚好有一辆客车空车.已知45座客车租金220元，60座客车租金300元.问：

(1)这个学校五年级一共有学生多少人？

⑵怎样租车，最经济合算？

【答案】⑴240人

(2)租用4辆45座客车，1辆60座客车时，最经济合算.

【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用：

(1)设这个学校五年级一共有学生X人，根据租用45座客车，则有15人没有座位，若租用同样数目的60

座客车，刚刚好有一辆客车空车列出方程求解即可；

(2)求出45座客车每人的平均租金比60座客车的每人的平均租金要低,则在保证全部坐完学生的情况下，

45座客车要尽可能的多，据此计算求解即可.

【详解】(1)解：设这个学校五年级一共有学生x人，

xT5x+6Q

由题意得，

4560

解得x=240,

答：这个学校五年级一共有学生240人；

(2)解：220+45=4.9,300+60=5,

所以45座客车每人的平均租金比60座客车的每人的平均租金要低,

所以在保证全部坐完学生的情况下，45座客车要尽可能的多，

(240—15)+45=5辆，

当租用6辆45座客车时的租金为220x6=1320元，

45x4+60=240人，

当租用4辆45座客车，1辆60座客车时的租金为220x4+300=1180元，

因为1320>1180,

所以租用4辆45座客车，1辆60座客车时，最经济合算.

答：租用4辆45座客车，1辆60座客车时，最经济合算.

【变式训练2】.春节假期期间，为让返乡游子感受到"老家河南，味道中原"的魅力，某河南特色美食店优

惠大酬宾，推出以下两种优惠方案：

方案可购买100元代金券，每张79元,每次消费时最多可使用3张，能使用尽量使用，未满100元的

部分不得使用代金券

方案消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券

二

例：某次消费120元，按照方案一使用代金券后，实际花费79+(120-100)=99元.

⑴若某次消费240元，按照方案一使用代金券后，实际花费元.

(2)若某次实际花费360元，则在使用优惠方案前可能消费多少元？

⑶小明一家春节假期期间去该美食店消费了x(x>300)元.

①若按照方案一使用代金券进行优惠，实际花费元；若按照方案二进行优惠，实际花费

元；(用含x的代数式表示)

②选择哪种方案更省钱？

【答案］⑴198

(2)400或423

⑶①(%—63)；0.9%；②当300Vx<630时，按方案一更省钱；当x=630时，一样省钱，当x>630时，

按方案二更省钱

【分析】本题考查列代数式，有理混合运算的应用，一元一次方程的应用.解题关键是理解方案一中的计

算方法.

(1)消费超过200元，可以用两张优惠券，剩余10元原价支付即可.

(2)分两种情况讨论：用方案一或方案二，分类得出每一种情况即可，因为最多可以用三张优惠券，所以

减去三个优惠券的价格，就是多出300元的部分，从而得出利用方案一计算的消费额，方案二直接打九折，

那就直接除以0.9即可.

(3)①按照方案一、方案二列出代数式，化简得出即可.②首先求出两种方案相等的数值，在分类讨论

即可.

【详解】⑴解：某次消费240元，使用代金券后，实际花费3x79+(240-200)=198(元)；

故答案为:198；

(2)解：,某次实际花费360元，

,如果用方案一：360-3x79=123(元)，300+123=423(元)，

如果用方案二：360+0.9=400(元)

故答案为：400或423；

(3)解：①某次消费x(x>300)元，按照方案一使用代金券后，实际花费为：3x79+(x-300)=(x-63)元,

按照方案二进行优惠，实际花费为：0.9%元，

故答案为：(x-63),0.9%；

②令0.9x=x-63,

解得x=630,

，当300Vx<630时，按方案一更省钱，

当天=630时，一样省钱，

当天＞630时，按方案二更省钱.

【变式训练3】.商店售出茶壶和茶杯，茶壶每只定价24元，茶杯每只定价5元.该店制定了两种优惠办法，

方法1：买一只茶壶赠送一只茶杯；方法2：按总价打九折.某顾客需购买茶壶5只，茶杯若干只(不少于5

只)，若设购买茶杯数为x只，付款数分别按两种优惠办法计算.

(1)计算两种不同的收费；

(2)当顾客在同一商店购买多少只茶杯时，两种办法的付款数相同？

【答案】(1)方法124*5+(x—5)*5=5x+95,方法2：5x24x0.9+xx5x0.9=4.5x+108；

⑵当顾客在同一商店购买26只茶杯时，两种办法的付款数相同.

【分析】(1)分别按照方法1和方法2列出代数式即可；

(2)当5x+95=4.5x+108时，解出方程即可；

本题考查了列代数式，一元一次方程得应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】(1)由题意可知：方法1：24x5+(x-5)x5=5x+95,

方法2：5x24x0.9+xx5x0.9=4.5x+108；

(2)当5x+95=4.5x+108时，

解得：x=26,

答：当顾客在同一商店购买26只茶杯时，两种办法的付款数相同.

类型六、行程问题

-一

(1)三个基本量间的关系：路程=速度x时间

(2)基本类型有：

①相遇问题(或相向问题)

I,基本量及关系：相遇路程=速度和x相遇时间

n.寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程=两地距离.

②追及问题：

I.基本量及关系：追及路程=速度差X追及时间

n.寻找相等关系：

第一，同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；

第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程.

③航行问题：

I.基本量及关系：

顺流速度=静水速度+水流速度，

逆流速度=静水速度-水流速度，

顺水速度-逆水速度=2x水速；

n.寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑.

(3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析

例.已知甲、乙两地相距160km,A、8两车分别从甲、乙两地同时出发，A车速度为85km/h,8车速度为

65km/h.

(1)A、8两车同时同向而行，A车在后，经过几小时A车追上8车？

(2)4、B两车同时相向而行，经过几小时两车相距10km?

【答案】⑴经过8小时A车追上B车

17

⑵经过1或百小时两车相距10km

【分析】本题考查一元一次方程的实际应用.根据题意设出未知数，找出等量关系，列出方程是解题关键.

(1)设经过x小时A车追上8车，根据题意可列出关于x的方程，解出x即可；

(2)设经过f小时两车相距10km,根据题意可分类讨论当两车相遇前和当两车相遇后，分别列出关于/的

方程，解出，即可.

【详解】(1)解：设经过x小时A车追上B车，

依题意可列方程85x=16O+65x.

解得：x=8,

答：经过8小时A车追上3车.

(2)解：设经过t小时两车相距10km.

根据题意可作分类讨论：

①当两车相遇前，可列方程：85r+65^+10=160,

解得：r=1；

②当两车相遇后，可列方程：85f+65”10=160,

17

解得：/=

17

综上可知，经过1或百小时两车相距10km.

【变式训练1】.小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60m.下

坡路每分钟走80m,上坡路每分钟走40m.则他从家里到学校需lOmin,从学校到家里需15min.问：从小

华家到学校的平路和下坡路各有多远？设小华家到学校的平路为x,用方程表示上述数量关系，并解出方程.

【答案】平路为300米，下坡路为400米

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关

键.

设小华家到学校的平路为x米，则下坡路为8010-高1米，根据时间=路程+速度结合小华从学校到家里需

15min,即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.

【详解】解：设小华家到学校的平路为x米，则下坡路为80卜0-工]米，根据题意，得

X玲。磊

---=15

6040

解得：x=300,

08OMO--^|=80x（10-^U400（米）

答：从小华家到学校的平路为300米，下坡路为400米.

【变式训练2].如图，数轴上A点和8点表示的数分别为-18和6,如果两个点同时开始在数轴上运动,

且A点的运动速度为3个单位/秒，B点运动速度为1个单位/秒，

AB

-1806

⑴如果A点向数轴的正方向运动，8点向数轴的负方向运动时，请问几秒钟后两点相遇?

⑵如果A、8两点同时向正方向运动，请问几秒钟后A点与8点相遇？

⑶如果A、8两点同时向正方向运动，请问当/为何值时，之间的距离等于8?

【答案】(1)6秒后两点相遇

(2)12秒后两点相遇

⑶t=8或者f=16时

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点之间的距离，数轴上动点问题，解题的关键是设未知数,

找准等量关系，正确列出方程并求解.

(1)设X秒后两点相遇，根据题意列出方程求解即可；

(2)设y秒后两点相遇，根据题意列出方程求解即可；

(3)根据题意考虑两种情况，①点A在点B左侧，②点A在点8右侧，分别列出方程求解即可.

【详解】(1)解：设x秒后两点相遇，

贝I］有—18+3x=6—x,

解得：x=6,

,6秒后两点相遇；

(2)解：设y秒后两点相遇，

则有-18+3y=6+y,

解得：%=12,

.•.12秒后两点相遇；

(3)解：本题考虑两种情况：

①点A在点8左侧，

则有6+/-(一18+3/)=8,

解得：r=8；

②点A在点8右侧，

则有—18+3r—(6+0=8,

解得：?=16；

.」=8或者t=16时，之间的距离等于8.

【变式训练3】.若一数轴上存在两动点，当第一次相遇后，速度都变为原来的两倍，第二次相遇后又都能

恢复到原来的速度，则称这条数轴为神奇数轴.

如图，已知一神奇数轴上有A,O,B三点,其中A,。对应的数分别为TO,0,A8为55个单位长度,

甲，乙分别从A,。两点同时出发，沿数轴正方向同向而行，甲的速度为3个单位/秒，乙的速度为1个单

位/秒，甲到达点B后以当时速度立即返回，当甲回到点A时，甲、乙同时停止运动.

-f(>Ji

-ioA'*

(1)点2对应的数为,甲出发秒后追上乙(第一次相遇)

⑵当甲到达点2立即返回后第二次与乙相遇，求出相遇点在数轴上表示的数是多少？

⑶甲、乙同时出发多少秒后，二者相距3个单位长度？(直接写出答案)

【答案】(1)45,5

⑵相遇点在数轴上表示的数是25；

⑶甲、乙同时出发3.5秒或5.75秒或14.625秒或15.75秒后，二者相距3个单位长度.

【分析】本题考查了数轴的动点问题，一元一次方程的应用，掌握题意正确列出代数式是解题的关键.

（1）根据两点间的距离公式可求点8对应的数，可设甲出发了秒后追上乙（即第一次相遇），根据速度差x

时间=路程差，路程方程求解即可；

（2）先求出第二次与乙相遇需要的时间，进一步可求相遇点在数轴上表示的数；

（3）分第一次相遇前后相距3个单位长度，第二次相遇前后相距3个单位长度，进行讨论即可求解.

【详解】（1）解：甲到达点B需要三秒，

点8对应的数为-10+55=45,

设甲出发x秒后追上乙（即第一次相遇），

依题意有（3-Dx=l。，

解得》=5＜三，

故甲出发5秒后追上乙（即第一次相遇）.

故答案为：45；5；

（2）解：第一次相遇时，甲对应的数字是：-10+5x3=-10+15=5,

距离点B距离为：45-5=40,

从第一次相遇到下一次相遇的时间是：40x2^（3x24-1x2）=10（秒），

125+1x2x10=25.

故相遇点在数轴上表示的数是25；

（3）解：第一次相遇前后相距3个单位长度，

第一次相遇前时间是：5-3^（3-1）=5-1.5=3.5（秒），

第一次相遇后时间是：5+3+（3x2—1x2）=5+0.75=5.75（秒），

第二次相遇前后相距3个单位长度，

第二次相遇前时间是：5+10—3+（3x2+1x2）=14.625（秒），

第二次相遇前时间是：5+10+3+（3+1）=15.75（秒）.

故甲、乙同时出发3.5秒或5.75秒或14.625秒或15.75秒后，二者相距3个单位长度.

类型七、和差倍分

例.为保证校运会的正常进行，学校共选拔了200名学生志愿者，其中男生人数是女生人数的2倍少1人.求

参加志愿者的男，女生人数各是多少？

【答案】参加志愿者的男生有133人，女生有67人.

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键.设女生人数为无人，则男生人

数（2x-l）人，学校共选拔了200名学生志愿者，据此列出方程，并解方程即可.

【详解】解：设女生人数为x人，则男生人数（2X-1）人，根据题意得，

（2x-l）+x=200,

解得x=67,

则2x-l=133,

答：参加志愿者的男生有133人，女生有67人.

【变式训练五、六年级同学去植树，五年级植树棵数占总棵数的40%,六年级植树棵数占总棵数的60%,

六年级比五年级多植15棵树，两个年级一共植树多少棵？（用方程解决问题）

【答案】两个年级一共植树75棵.

【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，理解题意是解题的关键.设五年级植树x棵，根据题意列

出方程计算即可得到答案.

【详解】解：设年级总植树数为尤棵，

（60%-40%）x=15,

20%x=15,

0.2x=15,

x=75,

答：两个年级一共植树75棵.

【变式训练2】.列式计算

（1）12个|5■的和减去2;，差是多少？

63

3

（2）甲数的I是15,乙数比甲数少10%,乙数是多少？

⑶一个数的!2•比36的7;多2,这个数是多少？（列方程解答）

【答案】（1）9^

（2）18

⑶45

【分析】本题主要考查列式计算，理解题意正确列出式子是解题的关键.

（1）根据题意列出式子进行计算即可；

（2）根据题意列出式子进行计算即可；

（3）设这个数是心根据一元一次方程进行求解即可.

52

【详解】⑴

o3

=9-

3

(2)154--X(1-10%)

=18

(3)解：设这个数是元.

27

-x-36x-=2

39

x=45

答：这个数是45.

【变式训练3】.某厂的两个车间10月份共生产1339个零件，第一车间10月份比9月份增产12%,第二车

间10月份比9月份减产24%,若9月份第一车间的产量是第二车间产量的3倍，那么9月份两个车间各生

产了多少个零件？

【答案】9月份第一车间975个零件，第二车间生产了325个零件.

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题关键.设9月份第二车间的产

量为x个，则9月份第一车间的产量为3尤个，根据"两个车间10月份共生产1339个零件，第一车间10月

份比9月份增产12%,第二车间10月份比9月份减产24%"列方程求解即可.

【详解】解：设9月份第二车间的产量为x个，则9月份第一车间的产量为3无个，

由题意得：3x(l+12%)+x(l-24%)=1339,

解得：X=325,

.'.3x=975(个)，

答：9月份第一车间975个零件，第二车间生产了325个零件.

类型八、水费电费

例.为鼓励人们节约用水，合肥市居民使用自来水实行阶梯式计量水价，按如下标准缴费(水费按月缴纳):

用户月用水量单价

不超过12m3的部分。兀/nP

超过12m3但不超过20m3的部分1.5。元/n?

超过20m3的部分2a元/m3

⑴当a=2时，芳芳家5月份用水量为14nl3,贝该月需交水费元；6月份芳芳家交了水费36元，则

6月份用水量为n?(直接写出答案)；

⑵当a=2时，亮亮家一个月用了28m3的水，求亮亮家这个月应缴纳的水费；

⑶设某用户月用水量为“nP(420),该用户这个月应缴纳水费多少元？(用含。，〃的式子表示)

【答案】⑴30；16

(2)亮亮家这个月应缴纳的水费为80元

⑶该用户这个月应缴纳水费(2m—16a)元

【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及整式的加减及一元一次方程的应用，正确理解题干所给计算

公式是解题的关键.

(1)根据题干所给计算公式即可求得芳芳家5月份需交水费，设芳芳家6月份用水量为xnP,列一元一次

方程求解即可得6月份用水量；

(2)根据题干所给计算公式即可求解；

(3)根据所给计算公式列式计算即可.

【详解】(1)解：当a=2,芳芳家5月份用水量为14m3时，该月需交水费为12x2+(14-12)x1.5x2=24+6=30

(元)；

设芳芳家6月份用水量为；mP,

1312x2=24<36,12x2+(20-12)x1.5x2=24+24=48>36,

012cx<20,

则由题意，得12x2+(x-12)x1.5x2=36,

解得x=16,

回芳芳家6月份用水量为16m3.

故答案为：30；16；

(2)解：12x2+(20-12)x1.5x2+(28-20)x2x2=24+24+32=80(元)，

答：亮亮家这个月应缴纳的水费为80元.

(3)解：户月用水量为“n?(420),

回该用户应缴纳的水费为12a+(20-12)xl.54+(〃-20)x2a=2a〃-16a(元)，

答：该用户这个月应缴纳水费(2曲-164元.

【变式训练11某县政府今年对居民用水实行分层收费如下表：

每户每月用水量水费/(元/立方米)

不超过22立方米2.3

超过22立方米且不超过30立方米的部分a

超过30立方米的部分4.6

⑴若小华家今年1月份用水量是20立方米，则他家应缴费元.(直接填写答案即可)

(2)若小华家今年2月份用水量是26立方米，缴费62.6元，请求出用水量在22~30立方米之间的收费标准。

元/立方米.

⑶在(2)的条件下，若小华家今年8月份用水量增大，共缴费97.6元，则他家8月份用水量是多少立方米？

【答案］⑴46

⑵用水在22~30立方米之间的收费标准3元